Определение 10.2.1: Равномерная сходимость функциональных последовательностей.
Пусть $X\subset\mathbb{P}$ и для любого $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)\colon{X}\to\mathbb{P}$, тогда говорят, что последовательность функций $\{f_n(x)\}$
сходится равномерно на множестве $E\subset{X}$ при $n\to\infty$ к функции $f(t)\colon{E}\to\mathbb{P}$, если
$$\forall\varepsilon>0\,\exists{n_0}=n_0(\varepsilon)\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>n_0\,\forall{t}\in{E}(|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon)$$
При этом обозначают:
$f_n(x)\UniformConv{f}(t),t\in{E}$
Из равномерной сходимости на множестве $E$ следует поточечная сходимость. Действительно, зафиксируем $\varepsilon>0$, тогда
$$f_n(x)\UniformConv{f}(t),n\in{E}\Rightarrow
\exists{n}_0=n_0(\varepsilon)\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>n_0\,\forall{t}\in{E}(|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon)\Rightarrow
\forall{t}\in{E}(\exists{n}_1=n_1(\varepsilon,t):=n_0\colon\forall{n}>n_0(|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon))$$
Обратное верно, только если множество $E$ конечно, пусть например $E:=\{t_1,\ldots,t_s\}$, тогда
$$f_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}f(t),t\in{E}\Rightarrow
\forall{k}\in\overline{1,s}\,\exists{n}_k\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>n_k(|f_n(t_k)-f(t_k)|<\varepsilon)\Rightarrow
\exists{n}_0:=\max_{k\in\overline{1,s}}n_k\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\,\forall{t}\in{E}(|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon)$$
В дальнейшем функцию $f(t)$ будем называть "предельной", путаницы с аналогичным термином для случая поточечной сходимости не возникнет,
так как далее речь пойдет в основном о равномерной сходимости.
Логическое отрицание определения равномерной сходимости:
$$\exists\varepsilon>0\colon\forall{k}\in\mathbb{N}\,\exists{n}>k\,\exists{t}\in{E}\colon|f_n(t)-f(t)|\geq\varepsilon.$$
Определение 10.2.2: Равномерная сходимость функциональных рядов.
Пусть $X\subset\mathbb{P}$ и для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n(x)\colon{X}\to\mathbb{P}$, тогда говорят, что функциональный ряд
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$ сходится равномерно на множестве $E\subset{X}$, если функциональная последовательность его частичных сумм
$S_n(t):=\sum_{k=1}^na_k(t)\colon{X}\to\mathbb{P}$ сходится равномерно на множестве $E$.
Утверждение 10.2.1: Простейший критерий равномерной сходимости.
Пусть $X\subset\mathbb{R}$, для любого $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)\colon{X}\to\mathbb{R}$, $E\subset{X}$, $f(t)\colon{E}\to\mathbb{R}$, тогда
$$f_n(x)\UniformConv{f}(t),t\in{E}\Leftrightarrow\exists\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{t\in{E}}|f_n(t)-f(t)|\right)=0$$
Доказательство: Для любого $n\in\mathbb{N}$ обозначим $r_n:=\sup_{t\in{E}}|f_n(t)-f(t)|$. Фиксируем $\varepsilon>0$.
$\Rightarrow)$
$$\exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>n_0\,\forall{t}\in{E}\left(|f_n(t)-f(t)|<\frac{\varepsilon}{2}\right)\Rightarrow
\forall{n}>n_0\left(r_n\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\right)\Rightarrow\lim_{n\to\infty}r_n=0.$$
$\Leftarrow)$
$$\lim_{n\to\infty}r_n=0\Rightarrow\exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>n_0\left(\sup_{t\in{E}}|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon\right)\Rightarrow
\forall{n}>n_0\,\forall{t}\in{E}(|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon)\Rightarrow{f}_n(x)\UniformConv{f}(t),t\in{E}.$$
Пример 10.2.1: Рассмотрим последовательность функций из примера 10.1.1
$f_n(x)=x^n:[0,1]\to\mathbb{R}$.
Данная последовательность сходится поточечно к функции $f(t)=\begin{cases}0,0\leq{t}<1\\ 1, \quad{t}=1\end{cases}$ на множестве $[0,1]$.
Для проверки равномерной сходимости применим утверждение 10.2.1, тогда
$$r_n=\sup_{t\in[0,1]}|t^n-f(t)|=\sup_{t\in[0,1)}t^n=1\Rightarrow\lim_{n\to\infty}r_n=1\neq0.$$
Таким образом функциональная последовательность $\{x_n\}$ не сходится равномерно к функции $f(t)$ на множестве $[0,1]$.
Пример 10.2.2: Рассмотрим функциональную последовательность
$\displaystyle{f}_n=\frac{\sin{nx}}{n}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.
В примере 10.1.3 показано, что функциональная последовательность $\{f_n(x)\}$ сходится поточечно
к функции $f(t)\equiv0$. Для проверки равномерной сходимости применим утверждение 10.2.1, тогда
$$r_n=\sup_{t\in\mathbb{R}}\left|\frac{\sin{nt}}{n}-0\right|=\frac1{n}\Rightarrow\lim_{n\to\infty}r_n=0\Rightarrow
{f}_n(x)\UniformConv{f}(t),t\in\mathbb{R}.$$
Утверждение 10.2.2: Критерий Коши равномерной сходимости функциональных рядов.
Пусть $X\in\mathbb{P}$, для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n(x)\colon{X}\to\mathbb{P}$, тогда функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$
сходится на множестве $E\subset{X}$ тогда и только тогда, когда
$$\forall\varepsilon>0\,\exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\forall{m}\geq{n}>n_0\,\forall{t}\in{E}\left(\left|\sum_{k=m}^na_k(t)\right|<\varepsilon\right).$$
Доказательство:
$\Rightarrow)$
Поскольку равномерная сходимость влечет поточечную, то с точки зрения теории можно ввести для равномерно сходящегося ряда сумму ряда,
то есть функцию $S(t)\colon{E}\to\mathbb{P}$ такую, что для любого $t\in{E}$ $S(t):=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)$.
Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда
$\begin{multline}
\exists{n}'_0\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>n'_0\,\forall{t}\in{E}\left(|S_n(t)-S(t)|<\frac{\varepsilon}{2}\right)\Rightarrow\\
\Rightarrow\exists{n}_0:=n'_0+1\colon\forall{m}\geq{n}>n_0\,\forall{t}\in{E}\left(\left|\sum_{k=m}^na_k(t)\right|=
|S_m(t)-S_{n-1}(t)|\leq|S_m(t)-S(t)|+|S_{n-1}(t)-S(t)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\right)
\end{multline}$
$\Leftarrow)$
Согласно условию при любом фиксированном $t\in{E}$ числовой ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)$ сходится по
критерию Коши, следовательно, можно определить функцию $S(t)\colon{E}\to\mathbb{P}$ такую,
что для любого $t\in{E}$ $S(t):=\lim_{n\to\infty}S_n(t):=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^na_k(t)$.
Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по условию с учетом введенных обозначений имеем
$$\exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\forall{m}\geq{n}>n_0\,\forall{t}\in{E}\left(|S_m(t)-S_{n-1}(t)|<\frac{\varepsilon}{2}\right)$$
Поскольку неравенство выполняется при любом $m>m_0$, то можем при фиксированном $n$ перейти к пределу при $m\to\infty$. Тогда
$$\exists{n}_1:=n_0+1:\forall{n}>n_1\,\forall{t}\in{E}\left(|S(t)-S_n(t)|\leq\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\right)
\Rightarrow{S}_n(t)\UniformConv{S}(t),t\in{E}.$$
Логическое отрицаний критерия Коши равномерной сходимости функциональных рядов:
$$\exists\varepsilon>0\colon\forall{n_0}\in\mathbb{N}\,\exists{m}\geq{n}>n_0\colon\left|\sum_{k=n}^ma_k(t)\right|\geq\varepsilon$$
Следствие 10.2.1: Пусть $X\subset\mathbb{P}$ и для любого $n\in\mathbb{N}$ функции $a_n(x)\colon{X}\to\mathbb{P}$ такие, что функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$ сходится равномерно на множестве $E\subset{X}$, тогда $$\forall\varepsilon>0\,\exists{n}_0=n_0(\varepsilon)\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>n_0\,\forall{t}\in{E}(|a_n(t)|<\varepsilon),$$ что можно так же обозначить, как $a_n(x)\UniformConv0,t\in{E}$.
Доказательство: Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по критерию Коши
$$\exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\forall{m}\geq{n}>n_0\,\forall{t}\in{E}\left(\left|\sum_{k=n}^ma_k(t)\right|<\varepsilon\right)\Rightarrow
\forall{n}>n_0\,\forall{t}\in{E}\left(\left|\sum_{k=n}^na_k(t)\right|=|a_n(t)|<\varepsilon\right)$$
Утверждение 10.2.3: Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей.
Пусть $X\subset\mathbb{P}$, для любого $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)\colon{X}\to\mathbb{P}$, тогда функциональная последовательность $\{f_n(x)\}$
сходится равномерно на множестве $E\subset{X}$ тогда и только тогда, когда
$$\forall\varepsilon>0\,\exists{n}_0=n_0(\varepsilon)\in\mathbb{N}\colon\forall{m}\geq{n}>n_0\,\forall{t}\in{E}(|f_m(t)-f_n(t)|<\varepsilon).$$
Доказательство: Доказывается аналогично утверждению 10.2.2.
Утверждение 10.2.4: Мажорантный признак Вейерштрасса.
Пусть $X\subset{P}$, для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n(x)\colon{X}\to\mathbb{P}$, $E\subset{X}$, $\{M_n\}$ - числовая последовательность такая,
что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится и
$$\exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>n_0\,\forall{t}\in{E}(|a_n(t)|<{M}_n),$$
тогда функциональный ряд сходится равномерно на множестве $E$.
Доказательство: Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по критерию Коши сходимости числовых рядов
$$\exists{n}_1=n_1(\varepsilon)\colon\forall{m}\geq{n}>n_1\left(\left|\sum_{k=n}^mM_k\right|<\varepsilon\right)\Rightarrow
\exists{n}_2:=\max\{n_0,n_1\}\colon\forall{m}\geq{n}>n_2\,\forall{t}\in{E}\left(\left|\sum_{k=n}^ma_k(t)\right|\leq\sum_{k=n}^m|a_k(t)|\leq
\sum_{k=n}^mM_k\leq\left|\sum_{k=n}^mM_k\right|<\varepsilon\right)$$
Таким образом функциональный ряд $\sum_{k=n}^{\infty}a_n(x)$ сходится равномерно на множестве $E$ по критерию Коши.
Утверждение 10.2.5: Признаки Абеля и Дирихле.
Пусть $X\subset\mathbb{P}$, для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n(x)\colon{X}\to\mathbb{R}$, $b_n(x)\colon{X}\to\mathbb{P}$, $E\subset{X}$, тогда
функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n(x)b_n(x))$ сходится равномерно на множестве $E$, если выполняется одно из условий:
Доказательство: Доказательство реализуется с помощью
критерия Коши сходимости числовых последовательностей,
критерия Коши равномерной сходимости функциональных рядов и
неравенства Абеля,
аналогично доказательству одноименных признаков для числовых рядов.
Задача 10.2.1: Доказать, что функциональный ряд
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^2}{(1+x^2)^n}$ сходится равномерно на $\mathbb{R}$.
Решение:
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$ сходится поточечно по признаку Лейбница.
Обозначим сумму ряда $S(t)$, тогда, так как ряд знакопеременный и его общий член по модулю монотонно убывает, то для любого $t\in\mathbb{R}$
$\displaystyle|S(t)-S_n(t)|<|a_n|=\frac{t^2}{(1+t^2)^n}<\frac{t^2}{1+nt^2}<\frac1{n}$. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда
$$\exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\frac1{n_0}<\varepsilon\Rightarrow
\exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>n_0\,\forall{t}\in\mathbb{R}\left(|S(t)-S_n(t)|<\frac1{n}<\frac1{n_0}<\varepsilon\right)$$
Задача 10.2.2: Доказать, что функциональный ряд
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}$ сходится на $\mathbb{R}$ поточечно, но не равномерно.
Решение:
Из примера 7.1.1 следует, что при $q\neq1$
$\displaystyle\sum_{k=1}^n(aq^k)=q\sum_{k=1}^n(aq^{k-1})=\frac{aq(1-q^n)}{1-q}$. Положив $\displaystyle{q}:=\frac1{1+x^2}$, $a:=x^2$, получим,
что для любого $t\neq0$ сумма ряда равна
$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(aq^k)=\lim_{n\to\infty}\frac{aq(1-q^n)}{1-q}=\frac{aq}{1-q}=\frac{t^2}{\left(1-\frac1{1+t^2}\right)(1+t^2)}=1.$$
Тогда для любого $t\neq0$ $\displaystyle|S(t)-S_n(t)|=|1-(1-q^n)|=q^n=\frac1{(1+t^2)^n}$. Тогда при $\varepsilon:=\frac1{2}$ для любого $n\in\mathbb{N}$
и для любого $t\in\mathbb{R}$ такого, что $\displaystyle0<{t}<\sqrt{\sqrt[n]{2}-1}$ выполняется неравенство $|S(t)-S_n(t)|\geq\varepsilon$.
Следствие 10.2.2: Пусть для любого $n\in\mathbb{N}$ $c_n\in\mathbb{C}$, $z\in\mathbb{C}$, $R\in[0,+\infty]$ -
радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}(c_nz^n)$, тогда для любого
$\rho\in(0,R)$ степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(c_nz^n)$ сходится абсолютно и непрерывно на замкнутом круге $K:=\{z\mid|z|\leq\rho\}$
радиуса $\rho$.
Доказательство: Ранее было показано, что для любого $\rho\in(0,R)$ степенной ряд
сходится абсолютно, это означает, что сходится числовой ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|c_n\rho^n|$. При этом для любого $z\in{K}_{\rho}$ и для любого
$n\in\mathbb{N}$ $M_n:=|c_n\rho^n|=|c_n|\rho^n\geq|c_n||z|^n=|c_nz^n|$, следовательно, последовательность $\{M_n\}$ удовлетворяет условиям
мажорантного признака Вейерштрасса.
Следствие 10.2.3: Вторая теорема Абеля. Доказательство: Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}((c_n\xi^n)t^n)$. Применим признак Абеля при $a_n(t):=t^n$, $b_n(t):=c_n\xi^n$.
Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}b_n(t)$ сходится по условию и так как общий член ряда не зависит от $t$, то сходимость равномерная на $[0,1]$. При этом
для любого $n\in\mathbb{N}$ для любого $t\in[0,1]$ $|a_n(t)|\leq1$. Следовательно, ряд
$\sum_{n=0}^{\infty}((c_n\xi^n)t^n)=\sum_{n=0}^{\infty}(c_n(\xi{t})^n)$ сходится равномерно на $[0,1]$, а это равносильно равномерной сходимости
ряда $\sum_{n=0}^{\infty}(c_nz^n)$ на множестве $E$.
Если $|\xi|<{R}$, то результат тривиален, так как очевидным образом следует из следствия 10.2.2.
Утверждение наполняется содержанием только при $|\xi|=R$.
Пример 10.2.4: Исследуем сходимость функционального ряда
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)=\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$. Задача 10.2.3: Доказать, что функциональный ряд
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$ не сходится равномерно на множестве $(-1,1]$.
Решение:
$$\exists\varepsilon:=\frac14\colon\forall{n}_0\in\mathbb{N}\,\exists{n}:=n_0+1>n_0\,\exists{m}:=2n\geq{n}\,\exists{t}:=-2^{-\frac1{2n}}\in(-1,1]\colon
\left|\sum_{k=n}^m\frac{(-1)^{k-1}t^k}{k}\right|=\sum_{k=n}^{2n}\frac1{2^\frac{k}{2n}k}\geq\frac12\sum_{k=n}^{2n}\frac1{k}\geq
\frac12n\frac1{2n}=\frac14=\varepsilon.$$
Поточечная сходимость на $\mathbb{R}$ следует из ограниченности функции $\sin{x}$ на $\mathbb{R}$. Проверим равномерную сходимость.
Если же множество $E\subset\mathbb{R}$ такое, что $(E\cup\mathring{E})\cap2\pi\mathbb{Z}\neq\varnothing$, то сходимость не будет равномерной.
Обоснование этого факта можно найти например в Кудрявцев т. 1, стр. 610.
Пусть для любого $n\in\mathbb{N}$ $c_n\in\mathbb{C}$, и степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(c_nz^n)$ сходится в точке $\xi\in\mathbb{C}$,
тогда он равномерно сходится на множестве $E:=\{t\xi\mid{t}\in[0,1]\}$.
Ранее было показано, что ряд сходится для любого $x\in(-1,1]$, следовательно, он сходится
в точке $\xi=1$, тогда по второй теорема Абеля сходится равномерно на отрезке $[0,1]$.
previous contents next