8.2 Интеграл Римана-Стилтьеса.

8.2.1 Определение интеграла Стилтьеса.

Везде далее в этом разделе предполагается, что функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ ограничена. То есть существуют $m,M\in\mathbb{R}$ такие, что для любого $x\in[a,b]$ $m\leq{f}(x)\leq{M}$. Функция $\alpha(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ (порождающая функция) не убывает и не постоянна.

Определение 8.2.1: Разбиением отрезка $[a,b]$ будем называть всякий содержащий $a$ и $b$ конечный набор точек из отрезка $[a,b]$ пронумерованный в порядке возрастания. $$n\in\mathbb{N}, P:=\{x_0=a,x_1,x_2,\dots,x_n=b\}:(\forall{i}\in\overline{1,n-1}(a<x_i<b)\wedge\forall{i}\in\overline{1,n}(x_{i-1}<x_i))$$

Далее везде любое разбиение по умолчанию содержит точку $x_0=a$, которая явно не указывается. Точка $x_n=b$ - правый конец отрезка указывается явно, как последняя точка разбиения.

Для любого $i\in\overline{1,n}$ введем употребляемые далее везде обозначения:
$\Delta_i:=[x_{i-1},x_i]$ - $i$-тый отрезок разбиения,
$\Delta{x}_i:=x_i-x_{i-1}$ - длина $i$-того отрезка разбиения,
$\Delta\alpha_i:=\alpha(x_i)-\alpha(x_{i-1})$ (для любого $i\in\overline{1,n}$ $\Delta\alpha_i\geq0$ так как $\alpha(x)$ не убывает),
$\displaystyle\lambda(P):=\max_{1\leq{i}\leq{n}}\Delta{x}_i$ - диаметр разбиния $P$,
$\displaystyle{m}_i:=\inf_{x\in\Delta_i}f(x)$,
$\displaystyle{M}_i:=\sup_{x\in\Delta_i}f(x)$.

Определение 8.2.2: Если $P=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ - разбиение отрезка и вектор точек $\xi:=(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)$ такой, что для любого $i\in\overline{1,n}$ $\xi_i\in\Delta_i$, тогда пару $(P,\xi)$ называют разбиением с помеченными точками.

Определение 8.2.3: Если $P$ разбиение отрезка, тогда $$S(f,P,\alpha):=\sum_{(P)}(M_i\Delta\alpha_i):=\sum_{i=1}^n(M_i\Delta\alpha_i)$$ верхняя сумма Дарбу отвечающей разбиению $P$ для функции $f(x)$ относительно порождающей функции $\alpha(x)$, $$s(f,P,\alpha):=\sum_{(P)}(m_i\Delta\alpha_i):=\sum_{i=1}^n(m_i\Delta\alpha_i)$$ нижняя сумма Дарбу отвечающая разбиению $P$ для функции $f(x)$ относительно порождающей функции $\alpha(x)$.

Определение 8.2.4: Если $(P,\xi)$ разбиение с помеченными точками, тогда сумма $$\sigma(f,P,\xi,\alpha):=\sum_{(P)}(f(\xi_i)\Delta\alpha_i):=\sum_{i=1}^n(f(\xi_i)\Delta\alpha_i)$$ называется интегральной суммой Римана - Стилтьеса отвечающей разбиению с помеченными точками $(P,\xi)$ для функции $f(x)$ относительно порождающей функции $\alpha(x)$.

Утверждение 8.2.1: Если $(P,\xi)$ разбиение с помеченными точками, то

1. $s(f,P,\alpha)\leq\sigma(f,P,\xi,\alpha)\leq{S}(f,P,\alpha)$,


2. $\displaystyle\sup_{(\xi)}\sigma(f,P,\xi,\alpha)=S(f,P,\alpha)$
   $\displaystyle\inf_{(\xi)}\sigma(f,P,\xi,\alpha)=s(f,P,\alpha)$
   где верхняя и нижняя грань берутся по всем наборам помеченных точек, допустимым для фиксированного разбиения $P$,
3. $\displaystyle{S}(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)=\sum_{i=1}^n(\omega(f,\Delta_i)\Delta\alpha_i)$
   здесь $\omega(f,\Delta)$ - это колебания функции $f(x)$ на множестве $\Delta$

Доказательство:

1. $$\forall{i}\in\overline{1,n}(\forall\xi\in\Delta_i(\inf_{x\in\Delta_i}f(x)=m_i\leq{f}(\xi)\leq{M}_i=\sup_{x\in\Delta_i}f(x)))\Rightarrow \forall\xi_1\in\Delta_1,\forall\xi_2\in\Delta_2,\dots,\forall\xi_n\in\Delta_n\left (\sum_{i=1}^n(m_i\Delta\alpha_i)\leq\sum_{i=1}^n(f(\xi_i)\Delta\alpha_i)\leq\sum_{i=1}^n(M_i\Delta\alpha_i)\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow{s}(f,P,\alpha)\leq\sigma(f,P,\xi,\alpha)\leq{S}(f,P,\alpha).$$
2. Для доказательства утверждения понадобятся арифметические свойства верхней и нижней грани числового множества.
   Для любых множеств $X,Y\subset\mathbb{R}$ обозначим $X+Y:=\{x+y\:|\:(x,y)\in{X}\times{Y}\}$ и для любого $c\in\mathbb{R}$ $cX:=\{cx\:|\:x\in{X}\}$, тогда
   1. $\sup(X+Y)=\sup{X}+\sup{Y}$, $\inf(X+Y)=\inf{X}+\inf{Y}$
      Действительно $$\forall(x,y)\in{X}\times{Y}(x\leq{X}\wedge{y}\leq{Y}\Rightarrow{x}+y\leq\sup{X}+\sup{Y})$$ Следовательно, $\sup{X}+\sup{Y}$ мажоранта множества $X+Y$. Покажем, что это минимальная из мажорант. Действительно для любого $c\in\mathbb{R}$ $$c<\sup{X}+\sup{Y}\Rightarrow{c}-\sup{X}<\sup{Y}\Rightarrow\exists{y}_0\in{Y}:y_0>{c}-\sup{X}\Rightarrow\sup{X}>c-y_0\Rightarrow \exists{x}_0\in{X}:x_0>c-y_0\Rightarrow(x_0+y_0\in{X}+Y\wedge{x}_0+y_0>c)$$ Таким образом число $\sup{X}+\sup{Y}$ минимальная из мажорант множества $X+Y$, то есть $\sup{X}+\sup{Y}=\sup(X+Y)$. Случай для нижней грани доказывается аналогично.
   2. $\forall{c}\geq0(\sup(cX)=c\sup{X}\wedge\inf(cX)=c\inf{X})$
   3. $\sup(-X)=-\inf{X}$, $\inf(-X)=-\sup{X}$
   4. $\sup(X-Y)=\sup{X}+\sup(-Y)=\sup{X}-\inf{Y}$
   Тогда $$\sup_{(\xi)}\sigma(f,P,\xi,\alpha)= \sup\left\{\sum_{i=1}^n(f(\xi_i)\Delta\alpha_i)\:\middle|\:(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n)\in\Delta_1\times\Delta_2\times\dots\times\Delta_n\right\}=^{(1)} \sum_{i=1}^n\sup_{\xi\in\Delta_i}(f(\xi)\Delta\alpha_i)=^{(2)}\sum_{i=1}^n(\Delta\alpha_i\sup_{\xi\in\Delta_i}f(\xi))=\sum_{i=1}^n(M_i\Delta\alpha_i)= S(f,P,\alpha)$$ Выражение $\Delta\alpha_i$ можно вынести из под знака верхней грани по свойству 2, так как значение $\Delta\alpha_i$ не зависит от выбора точки $\xi$ и $\Delta\alpha_i\geq0$ в силу не убывания порождающей функции $\alpha(x)$.
   Аналогично доказывается, что $\displaystyle\inf_{(\xi)}\sigma(f,P,\xi,\alpha)=s(f,P,\alpha)$.
3. Так как $$\forall{i}\in\overline{1,n}(M_i-m_i=\sup_{x\in\Delta_i}f(x)-\inf_{y\in\Delta_i}f(y)=^{(4)}\sup_{x,y\in\Delta_i}(f(x)-f(y))= \sup_{x,y\in\Delta_i}|f(x)-f(y)|)$$ где последнее равенство верно так как $f(x)-f(y)=-(f(y)-f(x))$, то $$S(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)=\sum_{i=1}^n((M_i-m_i)\Delta\alpha_i)=\sum_{i=1}^n(\sup_{x,y\in\Delta_i}|f(x)-f(y)|\Delta\alpha_i)= \sum_{i=1}^n(\omega(f,\Delta_i)\Delta\alpha_i)$$

Определение 8.2.5: Нижняя грань множества верхних сумм Дарбу отвечающих всем возможным разбиениям отрезка $[a,b]$ для функции $f(x)$ относительно порождающей функции $\alpha(x)$ называется верхним интегралом Стилтьеса для функции $f(x)$ относительно порождающей функции $\alpha(x)$ по отрезку $[a,b]$. Обозначают $$\int\limits_a^{b*}f(x)d\alpha:=\inf_{(P)}S(f,P,\alpha):= \inf_{n\in\mathbb{N}}\{S(P,f,\alpha)\:|\:P=\{x_1,x_2,\dots,x_{n-1}\}\in[a,b]^n:a<x_1<x_2<\dots<x_{n-1}<b\}.$$ Верхняя грань множества нижних сумм Дарбу отвечающих всем возможным разбиениям отрезка $[a,b]$ для функции $f(x)$ относительно порождающей функции $\alpha(x)$ называется нижним интегралом Стилтьеса для функции $f(x)$ относительно порождающей функции $\alpha(x)$ по отрезку $[a,b]$. Обозначают $$\int\limits_{a*}^bf(x)d\alpha:=\sup_{(P)}s(f,P,\alpha):= \sup_{n\in\mathbb{N}}\{s(f,P,\alpha)\:|\:P=\{x_1,x_2,\dots,x_{n-1}\}\in[a,b]^n:a<x_1<x_2<\dots<x_{n-1}<b\}.$$

Так как функция $f(x)$ ограничена на отрезке $[a,b]$, то $$\exists{m},M\in\mathbb{R}:\forall{x}\in[a,b](m\leq{f}(x)\leq{M})\Rightarrow\forall{P}\left(S(f,P,\alpha)=\sum_{i=1}^n(M_i\Delta\alpha_i)\leq M\sum_{i=1}^n\Delta\alpha_i=M(\alpha(b)-\alpha(a))\right)\Rightarrow\int\limits_a^{b*}f(x)d\alpha\leq{M}(\alpha(b)-\alpha(a))$$ Аналогично $$\forall{P}(s(f,P,\alpha)\geq{m}(\alpha(b)-\alpha(a)))\Rightarrow\int\limits_{a*}^bf(x)d\alpha\geq{m}(\alpha(b)-\alpha(a))$$ Позже будет доказано, что нижний интеграл Дарбу всегда меньше либо равен верхнему, то есть $$m(\alpha(b)-\alpha(a))\leq\int\limits_{a*}^bf(x)d\alpha\leq\int\limits_a^{b*}f(x)d\alpha\leq{M}(\alpha(b)-\alpha(a))$$

Определение 8.2.6: Если нижний интеграл Стилтьеса для функции $f(x)$ относительно порождающей функции $\alpha(x)$ по отрезку $[a,b]$ равен верхнему интегралу Стилтьеса для функции $f(x)$ относительно порождающей функции $\alpha(x)$ по отрезку $[a,b]$, то говорят, что функция $f(x)$ интегрируема по Стилтьесу на отрезке $[a,b]$ относительно порождающей функции $\alpha(x)$. При этом число $$\int\limits_a^bf(x)d\alpha:=\int\limits_a^{b*}f(x)d\alpha=\int\limits_{a*}^bf(x)d\alpha$$ называют значением интеграла Стилтьеса для функции $f(x)$ относительно порождающей функции $\alpha(x)$ по отрезку $[a,b]$.
С помощью $\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$ обозначают класс функций интегрируемых по Стилтьесу на отрезке $[a,b]$ относительно порождающей функции $\alpha(x)$. При $\alpha(x)\equiv{x}$ класс $\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$ называют классом функций интегрируемых по Риману и обозначают $\mathcal{R}[a,b]$.

8.2.2 Вопросы существования интеграла Стилтьеса.

Определение 8.2.7: Будем говорить, что разбиение $P_1=\{x_1^{(1)},x_2^{(1)},\dots,x_n^{(1)}\}$ вложено в разбиение $P_2=\{x_1^{(2)},x_2^{(2)},\dots,x_m^{(2)}\}$, если множество точек разбиения $P_1$ есть подмножество точек разбиения $P_2$, то есть $\{x_1^{(1)},x_2^{(1)},\dots,x_n^{(1)}\}\subset\{x_1^{(2)},x_2^{(2)},\dots\,x_m^{(2)}\}$. Обозначают $P_1\prec{P}_2$.
В данном случае разбиение $P_2$ называют продолжением разбиения $P_1$.

Утверждение 8.2.2: Характерные свойства верхних и нижних сумм Дарбу.

1. Если $P_1\prec{P}_2$, то $S(f,P_2,\alpha)\leq{S}(f,P_1,\alpha)$ и $s(f,P_2,\alpha)\geq{s}(f,P_1,\alpha)$.


2. Для любых двух разбиений $P_1,P_2$ верно $s(f,P_1,\alpha)\leq{S}(f,P_2,\alpha)$.
3. $\displaystyle\int\limits_{a*}^bf(x)d\alpha\leq\int\limits_a^{b*}f(x)d\alpha$.

Доказательство:

1. Пусть $P_1:=\{x_1^{(1)},x_2^{(1)},\dots,x_n^{(1)}\}$, $P_2:=\{x_1^{(2)},x_2^{(2)},\dots,x_m^{(2)}\}$ разбиения отрезка $[a,b]$ такие, что $P_1\prec{P}_2$, следовательно, $P_2\backslash{P}_1\neq\varnothing$. Обозначим $k:=|P_2\backslash{P}_1|$.
   Докажем индукцией по $k$, что $S(f,P_2,\alpha)\leq{S}(f,P_1,\alpha)$
   Пусть $k=1$, то есть $|P_2\backslash{P}_1|=1$, значит существует единственное $c\in{P}_2:c\notin{P}_1$, то есть существует $i\in\overline{1,n}$ такое, что $x_{i-1}^{(1)}<{c}<{x}_i^{(1)}$. Без ограничения общности будем считать, что $i=1$, тогда $$\forall{i}\in\overline{2,n}(M_i^{(1)}=\sup_{x\in\Delta_i^{(1)}}f(x)=\sup_{x\in\Delta_i^{(2)}}f(x)=M_i^{(2)})\Rightarrow S(f,P_2,\alpha)=\sum_{i=2}^n(M_i^{(1)}\Delta\alpha_i)+\sup_{a\leq{x}\leq{c}}f(x)(\alpha(c)-\alpha(a))+ \sup_{c\leq{x}\leq{x}_1^{(1)}}(\alpha(x_1^{(1)})-\alpha(c))\leq$$ $$\leq\sum_{i=2}^n(M_i^{(1)}\Delta\alpha_i)+ \max\{\sup_{a\leq{x}\leq{c}}f(x),\sup_{c\leq{x}\leq{x}_1^{(1)}}f(x)\}(\alpha(c)-\alpha(a)+\alpha(x_1^{(1)})-\alpha(c))\leq \sum_{i=2}^n(M_i^{(1)}\Delta\alpha_i)+\sup_{x\in\Delta_1^{(1)}}f(x)\Delta\alpha_1=\sum_{i=1}^n(M_i\Delta\alpha_i)=S(f,P_1\alpha)$$ Последнее неравенство следует из того, что верхняя грань множества меньше или равна чем верхняя грань любого его подмножества. Пусть для любых разбиений $P_1=\{x_1^{(1)},x_2^{(1)},\dots,x_n^{(1)}\}$, $P_2=\{x_1^{(2)},x_2^{(2)},\dots,x_m^{(2)}\}$ таких, что $P_1\prec{P}_2$ и $|P_2\backslash{P}_1|=k$ верно, что $S(f,P_2,\alpha)\leq{S(f,P_1,\alpha)}$, тогда пусть разбиения $P_1:=\{x_1^{(1)},x_2^{(1)},\dots\,x_n^{(1)}\}$, $P_2=\{x_1^{(2)},x_2^{(2)},\dots,x_m^{(2)}\}$ такие, что $P_1\prec{P}_2$ и $|P_2\backslash{P}_1|=k+1$. Обозначим $\{x_1,x_2,\dots,x_{k+1}\}:=P_2\backslash{P}_1$ и рассмотрим разбиение $P'_1:=P_1\cup\{x_1,x_2,\dots,x_k\}$ тогда $$P_1\prec{P}'_1\prec{P}_2\wedge|P_2\backslash{P}'_1|=1\wedge|P'_1\backslash{P}_1|=k,$$ следовательно, по базе индукции $S(f,P_2,\alpha)\leq{S}(f,P'_1,\alpha)$ и по предположению индукции $S(f,P'_1,\alpha)\leq{S}(f,P_1,\alpha)$, то есть $S(f,P_2,\alpha)\leq{S}(f,P_1,\alpha)$.
   Утверждение для нижних сумм доказывается аналогично.
2. Так как $$\forall{P}\left(S(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)=\sum_{i=1}^n((M_i-m_i)\Delta\alpha_i)\geq0\right)\Rightarrow\forall{P}(S(f,P,\alpha)\geq{s}(f,P,\alpha))$$ тогда по пункту 1 $$P:=P_1\cup{P}_2\Rightarrow(P_1\prec{P}\wedge{P}_2\prec{P})\Rightarrow{s}(f,P_1,\alpha)\leq{s}(f,P,\alpha)\leq{S}(f,P,\alpha)\leq{S}(f,P_2,\alpha).$$
3. По пункту 2 для любых двух разбиений $P_1,P_2$ $s(f,P_1,\alpha)\leq{S}(f,P_2,\alpha)$, тогда $$\forall{P}_1,P_2(s(f,P_1,\alpha)\leq{S}(f,P_2,\alpha))\Rightarrow\forall{P}_2\left(\sup_{(P)}s(f,P,\alpha)\leq{S}(f,P_2,\alpha)\right)\Rightarrow \sup_{(P)}s(f,P,\alpha)\leq\inf_{(P)}S(f,P,\alpha)\Rightarrow\int\limits_{a*}^bf(x)d\alpha\leq\int\limits_a^{b*}f(x)d\alpha.$$

Утверждение 8.2.3: Критерий существования интеграла Стилтьеса.
Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ ограничена, порождающая функция $\alpha(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ не убывает и не постоянна, то $$f(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\:\exists{P}:S(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)<\varepsilon.$$ где $P$ - разбиение отрезка $[a,b]$.

Доказательство:

• $\Rightarrow)$
  Фиксируем $\varepsilon>0$. $$\int\limits_a^{b*}f(x)d\alpha=\inf_{(P)}S(f,P,\alpha)\Rightarrow\exists{P}_1:S(f,P_1,\alpha)<\int\limits_a^{b*}f(x)d\alpha+\frac{\varepsilon}{2}.$$ $$\int\limits_{a*}^bf(x)d\alpha=\sup_{(P)}s(f,P,\alpha)\Rightarrow \exists{P}_2:s(f,P_2,\alpha)>\int\limits_{a*}^bf(x)d\alpha-\frac{\varepsilon}{2}\Rightarrow {s}(f,P_2,\alpha)+\frac{\varepsilon}{2}>\int\limits_{a*}^bf(x)d\alpha.$$ $$P_3:=P_1\cup{P}_2\Rightarrow(P_1\prec{P}_3\wedge{P}_2\prec{P}_3)\Rightarrow {S}(f,P_3,\alpha)\leq{S}(f,P_1,\alpha)<\int\limits_a^{b*}f(x)d\alpha+\frac{\varepsilon}{2}$$ $$f(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]\Rightarrow\int\limits_a^{b*}f(x)d\alpha+\frac{\varepsilon}{2}=\int\limits_{a*}^bf(x)d\alpha+\frac{\varepsilon}{2}< s(f,P_2,\alpha)+\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\leq{s}(f,P_3,\alpha)+\varepsilon\Rightarrow{S}(f,P_3,\alpha)-s(f,P_3,\alpha)<\varepsilon.$$
• $\Leftarrow)$
  $$\forall{P}\left(s(f,P,\alpha)\leq\int\limits_{a*}^bf(x)d\alpha\leq\int\limits_a^{b*}f(x)d\alpha\leq{S}(f,P,\alpha)\right)\Rightarrow \forall{P}\left(\int\limits_a^{b*}f(x)d\alpha-\int\limits_{a*}^bf(x)d\alpha\leq{S}(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)\right)$$ $$\forall\varepsilon>0(\exists{P}:S(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)<\varepsilon)\Rightarrow \forall\varepsilon>0\left(\int\limits_a^{b*}f(x)d\alpha-\int\limits_{a*}^bf(x)d\alpha<\varepsilon\right)\Rightarrow \int\limits_a^{b*}f(x)d\alpha=\int\limits_{a*}^bf(x)d\alpha.$$

Утверждение 8.2.4: Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ непрерывна, порождающая функция $\alpha(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ не убывает и не постоянна, тогда $f(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$.

Доказательство: Функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, следовательно, она равномерно непрерывна на нем. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда $$\exists\delta>0:\forall{x}_1,x_2\in[a,b]\left(|x_1-x_2|<\delta\Rightarrow|f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2(\alpha(b)-\alpha(a))}\right)$$ Выберем разбиение $P$ отрезка $[a,b]$ такое, что $\lambda(P)<\delta$, тогда $$\forall{i}\in\overline{1,n}\left(\Delta{x}_i<\delta\Rightarrow \omega(f,\Delta_i):=\sup_{x_1,x_2\in\Delta_i}|f(x_1)-f(x_2)|\leq\frac{\varepsilon}{2(\alpha(b)-\alpha(a))}\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow{S}(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)=\sum_{i=1}^n(\omega(f,\Delta_i)\Delta\alpha_i)\leq \sum_{i=1}^n\left(\frac{\varepsilon}{2(\alpha(b)-\alpha(a))}\Delta\alpha_i\right)= \frac{\varepsilon}{2(\alpha(b)-\alpha(a))}\sum_{i=1}^n\Delta\alpha_i=\frac{\varepsilon(\alpha(b)-\alpha(a))}{2(\alpha(b)-\alpha(a))}= \frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$$ Таким образом для функции $f(x)$ реализован критерий интегрируемости по Стилтьесу.

Утверждение 8.2.5: Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ ограничена и монотонна, порождающая функция $\alpha(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ не убывает, не постоянна и непрерывна, тогда $f(x)\in\mathcal{R}(\alpha)[a,b]$.

Доказательство: Без ограничения общности будем считать, что функция $f(x)$ не убывает. Построим разбиение $P=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ отрезка $[a,b]$ реализующее критерий интегрируемости по Стилтьесу. По принципу Архимеда существует $n\in\mathbb{N}$ такое, что $\displaystyle\frac{(\alpha(b)-\alpha(a))(f(b)-f(a))}{n}<\varepsilon$. Так как порождающая функция $\alpha(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и не убывает, то она принимает все промежуточные значения на $[\alpha(a),\alpha(b)]$, тогда

• 1) $x_0:=a$;
• 2) $\displaystyle\exists{x}_1>x_0:\alpha(x_1)=\alpha(x_0)+\frac{\alpha(b)-\alpha(a)}{n}\Rightarrow \Delta\alpha_1=\alpha(x_1)-\alpha(x_0)=\frac{\alpha(b)-\alpha(a)}{n};$
• 3) $\displaystyle\exists{x}_2>x_1:\alpha(x_2)=\alpha(x_1)+\frac{\alpha(b)-\alpha(a)}{n}\Rightarrow \Delta\alpha_2=\alpha(x_2)-\alpha(x_1)=\frac{\alpha(b)-\alpha(a)}{n};$
• $\dots$
• n) $\displaystyle\exists{x}_{n-1}>x_{n-2}:\alpha(x_{n-1})+\frac{\alpha(b)-\alpha(a)}{n}\Rightarrow \Delta\alpha_{n-1}=\alpha(x_{n-1})-\alpha(x_{n-2})=\frac{\alpha(b)-\alpha(a)}{n};$
• n+1) $\displaystyle{x}_n:=b\Rightarrow\Delta\alpha_n=\alpha(b)-\alpha(a)-(n-1)\frac{\alpha(b)-\alpha(a)}{n}=\frac{\alpha(b)-\alpha(a)}{n}.$

Утверждение 8.2.6: Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ ограничена и имеет конечное число точек разрыва, то $f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$.

Доказательство: Пусть функция $f(x)$ имеет на отрезке $[a,b]$ $s$ точек разрыва, обозначим их $\tilde{x}_1,\tilde{x}_2,\dots,\tilde{x}_s$. Функция $f(x)$ ограничена на отрезке $[a,b]$ значит существует $K:=\omega(f,[a,b])\in\mathbb{R}$. Построим разбиение $P$ отрезка $[a,b]$ реализующее критерий интегрируемости по Стилтьесу при $\alpha(x)\equiv{x}$.
Фиксируем $\varepsilon>0$. Обозначим $\delta_1:=\frac{\varepsilon}{8Ks}$, $$\bigcup_{j=1}^mI_j:=[a,b]\backslash\bigcup_{k=1}^sU^{\delta_1}(\tilde{x}_k).$$ Множество $\bigcup_{j=1}^mI_j$ - это разность множества точек отрезка $[a,b]$ и объединения $\delta_1$-окрестностей всех точек разрыва функции $f(x)$. Следовательно, множество $\bigcup_{j=1}^mI_j$ представляет из себя объединение конечного числа отрезков, то есть для любого $j\in\overline{1,m}$ множество $I_j$ - отрезок такой, что $f(x)\in{C}(I_j)$. Следовательно, для любого $j\in\overline{1,m}$ функция $f(x)$ равномерно непрерывна на отрезке $I_j$. Тогда $$\forall{j}\in\overline{1,m}\left(\exists\delta^{(j)}>0:\forall{x}_1,x_2\in{I}_j\left(|x_1-x_2|<\delta^{(j)}\Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\right)\right)\quad(10)$$ Обозначим $\delta:=\min\{\delta_1,\delta^{(1)},\delta^{(2)},\dots,\delta^{(m)}\}$. Выберем разбиение $P:=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ отрезка $[a,b]$ такое, что $\displaystyle\lambda(P):=\max_{1\leq{i}\leq{n}}\Delta{x}_i<\delta$, тогда $$\forall{i}\in\overline{1,n}\left(\Delta_i\cap\bigcup_{k=1}^sU^{\delta_1}(\tilde{x}_k)=\varnothing\vee \Delta_i\cap\bigcup_{k=1}^sU^{(\delta_1)}(\tilde{x}_k)\neq\varnothing)\right)$$ Пусть числа $\{u_1,u_2,\dots,u_r\}\subset\overline{1,n}$ такие, что для любого $j\in\overline{1,r}$ верно $\displaystyle\Delta_{u_j}\cap\bigcup_{k=1}^sU^{(\delta_1)}(\tilde{x}_k)\neq\varnothing$, а числа $\{v_1,v_2,\dots,v_t\}=\overline{1,n}\backslash\{u_1,u_2,\dots,u_r\}$ такие, что для любого $j\in\overline{1,t}$ верно обратное, то есть $\displaystyle\Delta_{v_j}\cap\bigcup_{k=1}^sU^{(\delta_1)}(\tilde{x}_k)=\varnothing$, тогда $$S(f,P)-s(f,P)=\sum_{i=1}^n((M_i-m_i)\Delta{x}_i)=\sum_{j=1}^r\left(\left(M_{u_j}-m_{u_j}\right)\Delta{x}_{u_j}\right)+ \sum_{j=1}^t\left(\left(M_{v_j}-m_{v_j}\right)\Delta{x}_{v_j}\right)$$ Оценим сверху сумму длин отрезков разбиения $P$ входящих в первую сумму. Для любого $k\in\overline{1,s}$ суммарная длина отрезков разбиения $P$ пересекающихся с окрестностью $U^{\delta_1}(\tilde{x}_k)$ не превосходит суммы длины этой окрестности и двух длин отрезков разбиения $P$. Так как $$\lambda(P)<\delta\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,n}(\Delta{x}_i<\delta)\Rightarrow \forall{j}\in\overline{1,r}\left(|\Delta_{u_j}|=\Delta{x}_{u_j}<\delta\right)$$ то для любого $k\in\overline{1,s}$ суммарная длина отрезков разбиения $P$ пересекающихся с окрестностью $U^{\delta_1}(\tilde{x}_k)$ не превосходит $2\delta_1+2\delta$. Таким образом $$\sum_{j=1}^r\left(\left(M_{u_j}-m_{u_j}\right)\Delta{x}_{u_j}\right)\leq\sum_{j=1}^r(\omega(f,[a,b])\Delta{x}_{u_j})=K\sum_{j=1}^r\Delta{x}_{u_j}\leq K\sum_{j=1}^r(2\delta_1+2\delta)\leq{K}4\delta_1s=4Ks\frac{\varepsilon}{8Ks}=\frac{\varepsilon}{2}$$ где последнее неравенство справедливо в силу выбора $\delta$.
Оценим сверху вторую сумму $$\forall{j}\in\overline{1,t}\:\exists{k}\in\overline{1,m}:\left(\Delta_{v_j}\subset{I}_k\wedge |\Delta_{v_j}|=\Delta{x}_{v_j}\leq\lambda(P)<\delta\leq\delta^{(k)}\right)\Rightarrow^{(10)}M_{v_j}-m_{v_j}=\omega(f,\Delta_{v_j})= \sup_{x,y\in\Delta_{v_j}}|f(x)-f(y)|\leq\frac{\varepsilon}{2(b-a)}\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\sum_{j=1}^t\left(\left(M_{v_j}-m_{v_j}\right)\Delta{x}_{v_j}\right)\leq \frac{\varepsilon}{2(b-a)}\sum_{j=1}^t\Delta{x}_{v_j}\leq\frac{\varepsilon}{2(b-a)}(b-a)=\frac{\varepsilon}{2}.$$ Таким образом $$S(f,P)-s(f,P)=\sum_{j=1}^r\left(\left(M_{u_j}-m_{u_j}\right)\Delta{x}_{u_j}\right)+\sum_{j=1}^t\left(\left(M_{v_j}-m_{v_j}\right)\Delta{x}_{v_j}\right)< \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$

Пример 8.2.1: Утверждение сформулировано для интегрируемости по Риману, так как если порождающая функция $\alpha(x)$ произвольная, то оценить таким же образом первую сумму нельзя.
Например, рассмотрим функцию $f(x)=\begin{cases}0, & -1\leq{x}\leq0\\1, & 0<x\leq1\end{cases}$ и порождающую функцию $\alpha(x)=\begin{cases}0, & -1\leq{x}\leq0\\1, & 0<x\leq1\end{cases}$.
Функция $f(x)$ имеет одну точку разрыва на отрезке $[-1,1]$ это точка 0, следовательно, по утверждению 8.2.6 существует интеграл Римана $\int\limits_{-1}^1f(x)dx=1$ (то что он равен 1 несложно вывести непосредственно из определения). Однако, интеграла Стилтьеса функции $f(x)$ на отрезке $[-1,1]$ относительно порождающей функции $\alpha(x)$ не существует. Так как для любого $0<\varepsilon<1$ и для любого разбиения $P$ отрезка $[-1,1]$ один из его отрезков $\Delta_i$ будет содержать точку 0, следовательно, $M_i=1$, $m_i=0$, $\Delta\alpha_i=1$, $M_i\Delta\alpha_i=1$, $m_i\Delta\alpha_i=0$ и $S(f,P,\alpha)-s(f,P,\alpha)=1>\varepsilon$.

previous contents next