9.8 Классы сопряженных элементов.

Определение 9.25:
Пусть $(G;\cdot)$ - группа, тогда элементы $g,h\in{G}$ называются сопряженными, если существует $t\in{G}$ такое, что $t^{-1}gt=h$.
Если элементы $g$ и $h$ сопряжены, то обозначают $g\approx{h}$.

Замечание 9.5:

1. Отношение сопряженности "$\approx$" является отношением эквивалентности.
   1. $$\forall{g}\in{G}(e^{-1}ge=g)\Rightarrow\forall{g}\in{G}(g\approx{g}).$$
   2. $$ g\approx{h}\Rightarrow\exists{t}\in{G}:t^{-1}gt=h\Rightarrow\exists{s}:=t^{-1}\in{G}:s^{-1}hs=(t^{-1})^{-1}ht^{-1}=tht^{-1}=g\Rightarrow{h}\approx{g} $$
   3. $$ \begin{cases}g\approx{h} \\ h\approx{f}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\exists{t}\in{G}:t^{-1}gt=h \\ \exists{s}\in{G}:s^{-1}hs=f\end{cases}\Rightarrow \exists{r}:=ts\in{G}:\\ r^{-1}gr=(ts)^{-1}g(ts)=s^{-1}t^{-1}gts=s^{-1}hs=f\Rightarrow{g}\approx{f} $$
   Таким образом можно говорить о классах сопряженных элементов $$[g]_{\approx}:=\{x\in{G}\mid{x}\approx{g}\}=\{t^{-1}gt\mid{t}\in{G}\}.$$
2. Если $G$ - абелева группа, то $$g\approx{h}\Leftrightarrow\exists{t}\in{G}:t^{-1}gt=gt^{-1}t=g=h.$$ То есть для любого $g\in{G}$ $[g]_{\approx}=\{g\}$.
3. С другой стороны $$|[g]_{\approx}|=1\Leftrightarrow\forall{t}\in{G}(t^{-1}gt=g)\Leftrightarrow\forall{t}\in{G}(gt=tg)\Leftrightarrow{g}\in{C}(G),$$ где $C(G)$ - центр группы $G$ (п. 2 пример 9.10).

Определение 9.26:
Пусть $(G;\cdot)$ - группа. Нормализатором множества $M\subset{G}$ в группе $G$ называется множество $$N_{G}(M):=\{g\in{G}\mid{g}M=Mg\}.$$

Теорема 9.19:

1. $\forall{M}\subset{G}(N_G(M)<G)$.
2. $\forall{g}\in{G}(|[g]_{\approx}|=|G:N_G(\{g\})|)$

Доказательство:

1. Применим критерий быть подгруппой (утверждение 9.3) $$ x,y\in{N}_G(M)\Rightarrow(xM=Mx\,\wedge\,yM=My)\Rightarrow (xM=Mx\,\wedge\,My^{-1}=y^{-1}M)\Rightarrow(xy^{-1})M=x(y^{-1}M)=x(My^{-1})=(xM)y^{-1}=(Mx)y^{-1}=M(xy^{-1})\Rightarrow{x}y^{-1}\in{N}_G(M). $$
2. Установим при каком условии $x^{-1}gx=y^{-1}gy$. $$ x^{-1}gx=y^{-1}gy\Leftrightarrow(yx^{-1})g=g(yx^{-1})\Leftrightarrow{y}x^{-1}\in{N}_G(\{g\})\Leftrightarrow{N}_G(\{g\})y=N_G(\{g\})x $$ Таким образом $$x^{-1}gx\neq{y}^{-1}gy\Leftrightarrow{N}_G(\{g\})y\neq{N}_G(\{g\})x,$$ следовательно, $$|[g]_{\approx}|=|\{t^{-1}gt\mid{t}\in{G}\}|=|G:N_G(\{g\})|.$$

Следствие 9.17:
$$|G|<\infty\Rightarrow\forall{g}\in{G}(|[g]_{\approx}|\bigl||G|).$$

Доказательство:
Так как $N_G(\{g\})<G$, то по следствию 9.12 $$|G|=|N_G(\{g\})||G:N_G(\{g\})|=|N_G(\{g\})||[g]_{\approx}|.$$

Теорема 9.20:
Пусть $(G;\cdot)$ - группа, $p$ - простое число, тогда

1. если существует $k\in\mathbb{N}$ такое, что $|G|=p^k$, то $C(G)\neq\{e\}$;
2. если $|G|=p^2$, то $G$ - абелева.

Доказательство:

1. Докажем от противного. Предположим, что $|C(G)|=1$. Существует разбиение группы $G$ на классы сопряженных элементов $$G=[e]_{\approx}\cup[g_1]_{\approx}\cup[g_2]_{\approx}\cup\cdots\cup[g_t]_{\approx}.$$ Следовательно, $$|G|=|[e]_{\approx}|+\sum_{i=1}^t|[g_i]_{\approx}|,$$ где $|[e]_{\approx}|=1$. Так как $|C(G)|=\{e\}$, то по п. 3 замечания 9.5 $$\forall{i}\in\overline{1,t}(g_i\notin{C}(G))\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}(|[g_i]_{\approx}|>1).$$ По п. 2 теоремы 9.19 $$ \forall{i}\in\overline{1,t}(|[g_i]_{\approx}|\bigl|p^{k})\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}\,\exists{m}_i>0:|[g_i]_{\approx}|=p^{m_i}\Rightarrow {p}^k=|G|=1+\sum_{i=1}^tp^{m_i}. $$ Из последнего равенства следует, что $p|1$, таким образом получено противоречие.
2. Так как $|G|=p^2$, то по пункту 1 $|C(G)|>1$. С другой стороны, так как $C(G)<G$, то $|C(G)|\bigl|p^2$, следовательно, $|C(G)|\in\{p,p^2\}$.
   Предположим, что $|C(G)|=p$, тогда по следствию 9.16 существует $g\in{C}(G)$ такой, что $C(G)=\langle{g}\rangle$. Так как $|C(G)|=p<p^2=|G|$, то существует $h\in{G}\backslash{C}(G)$, тогда $$ \begin{cases}C(G)<\langle{g},h\rangle \\ C(G)\neq\langle{g},h\rangle \\ \langle{g},h\rangle<G\end{cases} \Rightarrow\begin{cases}p\bigl||\langle{g},h\rangle| \\ |\langle{g},h\rangle|>p \\ |\langle{g},h\rangle|\bigl|p^2\end{cases}\Rightarrow |\langle{g},h\rangle|=p^2\Rightarrow{G}=\langle{g},h\rangle $$ Тогда, так как $g\in{C}(G)$, то $gh=hg$, следовательно, группа ${|\langle{g},h\rangle|=G}$ - абелева и $|C(G)|=|G|=p^2$. Таким образом, получено противоречие с предположением $|C(G)|=p$, следовательно, $|C(G)|=p^2$, $C(G)=G$ и группа $G$ - абелева.

Задача 9.5:
Показать, что группа $H:=\langle(1,3),(1,2,3,4)\rangle<S_4$ - самая малая не абелева группа примарного порядка.
Решение:
Обозначим $g=(1,3)$, $h=(1,2,3,4)$, тогда $\ord{g}=2$, $\ord{h}=4$, и по теореме 9.13 непосредственно проверяется, что все элементы группы $\langle{g},h\rangle$ исчерпываются следующим списком

1. $\varepsilon$,
2. $g=(1,3)$,
3. $h=(1,2,3,4)$,
4. $h^2=(1,3)(2,4)$,
5. $h^3=(1,4,3,2)$,
6. $h^2g=gh^2=(2,4)$,
7. $gh=h^3g=(1,4)(2,3)$,
8. $hg=gh^3=(1,2)(3,4)$,

Теорема 9.21:
$$\forall{g},h\in{S}_n(g\approx{h}\Leftrightarrow[g]=[h]).$$

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Обозначим $g:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)(\beta_1,\ldots,\beta_s)\cdots(\gamma_1,\ldots,\gamma_m)$ - разложение подстановки $g\in{S}_n$ в произведение независимых циклов. Так как $g\approx{h}$, то существует $f\in{S}_n$ такая, что $f^{-1}gf=h$. Так как подстановка $f$ являтеся биективным отображением, то по лемме 9.1 $$h=(f(\alpha_1),\ldots,f(\alpha_k))(f(\beta_1),\ldots,f(\beta_s))\cdots(f(\gamma_1),\ldots,f(\gamma_m)).$$ Так как все элементы разложения $g=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)(\beta_1,\ldots,\beta_s)\cdots(\gamma_1,\ldots,\gamma_m)$ различны и отображение $f$ биективно, то все элементы в разложении $$h=(f(\alpha_1),\ldots,f(\alpha_k))(f(\beta_1),\ldots,f(\beta_s))\cdots(f(\gamma_1),\ldots,f(\gamma_m))$$ различны. Таким образом, последнее разложение есть разложение подстановки $h$ в произведение независимых циклов с таким же количеством и длинной циклов как и в разложении подстановки $g$.
$\Leftarrow)$ Пусть $[g]=[h]$. Обозначим $$g:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)(\beta_1,\ldots,\beta_s)\cdots(\gamma_1,\ldots,\gamma_m),$$ $$h:=(a_1,\ldots,a_k)(b_1,\ldots,b_s)\cdots(c_1,\ldots,c_m).$$ Пусть подстановка $x\in{S}_n$ такая, что $$x= \begin{pmatrix} \alpha_1,\ldots,&\alpha_k,&\beta_1,\ldots,&\beta_s,\ldots,&\gamma_1,\ldots,&\gamma_m \\ a_1,\ldots, &a_k, &b_1,\ldots, &b_s,\ldots, &c_1,\ldots, &c_m \end{pmatrix},$$ тогда по лемме 9.1 $x^{-1}gx=h$, то есть $g\approx{h}$.

Пример 9.21:
По теореме 9.21 уравнение $x^{-1}gx=h$, называемое уравнением Коши, разрешимо тогда и только тогда, когда $[g]=[h]$. Рассмотрим, например, подстановки $g=(1,2)(3,4)$ и $h=(1,3)(2,4)$. Так как $[g]=[h]=[2^2]$, то уравнение $x^{-1}gx=h$ разрешимо и множество его решений есть

N	1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 8	1 3 2 4 3 1 2 4 1 3 4 2 3 1 4 2 2 4 1 3 2 4 3 1 4 2 1 3 4 2 3 1

Далее везде для простоты обозначений нормализатор $N_G(\{g\})$ множества $\{g\}$ состоящего из одного элемента будем обозначать как $N_G(g)$.

Теорема 9.22:
Пусть $g\in{S}_n$, $[g]=[l_1^{k_1},\ldots,l_m^{k_m}]$, тогда

1. $$|N_{S_n}(g)|=\prod_{i=1}^mk_i!l_i^{k_i}.$$
2. Если $h,f\in{S}_n$ такие, что $f^{-1}gf={h}$, то множество решений уравнения $x^{-1}gx=h$ есть $N_{S_n}(g)f$

Доказательство:

1. Так как $$N_{S_n}(g)=\{x\in{S}_n\mid{x}g=gx\}=\{x\in{S}_n\mid{x}^{-1}gx=g\},$$ то $|N_{S_n}(g)|$ равно числу решений уравнения $x^{-1}gx=g$. Зафиксируем разложение $g=g_1\cdots{g}_s$ в независимые циклы (включая единичные) такое, что для любого $i\in\overline{1,s}$ $g_i=(\alpha_{i,1},\ldots,\alpha_{i,m_i})$ такие, что $m_1\geq{m}_2\geq\ldots\geq{m}_s\geq1$. Назовем такую форму записи нормальной, тогда любая нормальная форма записи $g=g'_1\cdots{g}'_s$ $\forall{i}\in\overline{1,s}$ $g'_i=(\beta_{i,1},\ldots,\beta_{i,m_i})$ подстановки $g$ будет соответствовать одному решению уравнения $x^{-1}gx=g$ такому, что $$x= \begin{pmatrix} \alpha_{1,1},\ldots,&\alpha_{1,m_1},&\alpha_{2,1},\ldots,&\alpha_{2,m_2},\ldots,&\alpha_{s_1},\ldots,&\alpha_{s,m_s} \\ \beta_{1,1},\ldots, &\beta_{1,m_1}, &\beta_{2,1},\ldots, &\beta_{2,m_2},\ldots, &\beta_{s_1},\ldots,&\beta_{s,m_s} \end{pmatrix}.$$ Количество нормальных записей подстановки $g$ равно произведению числа перестановок циклов одинаковой длины между собой, и числу сочетаний сдвигов каждого из циклов, то есть $$|N_{S_n}(g)|=(k_1!\cdots{k}_m!)l_1^{k_1}\cdots{l}_m^{k_m}=\prod_{i=1}^mk_i!l_i^{k_i}.$$
2. Пусть $M$ множество решений уравнения $x^{-1}gx=h$, тогда $$ t\in{M}\Rightarrow{t}^{-1}gt=h\Rightarrow{t}^{-1}gt=f^{-1}gf\Rightarrow(tf^{-1})^{-1}gtf^{-1}=ft^{-1}gtf^{-1}=ff^{-1}gff^{-1}=g\Rightarrow {t}f^{-1}\in{N}_{S_n}(g)\Rightarrow{t}\in{N}_{S_n}(g)f $$ С другой стороны, $$ t\in{N}_{S_n}(g)f\Rightarrow\exists{r}\in{N}_{S_n}(g):t=rf\Rightarrow{t}^{-1}gt=(rf)^{-1}g(rf)=f^{-1}(r^{-1}gr)f=f^{-1}gf=h\Rightarrow{t}\in{M} $$

Следствие 9.18:
Число подстановок степени $n$ с цикловой структурой $[l_1^{k_1},\ldots,l_m^{k_m}]$ равно $$\frac{n!}{\prod_{i=1}^mk_i!l_i^{k_i}}.$$

Доказательство:

Из теоремы 9.21 следует, что множество подстановок с цикловой структурой $[g]$ равно $[g]_{\approx}$. Тогда по теореме 9.19, следствию 9.12 и теореме 9.22 $$|[g]_{\approx}|=|S_n:N_{S_n}(g)|=\frac{|S_n|}{|N_{S_n}(g)|}=\frac{n!}{\prod_{i=1}^mk_i!l_i^{k_i}}.$$

9.9 Конгруэнции на группе.

Определение 9.27:
Подгруппа $H<G$ называется нормальным делителем группы $G$, если для любого $g\in{G}$ $gH=Hg$.
Если $H$ нормальный делитель $G$, то пишут $H\triangleleft{G}$.

В абелевой группе любая подгруппа является нормальным делителем.

Утверждение 9.7:
Для любой подгруппы $H<G$ следующие утверждения эквивалентны

1. $H\triangleleft{G}$,
2. $N_G(H)=G$,
3. $\forall{g}\in{G}(g^{-1}Hg=H)$,
4. $\forall{g}\in{G}\,\forall{h}\in{H}(g^{-1}hg\in{H})$.

Доказательство:

$1)\Rightarrow2)$ Следует из определения 9.26.
$2)\Rightarrow3)$ $N_G(H)=G\Rightarrow\forall{g}\in{G}(gH=Hg)\Rightarrow\forall{g}\in{G}(g^{-1}Hg=H)$.
$3)\Rightarrow4)$ Очевидно, так как $g^{-1}Hg:=\{g^{-1}hg\mid{h}\in{H}\}$.
$4)\Rightarrow1)$ Так как $$ \forall{g}\in{G}\,\forall{h}\in{H}(g^{-1}hg\in{H})\Rightarrow\forall{g}\in{G}(g^{-1}Hg\subset{H})\Rightarrow\forall{g}\in{G}(Hg\subset{g}H), $$ и $$ \forall{g}\in{G}\,\forall{h}\in{H}(ghg^{-1}=(g^{-1})^{-1}hg^{-1}\in{H})\Rightarrow \forall{g}\in{G}(gHg^{-1}\subset{H})\Rightarrow\forall{g}\in{G}(gH\subset{H}g), $$ то $gH=Hg$, то есть $H\triangleleft{G}$.

Пример 9.22:

1. Для любой группы $G$ существуют тривиальные или несобственные нормальные делители ${e}\triangleleft{G}$, $G\triangleleft{G}$.
2. Так как по определению центра группы для любого $g\in{G}$ верно $gC(G)=C(G)g$, то $C(G)\triangleleft{G}$.
3. Пусть подгруппа $H<G$ такая, что $|G:H|=2$, тогда
   если $g\in{H}$, то $gH=H=Hg$
   если $g\notin{H}$, то $$H\cup{g}H=H\cup{H}g=H\Rightarrow{g}H=Hg=G\backslash{H}.$$ Таким образом, для любого $g\in{G}$ $gH=Hg$, следовательно, $H\triangleleft{G}$.
4. Из пункта 3 в частности следует, что $A_n\triangleleft{S}_n$.
5. Для любого $n\geq3$ подгруппа $\langle(1,2)\rangle=\{\varepsilon,(1,2)\}<S_n$ не является нормальным делителем $S_n$, так как, например, $(1,2)(1,3)\neq(1,3)(1,2)$.
6. Отношение "$\triangleleft$" не транзитивно. Например, $\langle(1,2)(3,4)\rangle\triangleleft{K}_4\triangleleft{S}_4$, но подгруппа $H:=\langle(1,2)(3,4)\rangle$ не является нормальным делителем $S_n$. Например, $(1,2,3)^{-1}(1,2)(3,4)(1,2,3)=(2,3)(1,4)\notin{H}$, следовательно, по п. 4 утверждения 9.7 $H$ не является нормальным делителем $S_n$.

Определение 9.28:
Пусть $H\triangleleft{G}$, тогда говорят, что элементы $x,y\in{G}$ сравнимы по $H$, если $xy^{-1}\in{H}$.
Если $x$ и $y$ сравнимы по $H$, то пишут $x\equiv{y}\pod{H}$ или $xH=yH$.

Теорема 9.23:

1. Если $H\triangleleft{G}$, то отношение $\equiv(H)$ является конгруэнцией.
2. Если $\rho$ - конгруэнция, то $[e]_{\rho}\triangleleft{G}$ и $\rho=(\equiv([e]_{\rho}))$.

Доказательство:

1. Докажем, что $\equiv(H)$ отношение эквивалентности.
   • рефлексивность. $xx^{-1}=e\in{H}\Rightarrow{x}\equiv{x}\pod{H}$.
   • симметричность. $$ x\equiv{y}\pod{H}\Rightarrow{x}y^{-1}\in{H}\Rightarrow{y}x^{-1}=(xy^{-1})^{-1}\in{H}\Rightarrow{y}\equiv{x}\pod{H}. $$
   • транзитивность. $$ (x\equiv{y}\pod{H}\,\wedge\,y\equiv{z}\pod{H})\Rightarrow(xy^{-1}\in{H}\,\wedge\,yz^{-1}\in{H})\Rightarrow {x}yy^{-1}z^{-1}\in{H}\Rightarrow{x}z^{-1}\in{H}\Rightarrow{x}\equiv{z}\pod{H}. $$
   Так как $H\triangleleft{G}$, то по п. 4 утверждения 9.7 для любых $g\in{G}$, $h\in{H}$ $g^{-1}hg\in{H}$, следовательно, $$ (x\equiv{y}\pod{H}\,\wedge\,u\equiv{v}\pod{H})\Rightarrow(xy^{-1}\in{H}\,\wedge\,uv^{-1}\in{H})\Rightarrow (xy^{-1}\in{H}\,\wedge\,y(uv^{-1})y^{-1}\in{H})\Rightarrow{x}y^{-1}y(uv^{-1})y^{-1}=xu(v^{-1}y^{-1})=xu(yv)^{-1}\in{H}\Rightarrow xu\equiv{y}v\pod{H}. $$ Таким образом, отношение $\equiv(H)$ согласовано с групповой операцией, то есть отоншение $\equiv(H)$ является конгруэнцией.
2. Так как отношение $\rho$ рефлексивно, симметрично и согласовано с групповой операцией, то $$ x,y\in[e]_{\rho}\Rightarrow(x\rho{e}\,\wedge\,y\rho{e}\,y^{-1}\rho{y}^{-1})\Rightarrow(x\rho{e}\,\wedge{e}\rho{y}^{-1})\Rightarrow (x\rho{e}\,\wedge\,y^{-1}\rho{e})\Rightarrow{x}y^{-1}\rho{e}\Rightarrow{x}y^{-1}\in{[e]_{\rho}} $$ Следовательно, по утверждению 9.3 $[e]_{\rho}<G$.
   Пусть $h\in[e]_{\rho}$, $g\in{G}$, тогда \begin{multline*} (g^{-1}\rho{g}\,\wedge\,h\rho{e}\,\wedge\,g\rho{g})\Rightarrow(g^{-1}hg)\rho(g^{-1}eg)\Rightarrow(g^{-1}hg)\rho{e}\Rightarrow{g}^{-1}hg\in[e]^{\rho}. \end{multline*} Следовательно, по п. 4 утверждения 9.7 $[e]_{\rho}\triangleleft{G}$.
   Так как отношение $\rho$ конгруэнция, то $x\rho{y}$ тогда и только тогда, когда $(xy^{-1})\rho{e}$, следовательно, $$xy^{-1}\in[e]_{\rho}\Leftrightarrow{x}[e]_{\rho}=y[e]_{\rho}\Leftrightarrow{x}\equiv{y}\pod{[e]_{\rho}},$$ то есть $\rho=(\equiv(H))$.

Замечание 9.6:
Пусть $H\triangleleft{G}$, тогда $\equiv(H)$ - конгруэнция. Тогда по следствию 9.2 существует факторгруппа $G/\equiv(H)$, которую обозначают так же как $G/H$.
Так как $$ t\in[g]_{\equiv(H)}\Leftrightarrow{g}\equiv{t}\pod{H}\Leftrightarrow{g}t^{-1}\in{H}\Leftrightarrow{H}g=Ht\Leftrightarrow{t}\in{g}H, $$ то $[g]_{\equiv\pod{H}}=Hg$, следовательно, $G/H=\{Hg\mid{g}\in{G}\}$.

Определение 9.29:
Если $\varphi:(G;\cdot)\to(K;\cdot)$ - гомоморфизм групп, то множество $\ker{\varphi}:=\{g\in{G}\mid\varphi(g)=e_k\}=\varphi^{-1}(e_k)$ называется ядром отображения $\varphi$.

Утверждение 9.8:
Если $\varphi:G\to{K}$ гомоморфизм групп, то $\ker{\varphi}\triangleleft{G}$.

Доказательство:

Пусть $x,y\in\ker{\varphi}$, тогда по определению гомоморфизма и п. 4 теоремы 9.1 $$\varphi(xy^{-1})=\varphi(x)\varphi(y^{-1})=\varphi(x)\varphi(y)^{-1}=e_ke_k^{-1}=e_k\Rightarrow{x}y^{-1}\in\ker{\varphi}.$$ Следовательно, по утверждению 9.3 $\ker{\varphi}<G$.
Пусть $x\in\ker{\varphi}$, $g\in{G}$, тогда $$ \varphi(g^{-1}xg)=\varphi(g^{-1})\varphi(x)\varphi(g)=\varphi(g)^{-1}\varphi(g)=e_k\Rightarrow{g}^{-1}xg\in\ker{\varphi}. $$ Следовательно, по п. 4 утверждения 9.7 $\ker{\varphi}\triangleleft{G}$.

Теорема 9.24: Об эпиморфизме групп.
Пусть $\varphi:G\to{K}$ - эпиморфизм групп, тогда

1. $G/\ker{\varphi}\cong{K}$.
2. Существует единственный изоморфизм $\tau:G/\ker{\varphi}\to{K}$ такой, что $\varphi=\tau\circ\varphi_0$ где $\varphi_0:G\to{G}/\ker{\varphi}$ - естественный эпиморфизм, т. е. $\varphi_0(g)=g\ker{\varphi}$.

Доказательство:

Так как $$ a\equiv{b}\pod{\ker{\varphi}}\Leftrightarrow{a}b^{-1}\in\ker{\varphi}\Leftrightarrow \varphi(ab^{-1})=\varphi(a)\varphi(b^{-1})=\varphi(a)\varphi(b)^{-1}=e_k\Leftrightarrow\varphi(a)=\varphi(b), $$ то отношение $\equiv(\ker{\varphi})$ удовлетворяет условиям теоремы 9.4.

Теорема 9.25:
Пусть $\varphi:G\to{K}$ гомоморфизм групп, тогда

1. $A<G\Rightarrow(\varphi(A)<K\,\wedge\,\varphi^{-1}(\varphi(A))=A\ker{\varphi})$.
2. $B<K\Rightarrow\varphi^{-1}(B)<G$.
3. $B\triangleleft{K}\Rightarrow\varphi^{-1}(B)\triangleleft{G}$.
   
Если $\varphi$ - эпиморфизм, то
4. $B<K\Rightarrow\varphi(\varphi^{-1}(B))=B$.
5. $A\triangleleft{G}\Rightarrow\varphi(A)\triangleleft{K}$.

Доказательство:

1. Докажем, что $\varphi(A)$ подгруппа $K$, действительно, $$ \alpha,\beta\in\varphi(A)\Rightarrow\exists{a},b\in{A}:(\varphi(a)=\alpha\,\wedge\,\varphi(b)=\beta)\Rightarrow \alpha\beta^{-1}=\varphi(a)\varphi(b)^{-1}=\varphi(ab^{-1})\in\varphi(A), $$ следовательно, по утверждению 9.3 $\varphi(A)<K$.
   Докажем, что $\varphi^{-1}(\varphi(A))=A\ker{\varphi}$, действительно, $$ c\in\varphi^{-1}(\varphi(A))\Leftrightarrow\varphi(c)\in\varphi(A)\Leftrightarrow(\exists{a}\in{A}:\varphi(c)=\varphi(a)\Leftrightarrow \varphi(a^{-1}c)=\varphi(a)^{-1}\varphi(c)=e_k\Leftrightarrow{a}^{-1}c\in\ker{\varphi}\Leftrightarrow {c}\in{a}\ker{\varphi})\Leftrightarrow{c}\in{A}\ker{\varphi} $$
2. Для любых $a,b\in\varphi^{-1}(B)$ $\varphi(a),\varphi(b)\in{B}$ и так как $B<K$, то $$\varphi(ab^{-1})=\varphi(a)\varphi(b)^{-1}\in{B}\Rightarrow{a}b^{-1}\in\varphi^{-1}(B).$$ Таким образом по утверждению 9.3 $\varphi^{-1}(B)<G$. \item Пусть $a\in\varphi^{-1}(B)$, $c\in{G}$, тогда $$\varphi(c^{-1}ac)=\varphi(c)^{-1}\varphi(a)\varphi(c),$$ где $\varphi(a)\in{B}$, $\varphi(c)\in{K}$. Следовательно, так как $B\triangleleft{K}$, то по п. 4 утверждения 9.7 $$\varphi(c^{-1}ac)=\varphi(c)^{-1}\varphi(a)\varphi(c)\in{B}\Rightarrow{c}^{-1}ac\in\varphi^{-1}(B).$$ Таким образом, по п. 4 утверждения 9.7 $\varphi^{-1}(B)\triangleleft{G}$.
3. Так как $\varphi$ сюръективно, то $$ B<K\Rightarrow{B}\subset{K}\Rightarrow(a\in\varphi(\varphi^{-1}(B))\Leftrightarrow\exists{b}\in\varphi^{-1}(B):\varphi(b)=a\Leftrightarrow{a}\in{B}) $$
4. Пусть $\alpha\in\varphi(A)$, $\gamma\in{K}$, тогда $$ \exists{a}\in{A}\,c\in{G}:(\varphi(a)=\alpha\,\wedge\,\varphi(c)=\gamma)\Rightarrow \gamma^{-1}\alpha\gamma=\varphi^{-1}(c)\varphi(a)\varphi(c)=\varphi(c^{-1}ac)\in\varphi(A), $$ где последнее включение верно, так как $A\triangleleft{G}$, то есть $c^{-1}ac\in{A}$. Таким образом, по п. 4 утверждения 9.7 $\varphi(A)\triangleleft{K}$.