4.3 Линейная зависимость векторов.

Определение 4.8:
Множество $L_n$ с операциями сложения векторов и умножения векторов на элемент поля $P$ называется $n$-мерных арифмерическим пространством над полем $P$.
Нулевой относительно операции сложения вектор обозначают $\theta$.

Определение 4.9:
Конечная не пустая система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{L}_n$ называется линейно зависимой (ЛЗ), если существуют $c_1,\ldots,c_k\in{P}$ не все равные нулю такие, что $c_1\alpha_1+\cdots{c}_k\alpha_k=\theta$.
В противном случае система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ называется линейно независимой (ЛНЗ).
Пустая система векторов считается линейно независимой.

Замечание 4.4:
Система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{L}_n$ линейно независима тогда и только тогда, когда $$c_1\alpha_1+\cdots+c_k\alpha_k=\theta\Leftrightarrow{c}_1=\cdots=c_k=0.$$

Пример 4.1:

1. Пусть $P=GF(2)$, $\alpha_1=\binom{1}0$, $\alpha_2=\binom{1}1$, тогда $$c_1\alpha_1+c_2\alpha_2=\theta\Leftrightarrow\begin{cases}c_1+c_2=0 \\\quad c_2=0\end{cases}\Leftrightarrow{c}_1=c_2=0.$$ Таким образом система векторов $\alpha_1,\alpha_2\in{G}F(2)^{(2)}$ линейно независима.
2. Пусть $P=\mathbb{R}$, $\alpha_1=\binom{1}0$, $\alpha_2=\binom{1}1$, $\alpha_3=\binom{2}2$, тогда $0\alpha_1+\alpha_2+\left(-\frac12\right)\alpha_3=\theta$, следовательно, система векторов $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\in\mathbb{R}^3$ линейно зависима.
3. Система векторов содержащая нулевой вектор $\theta$ всегда линейно зависима. Действительно, пусть $\alpha_1,\ldots,\alpha_{t-1},\theta,\alpha_{t+1},\ldots,\alpha_k\in{L}_n$, тогда существуют $c_1=\cdots=c_{t-1}=c_{t+1}=\cdots=c_k=0$ и $c_t=e$ такие, что $c_1\alpha_1+\cdots+c_k\alpha_k=\theta.$
4. Если система вектров содержит одинаковые вектора, то она линейно зависима. Действительно, пусть система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{L}_n$ такая, что сущесвтуют $t,s\in\overline{1,k}$ такие, что $t\neq{s}$ и $\alpha_t=\alpha_s$. Тогда существуют $c_1,\ldots,c_k\in{P}$ такие, что для любых $i\notin\{s,t\}$ $\alpha_i=0$, $\alpha_t=e$, $\alpha_s=-e$, тогда $c_1\alpha_1+\cdots+c_k\alpha_k=\alpha_t-\alpha_s=0$.

Определение 4.10:
Будем говорить, что вектор $\beta\in{L}_n$ линейно выражается через (ЛВЧ) систему векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{L}_n$, если существуют $b_1,\ldots,b_k\in{P}$ такие, что $\beta=b_1\alpha_1+\cdots+b_k\alpha_k$.

Теорема 4.6: Критерий линейной зависимости.

1. Если $k>1$, то система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{L}_n$ линейно зависима, тогда и только тогда, когда существует $i\in\overline{1,k}$ такое, что $\alpha_i$ линейно выражается через $\alpha_1,\ldots,\alpha_{i-1},\alpha_{i+1},\ldots,\alpha_k$.
2. Если $k=1$, то система векторов $\alpha_1$ линейно зависима тогда и только тогда, когда $\alpha_1=0$.

Доказательство:

1. $\Rightarrow)$ Если система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ линейно зависима, то $$ \exists{c}_1,\ldots,c_k\in{P}: (\exists{i}\in\overline{1,k}:c_i\neq0\,\wedge\,{c}_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n=0)\Rightarrow (-c_i)\alpha_i=\sum_{j\in\overline{1,k}\backslash{i}}c_j\alpha_j\Rightarrow\alpha_i=\sum_{j\in\overline{1,k}\backslash{i}}c_j\alpha_jc^{-1}. $$ то есть $\alpha_i$ ЛВЧ $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_k\}\backslash\alpha_i$.
   $\Leftarrow)$ Без ограничения общности будем считать, что вектор $\alpha_k$ ЛВЧ $\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1}$, тогда $$\exists{b}_1,\ldots,b_k\in{P}:\alpha_k=\sum_{j=1}^{k-1}b_j\alpha_j\Rightarrow{b}_1\alpha_1+\cdots+b_{k-1}\alpha_{k-1}+(-e)\alpha_k=0.$$ И так как $-e\neq0$, то элементы $b_1,\ldots,b_{k-1},-e\in{P}$ реализуют определение линейной независимости системы векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$.
2. Система векторов состоящая из одного вектора $\alpha_1$ линейно зависима, тогда и только тогда, когда существует $c\neq0$ такой, что $c\alpha_1=\theta$, это возможно тогда и только тогда, когда $\alpha_1=\theta$.

Замечание 4.5:
В п. 1 теоремы 4.6 нельзя потребовать, чтобы любой вектор выражался через остальные, так как например, если $\alpha\neq0$, то система $\alpha,\theta$ линейно зависима и при этом $\theta$ ЛВЧ $\alpha$, но $\alpha$ не ЛВЧ $\theta$.

Следствие 4.4:
Система из двух векторов $\alpha,\beta$ линейно зависима тогда и только тогда, когда существует $c\in{P}$ такой, что $\alpha=c\beta$ или $\beta=c\alpha$.

Доказательство:
Следует из теоремы 4.6 при $k=2$.

Утверждение 4.1:
Если подсистема системы векторов ЛЗ, то и вся система ЛЗ.

Доказательство:
Пусть подсистема $\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_s}$ системы векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ ЛЗ, тогда существуют $c_{i_1},\ldots,c_{i_s}$ не все равные нулю такие, что выполняется равенство $c_{i_1}\alpha_1+\cdots+c_{i_s}\alpha_s=\theta$. Тогда сущесвуют $$\{c'_t\in{P}|t\in\overline{1,k}\wedge(t\in\{i_1,\ldots,i_s\}\Rightarrow{c'_t=c_t})\wedge(t\notin\{i_1,\ldots,i_s\}\Rightarrow{c}_t=0)\}$$ такие, что $$\sum_{j=1}^kc'_j\alpha_j=\sum_{j=1}^sc_{i_j}\alpha_{i_j}+\sum_{j\in\overline{1,k}\backslash\{j_1,\ldots,j_s\}}0\alpha_j=0.$$ И так как один из $c'_{i_1},\ldots,c'_{i_s}$ не равен 0, то элементы $c'_1,\ldots,c'_k$ реализуют определение линейной зависимости для системы векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$.

Следствие 4.5:
Любая подсистема ЛНЗ системы ЛНЗ.

Доказательство:

Докажем от противного. Предположим, что ЛНЗ система $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$, содержит ЛЗ подсистему, но тогда по утверждению 4.1 система $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ ЛЗ. Получено противоречие.

Утверждение 4.2:
Пусть система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ такая, что ${k>1}$ и $\alpha_1\neq\theta$, тогда система $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ ЛЗ тогда и только тогда, когда существует $i\in\overline{2,k}$ такое, что $\alpha_i$ ЛВЧ $\alpha_1,\ldots,\alpha_{i-1}$.

Доказательство:
$\Rightarrow)$ Если система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ ЛЗ, то существует $c_1,\ldots,c_k\in{P}$ такие, что $c_1\alpha_1+\cdots{c}_k\alpha_k=\theta$. Тогда существует $i\in\overline{1,k}$ такое, что $c_i\neq0$ и для любого $j>i$ $c_j=0$, при этом $i\neq1$, так как $\alpha_1\neq\theta$. Тогда $c_1\alpha_1+\cdots+c_i\alpha_i=0$ и $\alpha_i=c_1\alpha_1(-c_i)^{-1}+\cdots+c_{i-1}\alpha_{i-1}(-c_i)^{-1}$.
$\Leftarrow)$ Следует из п. 1 теоремы 4.6.

Утверждение 4.3:
Пусть система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{L}_n$ ЛНЗ, ${\beta\in{L}_n}$, тогда система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k,\beta$ ЛЗ тогда и только тогда, когда $\beta$ ЛВЧ $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$.

Доказательство:
$\Rightarrow)$ Если система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k,\beta$ ЛЗ, то существуют не все равные нулю $c_1,\ldots,c_k,b\in{P}$ такие, что $c_1\alpha_1+\cdots+c_k\alpha_k+b\beta=0$. Если $b=0$, то $c_1\alpha_1+\cdots+c_k\alpha_k=0$ и один из элементов $c_1,\ldots,c_k$ не равен нулю, тогда $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ ЛЗ, чего не может быть по условию, следовательно, $b\neq0$. Тогда $\beta=c_1\alpha_1(-b)^{-1}+\cdots+c_k\alpha_k(-b)^{-1}$.
$\Leftarrow)$ Следует из п.1 теоремы 4.6.

Утверждение 4.4:
Если система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{L}_n$ ЛНЗ и вектор $\beta\in{L}_n$ ЛВЧ $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$, то $\beta$ ЛВЧ $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ единственным образом.

Доказательство:

Пусть $c_1,\ldots,c_k,b_1,\ldots,b_k\in{P}$ такие, что $$\beta=c_1\alpha_1+\cdots+c_k\alpha_k=b_1\alpha_1+\cdots+b_k\alpha_k,$$ тогда $(c_1-b_1)\alpha_1+\cdots+(c_k-b_k)\alpha_k=\theta$. Так как $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ ЛНЗ, то такое возможно только если для любого $i\in\overline{1,k}$ $c_i=b_i$.

Определение 4.12:
Подсистема $T$ конечной системы векторов ${\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{L}_n}$ называется ее максимальной линейно не зависимой подсистемой (МЛНП), если

1. подсистема $T$ линейно не зависима,
2. для любого $i\in\overline{1,k}$ система $\{T,\alpha_i\}$ линейно зависима.

Определение 4.13:
Базисом конечной системы векторов называется ее упорядоченная МЛНП.

Теорема 4.7: Любая ЛНЗ подсистема конечной системы векторов может быть дополнена до МЛНП.

Доказательство:

Пусть $T$ ЛНЗ подсистема системы $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{L}_n$. Среди всех ЛНЗ подсистем системы $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ содержащих $T$ выберем подсистему $S$ содержащую максимальное колличество векторов. Тогда для любого ${i\in\overline{1,k}}$ либо $\alpha_i\in{S}$ и тогда система $\{S,\alpha_i\}$ содержит два одинаковых вектора и, следовательно, ЛЗ, либо система $\{S,\alpha_i\}$ содержит больше векторов чем $S$ и, следовательно, ЛЗ по выбору $S$. Таким образом система $S$ ЛНЗ и для любого $i\in\overline{1,k}$ система $\{S,\alpha_i\}$ ЛЗ. Следовательно, система $S$ содержит систему $T$ и является МЛНП.

Следствие 4.6:
Любая конечная система векторов имеет базис.

Доказательство:
Следует из теоремы 4.7.

Вопросы, ответы на которые будут получены до конца раздела.
Пусть дана система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{L}_n$

1. Как выястнить выражается ли вектор $\beta\in{L}_n$ через систему $\alpha_1\ldots,\alpha_k$?
2. Как выразить вектор $\beta$ через систему $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$?
3. Является ли система $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ ЛНЗ?
4. Как найти базис системы $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$?
5. Как выяснить является ли данная подсистема базисом?
6. Как дополнить ЛНЗ подсистему до МЛНП.

Теорема 4.8:
Пусть $A=(A_1^{\downarrow},\ldots,A_k^{\downarrow})\in{P}_{n,k}$, $B=(B_1^{\downarrow},\ldots,B_k^{\downarrow})\in{P}_{n,k}$ такие, что $A\rsim{B}$, $c_1,\ldots,c_k\in{P}$, тогда $$c_1A_1^{\downarrow}+\cdots+c_kA_k^{\downarrow}=\theta\Leftrightarrow{c}_1B_1^{\downarrow}+\cdots+c_kB_k^{\downarrow}=\theta.$$

Доказательство:
Так как по п. 3 утверждения 3.10 $$A\rsim{B}\Rightarrow\exists{U}\in(P_{n,n})^*:B=UA\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,k}(B_i^{\downarrow}=UA_i^{\downarrow})$$ то, так как матрица $U$ не является делителем нуля в силу обратимости $$ c_1A_1^{\downarrow}+\cdots+c_kA_k^{\downarrow}=\theta\Leftrightarrow{U}(c_1A_1^{\downarrow}+\cdots+c_kA_k^{\downarrow})=\theta\Leftrightarrow {c}_1(UA_1^{\downarrow})+\cdots+c_k(UA_k^{\downarrow})=\theta\Leftrightarrow{c}_1B_1^{\downarrow}+\cdots+c_kB_k^{\downarrow}=\theta. $$

Теорема 4.9:
Пусть $A\in{P}_{n,m}$, $A\neq0$, $S=(s_{i,j})_{n,m}$ ступенчатая матрица типа $(i_1,\ldots,i_r)$, $A\rsim{S}$, тогда

1. Если $j\in\overline{2,m}$, то $A_j^{\downarrow}$ ЛВЧ $A_1^{\downarrow},\ldots,A_{j-1}^{\downarrow}$, тогда и только тогда, когда $j\notin\{i_1,\ldots,i_r\}$.
2. Если матрица $S$ специальная ступенчатая, то для любого $j\in\overline{1,m}$ $A_j^{\downarrow}=\sum_{t=1}^rs_{t,j}A_{i_t}^{\downarrow}$.

Доказательство:

1. $\Rightarrow)$ Предположим, что существует $j\in\{i_1,\ldots,i_r\}$ такое, что $A_j^{\downarrow}$ ЛВЧ $A_1^{\downarrow},\ldots,A_{j-1}^{\downarrow}$. Следовательно, существуют $c_1,\ldots,c_{j-1}\in{P}$ такие, что $c_1A_1^{\downarrow}+\cdots+c_{j-1}A_{j-1}^{\downarrow}=A_j$. Так как $A\rsim{S}$, следовательно по теореме 4.8, $c_1S_1^{\downarrow}+\cdots+c_{j-1}S_{j-1}^{\downarrow}=S_j$, но это не возможно, так как существует $t\in\overline{1,r}$ такое, что $j=i_t$, следовательно, по определению ступенчатой матрицы типа $(i_1,\ldots,i_r)$ $s_{t,j}=s_{t,i_t}\neq0$ в то время как для любого $k\in\overline{1,i_t-1}$ $s_{t,k}=0$. Получено противоречие.
   $\Leftarrow)$ Пусть $j\in\{i_1,\ldots,i_r\}$, следовательно существует $t\in\overline{1,r}$ такое, что $i_t<j<i_{t+1}$. Докажем, что $A_j^{\downarrow}$ ЛВЧ $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_t}^{\downarrow}$. Из теоремы 4.8 следует, что для этого достаточно доказать, что $S_j^{\downarrow}$ ЛВЧ $S_{i_1}^{\downarrow},\ldots,S_{i_t}^{\downarrow}$. Докажем индукцией по $t$.
   1. При $t=1$ $S_j^{\downarrow}=s_{1,i_1}^{-1}s_{1,j}S_{1,i_1}^{\downarrow}$, то есть $S_j^{\downarrow}$ ЛВЧ $\{S_{i_1}^{\downarrow}\}$.
   2. Фиксируем $u\in\overline{1,r}$ и предположим, что для любого $k\in\overline{1,u}$ $S_j^{\downarrow}$ такой, что $i_k<j<i_{k+1}$ ЛВЧ $S_{i_1}^{\downarrow},\ldots,S_{i_k}^{\downarrow}$. Докажем, что $S_j^{\downarrow}$ такой, что $i_{u+1}<j<i_{u+2}$ ЛВЧ $S_{i_1}^{\downarrow},\ldots,S_{i_{u+1}}^{\downarrow}$.
      Действительно, $S_j^{\downarrow}=(s_{u+1,i_{u+1}})^{-1}s_{u+1,j}S_{i_{u+1}}^{\downarrow}+V^{\downarrow}$. Где вектор $V^{\downarrow}=(v_1,\ldots,v_n)$ такой, что для любого $p>u$ $v_p=0$, следовательно, по предположению индукции $V^{\downarrow}$ ЛВЧ $S_{i_1}^{\downarrow},\ldots,S_{i_u}$.
      (Не совсем точно, вектор $V^{\downarrow}$ может не принадлежать матрице $S$ тогда предположение индукции для него не будет работать, на самом деле можно усилить предпложение индукции и распространить его на все вектора с $n-u$ нулями в конце).
      Таким образом $S_j^{\downarrow}$ ЛВЧ $S_{i_1}^{\downarrow},\ldots,S_{i_{u+1}}^{\downarrow}$.
2. Так как по опрделению специальной ступенчатой матрицы для любого $t\in\overline{1,r}$ $s_{t,i_t}=e$ и для любых $p\neq{t}$ $s_{p,{i_t}}=0$, то для любого $j\in\overline{1,m}$ $S_j^{\downarrow}=\sum_{t=1}^rs_{t,j}S_{i_t}^{\downarrow}$. Так как $A\rsim{S}$, то по теореме 4.8 $A_j^{\downarrow}=\sum_{t=1}^rs_{t,j}A_{i_t}^{\downarrow}$.

Следствие 4.7:
Если матрица $A\in{P}_{n,m}$ строчно эквивалентна матрице $S$ ступенчатой типа $(i_1,\ldots,i_r)$, то система векторов $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_r}^{\downarrow}$ является базисом системы столбцов матрицы $A$.

Доказательство:

По п. 1 теоремы 4.9 для всех $t\in\overline{2,r}$ $A_{i_t}^{\downarrow}$ ЛНВЧ $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_{t-1}}^{\downarrow}$, тогда по утверждению 4.2 система векторов $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_r}^{\downarrow}$ ЛНЗ. С другой стороны, по п. 1 теоремы 4.9 для любого $j\notin\{i_1,\ldots,i_r\}$ $A_j^{\downarrow}$ ЛВЧ $A_{i_1},\ldots,A_{i_r}^{\downarrow}$, то есть система $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_r}^{\downarrow},A_j^{\downarrow}$ ЛЗ. Таким образом система векторов $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_r}^{\downarrow}$ МЛНП системы столбцов матрицы $A$.

Следствие 4.8:
Все ступенчатые матрицы строчно эквивалентные одной и той же матрице $A$ имеют один и тот же тип. И среди них существует только одна специально ступенчатая матрица.

Доказательство:
Тип ступенчатой матрицы эквивалентной матрице $A$ определяется однозначно, так как по теореме 4.8.

• $A_{i_1}^{\downarrow}$ - первый не нулевой столбец,
• $A_{i_2}^{\downarrow}$ - первый столбец ЛНВЧ $\{A_{i_1}^{\downarrow}\}$,
• $A_{i_3}^{\downarrow}$ - первый столбец ЛНВЧ $A_{i_1}^{\downarrow},A_{i_2}^{\downarrow}$,
• и т. д.

Следствие 4.9:
Система векторов $A_1^{\downarrow},\ldots,A_k^{\downarrow}\in{P}^{(n)}$ ЛНЗ тогда и только тогда, когда $\rang(A_1^{\downarrow},\ldots,A_k^{\downarrow})=k$.

Доказательство:

Система векторов $A_1^{\downarrow},\ldots,A_k^{\downarrow}$ ЛНЗ тогда и только тогда, когда $A_1\neq\theta$ и для любого $j\in\overline{2,k}$ $A_j$ ЛНВЧ $A_1^{\downarrow},\ldots,A_{j-1}^{\downarrow}$ тогда и только тогда, когда $A=(A_1^{\downarrow},\ldots,A_k^{\downarrow})\rsim{S}\in{S}(1,\ldots,k)$ тогда и только тогда, когда $\rang{A}=k$.

Следствие 4.10:
Если система векторов $A_1^{\downarrow},\ldots,A_k^{\downarrow}$ ЛНЗ, то $k\leq{n}$.

Доказательство:

$n\geq\rang{(A_1^{\downarrow},\ldots,A_k^{\downarrow})}=k$.

Следствие 4.11:
Матрица $A\in{P}_{n,n}$ обратима тогда и только тогда, когда система $A_1^{\downarrow},\ldots,A_n^{\downarrow}$ ЛНЗ.

Доказательство:

Так как $$A\in(P_{n,n})^*\Leftrightarrow|A|\neq0\Leftrightarrow\rang{A}=n,$$ то утверждение следует из следствия 4.9.

Следствие 4.12:
Любые два базиса системы столбцов матрицы $A$ равномощны. Число векторов в базисе системы столбцов матрицы $A$ равно $\rang{A}$.

Доказательство:

Пусть $A=(A_1^{\downarrow},\ldots,A_m^{\downarrow})\neq0$, $A_{j_1}^{\downarrow},\ldots,A_{j_s}^{\downarrow}$ - базис системы векторов $A_1^{\downarrow},\ldots,A_m^{\downarrow}$. Обозначим $\{j_{s+1},\ldots,j_m\}:=\overline{1,m}\backslash\{j_1,\ldots,j_s\}$. Тогда $A\csim{A'}:=(A_{j_1}^{\downarrow},\ldots,A_{j_s}^{\downarrow},A_{j_{s+1}}^{\downarrow},\ldots,A_{j_m}^{\downarrow})$. В матрице $A'$ первые $s$ столбцов не нулевые и каждый из них ЛНВЧ предыдущие, а каждый из столбцов $A_{s+1}^{\downarrow},\ldots,A_{j_m}^{\downarrow}$ выражается через первые $s$, тогда $$A'\rsim{S}\in{S}(1,\ldots{s})\Rightarrow\rang{A}=\rang{A}'=\rang{S}=s.$$

Замечание 4.6:
Следствия 4.9 - 4.12 справедливы так же для векторов сторок.

Определение 4.13:
Рангом конечной системы столбцов (строк) называется число векторов в ее базисе.

Следствие 4.13:
Если $A\in{P}_{m,n}$, то $\rang{A}=\rang(A_1^{\downarrow},\ldots,A_n^{\downarrow})=\rang(\vec{A}_1,\ldots,\vec{A}_m)$.

Доказательство:
Следует из следствия 4.12.

Подведем итоги раздела.
Пусть $A_1^{\downarrow},\ldots,A_m^{\downarrow}\in{P}^{(n)}$, $B^{\downarrow}\in{P}^{(n)}$, тогда

1. Система $A_1^{\downarrow},\ldots,A_m^{\downarrow}$ ЛНЗ тогда и только тогда, когда ${\rang(A_1^{\downarrow},\ldots,A_m^{\downarrow})=m}$.
2. Вектор $B^{\downarrow}$ ЛВЧ систему векторов $A_1^{\downarrow},\ldots,A_m^{\downarrow}$ тогда и только тогда, когда $(A_1^{\downarrow},\ldots,A_m^{\downarrow},B^{\downarrow})\rsim{S}\in{S}(i_1,\ldots,i_r)$, где $r\neq{m}+1$.
3. Если $(A_1^{\downarrow},\ldots,A_m^{\downarrow},B^{\downarrow})\rsim{S}=(s_{i,j})_{m,n}\in{S}(i_1,\ldots,i_r)$ где $S$ - специально ступенчатая матрица и $r\neq{m}+1$, то $B^{\downarrow}=\sum_{t=1}^rs_{t,m+1}A_{i_t}^{\downarrow}$.
4. Базис $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_r}^{\downarrow}$ системы столбцов $A_1^{\downarrow},\ldots,A_m^{\downarrow}$ можно найти следующим образом
   • $A_{i_1}^{\downarrow}$ - первый ненулевой вектор,
   • $A_{i_2}^{\downarrow}$ - первый вектор ЛНВЧ $\{A_{i_1}^{\downarrow}\}$,
   • $A_{i_3}^{\downarrow}$ - первый вектор ЛНВЧ $A_{i_1}^{\downarrow},A_{i_2}^{\downarrow}$,
   • и т. д.
5. Если $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_r}^{\downarrow}$ базис системы столбцов матрицы $A=(A_1^{\downarrow},\ldots,A_m^{\downarrow})$ и $A\rsim{S}\in{S}(i_1,\ldots,i_r)$ где $S$ - специально ступенчатая матрица. Вектор $A_j$ такой, что $i_u\leq{j}<i_{u+1}$, то $A_j=\sum_{t=1}^us_{t,j}A_{i_t}$.
6. Подсистема $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_r}^{\downarrow}$ является базисом системы $A_1^{\downarrow},\ldots,A_m^{\downarrow}$ тогда и только тогда, когда $\rang(A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_r}^{\downarrow})=r=\rang(A_1^{\downarrow},\ldots,A_m^{\downarrow})$.
7. Для того, чтобы дополнить ЛНЗ подсистему $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_t}^{\downarrow}$ до базиса, надо привести матрицу $(A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_t}^{\downarrow}A_{i_t+1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_m}^{\downarrow})$ к ступенчатой матрице $S\in{S}(1,\ldots,t,j_{t+1},\ldots,j_r)$, тогда подсистема $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_t}^{\downarrow},A_{j_{t+1}}^{\downarrow},\ldots,A_{j_r}^{\downarrow}$ будет базисом системы $A_1^{\downarrow},\ldots,A_m^{\downarrow}$.

4.4 Подпространства арифметических пространств.

Определение 4.14:
Не пустое подмножество $K\subset{L}_n$ называется подпространством пространства $L_n$, если для любых $\alpha,\beta\in{K}$ и для любого $c\in{P}$ $\alpha+\beta\in{L}_n$, $c\alpha\in{L}_n$.
Если $K$ подпространство $L_n$, то пишут $K<L_n$.

Пример 4.2:

1. $L_n<L_n$, $\{\theta\}<L_n$.
2. Если $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in{L}_n$, $K:=\{c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n\mid\forall{i}\in\overline{1,k}(c_i\in{P})\}$, то $K<L_n$.

Определение 4.15:
Пусть $K$ подпространство $L_n$ и $K\neq\{\theta\}$, тогда базисом $K$ называется конечная упорядоченная система векторов $T$ из $K$ такая, что

1. система $T$ ЛНЗ,
2. для любого $\beta\in{K}$ система $\{T,\beta\}$ ЛЗ.

Теорема 4.10:
Пусть $K<L_n$, тогда

1. существует базис $K$,
2. любые два базиса $K$ равномощны,
3. любая ЛНЗ конечная система векторов из $K$ может быть дополнена до базиса.

Доказательство:

1. Если $K=\{\theta\}$, то существует базис $K$ равный $\varnothing$.
   Пусть $K\neq\{\theta\}$, тогда существует $\beta\in{K}$ такой, что $\beta\neq\theta$, то есть существует как минимум одна конечная ЛНЗ система $\{\beta\}\subset{K}$. При этом по следствию 4.10 мощность любой конечной ЛНЗ системы из $P^{(n)}$ не превосходит $n$, то есть ограничена, следовательно, среди всех конечных ЛНЗ систем из $K$ можем выбрать систему с максимальным количеством векторов (если их несколько то одну из них). Эта система и будет базисом подпространства $K$.
2. Пусть $\beta_1,\ldots,\beta_m\in{K}$, $\gamma_1,\ldots,\gamma_s\in{K}$ два базиса подпростраства $K$. Тогда системы $\beta_1,\ldots,\beta_m$ и $\gamma_1,\ldots,\gamma_s$ являются базисами конечной системы векторов $\beta_1,\ldots,\beta_m,\gamma_1,\ldots,\gamma_s$, следовательно, по следствию 4.12 системы $\beta_1,\ldots,\beta_m$ и $\gamma_1,\ldots,\gamma_s$ равномощны.
3. Пусть $\beta_1,\ldots,\beta_m$ конечная ЛНЗ подсистема $K$. По пункту 1 в подпространстве $K$ существует базис $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$. Рассмотрим конечную систему $\beta_1,\ldots,\beta_m,\alpha_1,\ldots,\alpha_k$. По теореме 4.7 ЛНЗ подсистема $\beta_1,\ldots,\beta_m$ может быть дополнена до базиса конечной системы $\beta_1,\ldots,\beta_m,\alpha_1,\ldots,\alpha_k$. Полученная система $\beta_1,\ldots,\beta_r$ будет базисом подпространства $K$, так как она ЛНЗ и любой вектор системы $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$, базиса $K$, ЛВЧ $\beta_1,\ldots,\beta_r$. Тогда любой вектор из $K$ ЛВЧ $\beta_1,\ldots,\beta_r$, действительно, пусть $\gamma\in{K}$, тогда существуют $a_1,\ldots,a_k\in{P}$ такие, что $$\gamma=\sum_{i=1}^ka_i\alpha_i=\sum_{i=1}^ka_k\left(\sum_{j=1}^rb_{i,j}\beta_j\right)= \sum_{j=1}^r\left(\left(\sum_{i=1}^ka_kb_{i,j}\right)\beta_j\right)$$

Определение 4.16:
Размерностью подпространства $K$ пространства $L_n$ называют число векторов в базисе $K$.
Размерность подпространства $K$ обозначают $\dim{K}$

Следствие 4.14:
Пусть $\alpha_1,\ldots,\alpha_t\in{K}$ ЛНЗ система, $\dim{K}=m$, тогда $t\leq{m}$. При этом если $t=m$, то $\alpha_1,\ldots,\alpha_t$ - базис $K$.

Доказательство:

По теореме 4.10 мощность любой ЛНЗ системы из $K$ меньше либо равна мощности базиса равной $\dim{K}=m$, поэтому $t\leq{m}$.
Любая ЛНЗ система $T$ мощности $m=\dim{K}$ является базисом, так как если предположить противное, то существует $\beta\in{K}$ такое, что $\{T,\beta\}$ ЛНЗ и $|\{T,\beta\}|=m+1$.

Теорема 4.11:
Пусть $|P|=q$, $K<L_n$, $\dim{K}=t>0$, тогда

1. $|K|=q^t$,
2. число упорядоченных ЛНЗ систем из $s$ векторов подпространства $K$ равно $Q_s=\prod_{i=0}^{s-1}(q^t-q^i)$.

Доказательство:

1. Пусть $\alpha_1,\ldots,\alpha_t$ - базис $K$, $$M:=\{\alpha_1c_1+\cdots+\alpha_tc_t\mid\forall{i}\in\overline{1,t}(c_i\in{P})\}\subset{L}_n.$$ Так как $K<L_n$, то $M\subset{K}$ и так как для любого $\beta\in{K}$ $\beta$ ЛВЧ $\alpha_1,\ldots,\alpha_t$, то $K\subset{M}$, то есть $K=M$.
   Пусть $b_1,\ldots,b_t,c_1,\ldots,c_t\in{P}$ такие, что $$\alpha_1b_1+\cdots+\alpha_tb_t=\alpha_1c_1+\cdots+\alpha_tc_t,$$ тогда $\alpha_1(b_1-c_1)+\dots+\alpha_t(b_t-c_t)=\theta$. Так как система $\alpha_1\ldots,\alpha_t$ ЛНЗ, то такое возможно только при $b_i=c_i$ для любого $i\in\overline{1,t}$. То есть все элементы множества $M$ различны, следовательно $|K|=|M|=q^t$.
2. Докажем индукцией по $s$.
   
   1. При $s=1$ $Q_1$ число ЛНЗ систем состоящих из одного вектора. Так как система состоящая из одного вектора ЛНЗ тогда и только тогда, когда этот вектор не нулевой, то $Q_1=q^t-1$.
   2. Фиксируем $w\in\overline{1,t-1}$ и докажем, что если $Q_w=\prod_{i=0}^{w-1}(q^t-q^i)$, то $Q_{w+1}=\prod_{i=0}^w(q^t-q^i)$.
      Так как система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_w,\alpha_{w+1}$ ЛНЗ тогда и только тогда, когда система $\alpha_1,\ldots,\alpha_w$ ЛНЗ и $\alpha_{w+1}$ ЛНВЧ $\alpha_1,\ldots,\alpha_w$, то $Q_{w+1}=Q_w\tau$. Где $\tau$ - число векторов из $K$ ЛНВЧ ЛНЗ систему мощности $w$. Аналогично пункту 1 можно показать, что число векторов ЛВЧ ЛНЗ систему векторов мощности $w$ равно $q^w$, тогда $\tau=|K|-q^{w}=q^t-q^w$. Следовательно, $$Q_{w+1}=Q_w(q^t-q^w)=(q^t-q^w)\prod_{i=0}^{w-1}(q^t-q^i)=\prod_{i=0}^w(q^t-q^i).$$

Следствие 4.15:
$$|P|=q\Rightarrow|(P_{n,n})^*|=\prod_{i=0}^{n-1}(q^n-q^i).$$

Доказательство:
Так как $$A\in(P_{n,n})^*\Leftrightarrow|A|\neq0\Leftrightarrow\rang{A}=n$$ то система столбцов матрицы $A$ ЛНЗ. Таким образом утверждение следует из теоремы 4.11.

Утверждение 4.5:
$$\forall{A},B\in{P}_{n,n}(\rang(A+B)\leq\rang{A}+\rang{B}).$$

Доказательство:

$$ \rang(A+B)=\rang\{A_1^{\downarrow}+B_1^{\downarrow},\ldots,A_n^{\downarrow}+B_n^{\downarrow}\}\leq \rang\{A_1^{\downarrow}+B_1^{\downarrow},\ldots,A_n^{\downarrow}+B_n^{\downarrow},A_1^{\downarrow},\ldots,A_n^{\downarrow}\}= \rang(A_1^{\downarrow}+B_1^{\downarrow},\ldots,A_n^{\downarrow}+B_n^{\downarrow},A_1^{\downarrow},\ldots,A_n^{\downarrow})= \rang\{A_1^{\downarrow},\ldots,A_n^{\downarrow},B_1^{\downarrow},\ldots,B_n^{\downarrow}\}. $$ Пусть $A_{i_1},\ldots,A_{i_s},B_{j_1},\ldots,B_{j_t}$ - базис системы $A_1^{\downarrow},\ldots,A_n^{\downarrow},B_1^{\downarrow},\ldots,B_n^{\downarrow}$. Так как любая подсистема ЛНЗ системы ЛНЗ, то система $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_s}$ ЛНЗ, следовательно, $s\leq\rang\{A_1^{\downarrow},\ldots,A_n^{\downarrow}\}=\rang{A}$. Аналогично показывается, что $t\leq\rang\{B_1^{\downarrow},\ldots,B_n^{\downarrow}\}=\rang{B}$. Таким образом $$\rang(A+B)=s+t\leq\rang{A}+\rang{B}.$$

previous contents next