10.2.3 Непрерывность и предельный переход.

Пусть дана функциональная последовательность $\{f_n(x)\}$ сходящаяся поточечно к функции $f(x)$ на множестве $E$ и для некоторого $x_0\in{E}$ для всех $n\in\mathbb{N}$ существуют пределы $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ такие, что последовательность составленная из их значений тоже имеет предел. То есть существует предел $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}f_n(x)\right)$. Задача состоит в том, чтобы выяснить при каких условиях этот предел будет равен пределу функции $f(x)$ при $x\to{x}_0$, то есть при каких условиях выполняется равенство $$\lim_{n\to\infty}\left(\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}f_n(x)\right)=\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}f(x)=\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}\left(\lim_{n\to\infty}f_n(x)\right)$$

Теорема 10.2.1: Условия коммутирования предельных переходов.
Пусть $X\subset\mathbb{P}$, для любого $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)\colon{X}\to\mathbb{P}$, $E\subset{X}$, $f(x)\colon{E}\to\mathbb{P}$, $x_0\in\mathring{E}$ такие, что

1. $f_n(x)\UniformConv{f}(x),x\in{E}$,
2. $\displaystyle\forall{n}\in\mathbb{N}\left(\exists{A}_n:=\lim_{x\to{x}_0}f_n(x)\in\mathbb{P}\right)$,

1. $\displaystyle\exists{A}:=\lim_{n\to\infty}A_n\in\mathbb{P}$,
2. $\displaystyle\exists\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}f(x)=A$.

Доказательство: Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по критерию Коши равномерной сходимости $$\exists{n}_0=n_0(\varepsilon)\in\mathbb{N}\colon\forall{m}\geq{n}>{n}_0\,\forall{x}\in{E}\left(|f_m(x)-f_n(x)|<\frac{\varepsilon}{2}\right)\qquad(8)$$

1. Тогда при любых фиксированных $m$ и $n$ таких, что $m\geq{n}>{n}_0$ по пункту 2 условия и свойствам предела функции $$\exists\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}|f_m(x)-f_n(x)|=|A_m-A_n|\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\qquad(9)$$ Таким образом $$\exists{n}_0=n_0(\varepsilon)\in\mathbb{N}\colon\forall{m}\geq{n}>{n}_0(|A_m-A_n|<\varepsilon).$$ Следовательно, по критерию Коши существования предела последовательности существует предел $\displaystyle{A}=\lim_{n\to\infty}A_n\in\mathbb{P}$.
2. Фиксируем $k>{n}_0$, тогда $$\exists\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}f_k(x)=A_k\Rightarrow\exists{U}(x_0):\forall{x}\in\mathring{U}_E(x_0)\left(|f_k(x)-A_k|<\frac{\varepsilon}{3}\right)$$ В неравенстве (8) положим $n=k$ и перейдем к пределу при $m\to\infty$, тогда для любого $x\in{E}$ $|f(x)-f_k(x)|\leq\frac{\varepsilon}{3}$. Аналогично из неравенства (9) получим $|A-A_k|\leq\frac{\varepsilon}{3}$, тогда $$\forall{x}\in\mathring{U}_E(x_0)\left(|f(x)-A|\leq|f(x)-f_k(x)|+|f_k(x)-A_k|+|A_k-A|< \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon\right)$$ Таким образом реализовано определение предела $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}f(x)=A$.

Пример 10.2.5: Контрпример к первому условию теоремы.
Поточечной сходимости $f_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}f(x),x\in{E}$ не достаточно для коммутирования пределов. Например, как было показано в примере 10.2.1 последовательность функций $f_n(x)=x^n$ сходится поточечно к функции $f(x)=\begin{cases}0,0\leq{x}<1\\ 1,\quad{x}=1\end{cases}$ на множестве $[0,1]$, но не сходится равномерно на нем. При этом при $x_0:=1$, для любого $n\in\mathbb{N}$ существует предел $\displaystyle\lim_{x\to{x}_0-0}f_n(x)=1$, следовательно, существует предел $\displaystyle{A}:=\lim_{n\to\infty}\left(\lim_{x\to{x}_0-0}f_n(x)\right)=1$, в то время как $\displaystyle\lim_{x\to{x}_0-0}f(x)=0$.

Утверждение 10.2.6: Пусть $E\subset\mathbb{P}$, для любого $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)\colon{E}\to\mathbb{P}$, $f(t)\colon{E}\to\mathbb{P}$, $t_0\in{E}$ такие, что

1. $f_n(x)\UniformConv{f}(t),t\in{E}$,
2. для любого $n\in\mathbb{N}$ функция $f_n(x)$ непрерывна в точке $t_0$,

Доказательство: Если $t_0$ изолированная точка множества $E$, то любая функция определенная на $E$ будет непрерывна в $t_0$.
Пусть $t_0\in{E}\cap\mathring{E}$, тогда по непрерывности функций $f_n(x)$ и теореме 10.2.1 $$(\forall{n}\in\mathbb{N}(\exists\lim_{t\to{t_0}}{f}_n(t)=f_n(t_0))\wedge\exists\lim_{n\to\infty}f_n(t_0)=f(t_0))\Rightarrow \exists\lim_{t\to{t}_0}\left(\lim_{n\to\infty}f_n(t)\right)=\lim_{t\to{t}_0}f(t)=f(t_0)$$ Следовательно, функция $f(t)$ непрерывна в точке $t_0$.

Следствие 10.2.4: Пусть $E\subset\mathbb{P}$, тогда $$(\forall{n}\in\mathbb{N}(f_n(x)\in{C}(E))\wedge{f}_n(t)\UniformConv{f}_n(t),t\in{E})\Rightarrow{f}(t)\in{C}(E).$$

Доказательство: Для любого $t\in{E}$ можно применить утверждение 10.2.6.

Следствие 10.2.5: Пусть $E\subset\mathbb{P}$, для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n(t): E\to\mathbb{P}\in{C}(E)$, тогда если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)$ сходится равномерно к сумме $S(t)$ на множестве $E$, то $S(t)\in{C}(E)$.

Доказательство: Из непрерывности функций $a_n(t)$ для любого $n\in\mathbb{N}$ следует непрерывность частичных сумм ряда $S_n(t):=\sum_{k=1}^na_k(t)$ для любого $n\in\mathbb{N}$ и так как по условию $S_n(t)\UniformConv{S}(t),t\in{E}$, то утверждение следует из следствия 10.2.4.

Утверждение 10.2.7: Пусть $R>0$ радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}(c_n(z-z_0)^n)$, $K_R:=\{z\in\mathbb{C}\mid|z-z_0|<{R}\}$, тогда

1. $S(z):=\sum_{n=0}^{\infty}(c_n(z-z_0)^n)\in{C}(K_R)$,
2. если ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(c_n(z-z_0)^n)$ сходится в точке $\xi\in\mathbb{C}$, то $S(z)\in{C}[z_0,\xi]$, где $[z_0,\xi]:=\{\xi(1-t)+z_0t\mid{t}\in[0,1]\}$

Доказательство:

1. Фиксируем $\xi\in{K}_R$, тогда по следствию 10.2.2 ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(c_n(z-z_0)^n)$ сходится равномерно на множестве $M:=\{z\in\mathbb{C}\mid|z|\leq|\xi|\}$, тогда по следствию 10.2.5 $S(t)\in{C}(M)$ и так как $\xi\in{M}$, то функция $S(t)$ непрерывна в точке $\xi$.
2. Если ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(c_n(z-z_0)^n)$ сходится в точке $\xi$, то по второй теореме Абеля он сходится равномерно на отрезке $[z_0, \xi]$, тогда по следствию 10.2.5 $S(t)\in{C}[z_0,\xi]$.

Пример 10.2.6: Пусть для любого $n\in\mathbb{N}_0$ $c_n\in\mathbb{C}$ и ряд $\sum_{n=0}^{\infty}c_n$ сходится. Это означает, что степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(c_nz^n)$ сходится в точке $\xi=1$, тогда по второй теореме Абеля этот ряд сходится равномерно на отрезке $[0,1]$ и по утверждению 10.2.7 $S(t):=\sum_{n=0}^{\infty}(c_nt^n)\in{C}[0,1]$

Пример 10.2.7: Рассмотрим функциональный ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x)=1+\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n\right)$.
Ранее было показано, что ряд сходится при любом $\alpha\in\mathbb{R}$ на интервале $(-1,1)$. При этом для любого $x\in(-1,1)$ $S(x):=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x)=(1+x)^{\alpha}$. В точке $x=1$ ряд сходится при $\alpha>-1$, в точке $x=-1$ ряд сходится при $\alpha>0$.
Найдем сумму ряда $S(x):=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x)$ при $x=1$.
Ряд сходится в точке $\xi=1$, следовательно, по утверждению 10.2.7 $$S(x)\in{C}[0,1]\Rightarrow\exists\lim_{x\to-1+0}S(x)=S(1)\Rightarrow{S}(1)=\lim_{x\to1-0}(1+x)^{\alpha}=(1+1)^{\alpha}=2^{\alpha}.$$ Аналогично при $x=-1$ $$S(x)\in{C}[-1,0]\Rightarrow\exists\lim_{x\to-1+0}S(x)=S(-1)\Rightarrow{S}(-1)=\lim_{x\to-1+0}(1-1)^{\alpha}=0.$$ Таким образом $S(x)=(1+x)^{\alpha}$ для всех $x$ и $\alpha$, при которых ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x)$ сходится.

Следующая теорема задает условия, при которых из поточечной сходимости функционального ряда следует его равномерная сходимость.

Теорема 10.2.2: Теорема Дини.

1. $\forall{n}\in\mathbb{N}(f_n(x)\colon[a,b]\to\mathbb{R}\in{C}[a,b])$,
2. $f(x)\colon[a,b]\to\mathbb{R}\in{C}[a,b]$,
3. для всех $x\in[a,b]$ числовые последовательности $\{f_n(x)\}$ монотонны в одном и том же смысле,
4. $f_n(t)\xrightarrow[n\to\infty]{}f(x),x\in[a,b]$,

Доказательство:Доказательство можно найти например в Зорич т. 2, стр. 455.

Следствие 10.2.6:

1. $\forall{n}\in\mathbb{N}(a_n(x)\colon[a,b]\to\mathbb{R}\in{C}[a,b])$,
2. $S(x)\colon[a,b]\to\mathbb{R}\in{C}[a,b]$.
3. ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x)$ сходится поточечно к функции $S(x)$ на $[a,b]$,
4. для любого $n\in\mathbb{N}$ функция $a_n(x)$ неотрицательна (или для любого $n\in\mathbb{N}$ функция $f_n(x)$ неположительна),

Доказательство: Из неотрицательности функций $a_n(x)$ следует монотонность числовых последовательностей $\{S_n(x)\}$, поэтому утверждение следует из теоремы Дини.

previous contents next