previous contents next

5. Системы линейных уравнений.

5.1 Линейная зависимость векторов.

Везде далее в данном разделе $R$ - коммутативное кольцо с единицей.

Определение 5.1:
Системой из $m$ линейных уравнений (СЛУ) с $n$ неизвестными называется $m$ символьных последовательностей вида: $$ \begin{cases} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots+a_{1,n}x_n=b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots+a_{2,n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+\cdots+a_{m,n}x_n=b_m\\ \end{cases} $$ где $x_1,\ldots,x_n$ - символы переменных, $\cdot$ (опущено), $+$ - символы операций кольца $R$, $=$ - символ отношения равенства.
При этом каждую из последовательностей называют уравнением СЛУ.

Определение 5.2:
Решением СЛУ называется упорядоченный набор $(c_1,\ldots,c_n)$ элементов кольца $R$, подстановка которых в СЛУ вместо символов переменных $x_1,\ldots,x_n$ соответсвенно обращает все уравнения СЛУ в верные в кольце $R$ равенства. При этом говорят, что вектор $c^{\downarrow}=\begin{pmatrix}c_1\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}$ является решением СЛУ или удовлетворяет СЛУ.

Определение 5.3:
СЛУ назвается совместной, если она имеет хотябы одно решение и несовместной в противном случае.

Определение 5.4:
СЛУ называется неопределенной, если она имеет более одного решения и определенной, если она имеет единственное решение.

Определение 5.5:
Решить СЛУ значит найти все ее решения или доказать, что СЛУ не совместна.

Определение 5.6:
Две СЛУ на одинаковом наборе переменных называются равносильными, если они имеют одинаковое множество решений.

Матрца $A=(a_{i,j})_{m\times{n}}$ называется матрицей СЛУ, столбец $b^{\downarrow}=\begin{pmatrix}b_1\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}$ называется столбцом свободных членов. Матрица $(A_{m,n},b^{\downarrow})$ назвается расширенной матрицей СЛУ. Столбец $x^{\downarrow}=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$ назывется стобцом неизвестных. Запись $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ назовем матричной записью СЛУ.

Замечание 5.1:
Столбец $c^{\downarrow}\in{P}^{(n)}$ является решением СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ тогда и только тогда, когда $Ac^{\downarrow}=b^{\downarrow}$.
Действительно, столбец $c^{\downarrow}$ является решением СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ тогда и только тогда, когда выполняется система равенств $$ \begin{cases} a_{1,1}c_1+a_{1,2}c_2+\cdots+a_{1,n}x_n=b_1\\ a_{2,1}c_2+a_{2,2}c_2+\cdots+a_{2,n}x_n=b_n\\ \cdots\\ a_{m,1}c_m+a_{m,2}c_2+\cdots+a_{m,n}x_n=b_n, \end{cases} $$ которая эквивалентна уравнению $$ \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}\Leftrightarrow{A}c^{\downarrow}=b^{\downarrow}.$$

Теорема 5.1: О равносильности СЛУ.
Пусть $A\in{R}_{m,n}$, $U\in(R_{m,m})^*$, $b^{\downarrow}\in{R}^{(m)}$, тогда $$\forall{x}\in{R}^{(n)}(Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}\Leftrightarrow(UA)x^{\downarrow}=Ub^{\downarrow}).$$

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Пусть $c^{\downarrow}\in{R}^{(n)}$ решение СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$, то есть $Ac^{\downarrow}=b^{\downarrow}$. Тогда по ассоциативности умножения в кольце матриц $(UA)c^{\downarrow}=U(Ac^{\downarrow})=b^{\downarrow}$.
$\Leftarrow)$ Так как $U\in(R_{m,n})^*$, то существует $U^{-1}\in{R}_{m,m}$, тогда $$(UA)c^{\downarrow}=Ub^{\downarrow}\Rightarrow(U^{-1}U)Ac^{\downarrow}=(U^{-1}U)b^{\downarrow}\Rightarrow{A}c^{\downarrow}=b^{\downarrow}.$$ То есть столбец $c^{\downarrow}$ является решением СЛУ.

Следствие 5.1:
Пусть $A,C\in{R}_{m,n}$, $b^{\downarrow},d^{\downarrow}\in{R}^{(n)}$ такие, что $(A,b^{\downarrow})\rsim(C,d^{\downarrow})$, тогда $$\forall{x}\in{R}^{(n)}(Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}\Leftrightarrow{C}x^{\downarrow}=d^{\downarrow}).$$

Доказательство:

$$(A,b^{\downarrow})\rsim(C,d^{\downarrow})\Rightarrow\exists{U}\in(R_{m,m})^*:U(A,b^{\downarrow})= U(C,d^{\downarrow})\Rightarrow(UA=C\,\wedge\,{U}b^{\downarrow}=d^{\downarrow}).$$ Тогда $$\forall{x}\in{R}^{(n)}(Cx^{\downarrow}=d^{\downarrow}\Leftrightarrow(UA)x^{\downarrow}=Ub^{\downarrow}\Leftrightarrow{A}x^{\downarrow}=b^{\downarrow}).$$

Теорема 5.2: Крамер.
Если $A\in(R_{m,m})^*$, $b\in{R}^{(m)}$, тогда СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ имеет единственное решение $c^{\downarrow}=\begin{pmatrix}c_1\\\vdots\\c_m\end{pmatrix}$ причем для любого $i\in\overline{1,m}$ $c_i=|A|^{-1}|A_i|$, где $A_i\in{R}_{m,m}$ матрица полученная из матрицы $A$ заменой $i$-того столбца столбцом свободных членов $b^{\downarrow}$.

Доказательство:

Так как $A\in(P_{m,m})^*$, то существует $A^{-1}\in{R}_{m,m}$, следовательно $$Ac^{\downarrow}=b^{\downarrow}\Leftrightarrow{c}^{\downarrow}=A^{-1}b^{\downarrow}.$$ То есть система $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ имеет единственное решение $$c^{\downarrow}=\begin{pmatrix}c_1\\\vdots\\c_m\end{pmatrix}=A^{-1}b^{\downarrow}=|A|^{-1}A^*b^{\downarrow}.$$ Где $A^*=(a_{i,j}^*)_{m\times{m}}$ - матрица взаимная для $A$, то есть для любых $i,j\in\overline{1,m}$ $a_{i,j}^*=A_{j,i}:=\overline{CM}_A\binom{j}i$ - алгебраическое дополнение элемента $a_{i,j}$ матрицы $A$ (см. определение 3.10). Тогда для любоо $i\in\overline{1,m}$ $$c_i=|A|^{-1}(\vec{A}_i^*b^{\downarrow})=|A|^{-1}\sum_{j=1}^mA_{j,i}b_j,$$ где сумма в последнем выражении есть ни что иное, как разложение определителя матрицы $A_i$ по $i$-тому столбцу равному $b^{\downarrow}$ (см. следствие 3.3). Таким образом для любого $i\in\overline{1,m}$ $c_i=|A|^{-1}|A_i|$.

5.2 Системы линейных уравнений над полем

Везде далее в этом разделе $P$ - поле, $A\in{P}_{m,n}$, $A\neq0$, $b^{\downarrow}\in{P}^{(n)}$

Теорема 5.3: Критерий Кронекера - Капелли.
СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ совместна тогда и только тогда, когда $\rang{A}=\rang(A,b^{\downarrow})$.

Доказательство:
Пусть $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_r}^{\downarrow}$ - базис системы стобцов матрицы $A$, тогда $\rang{A}=r$. СЛУ совместна тогда и только тогда, когда существует $c^{\downarrow}=\begin{pmatrix}c_1\\\vdots\\c_m\end{pmatrix}\in{P}^{(n)}$ такой, что $Ac^{\downarrow}=b^{\downarrow}$. Тогда и только тогда, когда $b^{\downarrow}=c_1A_1^{\downarrow}+\dots+c_nA_n^{\downarrow}$, тогда и только тогда, когда $b^{\downarrow}$ ЛВЧ $A_1^{\downarrow},\ldots,A_n^{\downarrow}$, тогда и только тогда, когда $b^{\downarrow}$ ЛВЧ $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_r}^{\downarrow}$. Тогда и только тогда, когда $A_{i_1}^{\downarrow},\ldots,A_{i_r}^{\downarrow}$ базис системы $A_1^{\downarrow},\ldots,A_n^{\downarrow},b^{\downarrow}$ тогда и только тогда, когда $\rang(A,b^{\downarrow})=r$.

Рассмотрим два наиболее распространенных метода решения СЛУ.

1.Метод Гаусса.

Пусть $(A,b^{\downarrow})\rsim{S}:=(C,d^{\downarrow})\in{S}_{m,n+1}(i_1,\ldots,i_r)$, где $S$ - специальная ступенчатая матрица, тогда СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ равносильна системе $Cx^{\downarrow}=d^{\downarrow}$.

Теорема 5.4:
СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ определена, тогда и только тогда, когда $\rang{A}=\rang(A,b^{\downarrow})=n$.

Доказательство:
Следует из метода Гаусса.

Теорема 5.5:
СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ не определена тогда и только тогда, когда $\rang{A}=\rang(A,b^{\downarrow})=r<n$.
При этом если поле $P$ бесконечное, то СЛУ имеет бесконечное множество решений, если $|P|=q$, то СЛУ имеет $q^{n-r}$ решений.

Доказательство:
Из метода Гаусса следует, что СЛУ не определена тогда и только тогда, когда $\rang{A}=\rang(A,b^{\downarrow})=r<n$.
Все решения СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ можно найти по методу Гаусса в виде $$ \left\{\left.\begin{pmatrix}\overline{v}^{\downarrow}\\\underline{v}^{\downarrow}\end{pmatrix} \right|\forall\underline{v}^{\downarrow}\in{P}^{(n-r)}\left(\overline{v}^{\downarrow}= d_0^{\downarrow}-\underline{C}|\,\underline{v}^{\downarrow}\right)\right\} $$ Так как вектор $\overline{v}^{\downarrow}$ определяется однозначно при заданном $\underline{v}^{\downarrow}$, то мощность множества решений равно $|P^{(n-r)}|$. Если при $r<n$ множество $P$ бесконечно, то множество $P^{(n-r)}$ бесконечно, следовательно и множество решений бесконечно, если $|P|=q$, то $|P^{(n-r)}|=q^{n-r}$.

Пример 5.1:
Рассмотрим СЛУ над полем $P=\mathbb{Q}$ при $m=3$, $n=5$.
$$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 4 & -1 & 0 & 1 \\ 3 & 6 & -2 & 3 & -1 \end{pmatrix}, b^{\downarrow}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}.$$ Таким образом надо найти все $x^{\downarrow}\in\mathbb{Q}^{(5)}$ такие, что $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ то есть $$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & -1 & 0 & 1 \\ 3 & 6 & -2 & 3 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1\\ 2\\1\end{pmatrix},$$ или доказать, что таких $x^{\downarrow}$ не существует.
Приведем расширенную матрицу СЛУ $(A,b^{\downarrow})$ к специально ступенчатому виду $$ (A,b^{\downarrow})= \left(\left. \begin{matrix} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 4 & -1 & 0 & 2 \\ 3 & 6 & -2 & 3 & -1 \end{matrix} \right| \begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right)\rsim \left(\left.\begin{matrix}1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -6 & 5\end{matrix}\right| \begin{matrix} -1 \\ 4 \\ 4\end{matrix}\right)\rsim\\\rsim \left(\left.\begin{matrix}1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} -1 \\ 4 \\ 0\end{matrix}\right)\rsim \left(\left.\begin{matrix} 1 & 2 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -6 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}\right)=(S,d^{\downarrow})\in{S}(1,3). $$ Таким образом $\rang{A}=\rang(A,b^{\downarrow})=2<3$, следовательно, система совместна и имеет бесконечно много решнений, найдем их. Удалив последнюю строку из матрицы $(S,d^{\downarrow})$ получим $$(\underline{C},d_0^{\downarrow})= \left(\left.\begin{matrix}1 & 2 & 0 & -3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -6 & 5\end{matrix}\right|\begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix}\right), |\underline{C}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix},\underline{C}|=\begin{pmatrix}2 & -3 & -3 \\ 0 & 6 & 5\end{pmatrix}.$$ Следовательно, вектор $v^{\downarrow}=\begin{pmatrix}v_1 \\ \vdots \\ v_5\end{pmatrix}$ является решением СЛУ тогда и только тогда, когда $$ \begin{pmatrix}v_1 \\ v_3\end{pmatrix}=d_0^{\downarrow}-\underline{C}|\begin{pmatrix}v_2 \\ v_4 \\ v_5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 & -3 & 3 \\ 0 & -6 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_2 \\ v_4 \\ v_5\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3-2v_2+3v_4-3v_5 \\ 4+6v_4-5v_5\end{pmatrix} $$ Так как $v_2,v_4,v_5$ произвольные элементы $\mathbb{Q}$, то множество решений СЛУ имеет вид $$\left\{\left.\begin{pmatrix}3-2v_2+3v_4-3v_5 \\ v_2 \\ 4+6v_4-5v_5 \\ v_4 \\ v_5 \end{pmatrix}\right|v_2,v_4,v_5\in\mathbb{Q}\right\}$$ или в векторном виде $$\left\{\left.\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}+c_1\begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} +c_2\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 6 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}+c_3\begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ -5 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}\right| c_1,c_2,c_3\in\mathbb{Q}\right\}.$$
Запись ввиде $$x^{\downarrow}=A_1^{\downarrow}c_1+\cdots+A_t^{\downarrow}c_t+A_0^{\downarrow},$$ где $A_0^{\downarrow},\ldots,A_t^{\downarrow}\in{P}^{(n)}$, будем называть общим решением СЛУ, если для любых $c_1\ldots,c_t\in{P}$ $A_1^{\downarrow}c_1+\cdots+A_t^{\downarrow}c_t+A_0^{\downarrow}$ является решением СЛУ и для любого решения СЛУ $v^{\downarrow}$ $$\exists{c}_1,\ldots,c_t\in{P}:v^{\downarrow}=A_1^{\downarrow}c_1+\cdots+A_t^{\downarrow}c_t+A_0^{\downarrow}.$$
2.Метод рангового минора.

Система $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ совместна тогда и только тогда, когда $\rang{A}=\rang(A,b^{\downarrow})=r>0$. Пусть $A'=A\begin{pmatrix}j_1,\ldots,j_r \\ i_1,\ldots,i_r\end{pmatrix}$ ранговая подматрица матриц $A$ и $B:=(A,b^{\downarrow})$. Пусть $B_{j_1},\ldots,B_{j_r}$ базис системы строк матрицы $B$, тогда для любого $j\in\overline{1,m}$ $B_j$ ЛВЧ $B_{j_1},\ldots,B_{j_r}$, следовательно, $$B\rsim(C,d^{\downarrow}):=\begin{pmatrix}B_{j_1} \\ \vdots \\ B_{j_r} \\ \theta\end{pmatrix}.$$ Удалим нулевые строки из матрицы $(C,d^{\downarrow})$ получим $(\underline{C},d_0^{\downarrow}):=\begin{pmatrix}B_{j_1} \\ \vdots \\ B_{j_r}\end{pmatrix}$. Тогда по тем же соображение, что и в методе Гаусса СЛУ $\underline{C}x^{\downarrow}=d_0^{\downarrow}$ равносильна СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$.
Обозначим по аналогии с методом Гаусса $\{i_{r+1},\ldots,i_n\}:=\overline{1,n}\backslash\{i_1,\ldots,i_r\}$, $|\underline{C}:=\left(\underline{C}_{i_1}^{\downarrow},\ldots,\underline{C}_{i_r}^{\downarrow}\right)$, $\underline{C}|:=\left(\underline{C}_{i_{r+1}}^{\downarrow},\ldots,\underline{C}_{i_n}^{\downarrow}\right)$, $\overline{v}^{\downarrow}=\begin{pmatrix}v_{i_1} \\ \vdots \\ v_{i_r}\end{pmatrix}$, $\underline{v}^{\downarrow}=\begin{pmatrix}v_{i_{r+1}} \\ \vdots \\ v_{i_n}\end{pmatrix}$. Тогда вектор $v^{\downarrow}=\begin{pmatrix}\overline{v}^{\downarrow} \\ \underline{v}^{\downarrow}\end{pmatrix}\in{P}^{(n)}$ является решением СЛУ $\underline{C}x^{\downarrow}=d_0^{\downarrow}$ тогда и только тогда, когда $$|\underline{C}\overline{v}^{\downarrow}+|\underline{C}\,\underline{v}^{\downarrow}= d_0^{\downarrow}\Leftrightarrow|\underline{C}\overline{v}^{\downarrow}=d_0^{\downarrow}\Leftrightarrow \overline{v}^{\downarrow}=(|\underline{C})^{-1}\left(d_0^{\downarrow}-\underline{C}|\,\underline{v}^{\downarrow}\right).$$ Матрица $(|\underline{C})^{-1}$ существует так как $|\underline{C}\rsim{A}'\in(P_{r,r})^*$.

Определение 5.7:
Если $A\begin{pmatrix}i_1, & \ldots, & i_r \\ j_1, & \ldots & j_r\end{pmatrix}$ ранговая подматрица матрицы $A\in{P}_{n,n}$ и $\{i_{r+1},\ldots,i_n\}:=\overline{1,n}\backslash\{i_1,\ldots,i_r\}$, то переменные $x_{i_1},\ldots,x_{i_r}$ называются связанными или зависимыми переменными СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$, а переменные $x_{i_{r+1}},\ldots,x_{i_n}$ свободными или независимыми.
Это разбиение условно, оно зависит от выбора ранговой подматрицы.

Пример 5.2:
Рассмторим СЛУ над полем $P=\mathbb{Q}$ при $n=3$, $n=5$. $$A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 4 & -1 & 0 & 1 \\ 3 & 6 & -2 & 3 & -1 \end{pmatrix}, b^{\downarrow}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}. $$ Таким образом надо найти все $x^{\downarrow}\in\mathbb{Q}^{(5)}$ такие, что $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$, то есть $$\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & 4 & -1 & 0 & 1 \\ 3 & 6 & -2 & 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\ \vdots \\ x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix},$$ или доказать, что таких $x^{\downarrow}$ не существует.
В примере 5.1 было показано, что $\rang{A}=\rang(A,b^{\downarrow})=2$, тогда подматрица $A'=A\begin{pmatrix}2,3 \\ 4,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 3 & -1\end{pmatrix}$ является ранговой, так как $|A'|=-3\neq0$. При таком выборе ранговой подматрицы переменные $x_1,x_2,x_3$ являются свободными, а переменные $x_4,x_5$ - связные. Таким образом СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ равносильна СЛУ $\underline{C}x^{\downarrow}=d_0^{\downarrow}$, где $$\underline{C}=\begin{pmatrix}2 & 4 & -1 & 0 & 1 \\ 3 & 6 & -2 & 3 & -1\end{pmatrix},d_0^{\downarrow}=\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix},$$ тогда $$|\underline{C}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 3 & -1\end{pmatrix},\underline{C}|=\begin{pmatrix}2 & 4 & -1 \\ 3 & 6 & -2\end{pmatrix}.$$ Таким образом вектор $v^{\downarrow}=\begin{pmatrix}v_1 \\ \vdots \\ v_5\end{pmatrix}$ является решением СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ тогда и только тогда, когда \begin{multline*} \begin{pmatrix}v_4 \\ v_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 3 & -1\end{pmatrix}^{-1} \left(\begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2 & 4 & -1 \\ 3 & 6 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{pmatrix}\right)=\\ =\left(-\frac13\right)\begin{pmatrix}-1 & -1 \\ 3 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2-2v_1-4v_2+v_3 \\ 1-3v_1-6v_2+2v_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1-\frac53v_1-\frac{10}3v_2+v_3 \\ 2-2v_1-4v_2+v_3\end{pmatrix}. \end{multline*} Следовательно, множество решений СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ имеет вид $$\left\{\left.\begin{pmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ 1-\frac53c_1-\frac{10}3c_2+c_3 \\ 2-2c_1-4c_2+c_3\end{pmatrix} \right|c_1,c_2,c_3\in\mathbb{Q}\right\}.$$ Общее решение СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ имеет вид $$x^{\downarrow}=\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+c_1\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ -\frac53 \\ -2\end{pmatrix}+ c_2\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ -\frac{10}3 \\ -4\end{pmatrix}+ c_3\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}.$$

5.3 Системы однородных линейных уравнений.

Далее везде в данном разделе $P$ - поле, $A\in{P}_{m,n}$.

Определение 5.8:
Система линейных уравнений $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ называется системой однородных линейных уравнений (СОЛУ), если $b^{\downarrow}=\theta^{\downarrow}$.
Система однородных линейных уравнений $Ax^{\downarrow}=\theta^{\downarrow}$ всегда совместна, так как она имеет как минимум одно решение равное $\theta^{\downarrow}$.

Теорема 5.6:
Множество $M$ решений СОЛУ $Ax^{\downarrow}$ с $n$ неизвестными является подпространством арифметического пространства $P^{(n)}$ при этом $\dim{M}=n-\rang{A}$.

Доказательство:

  1. Докажем, что множество $M$ решений СОЛУ является подпространством пространства $P^{(n)}$. Пусть $u^{\downarrow},v^{\downarrow}\in{M}$, тогда $$A(u^{\downarrow}+v^{\downarrow})=Au^{\downarrow}+Av^{\downarrow}=\theta^{\downarrow}+\theta^{\downarrow}= \theta^{\downarrow}\Rightarrow{u}^{\downarrow}+v^{\downarrow}\in{M},$$ $$\forall{c}\in{P}(A(cv^{\downarrow})=c(Av^{\downarrow})=c\theta^{\downarrow}=\theta^{\downarrow}\Rightarrow{c}v^{\downarrow}\in{M}).$$ Таким образом множество $M\subset{P}^{(n)}$ замкнуто относительно, операций сложения и умножение на элемент поля, то есть $M<P{(n)}$.
  2. Пусть $\rang{A}=n$, тогда по теореме 5.4 $$|M|=1\Rightarrow{M}=\{\theta^{\downarrow}\}\Rightarrow\dim{M}=|\varnothing|=0=n-\rang{A}.$$
  3. Пусть $\rang{A}=r<n$, тогда существуют $i_1,\ldots,i_r\in\overline{1,n}$ и существуют $\{i_{r+1},\ldots,i_n\}:= \overline{1,n}\backslash\{i_1,\ldots,i_r\}$ такие, что $x_{i_1},\ldots,x_{i_r}$ являются независимыми переменными, а $x_{i_{r+1}},\ldots,x_{i_n}$ связными. Обозначим $v^{\downarrow}=\begin{pmatrix}v_1 \\ \vdots \\ v_n\end{pmatrix}$, $\underline{v}^{\downarrow}:= \begin{pmatrix}v_{i_1} \\ \vdots \\ v_{i_r}\end{pmatrix}$, $\overline{v}^{\downarrow}:=\begin{pmatrix}v_{i_{r+1}} \\ \vdots \\ v_{i_n}\end{pmatrix}$, тогда из метода рангового минора следует, $$\forall\underline{v}^{\downarrow}\in{P}^{(n-r)}\,\exists!\,\overline{v}^{\downarrow}\in{P}^{r}:v^{\downarrow}\in{M}.$$ Следовательно, существуют $v_1^{\downarrow},\ldots,v_{n-r}^{\downarrow}\in{M}$ такие, что $\underline{v}_1^{\downarrow}= \begin{pmatrix}e \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}$, $\underline{v}_2^{\downarrow}=\begin{pmatrix}0 \\ e \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}$, $\ldots$, $\underline{v}_{n-r}^{\downarrow}=\begin{pmatrix}0 \\ \vdots \\ 0 \\ e\end{pmatrix}$. Обозначим $V=\left(v_1^{\downarrow},\ldots,v_{n-r}^{\downarrow}\right)$, тогда $$V\begin{pmatrix}i_{r+1}, & \ldots, & i_n \\ 1, & \ldots, & n\end{pmatrix}= \left(\underline{v}_1^{\downarrow},\ldots,\underline{v}_{n-r}^{\downarrow}\right)=E\Rightarrow\rang{V}=n-r,$$ следовательно, система $v_1^{\downarrow},\ldots,v_{n-r}^{\downarrow}$ ЛНЗ.
    Пусть $v^{\downarrow}\in{M}$. Так как $\left(\underline{v}_1^{\downarrow},\ldots,\underline{v}_{n-r}^{\downarrow}\right)=E$, то существуют ${c_1,\ldots,c_{n-r}\in{P}}$ такие, что $\underline{v}^{\downarrow}=c_1\underline{v}_1^{\downarrow}+\cdots+c_{n-r}\underline{v}_{n-r}^{\downarrow}$. Так как по пункту 1 $M<{P}^{(n)}$, то $w^{\downarrow}:=c_1v_1^{\downarrow}+\cdots+c_{n-r}v_{n-r}^{\downarrow}\in{M}$, при этом $\underline{w}^{\downarrow}=c_1\underline{v}_1^{\downarrow}+\cdots+\underline{v}_{n-r}^{\downarrow}=\underline{v}^{\downarrow}.$ Таким образом имеются два решения $v^{\downarrow}$ и $w^{\downarrow}$, у которых значения свободных пременных совпадают, следовательно, совпадают и значения зависимых переменных, то есть $v^{\downarrow}=w^{\downarrow}$. Следовательно, любой $v^{\downarrow}\in{M}$ ЛВЧ $v_1^{\downarrow},\ldots,v_{n-r}^{\downarrow}$, следовательно, $v_1^{\downarrow},\ldots,v_{n-r}^{\downarrow}$ базис $M$, тогда $\dim{M}=n-r=n-\rang{A}$.

Определение 5.9:
Базис пространства решений СОЛУ называется функциональной системой решений (ФСР) СОЛУ.

Следствие 5.2:

  1. Любая СОЛУ имеет ФСР.
  2. ФСР СОЛУ $Ax^{\downarrow}=\theta^{\downarrow}$ состоит из $n-\rang{A}$ векторов
  3. Любая ЛНЗ система из пространства решений СОЛУ состоящая из $n-\rang{A}$ векторов является ФСР.

Доказательство:

  1. По п. 1 теоремы 4.10 в любом подпространстве $L_n$ есть базис, который в случае подпространства решений СОЛУ является ее ФСР.
  2. Следует из теоремы 5.6.
  3. Пусть существует ЛНЗ система из $n-\rang{A}$ векторов не являющаяся базисом, тогда по п. 3 теоремы 4.10 она может быть дополнена до базиса. Таким образом мощность полученного базиса будет превышать $n-\rang{A}$. И так как по пункту 2 в пространстве решений есть базис мощности $n-\rang{A}$, то получено противоречие с п.2 теоремы 4.10.

Следствие 5.3:
Если $a_1^{\downarrow},\ldots,a_{n-r}^{\downarrow}$ - ФСР СОЛУ, то общее решение СОЛУ имеет вид $x^{\downarrow}=c_1a_1^{\downarrow}+\cdots+c_{n-r}a_{n-r}^{\downarrow}$.

Доказательство:

Так как $M<P^{(n)}$, то для любых $c_1,\ldots,c_{n-r}\in{P}$ и для любых $a_1^{\downarrow},\ldots,a_{n-r}^{\downarrow}\in{M}$ $c_1a_1^{\downarrow}+\cdots+c_{n-r}a_{n-r}^{\downarrow}\in{M}$.
С другой стороны так как $a_1,\ldots,a_{n-r}$ - базис $M$, то для любого $v^{\downarrow}\in{M}$ существуют $c_1,\ldots,c_{n-r}\in{P}$ такие, что $v^{\downarrow}=c_1a_1^{\downarrow}+\cdots+c_{n-r}a_{n-r}^{\downarrow}$.

Определение 5.10:
Для любого $b^{\downarrow}\in{P}^{(n)}\backslash\{\theta^{\downarrow}\}$ СОЛУ $Ax^{\downarrow}=\theta^{\downarrow}$ называется СОЛУ ассоциированной со СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$.

Теорема 5.7:
Пусть $M$ множество решений СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$, $M_0$ - множество решений ассоциированной с ней СОЛУ $Ax^{\downarrow}=\theta^{\downarrow}$, тогда для любого $a^{\downarrow}\in{M}$ $M=a^{\downarrow}+M_0$, то есть $M=\left\{\left.a^{\downarrow}+a_0^{\downarrow}\right|a_0^{\downarrow}\in{M}_0\right\}$

Доказательство:

$$ v^{\downarrow}\in{M}\Leftrightarrow{A}v^{\downarrow}=b^{\downarrow}\Leftrightarrow{A}v^{\downarrow}= Aa^{\downarrow}\Leftrightarrow{A}\left(v^{\downarrow}-a^{\downarrow}\right)=\theta^{\downarrow}\Leftrightarrow {v}^{\downarrow}-a^{\downarrow}\in{M}_0\Leftrightarrow{v}^{\downarrow}\in{a}^{\downarrow}+M_0. $$ Где последняя эквивалентность в силу того, что $M_0<P^{(n)}$.
Таким образом, если $a_1^{\downarrow},\ldots,a_{n-r}^{\downarrow}$ - базис пространства решений СОЛУ $Ax^{\downarrow}=\theta^{\downarrow}$ ассоциированной со СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$, $a^{\downarrow}$ - решение СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$, то общее решение СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ может быть представлено в виде $$x^{\downarrow}=a^{\downarrow}+c_1a_1^{\downarrow}+\cdots+a_{n-r}a_{n-r}^{\downarrow}.$$

previous contents next