9.6 Порядок элемента и экспонента группы.

Определение 9.21:
Порядком элемента $g$ группы $(G;\cdot)$ называется минимальное $k\in\mathbb{N}$ такое, что $g^k=1$. Если такого $k$ не существует, то порядок элемента $g$ равен $\infty$. Порядок элемента $g$ обозначают $\ord{g}$.

Пример 9.15:

1. В группе $(\mathbb{Z}/n;+)$ $\ord{[1]_n}=n$.
2. Для любой группы $G$ $\ord{e}=1$.
3. В группе $(\mathbb{Z};+)$ для любого $a\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$ $\ord{a}=\infty$.
4. В бесконечной группе $\mathbb{C}(p^{\infty})$ любой элемент имеет конечный порядок.

Утвержедние 9.5:
$$|G|<\infty\Rightarrow\forall{g}\in{G}(\ord{g}<\infty).$$

Доказательство:

В последовательности элементов $g^1,g^2,\ldots,g^n,\ldots$ из $G$ конечное число различных элементов. Следовательно, $$\exists{k},t\in\mathbb{N}:(k<t\,\wedge\,g^k=g^t)\Rightarrow{g}^{t-k}=g^tg^{-k}=g^kg^{-k}=e\Rightarrow\ord{g}\leq{t}-k.$$

Теорема 9.16:
Пусть $(G;\cdot)$ - группа, $g\in{G}$, $\ord{g}=m<\infty$, тогда

1. $g^{-1}=g^{m-1}$,
2. $\forall{k}\in\mathbb{Z}(g^k=e\Leftrightarrow{m}|k)$,
3. $\forall{k}\in\mathbb{Z}\left(\ord{g^k}=\frac{m}{(m,k)}\right)$,
4. $\forall{h}\in{G}(\ord{h}=t<\infty\,\wedge\,(m,t)=1\,\wedge\,gh=hg)\Rightarrow\ord{gh}=mt)$

Доказательство:

1. $e=g^m=gg^{m-1}=g^{m-1}g\Rightarrow{g}^{m-1}=g^{-1}$.
2. 
   $\Rightarrow)$ Пусть $k\in\mathbb{Z}$ такое, что $g^k=e$. Поделим $k$ на $m$ с остатаком, тогда существуют $q,r\in\mathbb{Z}$ такие, что $k=mq+r$ и $0\leq{r}<m$, тогда $$e=g^k=g^{mq+r}=(g^m)^rq^r=g^r.$$ Так как $m$ минимальное натуральное такое, что $g^m=e$, то $r=0$.
   $\Leftarrow)$ $m|k\Rightarrow\exists{q}\in\mathbb{Z}:{k}=mq\Rightarrow{g}^k=(g^m)^q=e$.
3. Пусть $k\neq0$. Обозначим $f:=g^k$, тогда по пункту 2 и по пп. 2, 4 теоремы 6.7, тогда для любого $u\in\mathbb{N}$ $$ f^u=e\Rightarrow{g}^{ku}=e\Leftrightarrow{m}|ku\Leftrightarrow\left.\frac{m}{(m,k)}\right|\frac{k}{(m,k)}u\Leftrightarrow\left.\frac{m}{(m,k)}\right|u. $$ Таким образом, $\ord{f}=\frac{m}{(m,k)}$.
   Если $k=0$, то $$g^k=e\Rightarrow\ord{g^k}=1=\frac{m}{m}=\frac{m}{(m,k)}.$$
4. Обозначим $k:=\ord{gh}$, тогда по пункту 2 $$gh=hg\Rightarrow(gh)^{mt}=g^{mt}h^{mt}=e\Rightarrow{k}|mt.$$ По пункту 3 $$ (gh)^k=e\Rightarrow{g}^k=h^{-k}\Rightarrow\ord{g}^k=\ord{h^{-k}}\Rightarrow\frac{m}{(m,k)}=\frac{t}{(t,k)}. $$ $$ (m,t)=1\Rightarrow\left(\frac{m}{(m,k)},\frac{t}{(t,k)}\right)=1\Rightarrow\frac{m}{(m,k)}=\frac{t}{(t,k)}=1\Rightarrow ((m,k)=m\,\wedge\,(t,k)=t)\Rightarrow(m|k\,\wedge\,t|k\,\wedge\,(m,t)=1)\Rightarrow{mt|k}. $$ Таким образом, $k|mt$ и $mt|k$, следовательно, $mt=k:=\ord{gh}$

Лемма 9.2:
Пусть подстановки $g,h\in{S}_n$ независимы (определение 9.11), тогда $\ord{gh}=[\ord{g},\ord{h}]$.

Доказательство:
Обозначим $m:=\ord{g}$, $t:=\ord{h}$, $k:=\ord{gh}$. По п. 3 задачи 9.2 независимые подстановки перестановочны, следовательно $$(m|[m,t]\,\wedge\,t|[m,t])\Rightarrow(gh)^{[m,t]}=g^{[m,t]}h^{[m,t]}=\varepsilon\Rightarrow{k}|[m,t].$$ С другой стороны, по п. 5 задачи 9.2 подстановки $g^k$, $h^k$ независимы, тогда по п. 4 задачи 9.2 $$ (gh)^k={g}^kh^k=\varepsilon\Rightarrow{g}^k=h^k=\varepsilon\Rightarrow(m|k\,\wedge\,t|k)\Rightarrow[m,t]|k $$ Таким образом, $k|[m,t]$ и $[m,t]|k$, следовательно, $[m,t]=k$

Утверждение 9.6:
Пусть $g\in{S}_n$ такая, что $g=h_1\cdots{h}_s$, где для любого $i\in\overline{1,s}$ $h_i$ - попарнонезависимые циклы длины $l_i$, тогда $\ord{g}=[l_1,\ldots,l_s]$.

Доказательство:
Пусть $s=1$, то есть $g=(\alpha_0,\ldots,\alpha_{l-1})$ - независимый цикл длины $l$. Для любого $i\in\overline{0,l-1}$ $g(\alpha_i)=\alpha_j$, где $j\equiv{i}+1\pmod{l}$. Индукцией по $m$ нетрудно доказать, что для любого $m\in\mathbb{N}$, для любого $i\in\overline{0,l-1}$ $g^m(\alpha_i)=\alpha_j$, где $j\equiv{i+m}\pmod{l}$. Тогда $$ g^m=\varepsilon\Leftrightarrow\forall{i}\in\overline{0,l-1}(g^m(\alpha_i)=\alpha_i)\Leftrightarrow \forall{i}\in\overline{0,l-1}(i+m\equiv{i}\pmod{l})\Leftrightarrow{m}\equiv0\pmod{l}\Leftrightarrow{l}|m. $$ Следовательно, $\ord{g}=l$.
Таким образом, по лемме 9.2, если $g=h_1\dots{h}_s$, то $$\ord{g}=[\ord{h_1},\ldots,\ord{h_s}]=[l_1,\ldots,l_s].$$

Замечание 9.3:
Если $\ord{g}=m<\infty$, то для любого $k\in\mathbb{Z}$ существует $r\in[0,m)$ такое, что $q^k=q^r$. Тогда по следствию 9.10 $$\langle{g}\rangle=\{g^k\mid{k}\in\mathbb{Z}\}=\{g^k\mid{k}\in\overline{0,m-1}\}\Rightarrow|\langle{g}\rangle|=\ord{g}.$$

Определение 9.22:
Экспонентой группы $G$ называется минимальное ${k\in\mathbb{N}}$ такое, что для любого $g\in{G}$ $g^k=e$. Если такого $k$ не существует, то экспонента группы равна $\infty$.
Экспонента группы $G$ обозначается $\exp{G}$.

Замечание 9.4:
$$\exp{G}<\infty\Rightarrow\forall{g}\in{G}(\ord{g}|\exp{G}).$$

Пример 9.16:

1. Для любого $g\in\mathbb{C}(p^{\infty})$ $\ord{g}<\infty$, однако, $exp{\mathbb{C}(p^{\infty})}=\infty$.
2. Так как для любого $f(x)\in{G}F(2)[x]$ $f(x)+f(x)=0$, то ${\exp(GF(2);+)=2}$.
3. Так как в группе $(\mathbb{Z}/n;+)$ $\ord{[1]_n}=n$ и для любого $g\in\mathbb{Z}/n$ $ng=0$, то $\exp{(\mathbb{Z}/n;+)}=n$.
4. Для любого $g\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$ и для любого $n\in\mathbb{N}$ $ng\neq0$, следовательно, в группе $(\mathbb{Z};+)$ $\ord{g}=\infty$ и $\exp{(\mathbb{Z};+)}$.

Теорема 9.17:

1. Если группа $G=\{g_1,\ldots,g_n\}$ конечна, то $\exp{G}=[\ord{g_1},\ldots,\ord{g_n}]$.
2. Если группа $G$ абелева, $\exp{G}=t<\infty$, то существует $g\in{G}$ такой, что $\ord{g}=t$.

Доказательство:

1. Обозначим $m:=[m_1,\ldots,m_n]$, $t:=\exp{G}$ и для любого $i\in\overline{1,n}$ обозначим $m_i:=\ord{g_i}$. Тогда по п. 2 теоермы 9.16 и определению экспоненты $$\forall{i}\in\overline{1,n}(m_i|m)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,n}(g_i^m=e)\Rightarrow{m}\geq{t}.$$ С другой стороны, по тем же основаниям и определению НОК $$\forall{i}\in\overline{1,n}(g_i^t=e)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,n}(m_i|t)\Rightarrow{m}|t\Rightarrow{m}\leq{t}.$$ Таким образом, m=t.
2. Пусть $t=p_1^{k_1}\cdots{p}_s^{k_s}$ - каноническое разложение числа $t$. Докажем от противного, что для любого $i\in\overline{1,s}$ существует $g_i\in{G}$ такой, что $p_i^{k_i}|\ord{g_i}$. Предположим, что существует $j\in\overline{1,s}$ такой, что для любого $g\in{G}$ $p_j^{k_j}\nmid\ord{g}$, тогда $$ \forall{g}\in{G}(\ord{g}|t)\Rightarrow\forall{g}\in{G}\,\exists{r}_1,\ldots,r_s\in\mathbb{N}_0:\\(\ord{g}=p_1^{r_1}\cdots{p}_j^{r_j}\cdots{p}_s^{r_s}\, \wedge\,\forall{i}\in\overline{1,s}(r_i\leq{k_i})\,\wedge\,r_j\leq{k}_j-1)\Rightarrow \forall{g}\in{G}(\ord{g}|p_1^{k_1}\cdots{p}_j^{k_j-1}\cdots{p}_s^{k_s}) $$ Обозначим $u:=p_1^{k_1}\cdots{p}_j^{k_j-1}\cdots{p}_s^{k_s}$, тогда для любого $g\in{G}$ $g^u=e$ и $u<t$, следовательно, число $t$ не является экспонентой группы $G$. Таким образом доказано, что $$\forall{i}\in\overline{1,s}\,\exists{g}_i\in{G}:p_i^{k_i}|\ord{g_i}.$$ Тогда по пп. 3, 4 теоремы 9.16 $$ \forall{i}\in\overline{1,s}\,\exists{g}_i\in{G}\,\exists{u}_i\in\mathbb{Z}:\ord{g_i}=p_i^{k_i}u_i\Rightarrow \forall{i}\in\overline{1,s}\,\exists{h}_i:=g^{u_i}:\ord{h}_i=\frac{p_i^{k_i}u_i}{(p_i^{k_i}u_i,u_i)}=p_i^{k_i}\Rightarrow \ord(h_1\cdots{h}_s)=p_1^{k_1}\cdots{p}_s^{k_s}=t $$

Пример 9.17:
В п. 2 теоремы 9.17 нельзя отказаться от абелевости группы $G$, например, рассмотрим симметрическую группу подстановок порядка 3. По теореме 9.9 любая подстановка из $S_3$ раскладывается в произведение независимых циклов. Следовательно, любая подстановка из $S_n$ имеет вид $(a,b,c)$, $(a)(b,c)$, $(a)(b)(c)$. Тогда по утверждению 9.6 для любого $g\in{S_n}$ $\ord{g}\in\{1,2,3\}$, следовательно, по п.1 теоремы 9.17 $\exp{G}=6$, то есть для любого $g\in{G}$ $\ord{g}\neq\exp{G}$.

9.7 Смежные классы по подгруппе.

Определение 9.23:
Пусть $(G;\cdot)$ - группа, $H<G$, $g\in{G}$, тогда множество $Hg:=\{hg\mid{h}\in{H}\}$ называется правым смежным классом группы $G$ по подмножеству $H$.
Аналогично, $gH$ - левый смежный класс группы $G$ по подмножеству $H$.

Теорема 9.18:

1. Любые два правых (левых) смежных класса группы $G$ по подгруппе $H$ либо не пересекаются, либо совпадают.
2. Группа $G$ раскладывается в объединение не пересекающихся правых (левых ) смежных классов по подгруппе $H$.
3. $Hg_1=Hg_2\Leftrightarrow{g}_1g_2^{-1}\in{H}$,
   $g_1H=g_2H\Leftrightarrow{g}_1^{-1}g_2\in{H}$.
4. Любые два правых (левых) смежных класса группы $G$ по подгруппе $H$ равномощны.
5. Множество правых смежных классов группы $G$ по подгруппе $H$ равномощно множеству левых смежных классов группы $G$ по подгруппе $H$.

Доказательство:

1. Пусть $Hg_1$ и $Hg_2$ пересекаются, то есть существует $h\in{H}g_1\cap{H}g_2$, тогда $$ \exists{h}_1,h_2\in{H}:h_1g_1=h_2g_2=h\Rightarrow{g}_1=h_1^{-1}h_2g_2\Rightarrow{H}g_1=H(h_1^{-1}h_2g_2)=(H(h_1^{-1}h_2))g_2=Hg_2. $$
2. Так как $e\in{H}$, то для любого $g\in{G}$ $g=ge\in{gH}$, тогда $G=\bigcup_{g\in{G}}gH$. По пункту 1 все множества из объединения либо совпадают либо не пересекаются, тогда удалив из объединения дубликаты получим искомое разбиение.
3. $$Hg_1=Hg_2\Leftrightarrow{H}g_1g_2^{-1}=H{g}_2g_2^{-1}\Leftrightarrow{H}g_1g_2^{-1}=H\Leftrightarrow{g}_1g_2^{-1}\in{H}.$$ Аналогично, доказывается для случая левых смежных классов.
4. Докажем, что для любого $g\in{G}$ $|Hg|=|H|$. Рассмотрим отображение $\varphi:H\to{H}g$ такое, что для любого $h\in{H}$ $\varphi(h)=hg$. Так как $$\varphi(h_1)=\varphi(h_2)\Rightarrow{h}_1g=h_2g\Rightarrow{h}_1=h_2,$$ то отображение $\varphi$ биективно, следовательно, $|Hg|=|H|$.
5. Обозначим $\mathcal{R}:=\{Hg\mid{g}\in{G}\}$, $\mathcal{L}:=\{gH\mid{g}\in{G}\}$. Рассмотрим отображение $\psi:\mathcal{R}\to\mathcal{L}$ такое, что для любого $Hg\in\mathcal{R}$ $\psi(Hg)=g^{-1}H$.
   Отображение $\psi$ - корректно и инъективно, так как по пункту 3 $$ Hg=Hg_1\Leftrightarrow{g}g_1^{-1}\in{H}\Leftrightarrow{g}^{-1}H=g_1^{-1}H\Leftrightarrow\psi(Hg)=\psi(Hg_1). $$ Отображение $\psi$ - сюръективно, так как для любого класса $gH\in\mathcal{L}$ $\psi(Hg^{-1})=gH$.
   Таким обрзаом отображение $\psi$ - биективно, следовательно, $|\mathcal{R}|=|\mathcal{L}|$.

Пример 9.18:

1. Если группа $G$ абелева, то для любой подгруппы $H<G$ и для любого $g\in{G}$ $gH=Hg$.
2. Пусть $G=S_3$, $H=\langle(1,2)\rangle=\{\varepsilon,(1,2)\}$, тогда $$(1,2,3)H=\{(1,2,3),(2,3)\}\neq{H}(1,2,3)=\{(1,2,3),(1,3)\}.$$
3. Пусть $m\in\mathbb{N}$, $a\in\mathbb{Z}$, тогда $a+m\mathbb{Z}=[a]_m$ и $\mathcal{R}=\mathcal{L}=\mathbb{Z}/m$.
4. Пусть $\Gamma:=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|=1\}$, тогда $(\Gamma;\cdot)<(\mathbb{C};\cdot)$. Пусть $a\in\mathbb{C}$, тогда $a\Gamma=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|=|a|\}$ и $\mathbb{C}^*=\bigcup_{b\in\mathbb{R}^+}b\Gamma$ - разбиение мультипликативной группы поля $\mathbb{C}$ в объединение не пересекающихся смежных классов.
5. Пусть $h$ - нечетная подстановка из $S_n$, тогда $S_n=A_n\cup{A}_nh$ - разбиение $S_n$ в объединение не пересекающихся смежных классов.

Следствие 9.11:
Любой левый смежный класс группы $G$ по подгруппе $H$ равномощен любому правому смежному классу группы $G$ по подгруппе $H$ и равномощен $H$.

Доказательство:
Следует из доказательства п. 4 теоремы 9.18.

Определение 9.24:
Индексом группы $G$ по подгруппе $H$ называется колличество правых (левых) смежных классов в разбиении группы $G$ на не пересекающиеся смежные классы по подгруппе $H$.
Индекс группы $G$ по подгруппе $H$ обозначают как $|G:H|$.

Так как любые два смежных класса по одной и той же подгруппе равномощны, то определение корректно. Любое разбиение группы $G$ по подгруппе $H$ будет содержать одно и то же количество смежных классов.

Пример 9.19:

1. $|\mathbb{Z}:n\mathbb{Z}|=n$.
2. $|S_n:A_n|=2$.
3. $|\mathbb{C}^*:\Gamma|=\infty$.

Следствие 9.12: Теорема Лагранжа.
Если $|G|<\infty$, $H<G$, то $|H|\bigl||G|$ и $|G|=|H||G:H|$.

Доказательство:
Пусть $G_1\subset{G}$ и $G=\bigcup_{g\in{G}_1}gH$ разбиение группы $G$ в объединение не пересекающихся левых смежных классов. Так как все левые смежные классы равномощны $H$, то $$|G|=\left|\bigcup_{g\in{G}_1}gH\right|=\sum_{g\in{G}_1}|gH|=\sum_{g\in{G}_1}|H|=|H||G_1|=|H||G:H|.$$

Следствие 9.13:
Если $|G|<\infty$, $K<H<G$, то $|G:K|=|G:H||H:K|$.

Доказательство:
По следствию 9.12 $$|K||G:K|=|G|=|H||G:H|=|K||H:K||G:H|\Rightarrow|G:K|=|G:H||H:K|.$$

Следствие 9.14:
Если $|G|<\infty$, $g\in{G}$, то $\ord{g}\bigl||G|$.

Доказательство:

Так как $|G|<\infty$, то $k:=\ord{g}<\infty$, тогда по следствию 9.10 $\langle{g}\rangle=\{e,g,g^2,\ldots,g^{k-1}\}<G$. Тогда $k=|\langle{g}\rangle|$ и по следствию 9.12 $k\bigl||G|$.

Следствие 9.15:
$$|G|<\infty\Rightarrow\exp{G}\bigl||G|$$

Доказательство:
Пусть $G=\{g_1,\ldots,g_n\}$, тогда по следствию 9.14 и по теореме 9.17 $$\forall{i}\in\overline{1,n}(\ord{g_i}\bigl||G|)\Rightarrow\exp{G}=[\ord{g_1},\ldots,\ord{g_n}]\bigl||G|.$$

Следствие 9.16:
Если $p$ - простое число, $|G|=p$, то для любого $g\in{G}\backslash\{e\}$ $G=\langle{g}\rangle$.

Доказательство:

Пусть $g\neq{e}$, тогда $\ord{g}>1$ и по следствию 9.14 $\ord{g}\bigl||G|$, тогда $\ord{g}=p$. Следовательно, $|\langle{g}\rangle|=p=|G|$ и $\langle{g}\rangle=G$.

Пример 9.20:
По следствию 9.12 мощность любой подгруппы делит мощность группы, однако обратное не верно. Не для каждого делителя мощности группы существует подгруппа мощности равной этому делителю. Например, рассмотрим группу $A_n$, её мощность равна $|A_n|=\frac{4!}{2}=12$, однако не существует подгруппы группы $A_n$ порядка 6. Докажем это от противного. Предположим, что существует группа $H<A_4$ такая, что $|H|=6$, тогда для любого $g\in{H}$ $\ord{g}\bigl|6$, то есть $\ord{g}\in\{1,2,3,6\}$.

1. Группа $H<A_4<S_4$ не может содержать подстановки порядка 6, так как их нет в группе $S_4$. Так как в подстановке только четыре элемента, то она может иметь только цикловую структуру $[2^2]$ или $[3]$ или равняться $\varepsilon$. Таким образом по утверждению 9.6 для любого $g\in{S}_4$ $\ord{g}\in\{1,2,3\}$.
2. Предположим, что все неединичные подстановки из $H$ имеют порядок $2$, тогда в $A_4$ как минимум пять подстановок с цикловой структурой $[2^2]$. Но их там всего три $(1,2)(3,4)$, $(1,3)(2,4)$, $(1,4)(2,3)$, значит не все неединичные подстановки из $H$ имеют порядок $2$.
3. Предположим, что все неединичные подстановки из $H$ имеют порядок $3$. Тогда для любого $g\in{H}\backslash\{\varepsilon\}$ по п. 3 теоремы 9.16 $\ord{g}=\ord{g}^{-1}$ и так как $\ord{g}=3$, то $g^2\neq1$, следовательно, $g\neq{g}^{-1}$. То есть число подстановок порядка $3$ четно, тогда, так как $\varepsilon\in{H}$, то $|H|$ - нечетно, получено противоречие. Таким образом не все неединичные подстановки $H$ имеют порядок $3$.
4. Из пунктов 1-3 следует, что существуют подстановки $g,h\in{H}$ такие, что $\ord{g}=3$, $\ord{h}=2$, обозначим их без ограничения общности $g:=(\alpha,\beta,\gamma)$, $h:=(\alpha,\beta)(\gamma,\delta)$. Тогда группа $H$ содержит следующие подстановки
   1. $\varepsilon$,
   2. $g=(\alpha,\beta,\gamma)$,
   3. $h=(\alpha,\beta)(\gamma,\delta)$,
   4. $g^{-1}=(\gamma,\beta,\alpha)$,
   5. $h^{-1}gh=(\beta,\alpha,\delta)$,
   6. $(h^{-1}gh)^{-1}=(\delta,\alpha,\beta)$,
   7. $g^{-1}hg=(\beta,\gamma)(\alpha,\delta)$.
   Таким образом $|H|>6$, получено противоречие.