9.4 Подгруппы групп.

Определение 9.18:
Непустое подмножество $H\subset{G}$ замкнутое относительно операции $\cdot$ такое, что группоид $(H;\cdot)$ является группой называется подгруппой группы $(G;\cdot)$. При этом пишут $H<G$.

Пример 9.9:

1. $\{e\}<G$, $G<G$.
2. Пусть $p\in\mathbb{N}$ - простое число, $$\mathbb{C}(p^{\infty}):=\{z\in\mathbb{C}\mid\exists{k}\in\mathbb{N}:z^{p^k}=1\}=\bigcup_{k=1}^{\infty}\Gamma_{p^k}.$$
Тогда множество $\mathbb{C}(p^{\infty})$ замкнуто относительно умножения в $\mathbb{C}$ и группоид $(\mathbb{C}(p^{\infty});\cdot)$ - является группой, следовательно, $\Gamma_{p^k}<\mathbb{C}(p^{\infty})<\mathbb{C}^*$.
3. Группа $(\mathbb{Z}/n;+)$ не является подгруппой группы $(\mathbb{Z};+)$. Так как операции в группах разные, например, для любого $n\in\mathbb{N}$ в $\mathbb{Z}/n$ $n-1+1=0$, а в $\mathbb{Z}$ $n-1+1=n$ .
4. Если $A<B<C$, то $A<C$.

Утверждение 9.2:
Пусть $H<G$, тогда если $G$ и $H$ группы с единицами $e_G$ и $e_H$ соответственно, то

1. $e_H=e_G$,
2. для любого $h\in{H}$ обратный к $h$ в группе $H$ совпадает с обратным к $h$ в группе $G$.

Доказательство:

1. Так как $e_H$ единица в $H$, то $e_He_H=e_H$. Так как $e_G$ единица в $G$, то $e_He_G=e_H$. Так как $G$ группа, то по п. 2 теоремы 9.7 уравнение $e_Hx=e_H$ разрешимо однозначно, следовательно, $e_H=e_G$.
2. Так как уравнение $hx=e$ разрешимо в группе $G$ однозначно, то обратный к $h$ в $H$ и $G$ должны совпадать.

Утверждение 9.3:
Пусть $(G;\cdot)$ - группа, $H$ - не пустое подмножество $G$, тогда $$H<G\Leftrightarrow\forall{g},h\in{H}(gh^{-1}\in{H}).$$

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Так как $H$ - группа, то для любого $h\in{H}$ $h^{-1}\in{H}$ и, тогда для любых $g,h\in{H}$ $gh^{-1}\in{H}$.
$\Leftarrow)$

1. Если для любого $g,h\in{H}$ $gh^{-1}\in{H}$, то положив $g=h$ получим $e=hh^{-1}\in{H}$. Следовательно, единица содержится в $H$.
2. Если для любого $g,h\in{H}$ $gh^{-1}\in{H}$, то положив $g=e$ для любого $h\in{H}$ получим $h^{-1}=eh^{-1}\in{H}$. Следовательно, обратный элемент для любого элемента из $H$ содежится в $H$.
3. Фиксируем $g,h\in{H}$, тогда по пункту 2 $h^{-1}\in{H}$. Следовательно, по условию $gh=g(h^{-1})^{-1}\in{H}$. То есть $H$ замкнуто относительно операции $\cdot$.

Следствие 9.7:
Пусть $(G;\cdot)$ - группа, $H$ не пустое конечное подмножество $G$, тогда $$H<G\Leftrightarrow\forall{g},h\in{H}(gh\in{H}).$$

Доказательство:
$\Rightarrow)$ Так как $H$ - подгруппа, то оно замкнуто относительно $\cdot$.
$\Leftarrow)$ Если $|H|=1$, то $H=\{h\}$ и $hh=h$, тогда $h=e$. Следовательно, $H=\{e\}<G$.
Пусть $|H|>1$, тогда существует $h\in{H}\backslash\{e\}$, тогда для любого $k\in\mathbb{N}$ $h^k\in{H}$. Так как $H$ - конечно и $h\neq{e}$, то $$ \exists{r},s\in\mathbb{N}:(r<s-1\,\wedge\,h^r=h^s)\Rightarrow(e=h^{s-r}\in{H}\,\wedge\,h^{-1}=h^{s-r-1}\in{H}) $$

Пример 9.10:

1. Так как любая подстановка из $A(\Omega)$ представима в виде произведения четного числа траспозиций, то для любых $g,h\in{A}(\Omega)$ подстановка $gh$ так же представима в виде произведения четного числа транспозиций. Таким образом множество $A(\Omega)$ замкнуто относительно операции $\cdot$, тогда по следствию 9.7 $A(\Omega)<S(\Omega)$. Группу $(A(\Omega);\cdot)$ называют знакопеременной группой подстановок на множестве $\Omega$. В частности группа $A_n<S_n$ называется знакопеременной группой подстановок порядка $n$. При этом $S_n\backslash{A}_n=(1,2)A_n:=\{(1,2)g\mid{g}\in{A}_n\}$, то есть $S_n=A_n\cap(1,2)A_n$ и $A_n=\frac{n!}{2}$.
2. Если $(G;\cdot)$ - группа, то множество $C(G):=\{g\in{G}\mid\forall{h}\in{G}(gh=hg)\}$ называется мерой абелевости или центром группы $G$ и так как $C(G)$ замкнуто относительно операции $\cdot$, то $C(G)<G$.
3. Множество подстановок порядка 4 $$K_4:=\{\varepsilon,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}$$ является группой и называется четверной группой Клейна при этом $K_4<A_4<S_4$

Утверждение 9.4:
Пусть $(G;\cdot)$ - группа и для любого $\alpha\in{A}$ $G_{\alpha}<G$, тогда $\bigcap_{\alpha\in{A}}G_{\alpha}<G$

Доказательство:

Так как для любого $\alpha\in{A}$ $e\in{G}_{\alpha}$, то $e\in\bigcap_{\alpha\in{A}}G_{\alpha}$, следовательно, $\bigcap_{\alpha\in{A}}G_{\alpha}\neq\varnothing$. Тогда можем применить утверждение 9.3, фиксируем $g,h\in\bigcap_{\alpha\in{A}}G_{\alpha}$ $$ g,h\in\bigcap_{\alpha\in{A}}G_{\alpha}\Rightarrow\forall\alpha\in{A}(g,h\in{G}_{\alpha})\Rightarrow\forall\alpha\in{A}(g,h^{-1}\in{G}_{\alpha})\Rightarrow \forall\alpha\in{A}(gh^{-1}\in{G}_{\alpha})\Rightarrow{g}h^{-1}\in\bigcap_{\alpha\in{A}}G_{\alpha} $$ Таким образом по утверждению 9.3 $\bigcap_{\alpha\in{A}}G_{\alpha}<G$.

Теорема 9.11:
Пусть $(G;\cdot)$ - группа, $A\subset{G}$, $A\neq\varnothing$, $B\subset{G}$, $B\neq\varnothing$. Обозначим $A\cdot{B}:=\{ab\mid{a}\in{A},b\in{B}\}$, тогда $$A\cdot{B}<G\Leftrightarrow{A}\cdot{B}=B\cdot{A}.$$

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Так как $e\in{B}$, и $e\in{A}$, то $A\subset{A}\cdot{B}$, $B\subset{A}\cdot{B}$. Так как $A\cdot{B}$ группа, то оно замкнуто относительно операции $\cdot$, следовательно, $B\cdot{A}\subset{A}\cdot{B}$. С другой стороны, так как $A\cdot{B}$ - группа, то $$ g\in{A}\cdot{B}\Rightarrow{g}^{-1}\in{A}\cdot{B}\Rightarrow\exists{a}\in{A}\,\exists{b}\in{B}:g^{-1}=ab\Rightarrow {g}=(g^{-1})^{-1}=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\in{B}\cdot{A}. $$ Таким образом $A\cdot{B}\subset{B}\cdot{A}$ и $A\cdot{B}=B\cdot{A}$.
$\Leftarrow)$ Фиксируем $g,h\in{A}\cdot{B}$, тогда $$ \exists{a},a_1\in{A}\,\exists{b},b_1\in{B}:(g=ab\,\wedge\,h=a_1b_1)\Rightarrow{g}h^{-1}=ab(a_1b_1)^{-1}=a(bb_1^{-1})a_1^{-1} $$ Обозначим $b_2:=bb_1^{-1}\in{B}$, тогда $gh^{-1}=a(b_2a_1^{-1})$. Так как $A\cdot{B}=B\cdot{A}$ и $b_2a_1^{-1}\in{B}\cdot{A}$, то существуют $a_3\in{A}$, $b_3\in{B}$ такие, что $b_2a_1^{-1}=a_3b_3$, тогда $gh^{-1}=(aa_3)b_3\in{A}\cdot{B}$. Так как $A\neq\varnothing$, $B\neq\varnothing$, то $A\cdot{B}\neq\varnothing$, следовательно, по утверждению 9.3 $A\cdot{B}<G$

Следствие 9.8:
Если $(G;\cdot)$ абелева группа и для любого $i\in\overline{1,k}$ $A_i<G$, то $A_1+\cdots+A_k<G$.

Доказательство:

Докажем индукцией по $k$.

1. При $k=2$ следует из теоремы 9.11, так как из абелевости $G$ следует, что $A_1+A_2=A_2+A_1$.
2. Для любого $n>2$ докажем, что если утверждение верно для $k\in\overline{2,n}$, то оно верно для для $k=n+1$.
   Так как $A_1+\cdots+A_n+A_{n+1}=(A_1+\cdots+A_n)+A_{n+1}$, то утверждение следует из предположения индукции.

Пример 9.11:
Для любого $k\in\mathbb{Z}$ обозначим $k\mathbb{Z}:=\{ka\mid{a}\in\mathbb{Z}\}$. Для любого $k\in\mathbb{Z}$ группоид $(k\mathbb{Z};+)$ являтеся абелевой группой, поэтому для любых $m,n\in\mathbb{Z}$ по утверждению 9.4 группоид $(n\mathbb{Z}\cap{m}\mathbb{Z};+)$ является группой, причем не трудно видеть, что $(n\mathbb{Z}\cap{m}\mathbb{Z};+)=([m,n]\mathbb{Z};+)$.
По теореме 9.11 $(m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z};+) < \mathbb{Z}$ причем $(m\mathbb{Z}+n\mathbb{Z};+)=((m,n)\mathbb{Z};+)$.

Определение 9.19:
Сумма $A_1+\cdots+A_k$ подгрупп $A_1,\ldots,{A}_k$ абелевой группы $(G;\cdot)$ называется прямой, если для любого $h\in{A}_1+\cdots+{A}_k$ существует единственный набор $h_1\in{A}_1,\ldots,h_k\in{A}_k$ такой, что $h=h_1+\cdots+h_k$.
Прямая сумма обозначается $A_1\dotplus\cdots\dotplus{A}_k$. При этом, если $G=A_1\dotplus\cdots\dotplus{A}_k$ то, говорят, что группа $G$ раскладывается в прямую сумму своих подгрупп.

Теорема 9.12:
Пусть $(G;+)$ - абелева группа, для любого $i\in\overline{1,k}$ $A_i<G$ и $G=A_1+\cdots+A_k$, тогда следующие утверждения эквивалентны

1. $G=A_1\dotplus\cdots\dotplus{A}_k$,
2. $\forall(h_1,\ldots,h_k)\in{A}_1\times\cdots\times{A}_k(h_1+\cdots+h_k=0\Rightarrow{h}_1=\cdots=h_k=0)$,
3. $\forall{j}\in\overline{1,k}\left(A_j\cap\sum_{\substack{i=1 \\ i\neq{j}}}^kA_i=\{0\}\right)$

Доказательство:

$1)\Rightarrow2)$ По оперделению прямого произведения существует единственный набор $h_1\in{A}_1,\ldots,h_k\in{A}_k$ такой, что $h_1+\cdots+h_k=0$. И так как один такой набор состоящий из одних нулей заведомо существует, то $h_1=\cdots=h_k=0$.
$2)\Rightarrow3)$ Докажем от противного. Предположим, что существует $j\in\overline{1,k}$ такой, что существует $h_j\in{A}_j\cap\sum_{\substack{i=1 \\ i\neq{j}}}^kA_i$ и $h_j\neq0$, тогда $$ h_j\in\sum_{i=1,i\neq{j}}^kA_i\Rightarrow\exists(h_1,\ldots,h_{j-1},h_{j+1},\ldots,h_k)\in{A}_1\times\cdots\times{A}_{j-1}\times{A}_{j+1}\times\cdots\times{A}_k: h_j=h_1+\cdots+h_{j-1}+h_{j+1}+\cdots+h_k\Rightarrow \\ \Rightarrow{h}_1+\cdots+h_{j-1}+(-h_j)+h_{j+1}+\cdots+h_k=0 $$ Таким образом, получен набор элементов $h_1\in{A}_1,\ldots,h_k\in{A}_k$ такой, что $h_1+\cdots+h_k=0$ и как минимум одно из слагаемых - $-h_j$ не равно $0$.
$3)\Rightarrow1)$ Докажем от противного. Предположим, что сумма $G=A_1+\cdots+A_k$ не прямая, то есть существует $g\in{G}$ и $h_1,h'_1\in{A}_1,\ldots,h_k,h'_k\in{A}_k$ такие, что $g=h_1+\cdots+h_k=h'_1+\cdots+h'_k$ и существует $j\in\overline{1,k}$ такое, что $h_j\neq{h}'_j$. Тогда существует не равный нулю элемент $$ h_j-h'_j=(h_1-h'_1)+\cdots+(h_{j-1}-h'_{j-1})+(h_{j+1}-h'_{j+1})+\cdots+(h_k-h'_k)\in{A}_j\cap\sum_{i=1,i\neq{j}}^kA_i, $$ что противоречит пункту 2.

Пример 9.12:
Условие (3) в теореме 9.12 нельзя заменить на условие $$\forall{i},j\in\overline{1,k}(i\neq{j}\Rightarrow{A}_i\cap{A}_j=\varnothing).$$ Действительно, рассмотрим группу $$G:=(GF(2)^2;+):=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\},$$ где сложение осуществляется покоординатно, положим $A_1:=\{(0,0),(0,1)\}$, $A_2:=\{(0,0),(1,0)\}$, $A_3:=\{(0,0),(1,1)\}$. Очевидно, что $A_1<G$, $A_2<G$, $A_3<G$, $G=A_1+A_2+A_3$ и для любых различных $i,j\in\overline{1,3}$ $A_i\cap{A}_j=\{0\}$. Однако, сумма подгрупп $G=A_1+A_2+A_3$ не является прямой, так как $(0,0)=(0,1)+(1,0)+(1,1)$, что противоречит п. 2 теоремы 9.12.

9.5 Порождение группы множеством.

Определение 9.20:
Пусть $(G;\cdot)$ группа, тогда подгруппой порожденной множеством $S\subset{G}$ называется подгруппа $\langle{S}\rangle<G$ равная пересечению всех подгрупп $G$ содержащих $S$, то есть $$\langle{S}\rangle=\bigcap_{S\subset{H}<G}H.$$ Если $\langle{S}\rangle=G$ то множество $S$ называют системой образующих $G$.
Группа называется конечнопорожденной, если у нее есть конечная система образующих.
Группа называется циклической, если у нее есть система образующих состоящая из одного элемента.

1. Для любой группы $G$, $G=\langle{G}\rangle$, $\langle{e}\rangle=\{e\}$, $\langle\varnothing\rangle=\{e\}$.
2. $(\mathbb{Z};+)=\langle\mathbb{N}\rangle=\langle1\rangle$.
3. Для любого $n\in\mathbb{N}$ $(\mathbb{Z}/n;+)=\langle[1]_n\rangle$.
4. Для любого $n\in\mathbb{N}$ $(\Gamma_n;\cdot)=\langle\xi_k\rangle$, где $\xi_k$ - примитивный корень $n$-той степени из единицы (см. определение 6.10).

1. $g^cg^d=g^{c+d}$,
2. $(g^c)^d=g^{cd}$

Теорема 9.13:
Пусть $(G;\cdot)$ - группа и $S$ непустое подмножество $G$, тогда $$\langle{S}\rangle=\{g\in{G}\mid{g}=s_1^{c_1}\cdots{s}_k^{c_k},k\in\mathbb{N},i\in\overline{1,i},s_i\in{S},c_i\in\mathbb{Z}\}.$$

Доказательство:

Обозначим $$M:=\{g\in{G}\mid{g}=s_1^{c_1}\cdots{s}_k^{c_k},k\in\mathbb{N},i\in\overline{1,k},s_i\in{S},c_i\in\mathbb{Z}\}.$$ Пусть $$g_1:=s_1^{c_1}\cdots{s}_k^{c_k}\in{M},g_2:=(s'_1)^{d_1}\cdots(s'_t)^{d_t}\in{M},$$ тогда $$g_1g_2^{-1}=g_1\left((s'_1)^{d_1}\cdots(s'_t)^{d_t}\right)^{-1}=s_1^{c_1}\cdots{s}_k^{c_k}(s'_1)^{-d_1}\cdots(s'_t)^{-d_t}\in{M},$$ следовательно, по утверждению 9.3 $M<G$. При этом $S\subset{M}$, следовательно, $\langle{S}\rangle\subset{M}$.
С другой стороны, $$ S\subset\langle{S}\rangle<G\Rightarrow\forall{k}\in\mathbb{N}\,\forall{s}_1,\ldots,s_k\in{S}\,\forall{c}_1,\ldots,c_k\in\mathbb{Z} \left(s_1^{c_1}\cdots{s}_k^{c_k}\in\langle{S}\rangle\right)\Rightarrow{M}\subset\langle{S}\rangle $$ Таким образом $\langle{S}\rangle=M$.

Задача 9.3:
Доказать, что $\langle{S}\rangle$ - абелева тогда и только тогда, когда для любых $s_1,s_2\in{S}$ $s_1s_2=s_2s_1$.
Решение:
$\Rightarrow)$ Очевидно, так как $S\subset\langle{S}\rangle$.
$\Leftarrow)$ Очевидно, так как по теореме 9.13 любой элемент из $\langle{S}\rangle$ представим в виде произведения элементов множества $S$.

Следствие 9.9:

Если $S=\{s_1,\ldots,s_n\}$ и для любых $i,j\in\overline{1,n}$ $s_is_j=s_js_i$, тогда $$\langle{S}\rangle=\{g\in{G}\mid{g}=s_1^{c_1}\cdots{s}_n^{c_n}, c_i\in\mathbb{Z}\}.$$

Доказательство:

Обозначим $$M:=\{g\in{G}\mid{g}=s_1^{c_1}\cdots{s}_n^{c_n},c_i\in\mathbb{Z}\}.$$ Из теоремы 9.13 следует, что для любого $g\in{M}$ $g\in\langle{S}\rangle$, то есть $M\subset\langle{S}\rangle$. С другой стороны, $$\langle{S}\rangle=\{g\in{G}\mid{g}=(s'_1)^{c_1}\cdots(s'_k)^{c_k}, k\in\mathbb{N},s'_i\in{S},c_i\in\mathbb{Z}\}.$$ Так как для любых $i,j\in\overline{1,n}$ $s_is_j=s_js_i$, то можем переставить элементы местами так, чтобы одинаковые элементы стояли рядом, тогда элемент множества $\langle{S}\rangle$ будет иметь вид $s_{i_1}^{c_1}\cdots{s}_{i_k}^{c_k},$ где для любого $j\in\overline{1,k}$ $i_j\in\overline{1,n}$ и все $i_j$ различны. Если $k<n$, то допишем для любого $j\in\overline{1,n}\backslash\{i_1,\ldots,i_k\}$ множитель $s_{i_j}^0$. Затем переставим множители так, чтобы они шли по порядку.

Следствие 9.10:
Для любого $g\in{G}$ $\langle{g}\rangle=\{g^c\mid{c}\in\mathbb{Z}\}$.

Доказательство:

Следует из следствия 9.9 при $n=1$.

Пример 9.14:
Пусть множество $S\subset\mathbb{Q}$ состоит из чисел вида $\frac1{p^k}$, где $p$ - простое, $k\in\mathbb{N}$. Любой элемент из $\mathbb{Q}$ представим в виде $\frac{u}{v}$, где $u\in\mathbb{Z}$, ${v\in\mathbb{N}}$. Существуют простые числа $p_1,\ldots,p_t$ и натуральные $k_1,\ldots,k_t$ такие, что $v=p_1^{k_1}\cdots{p}_t^{k_t}$. Тогда существуют (доказывается индукцией по $t$) ${c_1,\ldots,c_t\in\mathbb{Z}}$ такие, что $$\frac{u}{v}=\frac{c_1}{p_1^{k_1}}+\cdots+\frac{c_t}{p_t^{k_t}}\in\langle{S}\rangle<(\mathbb{Q};+).$$ Таким образом $\langle{S}\rangle\subset\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}\subset\langle{S}\rangle$, то есть $\langle{S}\rangle=\mathbb{Q}$.

Задача 9.4:
Доказать, что группа $(\mathbb{Q};+)$ не является конечнопорожденной.
Решение:
Докажем от противного. Предположим, что существует множество $$S:=\left\{\frac{u_1}{v_1},\ldots,\frac{u_k}{v_k}\right\}\subset\mathbb{Q}$$ такое, что $\langle{S}\rangle=\mathbb{Q}$. Тогда существует конечное множество $p_1,\ldots,p_n$ простых чисел входящих в канонические разложения чисел $v_1,\ldots,v_k$. Так как любая линейная комбинация чисел из $S$ содержит в каноническом разложении знаменателя только простые числа $p_1,\ldots,p_n$, то для любого простого $p\notin\{p_1,\ldots,p_n\}$ $\frac1{p}\notin\langle{S}\rangle$.

Лемма 9.1:
Пусть $|\Omega|<\infty$, $f\in{S}(\Omega)$, $$g=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)(\beta_1,\dots,\beta_t)\cdots(\gamma_1,\ldots,\gamma_m)\in{S}(\Omega),$$ тогда $$f^{-1}gf=(f(\alpha_1),\ldots,f(\alpha_k))(f(\beta_1),\ldots,f(\beta_t))\cdots(f(\gamma_1),\ldots,f(\gamma_m)).$$

Доказательство:
Пусть $\alpha\in\Omega$, тогда так как отображения $f,g$ биективные, то $$ \beta=g(\alpha)\Leftrightarrow{f}(\beta)=f(g(\alpha))=f(g(f^{-1}(f(\alpha)))=(f^{-1}gf)(f(\alpha)). $$ Таким образом $$g(\alpha)=\beta\Leftrightarrow(f^{-1}gf)(f(\alpha))=f(\beta),$$ следовательно, $$ f^{-1}(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)f=(f(\alpha_1),\ldots,f(\alpha_k))\Rightarrow {f}^{-1}gf=f^{-1}(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)ff^{-1}(\beta_1,\ldots,\beta_t)f\cdots{f}^{-1}(\gamma_1,\ldots,\gamma_m)f= (f(\alpha_1),\ldots,f(\alpha_k))(f(\beta_1),\ldots,f(\beta_t))\cdots(f(\gamma_1),\ldots,f(\gamma_m)). $$

Теорема 9.14:
Для любого $n\in\mathbb{N}$

1. $S_n=\langle{F}_1\rangle$, где $F_1:=\{(\alpha,\beta)\mid\alpha,\beta\in\overline{1,n},\alpha\neq\beta\}$.
2. $S_n=\langle{F}_2\rangle$, где $F_2:=\{(1,\alpha)\mid\alpha\in\overline{2,n}\}$.
3. $S_n=\langle{F}_3\rangle$, где $F_3:=\{(\alpha,\alpha+1)\mid\alpha\in\overline{1,n-1}\}$.
4. $S_n=\langle{F}_4\rangle$, где $F_4:=\{(1,2),(1,2,\ldots,n)\}$.

Доказательство:
Для любого $i\in\overline{1,4}$ обозначим $H_i=\langle{F}_i\rangle$ и докажем, что $$S_n\subset{H}_1\subset{H}_2\subset{H}_3\subset{H}_4\subset{S}_n.$$

1. По следствию 9.4 любая подстановка придставима в виде произведения транспозиций, следовательно, по теореме 9.13 $S_n\subset{H}_1$.
2. Если $\alpha=1$ или $\beta=1$, то $(\alpha,\beta)\in{F}_2$, следовательно, $(\alpha,\beta)\in{H}_2$.
   Если $\alpha\neq1$ и $\beta\neq1$, то по лемме 9.1 $(\alpha,\beta)=(1,\alpha)^{-1}(1,\beta)(1,\alpha)\in{H}_2$. Таким образом, $F_1\subset{H}_2<S_n$, следовательно, $H_1=\langle{F}_1\rangle\subset{H}_2$.
3. Докажем индукцией по $\alpha$, что для любого $\alpha\in\overline{2,n}$ $(1,\alpha)\in{H}_3$.
1. При $\alpha=2$ $(1,2)\in{F}_3$.
2. Для любого $\gamma\in\overline{2,n-1}$ докажем, что если $(1,\gamma)\in{H}_3$, тогда $(1,\gamma+1)\in{H}_3$.
   По лемме 9.1 и теореме 9.13 $$(1,\gamma+1)=(\gamma,\gamma+1)^{-1}(1,\gamma)(\gamma,\gamma+1)\in{H}_3.$$
Таким образом, $F_2\subset{H}_3$ и $H_2\subset{H}_3$.
4. Обозначим $f=(1,2,\ldots,n)^{\alpha-1}\in{H}_4$, тогда $f(1)=\alpha$, $f(2)=\alpha+1$, тогда лемме 9.1 и теореме 9.13 для любого $\alpha\in\overline{1,n-1}$ $$(\alpha,\alpha+1)=f^{-1}(1,2)f\in{H}_4,$$ следовательно, $F_3\subset{H}_3$ и $H_3\subset{H}_4$.
5. Очевидно, что $H_4\subset{S}_4$.

Теорема 9.15:
Если $n\geq3$, то множество $$T:=\{(\alpha,\beta,\gamma)\mid\alpha,\beta,\gamma\in\overline{1,n},\alpha\neq\beta,\beta\neq\gamma,\gamma\neq\alpha\}\subset{S}_n$$ является системой образующих знакопеременной группы подстановок $A_n$.

Доказательство:
Для любой $g\in{A}_n$, существуют транспозиции $f_1,\ldots,f_{2k}$ такие, что $g=f_1\cdots{f}_{2k}$. Докажем, что $g\in\langle{T}\rangle$. Для этого достаточно доказать, что для любых двух транспозиций $(\alpha,\beta),(\beta,\delta)$ $(\alpha,\beta)(\gamma,\delta)\in\langle{T}\rangle$.

1. Если $\{\alpha,\beta\}=\{\gamma,\delta\}$, то $(\alpha,\beta)(\gamma,\delta)=\varepsilon=(1,2,3)^3\in\langle{T}\rangle$.
2. Если б. о. о. $\alpha=\gamma$, то $$(\alpha,\beta)(\gamma,\delta)=(\alpha,\beta)(\gamma,\delta)=(\alpha,\beta)(\alpha,\delta)=(\alpha,\beta,\delta)\in\langle{T}\rangle.$$
3. Если $\{\alpha,\beta\}\cap\{\gamma,\delta\}=\varnothing$, то непосредственно проверяется, что $$(\alpha,\beta)(\gamma,\delta)=((\alpha,\beta)(\alpha,\gamma))((\alpha,\gamma)(\gamma,\delta))= (\alpha,\beta,\gamma)(\gamma,\alpha,\delta)\in\langle{T}\rangle.$$