9.13 Прямое произведение групп.

Определение 9.32:
Пусть $(G_1;\cdot),\ldots,(G_t;\cdot)$ - группоиды. Определим на множетсве $G:=G_1\times\cdots\times{G}_t$ операцию $\cdot$ такую, что $$\forall{g}=(g_1,\ldots,g_t)\,h=(h_1,\ldots,h_t)\in{G}(gh=(g_1h_1,\ldots,g_th_t)).$$ Тогда группоид $G_1\otimes\cdots\otimes{G}_t:=(G;\cdot)$ называется внешним прямым произведением группоидов $G_1,\ldots,G_t$.

Теорема 9.32:
Пусть $G_1,\ldots,G_t$ - группы, $G:=G_1\otimes\cdots\otimes{G}_t$, тогда

1. $G$ - группа;
2. $G$ абелева тогда и только тогда, когда для любого $i\in\overline{1,t}$ $G_i$ абелева;
3. $$\forall{g}=(g_1,\ldots,g_t)\in{G}(\ord{g}<\infty\Rightarrow\ord{g}=[\ord{g}_1,\ldots,\ord{g}_t]),$$ $$\forall{g}=(g_1,\ldots,g_t)\in{G}(\ord{g}<\infty\Leftrightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}(\ord{g_i}<\infty));$$
4. $$\exp{G}<\infty\Rightarrow\exp{G}=[\exp{G_1},\ldots,\exp{G}_t],$$ $$\exp{G}<\infty\Leftrightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}(\exp{G_i}<\infty).$$

Доказательство:

1. Ассоциативность операции $\cdot$ на множестве $G$ очевидна.
   Пусть $e_{G_1},\ldots,e_{G_t}$ - единицы групп $G_1,\ldots,G_t$ соответственно, обозначим $e_G:=(e_{G_1},\ldots,e_{G_t})$, тогда $$\forall{g}=(g_1,\ldots,g_t)\in{G}(e_Gg=ge_G=(e_{G_1}g_1,\ldots,e_{G_t}g_t)=(g_1,\ldots,g_t)).$$ Таким образом, $e_G$ единица группы $(G;\cdot)$. $$ \forall{g}=(g_1,\ldots,g_t)\in{G}(g(g_1^{-1},\ldots,g_t^{-1})=(g_1^{-1},\ldots,g_t^{-1})g=(g_1g^{-1},\ldots,g_tg_t^{-1})=(e_{G_1},\ldots,e_{G_t})=e_G). $$ Таким образом, $(g_1,\ldots,g_t)^{-1}:=(g_1^{-1},\ldots,g_t^{-1})$ элемент обратный к элементу $g$.
2. $\Rightarrow)$ Для любого $i\in\overline{1,t}$ фиксируем произвольные $g_i,h_i\in{G}_i$. Так как $G$ абелева, то $$ (g_1,\ldots,g_t)(h_1,\ldots,h_t)=(h_1,\ldots,h_t)(g_1,\ldots,g_t)\Rightarrow (g_1h_1,\ldots,g_th_t)=(h_1g_1,\ldots,h_tg_t)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}(g_ih_i=h_ig_i). $$ Таким образом, для любого $i\in\overline{1,t}$ в силу произвола выбора $g_i,h_i\in{G}_i$ группа $G_i$ абелева.
   $\Leftarrow)$ Пусть для любого $i\in\overline{1,t}$ группа $G_i$ абелева, тогда $$ \forall{g}=(g_1,\ldots,g_t),h=(h_1,\ldots,h_t)\in{G}(gh=(g_1h_1,\ldots,g_th_t)=(h_1g_1,\ldots,h_tg_t)=hg), $$ то есть группа $G$ абелева.
3. Пусть $\ord{g}=n<\infty$, тогда $$ g^n=(g_1^n,\ldots,g_t^n)=e_G\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}(g_i^n=e_{G_i})\Rightarrow \forall{i}\in\overline{1,t}(\ord{g_i}<\infty\,\wedge\,\ord{g_i}|n)\Rightarrow[\ord{g_1},\ldots,\ord{g_t}]\bigl|n. $$ С другой стороны, пусть для любого $i\in\overline{1,t}$ $\ord{g_i}<\infty$. Обозначим $k:=[\ord{g_1},\ldots,\ord{g_t}]$, тогда $$ \forall{i}\in\overline{1,t}(\ord{g_i}|k)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}(g_i^k=e_{G_i})\Rightarrow {g}^k=(g_1^{k},\ldots,g_t^{k})=e_G\Rightarrow(\ord{g}<\infty\,\wedge\,\ord{g}|k). $$ Таким образом, $[\ord{g}_1,\ldots,\ord{g}_t]\bigl|\ord{g}$ и $\ord{g}\bigl|[\ord{g}_1,\ldots\ord{g}_t]$, то есть $\ord{g}=[\ord{g_1},\ldots,\ord{g}_t]$.
4. Пусть $\exp{G}=n<\infty$, для любого $i\in\overline{1,t}$ фиксируем произвольный $g_i\in{G_i}$, тогда $$ (g_1^n,\ldots,g_t^n)=(g_1,\ldots,g_t)^n=e\Rightarrow \forall{i}\in\overline{1,t}(g_i^n=e_{G_i})\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}(\ord{g_i}|n)). $$ Таким обазом, для любого $i\in\overline{1,t}$ в силу произвола выбора $g_i\in{G}_i$ $\exp{G_i}\leq{n}<\infty$, тогда по п. 1 теоремы 9.17 $\exp{G_i}|n$, то есть $[\exp{G_1},\ldots,\exp{G_t}]\bigl|{n}$.
   С другой стороны, пусть для любого $i\in\overline{1,t}$ $\exp{G_i}=n_i<\infty$. Обозначим $k=[n_1,\ldots,n_t]$, тогда $$ \forall{g}=(g_1,\ldots,g_t)\in{G}(g^k=(g_1^k,\ldots,g_t^k)=e_G)\Rightarrow(\exp{G}<\infty\,\wedge\,\exp{G}|k). $$ Таким образом, $[\exp{G_1},\ldots,\exp{G_t}]\bigl|\exp{G}$ и $\exp{G}\bigl|[\exp{G_1},\ldots,\exp{G_t}]$, то есть $\exp{G}=[\exp{G_1},\ldots,\exp{G_t}]$.

Определение 9.33:
Если группы $(G_1;+),\ldots(G_t;+)$ абелевы, то внешнее прямое произведение $G$ называют внешней прямой суммой и обозначают $G:=G_1\oplus\cdots\oplus{G}_t$.

Введем некоторые обозначения.
Пусть для любого $i\in\overline{1,t}$ $G_i$ - группа, $G:=G_1\otimes\cdots\otimes{G}_t$. Для любого $i\in\overline{1,t}$ для любого $g_i\in{G}_i$ положим $\overline{g}_i:=(e_{G_1},\ldots,e_{G_{i-1}},g_i,e_{G_{i+1}},\ldots,e_{G_t})$. Для любого $i\in\overline{1,t}$ положим $\overline{G}_i:=\{\overline{g}_i\mid{g}_i\in{G}_i\}\subset{G}$, тогда

1. $\forall{i}\in\overline{1,t}((\overline{G}_i;\cdot)<G)$;
2. $\forall{i}\in\overline{1,t}(\overline{G}_i\cong{G}_i)$;
3. любой $g\in{G}$ однозначно представим в виде произведения $g=\overline{g}_1\cdots\overline{g}_t$, где для любого $i\in\overline{1,t}$ $g_i\in{G}_i$;
4. $\forall{i},j\in\overline{1,t}(i\neq{j}\Rightarrow\forall\overline{g}_i\in{G}_i\, \overline{g}_j\in{G}_j(\overline{g}_i\overline{g}_j=\overline{g}_j\overline{g}_i)).$

Определение 9.34:
Группа $H$ является прямым произведением своих подгрупп $H_1,\ldots,H_t$, если:

1. любой $h\in{H}$ однозначно представим в виде $h=h_1\cdots{h}_t$, где для любого $i\in\overline{1,t}$ $h_i\in{H}_i$;
2. $\forall{i},j\in\overline{1,t}(i\neq{j}\Rightarrow\forall{h}_i\in{H}_i\,h_j\in{H}_j(h_ih_j=h_jh_i))$.

Задача 9.7:
Доказать, что если $H=H_1\dprod\ldots\dprod{H}_t$, то для любого $i\in\overline{1,t}$ $H_i\triangleleft{H}$.
Решение:
Так как $$\forall{i}\in\overline{1,t}\,\forall{h}_i\in{H}_i(h_iH_i=H_i=H_ih_i),$$ и $H=H_1\dprod\cdots\dprod{H}_t$, то $$\forall{i},j\in\overline{1,t}\,\forall{h}_j\in{H}_j(h_jH_i=H_ih_j).$$ Фиксируем $g\in{H}$, $i\in\overline{1,t}$ тогда $$ \exists(h_1,\ldots,h_t)\in{H}_1,\times\cdots\times{H}_t:g=h_1\cdots{h}_t\Rightarrow{g}H_i=h_1\cdots{h}_tH_i=H_ih_1\cdots{h}_t=H_ig. $$ Таким образом, в силу произвола выбора $g\in{G}$, $i\in\overline{1,t}$ утверждение доказано.

Утверждение 9.9:
$$H=H_1\dprod\cdots\dprod{H}_t\Rightarrow{H}\cong\hat{H}:=H_1\otimes\cdots\otimes{H}_t.$$

Доказательство:

Рассмотрим отображение $\varphi:H\to\hat{H}$ такое, что для любого $h=h_1\cdots{h}_t\in{H}$ $\varphi(h)=(h_1,\ldots,h_t)$, где для любого $i\in\overline{1,t}$ $h_i\in{H}_i$. Тогда $$ \forall{i}\in\overline{1,t}(H_i<H)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}(H_i\subset{H})\Rightarrow \forall(h_1,\ldots,h_t)\in\hat{H}\,\exists{h}:=h_1\cdots{h}_t\in{H}:(\varphi(h)=(h_1,\ldots,h_t)), $$ следовательно, отображение $\varphi$ - сюръективно. И так как отображение $\varphi$ инъективно по определению прямого произведения, то оно биективно. При этом для любых $g=g_1\cdots{g}_t,h=h_1\cdots{h}_t\in{H}$ $$ \varphi(gh)=\varphi((g_1\cdots{g}_t)(h_1\cdots{h}_t))=\varphi((g_1h_1)\cdots(g_th_t))=(g_1h_1,\ldots,g_th_t)= (g_1,\ldots,g_t)(h_1,\ldots,h_t)=\varphi(g)\varphi(h), $$ следовательно, $\varphi$ - изоморфизм.

Замечание 9.8:
Пусть $H=H_1\dprod\cdots\dprod{H}_t$, $h=h_1\cdots{h}_t$, где для любого $i\in\overline{1,t}$, тогда из теоремы 9.32 и утверждения 9.9 следует

1. $\ord{h}<\infty\Leftrightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}(\ord{g}_i<\infty)$,
   $\ord{h}<\infty\Rightarrow\ord{h}=[\ord{h}_1,\ldots,\ord{h}_t]$;
2. $\exp{H}<\infty\Leftrightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}(\exp{H}_i<\infty)$,
   $\exp{H}<\infty\Rightarrow\exp{H}=[\exp{H}_1,\ldots,\exp{H}_t]$;
3. группа $H$ абелева тогда и только тогда, когда для любого ${i}\in\overline{1,t}$ группа $H_i$ абелева.

Теорема 9.33:
Пусть $H_1,\ldots,H_t<H$, $H=H_1\cdots{H}_t$ и $$\forall{i},j\in\overline{1,t}(i\neq{j}\Rightarrow\forall{h}_i\in{H}_i\,h_j\in{H}_j(h_ih_j=h_jh_i)),$$ тогда следующие утверждения эквивалентны

1. $H=H_1\dprod\cdots\dprod{H}_t$;
2. если $e_H=h_1\cdots{h}_t$, где для любого $i\in\overline{1,t}$ $h_i\in{H}_i$, то для любого $i\in\overline{1,t}$ $h_i=e_H$;
3. $\forall{i}\in\overline{1,t}(H_i\cap{H}_1\ldots{H}_{i-1}H_{i+1}\cdots{H}_t)=\{e\}$.

Доказательство:

$1)\Rightarrow2)$ Следует из единственности разложения $e_H$ в произведение элементнов $H_i$.
$2)\Rightarrow3)$ Фиксируем $i\in\overline{1,t}$, тогда $$ h\in{H}_i\cap{H}_1\cdots{H}_{i-1}H_{i+1}\cdots{H}_t\Rightarrow \Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}\,\exists{h}_i\in{H}_i:h=h_i=h_1\cdots{h}_{i-1}h_{i+1}\cdots{h}_t\Rightarrow {h}_1\cdots{h}_{i-1}h_i^{-1}h_{i+1}\cdots{h}_t=e_H\Rightarrow{h}_i^{-1}=e_H\Rightarrow{h}=e_H $$ $3)\Rightarrow1)$ Достаточно доказать единственность разложения $h=h_1\cdots{h}_t\in{H}$ в произведение элементов $H_i$. Предположим, что таких разложения два $h=h_1\cdots{h}_t=h'_1\cdots{h}'_t$, где для любого $i\in\overline{1,t}$ $h_i,h'_i\in{H}_i$ и сущестует $j\in\overline{1,t}$, такой, что $h_j\neq{h}'_j$. Будем без ограничения общности считать, что $j=1$, тогда $$ hh^{-1}=h'_1\cdots{h'_t}(h_1\cdots{h}_t)^{-1}=(h'_1h_1^{-1})\cdots(h'_th_t^{-1})=e_H\Rightarrow {h}_1(h'_1)^{-1}=(h'_2h_2^{-1})\cdots(h'_th_t^{-1})\in{H}_1\cap{H}_2\cdots{H}_t. $$ Но так как $h_1\neq{h}'_1$, то $h_1(h'_1)^{-1}\neq{e}_H$, что противоречит пункту 3.

Задача 9.8:
Доказать, что

1. $H_1\dprod(H_2\dprod{H}_3)=(H_1\dprod{H}_2)\dprod{H}_3=H_1\dprod{H}_2\dprod{H}_3$;
2. $H_1\dprod{H}_2=H_2\dprod{H}_1$.

1. Обозначим $G:=H_1\dprod{H}_2$, $H:=G\dprod{H}_3$. Если существует единственное разложение элемента $G$ в произведение элементов $H_1,H_2$ и единственное разложение элемента $H$ в произведение элементов $G,H_3$, то, очевидно, существует единственное разложение элемента $H$ в произведение элементов $H_1,H_2,H_3$.
   Для любых $h_1\in{H}_1$, $h_2\in{H}_2$ $h_1h_2=h_2h_1$, так как $G=H_1\dprod{H}_2$.
   Для любых $h_2\in{H}_2$, $h_3\in{H}_3$ $h_2=e_Hh_2\in{G}$, поэтому $h_2h_3=h_3h_2$, так как $H=G\dprod{H}_3$.
   Аналогично для любых $h_1\in{H}_1$, $h_3\in{H}_3$ $h_1h_3=h_3h_1$.
   Таким образом, $H=H_1\dprod{H}_2\dprod{H}_3$.
2. Пусть $H=H_1\dprod{H}_2$, тогда $$\forall{h}\in{H}\,h_1\in{H}_1\,h_2\in{H}_2(h=h_1h_2\Leftrightarrow{h}=h_2h_1)$$ и так как для любого $h\in{H}$ разложение $h=h_1h_2$, где $h_1\in{H}_1$, $h_2\in{H}_2$ существует и единственно, то $H=H_2\dprod{H}_1$.