7.3 Абсолютно сходящиеся ряды.

7.3.1 Определения и простейшие свойства абсолютно сходящихся рядов.

Определение 7.3.1: Говорят, что ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится абсолютно, если сходится ряд $\sum_{n=1}^\infty|a_n|$.

Следствие 7.3.1: Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство: Если ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится абсолютно, то сходится ряд $\sum_{n=1}^\infty|a_n|$. Тогда по критерию Коши сходимости рядов и неравенству треугольников имеем $$\forall\varepsilon>0\:\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{m}\geq{n}>n_0\left(\left|\sum_{k=n}^m|a_k|\right|<\varepsilon\right)\Rightarrow \forall{m}\leq{n}<n_0\left(\left|\sum_{k=n}^ma_k\right|<\varepsilon\right)$$ Таким образом ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится по критерию Коши.

Пример 7.3.1: Из сходимости не следует абсолютная сходимость.
Пусть $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(a_n=\begin{cases}\frac1{k}, & n=2k-1\\-\frac1{k}, & n=2k\end{cases}\right)\Rightarrow \sum_{n=1}^\infty{a}_n=1-1+\frac1{2}-\frac1{2}+\dots+\frac1{n}-\frac1{n}+\dots$$ тогда $$S_n=\begin{cases}0, & n=2k\\\frac1{k}, & n=2k-1\end{cases}\Rightarrow\exists\lim_{n\to\infty}S_n=0$$ то есть ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится.
Но ряд $\sum_{n=1}^\infty|a_n|$ расходится, так как это удвоенный гармонический ряд.

Определение 7.3.2: Будем говорить, что ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится не абсолютно или условно, если ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится, а ряд $\sum_{n=1}^\infty|a_n|$ расходится.

1. Для случая знакопостоянных рядов сходимость и абсолютная сходимость эквивалентны.
2. Для исследования на абсолютную сходимость работают все результаты полученные для знакопостоянных рядов.
3. Для рядов сходящихся не абсолютно приведенная выше техника не работает.
4. Для случая не абсолютной сходимости нужно получать новые признаки сходимости (Лейбниц, Абель, Дирихле).

Утверждение 7.3.1: Мажорантный признак Вейерштрасса абсолютной сходимости.
Если ряды $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$, $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ и $n_0\in\mathbb{N}$ такие, что для любого $n>n_0$ $|a_n|<b_n$, то если ряд $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится абсолютно.

Доказательство: Так как начиная с некоторого $n_0\in\mathbb{N}$ $0<|a_n|\leq{b}_n$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ знакопостоянный, следовательно, знакопостоянный ряд $\sum_{n=1}^\infty|a_n|$ сходится по основной теореме сравнения, то есть ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится абсолютно.

Пример 7.3.2: Рассмотрим ряды $\sum_{n=1}^\infty{a}_n=\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin{n}}{n^2}$ и $\sum_{n=1}^\infty{b}_n=\frac1{n^2}$.
Для любого $n\in\mathbb{N}$ $|a_n|\leq{b}_n$ и ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}$ сходится, следовательно, ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac{\sin{n}}{n^2}$ сходится абсолютно, то есть сходится ряд $\sum_{n=1}^\infty|\frac{\sin{n}}{n^2}|$.

Утверждение 7.3.2: Неравенство теругольников для счетных сумм.
Если ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится абсолютно, то для любого $n\in\mathbb{N}$ $|\sum_{k=n}^\infty{a}_k|\leq\sum_{k=n}^\infty|a_k|$.

Доказательство: Так как ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится абсолютно, то сходится абсолютно любой его остаток, то есть существуют пределы $\lim_{m\to\infty}\sum_{k=n}^m|a_k|$ и $\lim_{m\to\infty}\sum_{k=n}^m{a}_k$. Так как функция модуля непрерывна, то $$\lim_{m\to\infty}\left|\sum_{k=n}^m{a}_k\right|=\left|\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^m{a}_k\right|$$ тогда по неравенству треугольников $$\forall{m}\geq{n}\left(\left|\sum_{k=n}^m{a}_k\right|\leq\sum_{k=n}^m|a_k|\right)\Rightarrow\lim_{m\to\infty}\left|\sum_{k=n}^m{a}_k\right|= \left|\lim_{m\to\infty}\sum_{k=n}^m{a}_k\right|=\left|\sum_{k=m}^m{a}_k\right|\leq\lim_{m\to\infty}\sum_{k=n}^m|a_k|=\sum_{k=n}^\infty|a_k|$$

Пример 7.3.3: Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n=1-1+\frac1{2}-\frac1{2}+\dots+\frac1{n}-\frac1{n}+\dots$ такой, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n=\begin{cases}\frac1{k}, & n=2k-1\\-\frac1{k}, & n=2k\end{cases}$. Как было показано выше ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится не абсолютно и $\sum_{n=1}^\infty{a}_n=0$.
Переставим члены ряда: сначала берем два положительных слагаемых, потом одно отрицательное и т. д. Исследуем полученный ряд $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ на сходимость $$\sum_{n=1}^\infty{b}_n=1+\frac1{2}-1+\frac1{3}+\frac1{4}-\frac1{2}+\dots+\frac1{2n-1}+\frac1{2n}-\frac1{n}+\dots\Rightarrow \forall{n}\in\mathbb{N}\:b_n= \begin{cases} \frac1{2k-1}, & n=3k-2\\ \frac1{2k}, & n=3k-1\\ -\frac1{k}, & n=3k \end{cases}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow{S}_{3n}=\sum_{k=1}^n\left(\frac1{2k-1}+\frac1{2k}-\frac1{k}\right)= \sum_{k=1}^n\left(\frac1{2k-1}+\frac1{2k}-\sum_{k=1}^n\frac1{k}\right)=\sum_{k=1}^{2n}\frac1{k}-\sum_{k=1}^n\frac1{k}$$ Ранее было показано, что существует последовательность $\{\alpha_n\}$ такая, что $$\left(\lim_{n\to\infty}\alpha_n=0\wedge\forall{n}\in\mathbb{N}\left(\sum_{k=1}^n\frac1{k}=\ln(n+1)+c+\alpha_n\right)\right)\Rightarrow \lim_{n\to\infty}S_{3n}=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{2n}\frac1{k}-\sum_{k=1}^n\frac1{k}\right)= \lim_{n\to\infty}(\ln(2n+1)+c+\alpha_{2n}-\ln(n+1)-c-\alpha_n)=$$ $$=\lim_{n\to\infty}\left(\ln\frac{2n+1}{n+1}+\alpha_{2n}-\alpha_n\right)= \ln{2}+\lim_{n\to\infty}(\alpha_{2n}-\alpha_n)$$ Так как из сходимости последовательности следует сходимость любой ее подпоследовательности к тому же пределу, то $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\alpha_{2n}=0$ и $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{3n}=\ln{2}$, тогда $$\lim_{n\to\infty}S_{3n-1}=\lim_{n\to\infty}\left(S_{3n}+\frac1{n}\right)=\lim_{n\to\infty}S_{3n}+\lim_{n\to\infty}\frac1{n}=\ln{2}$$ $$\lim_{n\to\infty}S_{3n-2}=\lim_{n\to\infty}\left(S_{3n-1}-\frac1{2n}\right)=\ln{2}$$ Так как $$\forall{n}\in\mathbb{N}\:\exists{k}\in\mathbb{N}:(n=3k\vee{n}=3k-1\vee{n}=3k-2)$$ то $\lim_{n\to\infty}S_n=\ln{2}$, так как при реализации предела последовательности можно взять максимальный индекс из тех что реализуют определение пределов $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{3n-1}$, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_{3n-2}$. Таким образом получена перестановка $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ членов ряда $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ такая, что $\sum_{n=1}^\infty{b}_n=\ln{2}\neq0=\sum_{n=1}^\infty{a}_n$. Это означает, что переместительное свойство не работает для рядов сходящихся не абсолютно.

Определение 7.3.3: Будем говорить, что ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n^*$ получен из ряда $\sum_{n=1}^\infty$ путем перестановки членов, если существует биективное отображение $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ такое, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n^*=a_{\varphi(n)}$.

Теорема 7.3.1: Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов.
Если ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится абсолютно, то любой ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n^*$ полученный из него с помощью перестановки членов сходится абсолютно и $\sum_{n=1}^\infty{a}_n=\sum_{n=1}^\infty{a}_n^*$.

Доказательство:

1. Пусть ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n^*$ получет из ряда $\sum_{n=1}^\infty$ путем перестановки $\varphi$. Докажем, что ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n^*$ сходится абсолютно.
   Обозначим $\displaystyle{l}(n):=\max_{1\leq{k}\leq{n}}\varphi(k)$, тогда $l(n)$-тая частичная сумма $S_{l(n)}:=\sum_{k=1}^{l(n)}|a_k|$ будет содержать все слагаемые из $n$-той частичной суммы $S_n^*\sum_{k=1}^n|a_k^*|$. Следовательно, для любого $n\in\mathbb{N}$ $S_n^*\leq{S}_{l(n)}^*$. И так как ряд $\sum_{n=1}^\infty|a_n|$ сходится то по критерию сходимости знакопостоянных рядов последовательность его частичных сумм ограничена, следовательно, ограничена и последовательность частичных сумм ряда $\sum_{n=1}^\infty|a_n^*|$, значит он сходится по тому же критерию.
2. Докажем, что суммы рядов равны, т. е. что $S:=\sum_{n=1}^\infty{a}_n=S:=\sum_{n=1}^\infty{a}_n^*$.
   Фиксируем $\varepsilon$. Ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится абсолютно, следовательно, сходится ряд $\sum_{n=1}^\infty|a_n|$. Тогда по критерию Коши сходимости рядов $$\exists{n}_1\in\mathbb{N}:\forall{m}\geq{n}>n_1\left(\left|\sum_{k=n}^m|a_k|\right|= \sum_{k=n}^m|a_k|<\frac{\varepsilon}{3}\right)$$ Положим $n:=n_1+1>n_1$, так как любой остаток сходящегося ряда сходится, то можем перейти к пределу при $m\to\infty$ $$\sum_{k=n}^\infty|a_k|=\lim_{m\to\infty}\sum_{k=n}^m|a_k|\leq\frac{\varepsilon}{3}<\frac{\varepsilon}{2}$$ тогда $$|S-S_{n_1}|=\left|\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^na_k-\sum_{k=1}^{n_1}a_k\right|= \left|\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^na_k-\sum_{k=1}^{n_1}a_k\right)\right|=\left|\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n_1+1}^na_k\right|= \left|\sum_{k=n_1+1}^\infty{a}_k\right|\leq\sum_{k=n_1+1}^\infty|a_k|<\frac{\varepsilon}{2}$$ Предпоследнее неравенство следует из неравенства треугольников для счетных сумм.
   Так как отображение $\varphi$ биективно, то существует $\displaystyle{m}=m(\varepsilon):=\max_{1\leq{k}\leq{n}_1}\varphi^{-1}(k)$. Здесь $m$ зависит от $\varepsilon$ потому, что значение $n_1$ зависит от $\varepsilon$. Таким образом $m$ - это минимальное число такое, что $\{1,2,\dots,n_1\}\subset\{\varphi(1),\varphi(2),\dots,\varphi(m)\}$, тогда для любого $n>m(\varepsilon)$ $\{1,2,\dots,n_1\}\subset\{\varphi(1),\varphi(2)\dots,\varphi(m),\dots,\varphi(n)\}$. Следовательно, для любого $n>m(\varepsilon)$ $n$-тая частичная сумма $\sum_{k=1}^na_k^*$ ряда перестановки содержит все слагаемые $n_1$-ой частичной суммы $\sum_{k=1}^{n_1}a_k$ исходного ряда. Значит $$\forall{n}>m(\varepsilon)\left(|S_n^*-S_{n_1}|=\left|\sum_{\substack{k\in\overline{1,n}:\\\varphi(k)\geq{n}_1+1}}a_k^*\right|= \left|\sum_{\substack{k\in\overline{1,n}:\\\varphi(k)\geq{n}_1+1}}a_{\varphi(k)}\right|\leq\sum_{\substack{k\in\overline{1,n}:\\\varphi(k) \geq{n}_1+1}}|a_{\varphi(k)}|\leq\sum_{k=n_1+1}^\infty|a_k|<\frac{\varepsilon}{2}\right)$$ Предпоследнее неравенство справедливо так как все слагаемые в правой сумме положительны. Здесь работает условие абсолютной сходимости. Действительно, правая сумма содержит все члены ряда $\sum_{n=1}^\infty|a_n|$ с индексом больше $n_1$, а левая сумма те и только те из них, которые содержаться в сумме $\sum_{k=1}^n|a_k^*|$. Таким образом $$\forall{n}>m(\varepsilon)(|S_n^*-S|\leq|S-S_{n_1}|+|S_n^*-S_{n_1}|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon)\Rightarrow \forall\varepsilon>0\:\exists{m}=m(\varepsilon):\forall{n}>m(\varepsilon)(|S_n^*-S|<\varepsilon)\Rightarrow{S}^*=\lim_{n\to\infty}S_n^*=S$$