5.2 Свойства предела функции.

5.2.1 Предел функции и арифметические операции.

Определение 5.2.1: Говорят, что функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ является бесконечно малой при $x$ стремящемся к $a\in\mathring{E}$ по множеству $E$, если $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=0$.
Обозначают: $f(x)=o(1),E\ni{x}\to{a}$.

Лемма 5.2.1: Пусть $f(x):E\to{R},a\in\mathring{E},A\in\mathbb{R}$, тогда $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Leftrightarrow\exists\alpha(x):(f(x)=A+\alpha(x)\wedge\alpha(x)=o(1),E\ni{x}\to{a}).$$

Доказательство: Так как $A\in\mathbb{R}$, воспользуемся определением предела по Коши $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0(\exists\delta>0:(0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-A|=|(f(x)-A)-0|<\varepsilon)) \Leftrightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}(f(x)-A)=0$$ Таким образом можно положить $\alpha(x):=f(x)-A$, тогда $\alpha(x)=o(1),E\ni{x}\to{a}$ и $f(x)=A+(f(x)-A)=A+\alpha(x)$.

Утверждение 5.2.1: Свойства бесконечно малых функций.
Пусть $\alpha(x),\beta(x):E\to\mathbb{R},a\in\mathring{E}$, тогда

1. Если $\beta(x)$ локально ограничена при $E\ni{x}\to{a}$ и $\alpha(x)=o(1)$ при $E\ni{x}\to{a}$, то $\alpha(x)\beta(x)=o(1)$ при $E\ni{x}\to{a}$.
2. $$(\alpha(x)=o(1),\beta(x)=o(1),E\ni{x}\to{a})\Rightarrow\alpha(x)\pm\beta(x)=o(1),E\ni{x}\to{a}$$

Доказательство:

1. Так как функция $\beta(x)$ локально ограничена, при $E\ni{x}\to{a}$, то $$\exists{U}'(a),\exists{k}\in\mathbb{R}:\forall{x}\in\mathring{U}{}'_E(a)(|\beta(x)|<k)$$ Фиксируем $\varepsilon>0$. Тогда $$\alpha(x)=o(1),E\ni{x}\to{a}\Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}\alpha(x)=0\Rightarrow \exists{U}''(a):\forall{x}\in\mathring{U}{}''_E(a)\left(|\alpha(x)|<\frac\varepsilon{k}\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\exists{U}(a):=U'(a)\cap{U}''(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)\left(|\alpha(x)\beta(x)|\leq|\alpha(x)||\beta(x)|<\frac\varepsilon{k}k=\varepsilon\right) \Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}(\alpha(x)\beta(x))=0\Rightarrow\alpha(x)\beta(x)=o(1),E\ni{x}\to{a}$$
2. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда так как $$\alpha(x)=o(1),E\ni{x}\to{a}\Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}=0\Rightarrow\exists{U}'(a):\forall{x}\in{E}\left(x\in\mathring{U}{}'(a)\Rightarrow |\alpha(x)|<\frac\varepsilon{2}\right)$$ $$\beta(x)=o(1),E\ni{x}\to{a}\Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}=0\Rightarrow\exists{U}''(a):\forall{x}\in{E}\left(x\in\mathring{U}{}''(a)\Rightarrow |\beta(x)|<\frac\varepsilon{2}\right)$$ то $$\exists{U}(a):=U'(a)\cap{U}''(a):\forall{x}\in{E}\left(x\in\mathring{U}(a)\Rightarrow \left(|\alpha(x)|<\frac\varepsilon{2}\wedge|\beta(x)|<\frac\varepsilon{2}\right)\right) \Rightarrow\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)\left(|\alpha(x)\pm\beta(x)|\leq|\alpha(x)|+|\beta(x)|<\frac\varepsilon{2}+\frac\varepsilon{2}=\varepsilon\right) \Rightarrow$$ $$\Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}(\alpha(x)\pm\beta(x))=0\Rightarrow\alpha(x)\pm\beta(x)=o(1),E\ni{x}\to{a}$$

Так как, по свойствам предела, функция имеющая предел в точке локально ограничена в этой точке, то по пункту 1 утверждения для любых двух бесконечно малых $\alpha(x),\beta(x)$ функция $\alpha(x)\beta(x)$ тоже будет бесконечно малой. Тогда подключая метод математической индукции можно доказать, что при любом $k\in\mathbb{N}$ $o(1)^k=o(1)$.
Из пункта 1 утверждения так же следует, что для любого $K\in\mathbb{R}$ $Ko(1)=o(1)$.

Теорема 5.2.1: Предел функции и арифметические операции.
Пусть $f(x),g(x):E\to\mathbb{R}$, $a\in\mathring{E}$, $\displaystyle{A}:=\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)\in\mathbb{R},B:=\lim_{E\ni{x}\to{a}}g(x)\in\mathbb{R}$ тогда

1. $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}(f(x)\pm{g}(x))=A\pm{B}$,
2. $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}(f(x)g(x))=AB$
3. Если дополнительно известно, что для любого $x\in{E}$ $g(x)\neq0$ и $B\neq0$, то $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$

Доказательство:По лемме 5.2.1 $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Rightarrow\exists\alpha(x):(f(x)=A+\alpha(x)\wedge\alpha(x)=o(1),E\ni{x}\to{a})$$ $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}g(x)=B\Rightarrow\exists\beta(x):(g(x)=B+\beta(x)\wedge\beta(x)=o(1),E\ni{x}\to{a})$$

1. По утверждению 5.2.1 $\alpha(x)\pm\beta(x)=o(1),E\ni{x}\to{a}$, тогда $$f(x)\pm{g}(x)=A+\alpha(x)\pm(B+\beta(x))=(A\pm{B})+(\alpha(x)\pm\beta(x))=(A\pm{B})+o(1),E\ni{x}\to{a}\Rightarrow \lim_{E\ni{x}\to{a}}(f(x)\pm{g}(x))=A\pm{B}$$
2. По утверждению 5.2.1 $B\alpha(x)+A\beta(x)+\alpha(x)\beta(x)=o(1),E\in{x}\to{a}$, тогда $$f(x)g(x)=(A+\alpha(x))(B+\beta(x))=AB+(B\alpha(x)+A\beta(x)+\alpha(x)\beta(x))=AB+o(1),E\ni{x}\to{a}\Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}(f(x)g(x))=AB$$
3. Покажем, что предел $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}\frac1{g(x)}$ существует и равен $\frac1{B}$ $$\frac1{g(x)}-\frac1{B}=\frac1{B+\beta(x)}-\frac1{B}=-\frac1{B(B+\beta(x))}\beta(x)$$ Покажем, что функция $h(x):=-\frac1{B(B+\beta(x))}$ локально ограничена при $E\ni{x}\to{a}$ $$\beta(x)=o(1),E\ni{x}\to{a}\Rightarrow\exists{U}(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)\left(|\beta(x)|<\frac{|B|}{2}\right)\Rightarrow \forall{x}\in\mathring{U}_E(a)\left(\beta(x)>-\frac{|B|}{2}\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)\left(|h(x)|\leq\left|\frac1{B(B+\beta(x))}\right| <\frac1{|B|\left|B-\frac{|B|}{2}\right|}\leq\frac1{|B|\frac{|B|}{2}}=\frac2{B^2}\right)$$ Таким образом функция $h(x)=-\frac1{B(B+\beta(x))}$ ограничена в окрестности $U(a)$. Следовательно, по пункту 1 утверждения 5.2.1 $$\frac1{g(x)}-\frac1{B}=h(x)\beta(x)=o(1),E\ni{x}\to{a}\Rightarrow\frac1{g(x)}=\frac1{B}+o(1),E\ni{x}\to{a}\Rightarrow \lim_{E\ni{x}\to{a}}\frac1{g(x)}=\frac1{B}$$ Тогда по пункту 2 теоремы 5.2.1 $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{E\ni{x}\to{a}}\left(f(x)\frac1{g(x)}\right)=A\frac1{B}=\frac{A}{B}$$.

Первые два пункта теоремы методом индукции можно распространить на любой конечный набор функций. Тогда в частности можно говорить о том, что операция перехода к пределу линейна: $$E\subset\mathbb{R},a\in\mathring{E},s\in\mathbb{N},\forall{i}\in\overline{1,s} (k_i\in\mathbb{R}\wedge{f}_i(x):E\to\mathbb{R}\wedge\lim_{E\ni{x}\to{a}}f_i(x)=A_i\in\mathbb{R})\Rightarrow \lim_{E\ni{x}\to{a}}\sum_{i=1}^s(k_if_i(x))=\sum_{i=1}^s(k_iA_i)$$

Задача 5.2.1: Следует ли существование предела функции $f(x)$ из существования

1. предела функции $f(x)+g(x)$
2. пределов функций $f(x)+g(x)$ и $g(x)$
3. предела функции $f(x)g(x)$
4. пределов функций $f(x)g(x)$ и $g(x)$

Решение:

$\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}$
1. Нет. Контрпример: если $E:=\mathbb{R},f(x)=\sgn{x},g(x)=-\sgn{x}$, $f(x)+g(x)\equiv0$, тогда $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{0}}(f(x)+g(x))=0$, но функция $f(x)$ не имеет предела при $E\ni{x}\to{0}$.
2. Да, если предел функции $g(x)$ конечен, то $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=\lim_{E\ni{x}\to{a}}((f(x)+g(x))-g(x))= \lim_{E\ni{x}\to{a}}(f(x)+g(x))-\lim_{E\ni{x}\to{a}}g(x)$$.
3. Нет. Контрпример: если $E=\mathbb{R}\backslash\{0\},f(x)=\sgn{x},g(x)=\sgn{x}$, $f(x)g(x)\equiv1$, тогда $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{0}}(f(x)g(x))=1$, но функция $f(x)$ не имеет предела при $E\ni{x}\to{0}$.
4. Да, если для любого $x\in{E}$ $g(x)\neq0$ и $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}g(x)\neq0$, тогда $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=\lim_{E\ni{x}\to{a}}\frac{f(x)g(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{E\ni{x}\to{a}}(f(x)g(x))}{\lim_{E\ni{x}\to{a}}g(x)}.$$

5.2.2 Предел функции и неравенства.

Теорема 5.2.2: Предел функции и неравенства.
Пусть $f(x),g(x),h(x):E\to\mathbb{R},a\in\mathring{E}$, $\displaystyle{A}:=\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)\in\overline{\mathbb{R}}, B:=\lim_{E\ni{x}\to{a}}g(x)\in\overline{\mathbb{R}}$, тогда

1. $A<B\Rightarrow\exists{U}(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(f(x)<g(x))$
2. если предел функции $f(x)$ конечен и не равен нулю, то она локльно сохраняет знак при $E\ni{x}\to{a}$, то есть $$A\in\mathbb{R}\backslash\{0\}\Rightarrow\exists{U}(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(f(x)A>0)$$
3. Теорема о двух милиционерах для предела функции $$(A=B\wedge\exists{U}(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(f(x)\leq{h}(x)\leq{g}(x))\Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}h(x)=A.$$

Доказательство:

1. Если $A<B$, то по пункту 3 следствия из принципа Архимеда существует $C\in\mathbb{R}$ такое, что $A<C<B$. Тогда существует окрестность $V(A)$, правым концом которой является точка $C$ и существует окрестность $V(B)$, левым концом которой является точка $C$. Тогда $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Rightarrow\exists{U}_1(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}_1(a)\Rightarrow{f}(x)\in{V}(A)\Rightarrow{f}(x)<C)$$ $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}g(x)=B\Rightarrow\exists{U}_2(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}_2(a)\Rightarrow{g}(x)\in{V}(B)\Rightarrow{g}(x)>C)$$ $$\exists{U}(a):=U_1(a)\cap{U}_2(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(f(x)<C<g(x))$$
2. Положим $$z(x):E\to\mathbb{R}:\forall{x}\in{E}\left(z(x)=\frac{A}{2}\right)\Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}z(x)=\frac{A}{2}$$ Тогда по пункту 1 если $A>0$, то $$\frac{A}{2}<A\Rightarrow\exists{U}(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)\left(f(x)>z(x)=\frac{A}{2}>0\Rightarrow{f}(x)A>0\right)$$ если $A<0$, то аналогично $$\frac{A}{2}>A\Rightarrow\exists{U}(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)\left(f(x)<z(x)=\frac{A}{2}<0\Rightarrow{f}(x)A>0\right)$$
3. Пусть $A=B\in\mathbb{R}$. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Rightarrow\exists{U}_1(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}_1(a)\Rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon\Rightarrow{f}(x)>A-\varepsilon)$$ $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}g(x)=A\Rightarrow\exists{U}_2(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}_2(a)\Rightarrow|g(x)-A|<\varepsilon\Rightarrow{g}(x)<A+\varepsilon)$$ $$\exists{U}_3(a):=U(a)\cap{U}_1(a)\cap{U}_2(a)\Rightarrow \forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}_3(a)\Rightarrow{A}-\varepsilon<f(x)\leq{h}(x)\leq{g}(x)<A+\varepsilon\Rightarrow |h(x)-A|<\varepsilon)\Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}h(x)=A.$$ Пусть $A=B=+\infty$. Фиксируем $z\in\mathbb{R}$. $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=+\infty\Rightarrow\exists{U}_1(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}(a)\Rightarrow{f}(x)>z)\Rightarrow \exists{U}_3(a):=U(a)\cap{U}_1(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}_3(a)\Rightarrow{h}(x)\geq{f}(x)>z)\Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}h(x)=+\infty$$ Пусть $A=B=-\infty$. Фиксируем $z\in\mathbb{R}$. $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}g(x)=-\infty\Rightarrow\exists{U}_2(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}(a)\Rightarrow{g}(x)<z)\Rightarrow \exists{U}_3(a):=U(a)\cap{U}_1(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}_3(a)\Rightarrow{h}(x)\leq{g}(x)<z)\Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}h(x)=-\infty$$

Следствие 5.2.1: Операция взятия предела сохраняет знак в нестрогом смысле.
Пусть $f(x),g(x):E\to\mathbb{R},a\in\mathring{E}$, $\displaystyle{A}:=\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)\in\mathbb{R},\lim_{E\ni{x}\to{a}}g(x)=B\in\mathbb{R}$, тогда

1. $\exists{U}(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(f(x)<g(x))\Rightarrow{A}\leq{B}$
2. $\exists{U}(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(f(x)\leq{g}(x))\Rightarrow{A}\leq{B}$

Доказательство:

1. Докажем от противного. Пусть $A>B$ тогда по пункту 1 теоремы $$A>B\Rightarrow\exists{U}_1(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}_1(a)\Rightarrow{f}(x)>g(x))\Rightarrow \exists{U}_2(a):=U(a)\cap{U}_1(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}_2(a)\Rightarrow(f(x)<g(x)\wedge{f}(x)>g(x)))$$
2. Аналогично доказывается, что из отрицания утверждения следует, что $$\exists{U}_2(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}_2(a)\Rightarrow(f(x)\leq{g}(x)\wedge{f}(x)>g(x)))$$