10.2.4 Интегрирование и предельный переход.

Утверждение 10.2.8: Пусть для любого $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ и $f(x)\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $f_n(x)\UniformConv{f}(x),x\in[a,b]$,
2. $\forall{n}\in\mathbb{N}(f_n(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b])$,

1. $f(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$,
2. $\displaystyle\int_a^bf(x)\,d\alpha=\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)\,d\alpha$.

Доказательство:

1. Реализуем критерий интегрируемости по Стилтьесу. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда существует $\eta>0$ такое, что $\eta(\alpha(b)-\alpha(a))<\frac{\varepsilon}{3}$. В силу равномерной сходимости последовательности $\{f_n(x)\}$ к функции $f(x)$ $$\exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>n_0\,\forall{x}\in[a,b](|f_n(x)-f(x)|<\eta)\qquad(8)$$ Фиксируем $m>n_0$, тогда $$f_m(x)\in\mathbb{R}(\alpha)[a,b]\Rightarrow\exists{P}\colon{S}(f_m,P,\alpha)-s(f_m,P,\alpha)<\frac{\varepsilon}{3}\qquad(9)$$ Оценим сверху верхнюю сумму Дарбу функции $f(x)$ с помощью верхней суммы Дарбу функции $f_m(x)$. Воспользуемся для этого неравенством (8) $\begin{multline} \forall{x}\in[a,b] (|f_m(x)-f(x)|<\eta)\Rightarrow\forall{x}\in[a,b](-\eta<{f}_m(x)-f(x)<\eta)\Rightarrow\forall{x}\in[a,b](f(x)<{f}_m(x)+\eta)\Rightarrow\\ \Rightarrow{S}(f,P,\alpha):=\sum_{(P)}(\sup_{\Delta_i}{f(x)}\Delta\alpha_i)\leq \sum_{(P)}\left(\left(\sup_{\Delta_i}{(f_m(x)}+\eta\right)\Delta\alpha_i\right)=S(f_m,P,\alpha)+\eta\sum_{(P)}\Delta\alpha_i= S(f_m,P,\alpha)+\eta(\alpha(b)-\alpha(a))<{S}(f_m,P,\alpha)+\frac{\varepsilon}{3}. \end{multline}$ Аналогично получаем оценку снизу для нижней суммы Дарбу функции $f(x)$: $s(f,P,\alpha)<{s}(f_m,P,\alpha)-\frac{\varepsilon}{3}$. Тогда применив полученные выше оценки и неравенство (9) получим $$S(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)<{S}(f_m,P,\alpha)+\frac{\varepsilon}{3}-s(f_m,P,\alpha)+\frac{\varepsilon}{3}= (S(f_m,P,\alpha)-s(f_m,P,\alpha))+\frac{2\varepsilon}{3}<^{(9)}\varepsilon.$$
2. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда из равномерной сходимости последовательности $\{f_n(x)\}$ к функции $f(x)$ следует, что $\begin{multline} \exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\,\forall{n}>n_0\,\forall{x}\in[a,b]\left(|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{\alpha(b)-\alpha(a)}\right)\Rightarrow\\ \Rightarrow\forall{n}>n_0\left(\left|\int_a^bf_n(x)\,d\alpha-\int_a^bf(x)\,d\alpha\right|\leq\int_a^b|f_n(x)-f(x)|\,d\alpha< \int_a^b\frac{\varepsilon}{\alpha(b)-\alpha(a)}\,d\alpha=\frac{\varepsilon}{\alpha(b)-\alpha(a)}(\alpha(b)-\alpha(a))=\varepsilon\right)\Rightarrow\\ \Rightarrow\exists\lim_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)\,d\alpha=\int_a^bf(x)\,d\alpha. \end{multline}$

Утверждение 10.2.9: Пусть для любого $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ и $f(x)\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $\forall{n}\in\mathbb{N}(f_n(x)\in{C}[a,b])$,
2. $f_n(x)\UniformConv{f}(x),x\in[a,b]$,

1. $f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$
2. $\displaystyle\int_a^xf_n(t)\,dt\UniformConv\int_a^xf(t)\,dt,x\in[a,b]$.

Доказательство:

1. Так как для любого $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)\in{C}[a,b]$, то по следствию 10.2.4 $f(x)\in{C}[a,b]$, следовательно, $f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$.
2. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда из равномерной сходимости последовательности $\{f_n(x)\}$ к функции $f(x)$ следует, что $$\exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\forall{n}>n_0\,\forall{x}\in[a,b]\left(|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{b-a}\right)\Rightarrow \forall{n}>n_0\,\forall{x}\in[a,b]\left(\left|\int_a^xf_n(t)\,dt-\int_a^xf(t)\,dt\right|\leq\int_a^b|f_n(t)-f(t)|\,dt\leq \int_a^b\frac{\varepsilon}{b-a}\,dt=\varepsilon\right)$$

Утверждение 10.2.10: Пусть для любого $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $\forall{n}\in\mathbb{N}(f_n(x)\in{C}[a,b])$,
2. функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ сходится равномерно на $[a,b]$,

1. $S(x):=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\in\mathcal{R}[a,b]$,
2. $\displaystyle\forall[\alpha,\beta]\subset[a,b]\left(\int_{\alpha}^{\beta}S(x)\,dx=\int_{\alpha}^\beta\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\,dx= \sum_{n=1}^{\infty}\int_{\alpha}^{\beta}f_n(x)\,dx\right)$.

Доказательство: Из непрерывности функций $f_n(x)$ для любого $n\in\mathbb{N}$ следует непрерывность функций частичных сумм $S_n(x):=\sum_{k=1}^nf_k(x)$. Тогда к функциональной последовательности $\{S_n(x)\}$ можно применить утверждение 10.2.9 $$\forall{x}\in[a,b]\,\forall{n}\in\mathbb{N}\left(\sum_{k=1}^n\int_a^xf_k(t)\,dt=\int_a^x\sum_{k=1}^nf(t)\,dt= \int_a^xS_n(t)\,dt\UniformConv\int_a^xS(t)\,dt=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(t)\,dt\right)$$ То есть $$\forall{x}\in[a,b]\left(\exists\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\int_a^xf_k(t)\,dt=\int_a^x\sum_{n=1}^{\infty}f_n(t)\,dt\right)\Rightarrow \forall{x}\in[a,b]\left(\sum_{n=1}^{\infty}\int_a^xf_n(t)\,dt=\int_a^x\sum_{n=1}^{\infty}f_n(t)\,dt\right).$$ Для получения конечного результата воспользуемся свойством аддитивности неопределенного интеграла. Пусть $[\alpha,\beta]\subset[a,b]$, тогда $$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{\alpha}^{\beta}f_n(x)\,dx=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\int_a^{\beta}f_n(x)\,dx-\int_a^{\alpha}f_n(x)\,dx\right)= \int_a^{\beta}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\,dx-\int_a^{\alpha}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\,dx=\int_{\alpha}^{\beta}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)\,dx.$$

Утверждение 10.2.11: Пусть $R\in[0,+\infty)$, для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n\in\mathbb{R}$ и ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)$ сходится на интервале $(-R,R)$ к функции $S(x)\colon(-R,R)\to\mathbb{R}$, тогда

1. ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^xa_nt^n\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nx^{n+1}}{n+1}$ сходится на интервале $(-R,R)$;
2. для любого $x\in(-R,R)$ функция $S(t)$ интегрируема на отрезке $[0,x]$ (или $[x,0]$) при этом $$\int_0^xS(t)\,dt=\int_0^x\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^xa_nt^n\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nx^{n+1}}{n+1};$$
3. если ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)$ сходится в точке $s=R$ или $s=-R$, то ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_ns^{n+1}}{n+1}$ сходится и $$\int_0^s\sum_{n=0}^{\infty}(a_nt^n)\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^sa_nt^n\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_ns^{n+1}}{n+1}.$$
4. к ряду $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nx^n}{n+1}$ применимы пункты 1-3.

Доказательство: По следствию 10.2.2 степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)$ сходится равномерно в открытом круге сходимости, тогда

1. Следует из утверждения 10.2.10.
2. Следует из утверждения 10.2.10.
3. Если ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)$ сходится в точке $R$ или $-R$, то по второй теореме Абеля он сходится равномерно на отрезке $[0,R]$ или $[-R,0]$ соответственно, следовательно доказываемое равенство следует из утверждения 10.2.10.
4. Пусть ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)$ сходится в точке $t\in\mathbb{R}$, тогда ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n\frac{t^{n+1}}{n+1}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_nt^n\frac{t}{n+1}\right)$ сходится по признаку Абеля так как ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)$ сходится, а последовательность $\left\{\frac{t}{n+1}\right\}$ ограничена и монотонна. Следовательно, степенной ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_nx^{n+1}}{n+1}$ сходится на интервале $(-R,R)$ и к нему могут быть применены пункты 1-3.

Таким образом почленное интегрирование степенного ряда не сужает множества сходимости, следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать в промежутке сходимости конечное число раз.

Пример 10.2.8: Построим степенной ряд сходящийся к функции $\displaystyle{f}(x)=\frac1{1+x^2}\colon(-1,1)\to\mathbb{R}$ и проинтегрируем этот ряд почленно.
Для этого исследуем сходимость ряда $\sum_{n=0}^{\infty}((-1)^nt^n)$. По признаку Лейбница ряд сходится на интервале $(-1,1)$, при этом $$S_n(t)(1+t)=1+(-1)^nt^{n+1}\Rightarrow{S}_n(t)=\frac{1+(-1)^nt^{n+1}}{1+t}\Rightarrow \forall{t}\in(-1,1)\left(\exists{S}(t):=\lim_{n\to\infty}S_n(t)=\lim_{n\to\infty}\frac{1+(-1)^nt^{n+1}}{1+t}=\frac1{1+t}\right)$$ Сделав замену переменной $t(x):=x^2$, получим $$\forall{x}\in\mathbb{R}(|x|<1\Leftrightarrow{x}^2<1)\Rightarrow\forall{x}\in(-1,1)\left(\frac1{1+x^2}=\frac1{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}((-1)^nt^n) =\sum_{n=0}^{\infty}((-1)^nx^{2n})\right)$$ Интеграл от функции $\displaystyle\frac1{1+x^2}$ является табличным, тогда по утверждению 10.2.11 $$\forall{x}\in(-1,1)\left(\arctg{x}=\int_0^x\frac1{1+t^2}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}\left((-1)^n\int_0^xt^{2n}\,dt\right)= \sum_{n=0}^{\infty}\left((-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right)\right).$$ Так как ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left((-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right)$ сходится по признаку Лейбница в точке $x=1$ и функции $\displaystyle(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ непрерывны на $\mathbb{R}$ для любого $n\in\mathbb{N}$, то по утверждению 10.2.7 сумма этого ряда непрерывна на отрезке $[0,1]$. И так как функция $\arctg{x}$ непрерывна в точке $x=1$, то из теоремы 10.2.1, свойств непрерывных функций и единственности предела следует $$\exists\lim_{x\to1}\sum_{n=0}^{\infty}\left((-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\lim_{x\to1}\left((-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\right)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}=\lim_{x\to1}(\arctg{x})=\arctg{1}=\frac{\pi}{4}$$ Таким образом: $\displaystyle\frac{\pi}{4}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots+\frac{(-1)^n}{2n+1}+\cdots$.

Пример 10.2.9: Построим ряд сходящийся к функции $\displaystyle{f}(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ и проинтегрируем его почленно.
Сделав замену $t(x):=-x^2$, получим $\displaystyle{f}(x)=(1+t)^{-\frac12}$. Применив для этой функции разложение в ряд Тэйлора степенной функции $(1+x)^{\alpha}$ при $\alpha=-\frac12$, для любого $x\in(-1,1)$ получим $$f(x)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}t^n\right)= 1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-\frac12\left(-\frac12-1\right)\cdots\left(\frac12-n+1\right)}{n!}t^n\right)= 1+\sum_{n=1}^{\infty}\left((-1)^n\frac{(1+2)(1+4)\cdots(2n-1)}{2^nn!}t^n\right)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n}\right)$$ Почленно проинтегрировав полученное разложение получим $$\arcsin{x}=\int_0^x\frac1{\sqrt{1-t^2}}\,dt=x+\sum_{n=1}^{\infty}\int_0^x\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}t^{2n}\,dt= x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!x^{2n+1}}{(2n)!!(2n+1)}$$ Так как $\begin{multline} \frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}:\frac{(2(n+1)-1)!!}{(2(n+1))!!(2n+3)}=\frac{(2n-1)!!(2n+1)}{(2n)!!(2n+2)(2n+3)}= \frac{(2n+2)(2n+3)}{(2n+1)^2}=\frac{4n^2+10n+6}{4n^2+4n+1}=\frac{(4n^2+4n+1)+6n+5}{4n^2+4n+1}=1+\frac{6n+5}{4n^2+4n+1}\Rightarrow\\ \Rightarrow\forall{n}>5\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=\frac{6n^2+5n}{4n^2+4n+1}=\frac{6+\frac{5}{n}}{4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}>\frac65= 1+\frac15\right), \end{multline}$ то ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}$ сходится по признаку Раабе, а ряд $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!x^{2n+1}}{(2n)!!(2n+1)}$ сходится по признаку Абеля на $(-1,1]$.
Тогда аналогично примеру 10.2.8 имеем: $\displaystyle\arcsin{1}=\frac{\pi}{2}=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}$.

10.2.5 Дифференцирование и предельный переход.

Теорема 10.2.3: Пусть $a,b\in\mathbb{R}$, $a<{b}$, $\Delta:=\Delta(a,b)$, для любого $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)\colon\Delta\to\mathbb{R}$, $\varphi(x)\colon\Delta\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $\forall{n}\in\mathbb{N}\,\forall{x}\in\Delta\exists{f}'_n(x)$,
2. функциональная последовательность $\{f'_n(x)\}$ сходится равномерно к $\varphi$ на $\Delta$,
3. существует $x_0\in\Delta$ такое, что числовая последовательность $\{f_n(x_0)\}$ сходится,

1. функциональная последовательность $\{f_n(x)\}$ сходится равномерно на $\Delta$ к функции $f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$,
2. $\forall{x}\in(a,b)(\exists{f}'(x)=\varphi(x)).$

Доказательство:

1. Реализуем критерий Коши равномерной сходимости для последовательности функций $\{f_n(x)\}$ на множестве $\Delta$. $$\forall{x}\in\Delta\,\forall{m},n\in\mathbb{N}(|f_m(x)-f_n(x)|=|(f_m-f_n)(x)-(f_m-f_n)(x_0)+(f_m-f_n)(x_0)|\leq |(f_m-f_n)(x)-(f_m-f_n)(x_0)|+|(f_m-f_n)(x_0)|)$$ По теореме Лагранжа для функции $f_m-f_n$ существует $\xi\in\Delta$ такое, что $|(f_m-f_n)(x)-(f_m-f_n)(x_0)|=|(f'_m-f'_n)(\xi)(x-x_0)|$, тогда $$\forall{x}\in\Delta\,\forall{m},n\in\mathbb{N}(|f_m(x)-f_n(x)|\leq|(f'_m-f'_n)(\xi)(x-x_0)|+|f_m(x_0)-f_n(x_0)|\leq (b-a)\sup_{\xi\in\Delta}|f'_m(\xi)-f'_n(\xi)|+|f_m(x_0)-f_n(x_0)|)\qquad(1)$$ Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда из сходимости числовой последовательности $\{f_n(x_0)\}$ следует, что $$\exists{n}_1\in\mathbb{N}\colon\forall{m}\geq{n}>{n}_1\left(|f_m(x_0)-f_n(x_0)|<\frac{\varepsilon}{2}\right)\qquad(2)$$ Из равномерной сходимости функциональной последовательности $\{f'_n(x)\}$ следует, что $$\exists{n}_2\in\mathbb{N}\colon\forall{m}\geq{n}>{n}_2\,\forall\xi\in\Delta\left(|f'_m(\xi)-f'_n(\xi)|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\right)\Rightarrow \forall{m}\geq{n}>{n}_2\left(\sup_{\xi\in\Delta}|f'_m(x)-f'_n(x)|\leq\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\right)$$ Подставляя последнюю оценку и оценку (2) в неравенство (1) получим $$\exists{n}_0\in\mathbb{N}\colon\forall{x}\in\Delta\left(|f_m(x)-f_n(x)|<(b-a)\frac{\varepsilon}{2(b-a)}+\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\right)$$ Таким образом равномерная сходимость последовательности $\{f_n(x)\}$ доказана. Так как из равномерной сходимости следует поточечная, то для любого $x\in\Delta$ определена функция $f(x):=\lim_{n\to\infty}f_n(x)$ такакя, что $f_n(x)\UniformConv{f}(x),x\in\Delta$.
2. Фиксируем $x\in(a,b)$ и докажем, что существует производная $f'(x)=\varphi(x)$. Обозначим $E_x:=\{h\in\mathbb{R}\mid{x}+h\in\Delta\}$ и рассмотрим функциональную последовательность $\{\mathcal{F}_n(h)\}$ такую, что $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(\mathcal{F}_n(h):=\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h}-f'_n(x)\colon{E}_x\backslash\{0\}\to\mathbb{R}\right)$$ Докажем, что функциональная последовательность $\{\mathcal{F}_n(h)\}$ удовлетворяет на множестве $E_x\backslash\{0\}$ условиям теоремы 10.2.1 о коммутировании предельных переходов.
   Так как $x\in(a,b)$ является внутренней точкой для $\Delta$, то $E_x\neq\varnothing$ и $0\in{E}_x\cap\mathring{E}_x$. Следовательно, для любого $n\in\mathbb{N}$ можно рассматривать предел функции $\mathcal{F}_n(h)$ при $h\to0$ по $E_x$, тогда $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(\exists{A}_n:=\lim_{E_x\ni{h}\to0}\mathcal{F}_n(h)=\lim_{E_x\ni{h}\to0}\left(\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h}-f'_n(x)\right)= f'_n(x)-f'_n(x)=0\right)$$ C другой стороны для любых $m,n\in\mathbb{N}$, $h\in{E}_x$ $\begin{multline} |h||\mathcal{F}_m(h)-\mathcal{F}_n(h)|=|(f_m(x+h)-f_m(x)-f'_m(x)h)-(f_n(x+h)-f_n(x)-f'_n(x)h)|=\\=|(f_m-f_n)(x+h)-(f_m-f_n)(x)-(f'_m-f'_n)(x)h|\leq |(f_m-f_n)(x+h)-(f_m-f_n)(x)|+|(f'_m-f'_n)(x)h| \end{multline}$ По теорема Лагранжа для функции $f_m-f_n$ существует $\xi$ лежащие между $x$ и $x+h$ такое, что $|(f_m-f_n)(x+h)-(f_m-f_n)(x)|=|(f'_m-f'_n)(\xi)h|$, тогда $$|h||\mathcal{F}_m(h)-\mathcal{F}_n(h)|\leq|(f'_m-f'_n)(\xi)h|+|(f'_m-f'_n)(x)h|\Rightarrow |\mathcal{F}_m(h)-\mathcal{F}_n(h)|\leq|f'_m(\xi)-f'_n(\xi)|+|f'_m(x)-f'_n(x)|$$ Фиксируем $\varepsilon>0$. Так как по условию функциональная последовательность $\{f'_n(x)\}$ равномерно сходится, то по критерию Коши $$\exists{n}_1\in\mathbb{N}\colon{m}\geq{n}>n_1\,\forall\xi\in\Delta\left(|f_m(\xi)-f_n(\xi)|<\frac{\varepsilon}{2}\right)\Rightarrow \forall{m}\geq{n}>n_1\,\forall{h}\in{E}_x\backslash\{0\}\left(|\mathcal{F}_m(h)-\mathcal{F}_n(h)|\leq|f'_m(\xi)-f'_n(\xi)|+|f'_m(x)-f'_n(x)|< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\right)$$ Таким образом функциональная последовательность $\{\mathcal{F}_n(h)\}$ сходится равномерно на множестве $E_x\backslash\{0\}$, к функции $\mathcal{F}(h)$ где для любого $h\in{E}_x\backslash\{0\}$ $$\mathcal{F}(h):=\lim_{n\to\infty}\mathcal{F}_n(h)=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h}-f'_n(x)\right)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\varphi(x)$$ Таким образом, последовательность $\{\mathcal{F}_n(h)\}$ удовлетворяет условиям теоремы 10.2.1, следовательно $$\exists\lim_{E_x\ni{h}\to0}\mathcal{F}_n(h)=\lim_{n\to\infty}{A}_n=0\Rightarrow \exists\lim_{E_x\ni{h}\to0}\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\varphi(x)\right)=0\Rightarrow\exists{f}'(x)=\lim_{E_x\ni{h}\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \varphi(x)$$

Следствие 10.2.7: Вариант теоремы для рядов.
Пусть $a,b\in\mathbb{R}$, $a<{b}$, $\Delta:=\Delta(a,b)$, для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n(x)\colon\Delta\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $\forall{n}\in\mathbb{N}\,\forall{x}\in(a,b)\exists{a}'_n(x)$,
2. функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a'_n(x)$ сходится равномерно на $(a,b)$,
3. существует $x_0\in\Delta$ такое, что числовой ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x_0)$ сходится,

1. функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$ сходится равномерно к $S(x):=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$,
2. $\forall{x}\in(a,b)\left(S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a'_n(x)\right)$.

Доказательство: Из существования производных $a'_n(x)$ следует существования производных $S'_n(x)$ для частичных сумм $S_n(x):=\sum_{k=1}^na_k(x)$. Так что к последовательности $\{S_n(x)\}$ можно применить теорему 10.2.3.

Следствие 10.2.8: Вариант теоремы для вещественных степенных рядов.
Пусть для любого $n\in\mathbb{N}_0$ $a_n\in\mathbb{R}$, $x\in\mathbb{R}$, радиус сходимости ряда $\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)$ равен $R\in(0,+\infty]$, $S(x):=\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)\colon(-R,R)\to\mathbb{R}$, тогда $$\forall{x}\in(-R,R)\left(\exists{S}'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(a_nnx^{n-1})\right).$$

Доказательство: Ранее было показано, что радиусы сходимости рядов $\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)$ и $\sum_{n=0}^{\infty}(a_nnx^{n-1})$ равны. Следовательно, ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(a_nnx^{n-1})$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда по следствию 10.2.2 ряд $\sum_{n=0}^{\infty}(a_nnx^{n-1})$ сходится равномерно на $(-R,R)$. Значит для ряда $\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)$ можно применить следствие 10.2.7, где в качестве точки $x_0$ можно взять точку $0\in(-R,R)$.

В отличии от почленного интегрирования степенного ряда, почленное дифференцирование может сужать множество сходимости (однако, радиус сходимости, как было показано в следствии 10.2.8 сохраняется тем же и в этом случае).

Задача 10.2.4: Построить пример, когда почленное дифференцирование степенного ряда сужает множество сходимости.

Решение: Например, ряд $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^n}{n}$ имеет множество сходимости $[-1,1]$, а ряд полученный из производных его членов $\sum_{n=0}^{\infty}((-1)^nx^{n-1})$ имеет множество сходимости $[-1,1)$.

Пример 10.2.10: Вычислим сумму степенного ряда $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(nx^n)$.
Радиус сходимости ряда $\sum_{n=0}^{\infty}(nx^n)$ равен радиусу сходимости ряда $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ то есть единице.
Для любого $x\in(-1,1)$ и $n\in\mathbb{N}$ $\displaystyle\frac{S_n(x)}{x}=\sum_{k=0}^n(kx^{k-1})$, тогда переходя к пределу при $n\to\infty$ $$\frac{S(x)}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}(nx^{n-1})=\sum_{n=0}^{\infty}(x^n)'=\left(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\right)'=\left(\frac1{1-x}\right)'= \frac1{(1-x)^2}\Rightarrow{S}(x)=\frac{x}{(1-x)^2}.$$

Теорема 10.2.4: Теорема Вейерштрасса - Стоуна.
Если $f(x)\in{C}([a,b];\mathbb{C})$, то существует такая последовательность $\{P_n\}$ многочленов $P_n(x)\colon[a,b]\to\mathbb{C}$, что $P_n(x)\UniformConv{f}(x)$ на $[a,b]$.
При этом если $f(x)\in{C}([a,b];\mathbb{R})$, то и многочлены $P_n$ можно выбрать действительнозначные.

Доказательство: Зорич т. 2, стр. 472.

previous contents next