Mathematical analysis 11.1

2 курс. 1 семестр.

11. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ.

11.1 Метрическое пространство.

Определение 11.1.1: Говорят, что не пустое множество $X$ наделено метрикой или структурой метрического пространства, если задана функция $\rho\colon{X}\times{X}\to\mathbb{R}$ удовлетворяющая условиям

$\rho(x,y)=0\Leftrightarrow{x}=y$ (не вырожденность),
$\rho(x,y)=\rho(y,x)$ (симметричность),
$\rho(x,z)\leq\rho(x,y)+\rho(y,z)$ (неравенство треугольников)

для любых $x,y,z\in{X}$.
При этом функцию $\rho$ называют метрикой, а ее значение $\rho(x,y)$ расстоянием между элементами $x$ и $y$.
Пару $(X, \rho)$ называют метрическим пространством.

Следствие 11.1.1: Если $(X,\rho)$ метрическое пространство, то для любых $x\neq{y}$ из $X$ $\rho(x,y)>0$.

Доказательство: По аксиоме 3, 2, 1. $$\forall{x_1},x_2\in{X}(\rho(x_1,x_1)\leq\rho(x_1,x_2)+\rho(x_2,x_1)=2\rho(x_1,x_2)\Rightarrow0\leq2\rho(x_1,x_2)\Rightarrow\rho(x_1,x_2)\geq0)$$ Тогда так как по условию $x\neq{y}$, то по аксиоме 1 $\rho(x,y)\neq0$, следовательно, $\rho(x,y)>0$

Пример 11.1.1:

Способы метризации множества $\mathbb{R}$.
1. Функция расстояния $\rho(x,y):=|x-y|$ является метрикой на $\mathbb{R}$.
2. Пусть строго выпуклая вниз функция $f(x)\colon\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ такая, что $f(0)=0$, для любого $x>0$ $f(x)>0$, тогда функция $\rho_f(x,y):=f(|x-y|)\colon\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ является метрикой на $\mathbb{R}$.
  Например, положим $f(x):=\frac{x}{1+x}\colon\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$, тогда функция $\rho(x,y):=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$ будет метрикой на $\mathbb{R}$ такой, что для любых $x,y\in\mathbb{R}$ $0\leq\rho(x,y)<1$.
Функция расстояния на множестве комплексных чисел $\rho(z_1,z_2)=|z_1-z_2|$ является метрикой на $\mathbb{C}$.
Способы метризации множества $\mathbb{R}^n$.
1. Функция расстояния $\displaystyle\rho(x,y):=\|x-y\|:=\left(\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\right)^\frac12$ на множестве $\mathbb{R}^n$ является метрикой.
  Доказательство неравенства треугольников для случая $n=2$ аналогично доказательству неравенства треугольников для модуля комплексных чисел. Индукцией по $n$ данное доказательство можно распространить на случай произвольного $n\in\mathbb{N}$.
2. Предыдущий пример может быть обобщен. Для любого $p\geq1$ функция $\displaystyle\rho_p(x,y):=\left(\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^p\right)^\frac1{p}$ является метрикой на $\mathbb{R}^n$.
  Аксиома 3 в данном случае следует из неравенства Минковского $$\left(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^p\right)^\frac1{p}\leq\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^\frac1{p}+\left(\sum_{i=1}^n|y_i|^p\right)^\frac1{p},$$ которое в свою очередь доказывается с использованием неравенства Гёльдера $$\forall{p}>1\,\forall{q}>1\left(\frac1{p}+\frac1{q}=1\Rightarrow \sum_{i=1}^n|x_iy_i|=\left(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\right)^\frac1{p}\left(\sum_{i=1}^n|y_i|^q\right)^\frac1{q}\right)$$ являющимся обобщением неравенства Коши-Буняковского.
3. Функция $\displaystyle\rho(x,y):=\max_{i\in\overline{1,n}}|x_i-y_i|$ является метрикой на $\mathbb{R}^n$.
  Проверим неравенство треугольников. Действительно, для любых $x,y,z\in\mathbb{R}^n$ из свойства расстояния на $\mathbb{R}$ следует $$\forall{i}\in\overline{1,n}(|x_i-z_i|\leq|x_i-y_i|+|y_i-z_i|\leq\max_{i\in\overline{1,n}}|x_i-y_i|+\max_{i\in\overline{1,n}}|y_i-z_i|)\Rightarrow \max_{i\in\overline{1,n}}|x_i-z_i|\leq\max_{i\in\overline{1,n}}|x_i-y_i|+\max_{i\in\overline{1,n}}|y_i-z_i|$$
4. Для любых положительных $c_1,\ldots,c_n\in\mathbb{R}$ функция $\rho(x,y):=\sum_{i=1}^n(c_i|x_i-y_i|)$ является метрикой на $\mathbb{R}^n$.

Пример 11.1.2:

Способы метризации пространства непрерывных функций $C[a,b]$
1. Функция $\displaystyle\rho(x(t),y(t)):=\max_{t\in[a,b]}|x(t)-y(t)|$ является метрикой на множестве функций $C[a,b]$.
2. Для любого $p\geq1$ функция $\displaystyle\rho(x(t),y(t)):=\left(\int_a^b|x(t)-y(t)|^p\,dt\right)^\frac1{p}$ является метрикой на множестве функций $C[a,b]$.
  При $p=1$ эта метрика называется расстоянием между функциями $x(t)$, $y(t)$ в среднем.
  При $p=2$ эта метрика называется расстоянием между функциями $x(t)$, $y(t)$ в среднем квадратичном.
  Расстояние в среднем квадратичном будет использоваться при рассмотрении главы 15 "ОБЩАЯ ТЕОРИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ".
См. Зорич т. 2, стр. 3
Способы метризации пространства непрерывных функций $C^n[a,b]$
1. Для любых положительных $c_0,\ldots,c_n\in\mathbb{R}$ функция $\rho(x(t),y(t)):=\sum_{i=0}^n(c_i\max_{t\in[a,b]}|x^{(i)}(t)-y^{(i)}(t)|)$ является метрикой на множестве функций $С^n[a,b]$.
2. Функция $\displaystyle\rho(x(t),y(t)):=\max_{i\in\overline{0,n}}\left(\max_{t\in[a,b]}|x^{(i)}(t)-y^{(i)}(t)|\right)$ является метрикой на множестве функций $C^n[a,b]$.
  См. Зорич т. 2, стр. 5

Определение 11.1.2: Пусть $(X,\rho)$ метрическое пространство, $\delta>0$, $a\in{X}$, тогда множество $B(a,\delta):=\{x\in{X}\mid\rho(a,x)<\delta\}$ называется шаром с центром в точке $a$ радиуса $\delta$ или $\delta$-окрестностью точки $a$.

Пример 11.1.3:

Для любой из метрик пространства $C[a,b]$ приведенных в примере 11.1.2 $B(0,1)=\{x(t)\in{C}[a,b]\mid\forall{t}\in[a,b](|x(t)|<1)\}$.
Пусть $X:=[0,1]\times[0,1]$, $\rho(x,y):=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$, тогда $$\forall\delta\geq\frac{\sqrt2}{2}(B(0,\delta)=X)$$

Определение 11.1.3: Пусть $(X,\rho)$ метрическое пространство, тогда множество $G\subset{X}$ называется открытым в метрическом пространстве $(X,\rho)$, если для любой точки $x\in{G}$ найдется шар $B(x,\delta)$ такой, что $B(x,\delta)\subset{G}$.

Пример 11.1.4: Пусть $(X,\rho)$ метрическое пространство, $a\in{X}$, ${r}>{0}$, тогда множество $B(a,r)$ открыто в пространстве $(X,\rho)$. Действительно, для любого $x_0\in{B}(a,r)$ $\rho(a,x_0)<{r}$, фиксируем $\delta\in(0,r-\rho(a,x_0))$, тогда $$(\xi\in{B}(x_0,\delta)\Rightarrow\rho(\xi,x_0)<\delta\Rightarrow\rho(a,\xi)\leq\rho(a,x_0)+\rho(\xi,x_0)<\rho(a,x_0)+r-\rho(a,x_0)=r\Rightarrow \xi\in{B}(a,r))\Rightarrow{B}(x_0,\delta)\subset{B}(a,r).$$

Задача 11.1.1:

Пусть $(X,\rho)$ метрическое пространство, $a\in{X}$, $r>0$. Доказать, что множество $Y:=\{x\in{X}\mid\rho(a,x)>r\}$ открыто в $(X,\rho)$.
Пусть $X:=\mathbb{R}^n$, $\rho(x,y):=\|x-y\|$, $a_i,\ldots{a}_n,b_1,\ldots,b_n\in\mathbb{R}$ такие, что для любого $i\in\overline{1,n}$ $a_i<{b}_i$ доказать, что множество $G:=(a_i,b_i)\times\cdots\times(a_n,b_n):=\{x\in\mathbb{R}^n\mid\forall{i}\in\overline{1,n}(a_i<{x}_i<{b}_i)\}$ открыто в $(X,\rho)$.

Решение:

Для любого $x_0\in{Y}$ $\rho(a,x_0)>r$, фиксируем $\delta\in(0,\rho(a,x_0)-r)$, тогда $$(\xi\in{B}(x_0,\delta)\Rightarrow\rho(x_0,\xi)<\delta\Rightarrow\rho(a,x_0)\leq\rho(a,\xi)+\rho(x_0,\xi)\Rightarrow \rho(a,\xi)\geq\rho(a,x_0)-\rho(x_0,\xi)>\rho(a,x_0)-\rho(a,x_0)+r=r\Rightarrow\xi\in{Y})\Rightarrow{B}(x_0,\delta)\subset{Y}.$$

Фиксируем $x=(x_1,\ldots,x_n)\in{G}$. Для любого $i\in\overline{1,n}$ существует $\delta_i$ такое, что $a_i<{x}_i-\delta_i<{x}_i<{x}_i+\delta_i<{b}_i$. Обозначим $\delta:=\min_{i\in\overline{1,n}}\delta_i$, тогда $B(x,\delta)\subset{G}$. $$\xi=(\xi_1,\dots,\xi_n)\in{B}(x,\delta)\Rightarrow\|x-\xi\|=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-\xi_i)^2}<\delta\Rightarrow\sum_{i=1}^n(x_i-\xi_i)^2<\delta^2\Rightarrow \forall{i}\in\overline{1,n}(|x_i-\xi_i|<\delta)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,n}(\xi_i\in(a_i,b_i))\Rightarrow\xi\in{G}.$$

Определение 11.1.4: Пусть $(X,\rho)$ метрическое пространство, тогда множество $F\subset{X}$ называется замкнутым в метрическом пространстве $(X,\rho)$, если множество $X\backslash{F}$ открыто в метрическом пространстве $(X,\rho)$.

Из определений 11.1.3 и 11.1.4 следует, что если $(X,\rho)$ метрическое пространство, то множества $X$ и $\varnothing$ являются и открытыми, и замкнутыми в $(X,\rho)$.
Так же существуют множества, которые не являются ни открытыми, ни замкнутыми, на пример, это любой полуинтервал $[a,b)$ в пространстве вещественных чисел $\mathbb{R}$ с метрикой $\rho(x,y)=|x-y|$.

Пример 11.1.5: Если $(X,\rho)$ метрическое пространство, $a\in{X}$, $r>0$, то множество $\overline{B}(a,r):=\{x\in{X}\mid\rho(a,x)\leq{r}\}$, называемое замкнутым шаром с центром в точке $a$ радиуса $r$, является замкнутым в $(X,\rho)$, так как в задаче 11.1.1 было показано, что множество $X\backslash\overline{B}(a,r)=\{x\in{X}\mid\rho(a,x)>r\}$ открыто.

$\newcommand{\card}{\operatorname{card}}$

Утверждение 11.1.1: Свойства открытых и замкнутых множеств. Пусть $(X,\rho)$ метрическое пространство, тогда

для любого множества $I$, если для любого $\alpha\in{I}$ множество $G_{\alpha}\subset{X}$ открыто в $(X,\rho)$, то множество $\bigcup_{\alpha\in{I}}G_{\alpha}$ открыто в $(X,\rho)$;
для любого конечного множества $I$, если для любого $\alpha\in{I}$ множество $G_{\alpha}\subset{X}$ открыто в $(X,\rho)$, то множество $\bigcap_{\alpha\in{I}}G_{\alpha}$ открыто в $(X,\rho)$;
для любого множества $I$, если для любого $\alpha\in{I}$ множество $F_{\alpha}\subset{X}$ замкнуто в $(X,\rho)$, то множество $\bigcap_{\alpha\in{I}}F_{\alpha}$ замкнуто в $(X,\rho)$;
для любого конечного множества $I$, если для любого $\alpha\in{I}$ множество $F_{\alpha}\subset{X}$ замкнуто в $(X,\rho)$, то множество $\bigcup_{\alpha\in{I}}F_{\alpha}$ замкнуто в $(X,\rho)$.

Доказательство:

$$ x\in\bigcup_{\alpha\in{I}}G_{\alpha}\Rightarrow\exists{\alpha}_0\in{I}\colon{x}\in{G}_{{\alpha}_0}\Rightarrow \exists\delta>0\colon{B}(x,\delta)\subset{G}_{{\alpha}_0}\Rightarrow{B}(x,\delta)\subset\bigcup_{\alpha\in{I}}G_{\alpha}. $$
Пусть $\card{I}=n\in\mathbb{N}$, тогда можно считать, что $I=\overline{1,n}$ $$x\in\bigcap_{i=1}^nG_i\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,n}(\exists{\delta}_i>0\colon{B}(x,\delta_i)\subset{G}_i)\Rightarrow \exists\delta:=\min_{i\in\overline{1,n}}\delta_i\colon\forall{i}\in\overline{1,n}(B(x,\delta)\subset{G}_i)\Rightarrow B(x,\delta)\subset\bigcap_{i=1}^nG_i$$
Для любого $\alpha\in{I}$ множество $X\backslash{F_{\alpha}}$ открыто, следовательно, по пункту 1 множество $X\backslash\bigcap_{\alpha\in{I}}F_{\alpha}=\bigcap_{\alpha\in{I}}(X\backslash{F}_\alpha)$ открыто, следовательно, множество $\bigcap_{\alpha\in{I}}F_{\alpha}$ замкнуто.
Аналогично пункту 3 утверждение следует из равенства $X\backslash\bigcup_{i=1}^nF_i=\bigcap_{i=1}^n(X\backslash{F}_i)$ и пункта 2.

Определение 11.1.5: Если $(X,\rho)$ метрическое пространство, $x\in{X}$, то любое открытое множество $U\subset{X}$ содержащее точку $x$ называется окрестностью точки $x$.

Пример 11.1.6:Если в пункте 2 утверждения 11.1.1 множество $I$ бесконечно, то утверждение не верно. Например, пусть $X=\mathbb{R}$, $\rho(x,y)=|x-y|$, $I=\mathbb{N}$, для любого $n\in\mathbb{N}$ $G_n:=\left(-\frac1{n},\frac1{n}\right)$, тогда для любого $n\in\mathbb{N}$ множество $G_n$ открыто в $(X,\rho)$, но множество $\bigcap_{i=1}^{\infty}G_i=\{0\}$ замкнуто.

Задача 11.1.2: Пусть $(X,\rho)$ метрическое пространство, множество $G\subset{X}$ открыто в $(X,\rho)$, множество $F\subset{X}$ замкнуто в $(X,\rho)$. Доказать, что

множество $G\backslash{F}$ открыто в $(X,\rho)$,
множество $F\backslash{G}$ замкнуто в $(X,\rho)$.

Решение:

Так как $G\backslash{F}=G\cap(X\backslash{F})$ и множества $G$, $X\backslash{F}$ открыты в $(X,\rho)$, то утверждение следует из пункта 2 утверждения 11.1.1.

Так как $X\backslash(F\backslash{G})=(X\backslash{F})\cup{G}$ и множества $G$, $X\backslash{F}$ открыты в $(X,\rho)$, то из пункта 1 утверждения 11.1.1 следует, что множество $X\backslash(F\backslash{G})$ открыто, то есть множество $F\backslash{G}$ замкнуто.

Из задачи например следует, что сфера с центром в точке $a$ радиуса $r$ $S(a,r):=\{x\in{X}\mid\rho(a,x)=r\}$ есть множество замкнутое как разность замкнутого и открытого $S(a,r)=\overline{B}(a,r)\backslash{B}(a,r)$.

В силу определения окрестности и утверждения 11.1.1 легко видеть, что окрестность точки в абстрактном метрическом пространстве обладает теми же свойствами, что и окрестность точки в $\mathbb{R}$. Это позволяет переносить доказательства, сделанные для случай вещественнозначных функций одного аргумента, на случай функций в абстрактных метрических пространствах.
Для окрестности точки $x$ в абстрактном метрическом пространстве вводятся аналогичные обозначения:

$U(x)$ - окрестность точки $x$ - произвольное открытое множество содержащее $x$,
$U^{\delta}(x):=B(x,\delta)$ - $\delta$-окрестность точки $x$,
$\mathring{U}(x):=U(x)\backslash{x}$ - проколотая окрестность точки $x$ (по задаче 11.1.2 является открытым множеством).

Определение 11.1.6: Если $(X,\rho)$ метрическое пространство, $E\subset{X}$, $x\in{X}$, то говорят, что точка $x$ является по отношению к множеству $E$:

внутренней, если существует окрестность $U(x)$ такая, что $U(x)\subset{E}$;
внешней, если существует окрестность $U(x)$ такая, что $U(x)\subset{X}\backslash{E}$;
граничной, если для любой окрестности $U(x)$ $U(x)\cap{E}\neq\varnothing$ и $U(x)\cap{X}\backslash{E}\neq\varnothing$;
предельной, если для любой окрестности $U(x)$ множество $U(x)\cap{E}$ бесконечно.

Множество внутренних точек множества $E$ обозначают $int{E}$, это множество открыто.
Множество граничных точек множества $E$ обозначают $\partial{E}$, это множество точек, которые не являются для множества $E$ ни внешними, ни внутренними. В качестве примера множества граничных точек можно рассмотреть множество $S(a,r)=\partial{B}(a,r)=\partial\overline{B}(a,r)$.
Множество предельных точек множества $E$, так же как и для случая множества действительных чисел, обозначают как $\mathring{E}$.

Утверждение 11.1.2: Критерий замкнутости множеств.
Если $(X,\rho)$ метрическое пространство, то множество $F\subset{X}$ замкнуто в $X$ тогда и только тогда, когда $F$ содержит все свои предельные точки, то есть $F=F\cup\mathring{F}$.

Доказательство: Зорич т.2, стр. 8.

Определение 11.1.7: Множество $K$ называется компактным в метрическом пространстве $(X,\rho)$, если из любого покрытия этого множества открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.

Утверждение 11.1.3: Если множество $K$ - компакт в метрическом пространстве $(X,\rho)$, то $K$ замкнуто в $(X,\rho)$.

Доказательство: Доказательство в более общем виде дано в Зорич т. 2, стр. 20.

Пример 11.1.7: Как было показано ранее из любого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное подпокрытие, следовательно, отрезок - компакт в $(\mathbb{R},\rho)$.

Определение 11.1.8: Пусть $(X, \rho_x)$, $(Y, \rho_y)$ метрические пространства, тогда говорят, что функция $f(x)\colon{X}\to{Y}$ имеет предел в точке $a\in\mathring{X}$ равный $A\in{Y}$, если для любой окрестности $V(A)\subset{Y}$ точки $A$ найдется окрестность $U(a)\subset{X}$ точки $a$ такая, что $f(\mathring{U}(a))\subset{V}(A)$, то есть $$\exists\lim_{x\to{a}}f(x)=A\Leftrightarrow\forall{V}(A)\,\exists{U}(a)\colon{f}(\mathring{U}(a))\subset{V}(A)$$ или $$\exists\lim_{x\to{a}}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0\colon(0<\rho_x(x,a)<\delta\Rightarrow\rho_y(f(x),A)<\varepsilon).$$

Эквивалентность формулировок следует из того, что шар является окрестностью и, с другой стороны, в любую окрестность можно "вписать" шар.

Определение 11.1.9: Пусть $(X,\rho)$ метрическое пространство. Тогда будем говорить, что множество $E\subset{X}$ ограничено в метрическом пространстве $(X,\rho)$, если существует $x\in{X}$ и $\delta>0$ такие, что $E\subset{B}(x,\delta)$.

Определение 11.1.10: Пусть $(X,\rho_x)$, $(Y,\rho_y)$ метрические пространства. Отображение $f(x)\colon{X}\to{Y}$ называется ограниченным, если множество $f(X)$ ограничено в метрическом пространстве $Y$.

Определение 11.1.11: Пусть $(X,\rho_x)$, $(Y,\rho_y)$ метрические пространства, $a\in{X}$. Отображение $f(x)\colon{X}\to{Y}$ называется локально ограниченным при $x\to{a}$, если существует окрестность $U(a)\subset{X}$ такая, что множество $f(U(a))$ ограничено в метрическом пространстве $Y$.

Определение 11.1.12: Последовательность $\{x_n\}$ точек метрического пространства $(X,\rho)$ называется фундаментальной последовательностью или последовательностью Коши, если для любого $\varepsilon>0$ найдется номер $n_0\in\mathbb{N}$ такой, что при любых $m,n\in\mathbb{N}$ больших $n_0$ выполняется соотношение $\rho(x_m,x_n)<\varepsilon$.

Определение 11.1.13: Будем говорить, что последовательность $\{x_n\}$ точек метрического пространства $(X,\rho)$ сходится к точке $a\in{X}$, и что точка $a$ есть предел этой последовательности если существует предел $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\rho(a,x_n)=0$.

Определение 11.1.14: Метрическое пространство $(X,\rho)$ называется полным, если каждая фундаментальная последовательность его точек является сходящейся.

previous contents next