8.3 Основные свойства определенного интеграла Римана.

8.3.1 Линейность, монотонность, аддитивность.

Теорема 8.3.1: Пусть $f(x),g(x)\in\mathcal{R}[a,b]$, тогда

1. Линейность
   $\displaystyle\forall\alpha,\beta\in\mathbb{R}\left(\alpha{f}(x)+\beta{g}(x)\in\mathcal{R}[a,b]\wedge \int\limits_a^b(\alpha{f}(x)+\beta{g}(x))dx=\alpha\int\limits_a^b{f}(x)dx+\beta\int\limits_a^bg(x)dx\right)$
2. $\displaystyle\forall{x}\in[a,b](f(x)\geq0)\Rightarrow\int\limits_a^bf(x)dx\geq0$
3. Монотонность
   $\displaystyle\forall{x}\in[a,b](f(x)\geq{g}(x))\Rightarrow\int\limits_a^bf(x)dx\geq\int\limits_a^bg(x)dx$
4. "Неравенство треугольников"
   $|f(x)|\in\mathcal{R}[a,b]\wedge\left|\int\limits_a^bf(x)dx\right|\leq\int\limits_a^b|f(x)|dx$
5. Аддитивность
   $\displaystyle\forall{c}\in(a,b)\left(f(x)\in\mathcal{R}[a,c]\wedge{f}(x)\in\mathcal{R}[c,b]\wedge \int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^bf(x)dx\right)$

Доказательство:

1. Интегрируемость функции $\alpha{f}(x)+\beta{g}(x)$, следует, из пунктов 1, 3 утверждения 8.2.12.
   Докажем выражение для численного значения интеграла. Так как функция $\alpha(x)\equiv{x}$ непрерывна на любом отрезке, то в соответствии с утверждением 8.2.9 для любой интегрируемой по Риману функции численное значение интеграла равно пределу интегральных сумм. Зафиксируем последовательность разбиений с помеченными точками $\{(P_n,\xi_n)\}$ отрезка $[a,b]$ такую, что $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\lambda(P_n)=0$ то есть $$\forall\delta>0\:\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0(\lambda(P)<\delta)$$ Как минимум одна такая последовательность существует. Первый элемент равен $P_1:=\{b\}$, а каждый следующий получается делением пополам всех отрезков предыдущего разбиения.
   Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда для любой функции $h(x)\in\mathcal{R}[a,b]$ $$\int\limits_a^bh(x)dx=\lim_{\lambda(P)\to0}\sigma(f,P,\xi)\Rightarrow \exists\delta>0\:\forall(P,\xi)\left(\lambda(P)<\delta\Rightarrow\left|\sigma(h,P,\xi)-\int\limits_a^bh(x)dx\right|<\varepsilon\right)\Rightarrow \exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(\left|\sigma(h,P_n,\xi_n)-\int\limits_a^bh(x)dx\right|<\varepsilon\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\sigma(h,P_n,\xi_n)=\int\limits_a^bh(x)dx$$ Из определения интегральной суммы следует равенство $\sigma(\alpha{f}+\beta{g},P,\xi)=\alpha\sigma(f,P,\xi)+\beta\sigma(g,P,\xi)$ и так как предел $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sigma(h,P_n,\xi_n)$ это обычный предел числовой последовательности то $$\int\limits_a^b(\alpha{f}(x)+\beta{g}(x))dx=\lim_{n\to\infty}\sigma(\alpha{f}+\beta{g},P_n,\xi_n)= \alpha\lim_{n\to\infty}\sigma(f,P_n,\xi_n)+\beta\lim_{n\to\infty}\sigma(g,P_n,\xi_n)=\alpha\int\limits_a^bf(x)dx+\beta\int\limits_a^bg(x)dx.$$
2. $$\forall{x}\in[a,b](f(x)\geq0)\Rightarrow\forall{P}:=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}\left(\forall{i}\in\overline{1,n}\left(M_i:=\sup_{x\in\Delta_i}f(x)\geq0\right)\right)\Rightarrow \forall{P}\left(S(f,P)=\sum_{i=1}^n(M_i\Delta{x}_i)\geq0\right)\Rightarrow\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^{b*}f(x)dx=\inf_{(P)}S(f,P)\geq0$$
3. $$\forall{x}\in[a,b](f(x)\geq{g}(x))\Rightarrow\forall{x}\in[a,b](f(x)-g(x)\geq0)\Rightarrow\int\limits_a^bf(x)dx-\int\limits_a^bg(x)dx=^{(1)} \int\limits_a^b(f(x)-g(x))dx\geq^{(2)}0\Rightarrow\int\limits_a^bf(x)dx\geq\int\limits_a^bg(x)dx$$
4. Интегрируемость функции $|f(x)|$ следует из пункта 4 утверждения 8.2.12 и $$\forall{x}\in[a,b](-|f(x)|\leq{f}(x)\leq|f(x)|)\Rightarrow^{(3)}-\int\limits_a^b|f(x)|dx\leq\int\limits_a^bf(x)dx\leq\int\limits_a^b|f(x)|dx\Rightarrow \left|\int\limits_a^bf(x)dx\right|\leq\int\limits_a^b|f(x)|dx$$
5. Фиксируем последовательность разбиений с помеченными точками $\{P_n,\xi_n\}$ отрезка $[a,b]$ такую, что $$\{P_n:=\{x_1^{(n)},x_2^{(n)},\dots,x_{m_n}^{(n)}\}\}: (\lim_{n\to\infty}\lambda(P_n)=0\wedge\forall{n}\in\mathbb{N}(\exists{i}_n\in\overline{1,m_n-1}:(x_{i_n}^{(n)}=c)))$$ По крайней мере одна такая последовательность существует: $P_1:=\{c,b\}$ и каждое следующее разбиение получается делением пополам всех отрезков предыдущего.
   Таким образом для любого $n\in\mathbb{N}$ по разбиению $P_n$ отрезка $[a,b]$ можно построить разбиение $P'_n:=\{x_1^{(n)},x_2^{(n)},\dots,x_{i_n}^{(n)}=c\}$ отрезка $[a,c]$ и разбиение $P''_n:=\{x_{i_n+1}^{(n)},x_{i_n+2}^{(n)},\dots,x_{m_n}^{(n)}\}$ отрезка $[c,b]$. Так как максимум подмножества не превосходит максимум множества, то $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\lambda(P'_n)=\lim_{n\to\infty}\lambda(P''_n)=\lim_{n\to\infty}\lambda(P_n)=0$. Тогда по определению интегральной суммы и аналогично пункту 1 имеем $$\forall{n}\in\mathbb{N}(\sigma(f,P_n,\xi_n)=\sigma(f,P'_n,\xi'_n)+\sigma(f,P''_n,\xi''_n))\Rightarrow \int\limits_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sigma(f,P_n,\xi)=\lim_{n\to\infty}\sigma(f,P'_n,\xi'_n)+\lim_{n\to\infty}\sigma(f,P''_n,\xi''_n)= \int\limits_a^cf(x)dx+\int\limits_c^bf(x)dx$$

Из пунктов 1-4 следует, что класс функций $\mathcal{R}[a,b]$ образует векторное пространство над $\mathbb{R}$.

В целях общности получаемых далее результатов введем понятие интеграла Римана по ориентированному промежутку.
Пусть $a,b\in\mathbb{R}$ такие, что $a<b$ значение интеграла $\int\limits_a^bf(x)dx$ уже определено, положим $\int\limits_a^af(x)dx:=0$ и $\int\limits_b^af(x)dx:=-\int\limits_a^bf(x)dx$.

Задача 8.3.1: Доказать, что если $f(x),g(x)\in\mathcal{R}[a,b]$, $\alpha,\beta,\gamma\in[a,b]$, то

1. $\displaystyle\int\limits_\alpha^\beta{f}(x)dx=\int\limits_\alpha^\gamma{f}(x)dx+\int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx$
2. $\displaystyle\int\limits_\alpha^\beta{f}(x)dx+\int\limits_\beta^\gamma{f}(x)dx+\int\limits_\gamma^\alpha{f}(x)dx=0$
3. Для любого $s\in\mathbb{N}$ и любого разбиения $a=c_0<c_1<\dots<c_{s-1}<c_s=b$ верно равенство
   $\displaystyle\int\limits_a^bf(x)dx=\sum_{i=1}^s\int\limits_{c_{i-1}}^{c_i}f(x)dx$

Решение:

1. Надо рассмотреть шесть случаев взаимного расположения точек $\alpha,\beta,\gamma$
   • $\displaystyle\alpha<\beta<\gamma\Rightarrow\int\limits_\alpha^\gamma{f}(x)dx= \int\limits_\alpha^\beta{f}(x)dx+\int\limits_\beta^\gamma{f}(x)dx\Rightarrow \int\limits_\alpha^\beta{f}(x)dx=\int\limits_\alpha^\gamma{f}(x)dx-\int\limits_\beta^\gamma{f}(x)dx= \int\limits_\alpha^\gamma{f}(x)dx+\int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx$
   • $\displaystyle\alpha<\gamma<\beta\Rightarrow\int\limits_\alpha^\beta{f}(x)dx=\int\limits_\alpha^\gamma{f}(x)dx+\int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx$
   • $\displaystyle\beta<\alpha<\gamma\Rightarrow\int\limits_\beta^\gamma{f}(x)dx= \int\limits_\beta^\alpha{f}(x)dx+\int\limits_\alpha^\gamma{f}(x)dx\Rightarrow \int\limits_\beta^\alpha{f}(x)dx=\int\limits_\beta^\gamma{f}(x)dx-\int\limits_\alpha^\gamma{f}(x)dx\Rightarrow \int\limits_\alpha^\beta{f}(x)dx=-\int\limits_\beta^\gamma{f}(x)dx+\int\limits_\alpha^\gamma{f}(x)dx= \int\limits_\alpha^\gamma{f}(x)dx+\int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx$
   • $\displaystyle\beta<\gamma<\alpha\Rightarrow\int\limits_\beta^\alpha{f}(x)dx= \int\limits_\beta^\gamma{f}(x)dx+\int\limits_\gamma^\alpha{f}(x)dx\Rightarrow \int\limits_\alpha^\beta{f}(x)dx=-\int\limits_\beta^\gamma{f}(x)dx-\int\limits_\gamma^\alpha{f}(x)dx= \int\limits_\alpha^\gamma{f}(x)dx+\int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx$
   • $\displaystyle\gamma<\alpha<\beta\Rightarrow\int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx=\int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx+\int\limits_\alpha^\beta{f}(x)dx\Rightarrow \int\limits_\alpha^\beta{f}(x)dx=-\int\limits_\gamma^\alpha{f}(x)dx+\int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx= \int\limits_\alpha^\gamma{f}(x)dx+\int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx$
   • $\displaystyle\gamma<\beta<\alpha\Rightarrow\int\limits_\gamma^\alpha{f}(x)dx= \int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx+\int\limits_\beta^\alpha{f}(x)dx\Rightarrow \int\limits_\beta^\alpha{f}(x)dx=\int\limits_\gamma^\alpha{f}(x)dx-\int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx\Rightarrow \int\limits_\alpha^\beta{f}(x)dx=-\int\limits_\gamma^\alpha{f}(x)dx+\int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx= \int\limits_\alpha^\gamma{f}(x)dx+\int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx$
   Если какая либо пара точек совпадает, то один из интегралов обращается в ноль и доказываемое равенство становится тривиальным.
2. $\displaystyle\int\limits_\alpha^\beta{f}(x)dx=\int\limits_\alpha^\gamma{f}(x)dx+\int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx\Rightarrow \int\limits_\alpha^\beta{f}(x)dx-\int\limits_\gamma^\beta{f}(x)dx-\int\limits_\alpha^\gamma{f}(x)dx= \int\limits_\alpha^\beta{f}(x)dx+\int\limits_\beta^\gamma{f}(x)dx+\int\limits_\gamma^\alpha{f}(x)dx=0$
3. Докажем индукцией по $s$.
   При $s=1$, $c_0=1$, $c_1=b$, $\int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_{c_0}^{c_1}f(x)dx$.
   Пусть утверждение верно при $s=k$. Фиксируем разбиение состоящее из $k+2$ точек $a=c_0<c_1<\dots<c_{k-1}<c_k<c_{k+1}=b$, тогда разбиение $a=c_0<c_1<\dots<c_{k-1}<c_{k+1}=b$ содержит $k+1$ точек и по предположению индукции $$\int\limits_a^b{f}(x)dx=\sum_{i=1}^{k-1}\int\limits_{c_{i-1}}^{c_i}f(x)dx+\int\limits_{c_{k-1}}^{c_{k+1}}f(x)dx= \sum_{i=1}^{k-1}\int\limits_{c_{i-1}}^{c_i}f(x)dx+\int\limits_{c_{k-1}}^{c_k}f(x)dx+\int\limits_{c_k}^{c_{k+1}}f(x)dx= \sum_{i=1}^{k+1}\int\limits_{c_{i-1}}^{c_i}f(x)dx$$

8.3.2 Теоремы о среднем.

Теорема 8.3.2: Первая теорема о среднем значении для интеграла Римана.
Пусть функции $f(x),g(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $f(x),g(x)\in\mathcal{R}[a,b]$,
2. функция $g(x)$ знакопостоянна,

Доказательство: Без ограничения общности будем считать, что функция $g(x)$ неотрицательна на отрезке $[a,b]$, тогда для любого $x\in[a,b]$ верно неравенство $mg(x)\leq{f}(x)g(x)\leq{M}g(x)$. Тогда по пункту 3 теоремы 8.3.1 $$m\int\limits_a^bg(x)dx=\int\limits_a^bmg(x)dx\leq\int\limits_a^bf(x)g(x)dx\leq\int\limits_a^bMg(x)dx=M\int\limits_a^bg(x)dx$$ Если $\int\limits_a^bg(x)dx=0$, то $\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=0$ и доказываемое равенство верно для любого $\mu\in[m,M]$.
Если $\int\limits_a^bg(x)dx\neq0$, то $$\int\limits_a^bg(x)dx>0\Rightarrow{m}\leq\frac{\int\limits_a^bf(x)g(x)dx}{\int\limits_a^bg(x)dx}\leq{M}\Rightarrow \mu:=\frac{\int\limits_a^bf(x)g(x)dx}{\int\limits_a^bg(x)dx}$$

Следствие 8.3.1: Классический вариант первой теоремы о среднем.
Пусть функции $f(x),g(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $g(x)\in\mathcal{R}[a,b]$,
2. $f(x)\in{C}[a,b]$,
3. функция $g(x)$ знакопостоянна,

Доказательство: Так как функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она интегрируема по Риману и достигает минимума $\displaystyle{m}:=\min_{x\in[a,b]}f(x)$ и максимума $\displaystyle{M}:=\max_{x\in[a,b]}f(x)$ на нем при этом $f([a,b])=[m,M]$, тогда по теореме 8.3.1 $$\exists\mu\in[m,M]:\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=\mu\int\limits_a^bf(x)dx$$ и по непрерывности функции $f(x)$ существует $\xi\in[a,b]$ такое, что $f(\xi)=\mu$, следовательно, $$\int\limits_a^bf(x)g(x)=f(\xi)\int\limits_a^bf(x)dx$$

Следствие 8.3.2: $\displaystyle{f}(x)\in{C}[a,b]\Rightarrow\exists\xi\in[a,b]:\int\limits_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$

Доказательство: Следует из следствия 8.3.1 при $g(x)\equiv1$, так как для любого разбиения с помеченными точками $(P,\xi)$ $\sigma(g,P,\xi)=\sum_{(P)}\Delta{x}_i=b-a$ то есть $\int\limits_a^bg(x)dx=\int\limits_a^bdx:=\int\limits_a^b1dx=b-a$.

Следствие 8.3.3: Если $f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$, $n\in\mathbb{N}$ и для любого $i\in\overline{0,n-1}$ $x_i:=a+\frac{b-a}{n}i$, то $$\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_0)+f(x_1)+\dots+f(x_{n-1})}{n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i-1})\right)= \frac1{b-a}\int\limits_a^bf(x)dx$$

Доказательство: Рассмотрим последовательность разбиений с помеченными точками $\{(P_n,\xi_n)\}$ отрезка $[a,b]$ такую, что $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(P_n:=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}:\forall{i}\in\overline{1,n}\left(x_i:=a+\frac{b-a}{n}i\wedge\xi_i:=x_{i-1}\right)\right)$$ Следовательно, для любого $n\in\mathbb{N}$ длина любого отрезка разбиения $P_n$ равна $\frac{b-a}{n}$, следовательно, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\lambda(P_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}=0$, тогда $$\sigma(f,P_n,\xi_n)=\sum_{i=1}^n(f(\xi_i)\Delta{x}_i)=\sum_{i=1}^n\left(f(x_{i-1})\frac{b-a}{n}\right)=\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^nf(x_{i-1})\Rightarrow \int\limits_a^bf(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sigma(f,P_n,\xi_n)=(b-a)\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n}\sum_{i=1}^nf(x_{i-1})\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n}\sum_{i=1}^nf(x_{i-1})\right)=\frac1{b-a}\int\limits_a^bf(x)dx$$

Определение 8.3.1: Средним значением интегрируемой на отрезке $[a,b]$ функции $f(x)$ называют величину $S_{ср}:=\frac1{b-a}\int\limits_a^bf(x)dx$.

Утверждение 8.3.1: $\displaystyle{f}(x)\in\mathcal{R}[a,b]\Rightarrow{F}(x):=\int\limits_a^xf(t)dt\in{C}[a,b]$.

Доказательство: Функция $f(x)$ интегрируема на отрезке $[a,b]$, следовательно, он ограничена на нем, то есть существует $\displaystyle{K}:=\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|$, следовательно $$\forall{x},y\in[a,b]\left(|F(x)-F(y)|=\left|\int\limits_a^xf(t)dt-\int\limits_a^yf(t)dt\right|= \left|\int\limits_a^xf(t)dt-\left(\int\limits_a^xf(t)dt+\int\limits_x^yf(t)dt\right)\right|=\left|\int\limits_x^yf(t)dt\right|\leq \int\limits_x^y|f(t)|dt\leq\int\limits_x^yKdt\leq{K}|x-y|\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall\varepsilon>0\:\exists\delta:=\frac{\varepsilon}{K}:\left(|x-y|<\delta\Rightarrow|F(x)-F(y)|\leq{K}|x-y|<K\frac{\varepsilon}{K}= \varepsilon\right)$$ Таким образом реализовано определение равномерной непрерывности для функции $F(x)$ на отрезке $[a,b]$. Из равномерной непрерывности функции на множестве следует непрерывность функции на этом множестве.

Утверждение 8.3.2: Пусть функции $f(x),g(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $f(x),g(x)\in\mathcal{R}[a,b]$,
2. функция $g(x)$ неотрицательна,
3. функция $g(x)$ не возрастает,

Доказательство: Фиксируем разбиение $P:=\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ отрезка $[a,b]$ тогда $$\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=\sum_{i=1}^n\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)g(x)dx=\sum_{i=1}^n\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)g(x)dx- \sum_{i=1}^n\left(g(x_{i-1}\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx)\right)+\sum_{i=1}^n\left(g(x_{i-1})\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx\right)=$$ $$=\sum_{i=1}^n\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)(g(x)-g(x_{i-1}))dx+\sum_{i=1}^n\left(g(x_{i-1})\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx\right)$$ Обозначим $$I_1(P):=\sum_{i=1}^n\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)(g(x)-g(x_{i-1}))dx, \:I_2(P):=\sum_{i=1}^n\left(g(x_{i-1})\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx\right),\:K:=\sup_{x\in[a,b]}|f(x)|$$ тогда $$|I_1|\leq\sum_{i=1}^n\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}|g(x)-g(x_{i-1})||f(x)|dx\leq\sum_{i=1}^n\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}\omega(g,\Delta_i)Kdx= K\sum_{i=1}^n(\omega(g,\Delta)\Delta{x}_i)=K(S(g,P)-s(g,P))\Rightarrow\forall{P}(|I_1(P)|\leq{K}(S(g,P)-s(g,P)))\quad(4)$$ Для любого $i\in\overline{1,n}$ обозначим $$a_i:=g(x_{i-1}),\:b_i:=\int\limits_{x_{i-1}}^{x_i}f(x)dx,\:B_i:=\sum_{k=1}^ib_k=\sum_{k=1}^i\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)dx= \int\limits_a^{x_i}f(x)dx=F(x_i)$$ Согласно утверждению 8.3.1 функция $F(x):=\int\limits_a^xf(x)dx$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, следовательно, существуют $m,M\in\mathbb{R}$ такие, что $\displaystyle{m}:=\min_{x\in[a,b]}F(x)$ и $\displaystyle{M}:=\max_{x\in[a,b]}F(x)$, следовательно, для любого $i\in\overline{1,n}$ $m\leq{F}(x_i)=B_i\leq{M}$. Тогда по невозрастанию функции $g(x)$ из неравенства Абеля следует, $ma_1\leq\sum_{i=1}^n(a_kb_k)\leq{M}a_1$. Так как $a_1=g(x_0)=g(a)$, то для любого разбиения $P$ $mg(a)\leq{I}_2(P)\leq{M}g(a)$.
Фиксируем последовательность разбиений $\{P_n\}$ отрезка $[a,b]$ такую, что $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\lambda(P_n)=0$, тогда $$g(x)\in\mathcal{R}[a,b]\Rightarrow\lim_{n\to\infty}(S(g,P_n)-s(g,P_n))=0\Rightarrow\lim_{n\to\infty}|I_1(P_n)|=0$$ $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=I_1(P_n)+I_2(P_n)\right)\Rightarrow\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=\lim_{n\to\infty}(I_n(P_n)+I_2(P_n))= \lim_{n\to\infty}I_2(P_n)\Rightarrow{m}g(a)\leq\int\limits_a^bf(x)dx\leq{M}g(a).$$ Если $g(a)=0$ то в силу неотрицательности и невозрастания $g(x)\equiv0$, следовательно, $\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=0$ и для любого $\xi\in[a,b]$ $\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=g(a)\int\limits_a^\xi{f}(x)dx.$
Если $g(a)>0$, то $\displaystyle{m}\leq\mu:=\frac{\int\limits_a^bf(x)g(x)dx}{g(a)}\leq{M}$ и по непрерывности $F(x)$ существует $\xi\in[a,b]$ такое, что $F(\xi)=\mu$, тогда $$F(\xi)=\int\limits_a^\xi{f}(x)dx=\frac{\int\limits_a^bf(x)g(x)dx}{g(a)}\Rightarrow\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=g(a)\int\limits_a^\xi{f}(x)dx.$$

Теорема 8.3.3: Вторая теорема о среднем, формула Бонне (1819-1892).
Пусть функции $f(x),g(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $f(x),g(x)\in\mathcal{R}[a,b]$,
2. функция $g(x)$ монотонна,

Доказательство: Если функция $g(x)$ не возрастает, то положим $G(x):=g(x)-g(b)$, если функция $g(x)$ не убывает, то положим $G(x):=g(b)-g(x)$. Тогда функция $G(x)$ будет не возрастать в обоих случаях и для функций $f(x)$ и $G(x)$ можно применить утверждение 8.3.2, тогда $$\exists\xi\in[a,b]:\int\limits_a^bf(x)G(x)dx=G(a)\int\limits_a^\xi{f}(x)dx\Rightarrow\int\limits_a^bf(x)(g(b)-g(x))dx= (g(b)-g(a))\int\limits_a^\xi{f}(x)dx\Rightarrow{g}(b)\int\limits_a^bf(x)dx-\int\limits_a^bf(x)g(x)dx=$$ $$=g(b)\int\limits_a^\xi{f}(x)dx-g(a)\int\limits_a^\xi{f}(x)dx\Rightarrow\int\limits_a^bf(x)g(x)dx= g(a)\int\limits_a^\xi{f}(x)dx+\left(g(b)\int\limits_a^bf(x)dx-g(b)\int\limits_a^\xi{f}(x)dx\right)= g(a)\int\limits_a^\xi{f}(x)dx+g(b)\int\limits_\xi^bf(x)dx$$

Задача 8.3.2: Доказать, что если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ такая, что

1. $f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$,
2. функция $f(x)$ не отрицательна,
3. существует $x_0\in[a,b]$ такое, что $f(x_0)>0$ и функция $f(x)$ непрерывна в $x_0$,

Решение: Так как функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ и $\displaystyle\lim_{x\to{x}_0}f(x)=f(x_0)>0$ то она локально сохраняет в ней знак, то есть $$\exists\delta>0:\forall{x}\in{U}^\delta(x)(f(x)>0)\Rightarrow \int\limits_a^bf(x)dx=\int\limits_a^{x_0-\delta}f(x)dx+\int\limits_{x_0-\delta}^{x_0+\delta}f(x)dx+\int\limits_{x_0+\delta}^bf(x)dx>0$$ В данной сумме первое и третье слагаемые не отрицательны, а второе положительно.

Задача 8.3.3: Доказать, что если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ такакя, что

1. $f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$,
2. функция $f(x)$ не отрицательна,
3. $\int\limits_a^bf(x)dx=0$,

Решение: Следует из критерия интегрируемости по Риману и задачи 8.3.2.

previous contents next