Теорема 10.1:
Пусть $(G;\cdot)=\langle{g}\rangle$, тогда
Доказательство:
Рассмотрим отображение $\varphi:\mathbb{Z}\to{G}$ такое, что для любого $a\in\mathbb{Z}$ $\varphi(a)=g^a$. Так как группа $G$ циклическая,
то по следствию 9.10 отображение $\varphi$ сюръективно и
$$\forall{a},b\in\mathbb{Z}(\varphi(a+b)=g^{a+b}=g^ag^b=\varphi(a)\varphi(b)),$$
следовательно, отображение $\varphi$ является эпиморфизмом. Тогда по п. 1 теоремы 9.24
$(\mathbb{Z}/\ker{\varphi};+)\cong(G;\cdot)$, где $\ker{\varphi}=\{a\in\mathbb{Z}\mid{g}^a=e\}$.
Следствие 10.1:
Две циклические группы изоморфны тогда и только тогда, когда их порядки равны.
Доказательство:
Пусть $G=\langle{g}\rangle$, $|G|=\ord{g}=$, $H=\langle{h}\rangle$, $|H|=\ord{h}=m$, тогда по п. 1 теоремы 10.1
$\Rightarrow)$ Так как для любого $k\in\mathbb{N}$ $\mathbb{Z}\ncong\mathbb{Z}/k$, следовательно, если $G\cong{H}$,
то либо $G\cong{H}\cong\mathbb{Z}$ и $|G|=|H|=\infty$, либо $\mathbb{Z}/n\cong{G}\cong{H}\cong\mathbb{Z}/m$ и $m=n$.
$\Leftarrow)$ Если $m=n=\infty$, то $G\cong\mathbb{Z}\cong{H}$. Если $m=n<\infty$, то $G\cong\mathbb{Z}/n\cong{H}$.
Теорема 10.2:
Если $G$ - циклическая группа и $H<G$, то группа $H$ циклическая.
Доказательство:
Если $H=\{e\}$, то $H=\langle{e}\rangle$.
Если $H\neq\{e\}$, тогда для любого $h\in{H}\backslash\{e\}$ существует $c\in\mathbb{N}$ такой, что $h=g^c$.
Положим $c_0:=\min\{c\in\mathbb{N}\mid{g}^c\in{H}\}$ и $t:=g^{c_0}\in{H}$. Фиксируем $h\in{H}$, тогда
$$
\exists{k}\in\mathbb{N}:h=g^k\Rightarrow\exists{q}\in\mathbb{Z},r\in\mathbb{N}_0:(r<c_0\,\wedge\,h=g^{c_0q+r})\Rightarrow
{g}^r=g^{k-c_0q}=g^k(g^{c_0})^{-q}=ht^{-q}\in{H}.
$$
Так как $c_0$ минимальное натуральное такое, что $g^{c_0}\in{H}$ и $0\leq{r}<c_0$, то $r=0$. Таким образом, в силу произвола выбора $h\in{H}$
$$\forall{h}\in{H}\,\exists{q}\in\mathbb{Z}:h=g^{c_0q}=t^q,$$
то есть $H=\langle{t}\rangle$.
Следствие 10.2:
Бесконечная циклическая группа изоморфна любой своей неединичной подгруппе.
Доказательство:
Пусть $G=\langle{g}\rangle$, $|G|=\infty$ предположим, что сущесвтует $h\in{G}$ такой, что $\ord{h}=n<\infty$, тогда
$$\exists{k}\in\mathbb{N}:h=g^{k}\Rightarrow{h}^n=g^{nk}=e\Rightarrow\ord{g}<\infty,$$
что противоречит теореме 10.1. Следовательно, для любого $h\in{H}$ ${\ord{h}=\infty}$.
По теореме 10.2 для любой неединичной подгруппы $H<G$ сущесвтует $h\in{G}$ такой,
что $H=\langle{h}\rangle$ при этом $|H|=\ord{h}=\infty$. Тогда утверждение следует из следствия 10.1.
Теорема 10.3:
Пусть $G$ циклическая группа такая, что $|G|=n<\infty$, $d|n$, тогда существует единственная подгруппа $H<G$ такая, что $|H|=d$.
Доказательство:
Пусть $G=\langle{g}\rangle$, $H:=\langle{g}^{\frac{n}{d}}\rangle$, тогда по п. 3 теоремы 9.16
$$|H|=\ord{g^{\frac{n}{d}}}=\frac{n}{\left(\frac{n}{d},n\right)}=\frac{n}{\frac{n}{d}}=d.$$
Таким образом, $H<G$ - искомая подгруппа порядка $d$, докажем от противного, что она единственна. Предположим что существует подгруппа $H_1<G$ такая,
что $|H_1|=d$. По теореме 10.2 группа $H_1$ циклическая, то есть существует
$k\in\mathbb{N}$ такое, что $H_1=\langle{g^k}\rangle$, тогда
$$
d=|H_1|=\ord{g^k}=\frac{n}{(n,k)}\Rightarrow(n,k)=\frac{n}{d}\Rightarrow\left.\frac{n}{d}\right|k\Rightarrow
{g}^k\in\langle{g}^{\frac{n}{d}}\rangle=H\Rightarrow{H}_1=\langle{g}^k\rangle\subset{H}.
$$
И так как $|H|=d=|H_1|=d$, то $H_1=H$.
Пример 10.1:
Так как по следствию 9.12 порядок любой подгруппы конечной группы делит порядок группы,
то с помощью теорем 10.2, 10.3 можно описать все подгруппы циклической группы.
Например, рассмотрим группу $(\mathbb{Z}/12;+)$. По следствию 9.12 если $H<\mathbb{Z}/12$,
то $|H|\in\{1,2,3,4,6,12\}$. Тогда по теоремам 10.2, 10.3
$H\in\{\langle[0]\rangle,\langle[6]\rangle,\langle[4]\rangle,\langle[3]\rangle,\langle[2]\rangle,\langle[1]\rangle\}$ и других подгрупп у группы
$\mathbb{Z}/12$ нет.
Теорема 10.4:
Неединичная конечная абелева группа раскладывается с прямую сумму своих силовских подгрупп.
Это разложение единственно с точностью до перестановки слагаемых.
Доказательство:
Пусть $G$ - абелева группа, $n:=|G|$ и $n=p_1^{k_1}\cdots{p}_s^{k_s}$ - каноническое разложение числа $n$.
По теореме 9.29 для любого $i\in\overline{1,s}$ существует силовская подгруппа $G_{p_i}<G$ такая,
что $|G_{p_i}|=p_i^{k_i}$. Для каждого $i\in\overline{1,s}$ выберем по одной такой подгруппе и рассмотрим сумму $H:=G_{p_1}+\cdots+G_{p_s}<G$.
Фиксируем $i\in\overline{1,s}$ и $h\in{G}_{p_i}\cap\sum_{j=1,j\neq{i}}^sG_{p_j}$, тогда
$$h\in{G}_{p_i}\Rightarrow\ord{h}|p_i^{k_i}$$
и
$$
h\in\sum_{j=1,j\neq{i}}^sG_{p_j}\Rightarrow
\exists(h_1,\ldots,h_{i-1},h_{i+1},\ldots,h_s)\in{G}_{p_1}\times\cdots\times{G}_{p_{i-1}}G_{p_{i+1}}\times\cdots\times{G}_{p_s}:
h=h_1+\cdots+h_{i-1}h_{i+1}+\cdots+h_s.
$$
Обозначим
$$\forall{i}\in\overline{1,s}\left(n_i:=\frac{n}{p_i^{k_i}}=p_1^{k_1}\cdots{p}_{i-1}^{k_{i-1}}p_{i+1}^{k_{i+1}}\cdots{p}_s^{k_s}\right),$$
тогда для любого $j\in\overline{1,s}$ такого, что $j\neq{i}$
$$h_j\in{G}_{p_j}\Rightarrow\ord{h}_j|p_j^{k_j}\Rightarrow\ord{h}_j|n_i\Rightarrow{n}_ih_j=0.$$
Тогда
$$
n_ih=n_ih_1+\cdots+n_ih_{i-1}n_ih_{i+1}+\cdots+n_ih_s=0\Rightarrow\ord{h}|(n_i,p_i^{k_i})=1\Rightarrow\ord{h}=1\Rightarrow{h}=0.
$$
Таким образом, по п. 3 теоремы 9.12 $H=G_{p_1}\dotplus\cdots\dotplus{G}_{p_s}<G$, то есть
$$
\forall{h}\in{H}\,\exists!(h_1,\dots,h_s)\in{G}_{p_1}\times\cdots\times{G}_{p_s}:h=h_1+\cdots+h_s\Rightarrow
|H|=|G_{p_1}\times\cdots\times{G}_{p_s}|=|G_{p_1}|\cdots|G_{p_s}|=p_1^{k_1}\cdots{p}_s^{k_s}=n=|G|,
$$
при этом $H\subset{G}$, следовательно, $H=G=G_{p_1}\dotplus\cdots\dotplus{G}_{p_s}$.
Докажем единственность такого разложения с точностью до перестановки слагаемых.
Для любого $t\in\mathbb{Z}$ и для любой подгруппы $F<G$ введем обозначение $tF:=\{tf\mid{f}\in{F}\}$. Тогда $n_1G=n_1G_{p_1}+\cdots+n_1G_{p_s}$,
где для любого $j\in\overline{1,s}$ такого, что $j\neq1$
$$
(h\in{G}_{p_j}\Rightarrow\ord{h}|p_j^{k_j}\Rightarrow\ord{h}|n_i\Rightarrow{n}_ih=0)\Rightarrow{n}_jG_{p_j}=\{0\}.
$$
Таким образом, $n_1G=n_1G_{p_1}$. Покажем, что $n_1G_{p_1}=G_{p_1}$. Действительно, фиксируем $g,h\in{G}_{p_1}$, тогда $n_1g=n_1h$ и с другой стороны
$$
n_1g=n_1h\Rightarrow{n}_1(g-h)=0\Rightarrow(\ord{(g-h)}|n_1\,\wedge\,\ord{(g-h)}\bigl||G_{p_1}|=p_1^{k_1})\Rightarrow
\ord{(g-h)}|(p_1^{k_1},n_1)=1\Rightarrow\ord{(g-h)}=1\Rightarrow{g}-h=0\Rightarrow{g}=h.
$$
Таким образом,
$$\forall{g},h\in{G}_{p_1}(g=h\Leftrightarrow{n}_1g=n_1h)\Rightarrow|G_{p_1}|=|n_1G_{p_1}|\Rightarrow{G}_{p_1}=n_1G_{p_1},$$
где последняя импликация в силу очевидного включения $n_1G_{p_1}\subset{G}_{p_1}$. Для любого $i\in\overline{1,s}$ аналогично показывается,
что $G_{p_i}=n_iG$. Таким образом, показано, что любая силовская подгруппа порядка
$p_i^{k_i}$ входящая в разложение $G$ в сумму силовских подгрупп будет равна $n_iG$, следовательно, в разложения входят только подгруппы разных порядков,
при этом число слагаемых в разложении равно $s$, потому что если их меньше, то сумма будет содержать менее чем $n=p_1^{k_1}\cdots{p}_s^{k_s}$ элементов.
Следовательно, разложение определено однозначно с точностью до перестановки слагаемых.
Замечание 10.1:
С помощью теоремы 10.4 можно описать строение силовских подгрупп абелевой группы.
Пусть $G$ - абелева группа, $n:=|G|$, $n=p_1^{k_1}\cdots{p}_s^{k_s}$,
$$\forall{i}\in\overline{1,s}\left(n_i:=\frac{n}{p_i^{k_i}}=p_1^{k_1}\cdots{p}_{i-1}^{k_{i-1}}p_{i+1}^{k_{i+1}}\dots{p}_s^{k_s}\right),$$
тогда
Пример 10.2:
Пусть $G:=(\mathbb{Z}/n;+)$, $n=p_1^{k_1}\cdots{p}_s^{k_s}$,
$$\forall{i}\in\overline{1,s}\left(n_i:=\frac{n}{p_i^{k_i}}=p_1^{k_1}\cdots{p}_{i-1}^{k_{i-1}}p_{i+1}^{k_{i+1}}\cdots{p}_s^{k_s}\right).$$
Тогда по теореме 10.2
$$\forall{i}\in\overline{1,s}(G_{p_i}=n_i\mathbb{Z}/n=\mathbb{Z}/p_i^{k_i}),$$
по теореме 10.4 и утверждению 9.9
$$
\mathbb{Z}/n=n_1\mathbb{Z}/n\dotplus\cdots\dotplus{n}_s\mathbb{Z}/n\cong{n}_1\mathbb{Z}/n\oplus\cdots\oplus{n}_s\mathbb{Z}/n=
\mathbb{Z}/p_1^{k_1}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}/p_s^{k_s}.
$$
Следствие 10.3:
Неединичная конечная циклическая группа либо примарная, либо раскладывается в прямую сумму примарных циклических групп.
Такое разложение единственно с точностью до перестановки слагаемых.
Доказательство:
Существование разложинея следует из теорем 10.2,
10.4, докажем его единсвенность.
Пусть $G$ - циклическая группа такая, что $|G|=n=p_1^{k_1}\cdots{p}_s^{k_s}$ - каноническое разложение и
$$G=H_{1,1}\dotplus{H}_{1,2}\dotplus\cdots\dotplus{H}_{1,l_1}\dotplus\cdots\dotplus{H}_{2,1}\dotplus\cdots\dotplus{H}_{s,l_s},\quad(*)$$
где для любого $i\in\overline{1,s}$, $j\in\overline{1,l_i}$ $|H_{i,j}|=p_i^{k_{i,j}}$,
$k_{i,j}\in\mathbb{N}$, $k_{i,1}\geq{k}_{i,2}\geq\cdots\geq{k}_{i,l_i}$. Таким обрзом,
$$\forall{i}\in\overline{1,s}(k_{i,1}=\max\{k_{i,j}\mid{j}\in\overline{1,l_i}\}).$$
Так как группа $G$ циклическая, то существует $g\in{G}$ такой, что $G=\langle{g}\rangle$ и $\ord{g}=n=p_1^{k_1}\cdots{p}_s^{k_s}$, при этом
$$g=h_{1,1}+h_{1,2}+\cdots+h_{1,l_1}+h_{2,1}+\cdots+h_{s,l_s}\quad(**)$$
где $h_{i,j}\in{H}_{i,j}$. Так как группа $G$ циклическая, то она абелева, следовательно,
$n=\ord{g}=[\ord{h}_{1,1},\ord{h}_{1,2},\ldots,\ord{h}_{1,l_1},\ord{h}_{2,1},\ldots,\ord{h}_{s,l_s}]$.
Так как число $p_1^{k_{1,1}}p_2^{k_{2,1}}\cdots{p}_s^{k_{s,1}}$ является общим кратным порядков элементов входящих в сумму (**),
то по п. 2 теоремы 6.7
$$
\ord{g}|p_1^{k_{1,1}}\cdots{p}_s^{k_{s,1}}\Rightarrow{p}_1^{k_1}\cdots{p}_s^{k_s}|p_1^{k_{1,1}}\cdots{p}_s^{k_{s,1}}\Rightarrow
\forall{i}\in\overline{1,s}(p_i^{k_i}|p_i^{k_{1,i}})\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,s}(k_i\leq{k}_{i,1}).
$$
С другой стороны, так как сумма (*) прямая, то
$$
n=|G|=\prod_{i=1}^s\prod_{j=1}^{l_i}|H_{i,j}|=p_1^{\sum_{j=1}^{l_1}k_{1,j}}\cdots{p}_s^{\sum_{j=1}^{l_s}k_{s,j}}\Rightarrow
\forall{i}\in\overline{1,s}\left(k_i=\sum_{j=1}^{l_i}k_{i,j}\right)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,s}(k_1\geq{k_{i,1}}).
$$
Таким образом, для любого $i\in\overline{1,s}$ $l_i=1$ и $k_{i,1}=k_i$, то есть для любого $i\in\overline{1,s}$ $H_{i,1}=G_{p_i}$ и
$G=H_{1,1}\dotplus{H}_{1,2}\dotplus\cdots\dotplus{H}_{s,1}$ - разложение группы $G$ в прямую сумму ее силовских подгрупп.
По теореме 10.4 разложение группы в прямую сумму своих силовских подгрупп единственно
с точностью до перестановки слагаемых, так что утверждение доказано.
Следствие 10.4: Мультипликативность функции Эйлера.
$$\forall{n}_1,n_2\in\mathbb{N}\backslash\{1\}((n_1,n_2)=1\Rightarrow\varphi(n_1n_2)=\varphi(n_1)\varphi(n_2)).$$
Доказательство:
Пусть $n_1=p_1^{k_1}\cdots{p}_t^{k_t}$, $n_2=p_{t+1}^{k_{t+1}}\cdots{p}_{t+s}^{k_{t+s}}$ - канонические разложения, $n:=n_1n_2$,
$G$ - циклическая группа пордка $n$. Тогда по следствию 10.3
$$G=G_{p_1}\dotplus\cdots\dotplus{G}_{p_t}\dotplus{G}_{p_t}\dotplus\cdots\dotplus{G}_{t+s}.$$
Обозначим $H_1:=G_{p_1}\dotplus\cdots\dotplus{G}_{p_t}<G$, $H_2:=G_{p_{t+1}}\dotplus\cdots\dotplus{G}_{p_{t+s}}<G$,
тогда $|H_1|=|G_{p_1}|\cdots|G_{p_t}|=n_1$,
$|H_2|=|G_{p_{t+1}}|\cdots|G_{p_{t+s}}|=n_2$. По п. 1 задачи 9.8 операция $\dotplus$ ассоциативна,
следовательно, $G=H_1\dotplus{H}_2$. Так как $H_1<G$, $H_2<G$, то по теореме 10.2,
группы $H_1$, $H_2$ циклические, то есть существуют $g_1\in{H}_1$, $g_2\in{H}_2$ такие, что $H_1=\langle{g_1}\rangle$, $H_2=\langle{g_2}\rangle$,
$\ord{g}_1=n_1$, $\ord{g}_2=n_2$. Фиксируем $h\in{G}$, тогда так как $(n_1,n_2)=1$, то
$$
\exists!{h}_1\in{H}_1\,h_2\in{H}_2:(h=h_1+h_2\,\wedge\,\ord{h}_1|n_1\,\wedge\,\ord{h}_2|n_2)\Rightarrow
(\ord{h}=[\ord{h}_1,\ord{h}_2]\,\wedge\,(\ord{h}_1,\ord{h}_2)=1)\Rightarrow\ord{h}=\ord{h}_1\ord{h}_2=n_1n_2.
$$
Таким образом, в силу произвола выбора $h\in{G}$
$$
\forall{h}\in{G}(\ord{h}=n_1n_2=n\Leftrightarrow\exists{h}_1\in{H}\,h_2\in{H}_2:(h=h_1+h_2\,\wedge\,\ord{h}_1=n_1\,\wedge\,\ord{h}_2=n_2)).
$$
Так как для любой группы $H$ и любого $k\in\overline{1,|H|}$
$$
\left|\left\{g^a\in{H}\left|{a}\in\overline{1,|H|},\ord{g}^a=\frac{|H|}{(a,|H|)}=|H|\right.\right\}\right|=
|\{a\in\overline{1,|H|-1}\mid(a,|H|)=1\}|=\varphi(|H|),
$$
тогда, так как сумма $G=H_1\dotplus{H}_2$ прямая, то
$$
\varphi(n)=|\{h\in{G}\mid\ord{h}=n\}|=\\=|\{h_1\in{H}_1\mid\ord{h}_1=n_1\}||\{h_2\in{H}_2\mid\ord{h}_2=n_2\}|=\varphi(n_1)\varphi(n_2).
$$
Теорема 10.5:
Пусть $G$ абелева группа такая, что $|G|=n$, $d|n$, тогда существует подгруппа $H<G$ такая, что $|H|=d$.
Доказательство:
Пусть $n=p_1^{k_1}\cdots{p}_s^{k_s}$ - каноническое разложение, тогда
$$
d|n\Rightarrow\exists{m}_1,\ldots,m_s\in\mathbb{N}_0:\forall{i}\in\overline{1,s}(m_i\leq{k}_i)\,\wedge\,d=p_1^{m_1}\cdots{p}_s^{m_s}\Rightarrow
\forall{i}\in\overline{1,s}(p_i^{m_1}|n)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,s}\,\exists{H}_i<G:|H_i|=p_i^{m_i},
$$
где последняя импликация по теореме 9.29.
Аналогично, доказательству теоремы 10.4 можно показать,
что сумма $H:=H_1+\cdots+H_s<G$ прямая, тогда $|H|=|H_1|\cdots|H_s|=p_1^{m_1}\cdots{p}_s^{m_s}=d$.
previous contents next