previous contents next
7.2.3 Схема Куммера и следствия из нее: признаки Даламбера, Раабе, Бертрана, Гаусса.

Теорема 7.2.5: Схема Куммера.
Если ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ такой, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n>0$, последовательность $\{c_n\}$ такая, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $c_n>0$ и ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac1{c_n}$ расходится, для любого $n\in\mathbb{N}$ $K_n:=c_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}$, тогда

  1. если существуют $\delta>0$, $n_0\in\mathbb{N}$ такие, что для любого $n>n_0$ $K_n\geq\delta$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится,

  2. если существует $n_0\in\mathbb{N}$ такое, что для любого $n>n_0$ $K_n\leq0$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ расходится.

Доказательство:

  1. Так как $$\exists\delta>0,\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(K_n=c_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}\geq\delta\right)\Rightarrow \forall{n}>n_0(c_na_n-c_{n+1}a_{n+1}\geq{a}_{n+1}\delta>0)$$ то последовательность, $\{c_na_n\}$ убывает и ограничена снизу нулем, так как по условию для любого $n\in\mathbb{N}$ $c_n>0$ и $a_n>0$. Следовательно, существует конечный предел $A:=\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_nc_n)$. Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ такой, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $b_n=c_na_n-c_{n+1}a_{n+1}$, тогда $$S_n^{(b)}=\sum_{k=1}^nb_n=\sum_{k=1}^n(c_na_n-c_{n+1}a_{n+1})=c_1a_1-c_{n+1}a_{n+1}\Rightarrow\exists\lim_{n\to\infty}S_n^{(b)}=c_1a_1-A$$ То есть ряд $\sum_{n=1}^\infty{b}_n$ сходится и так как для любого $n\in\mathbb{N}$ $0<a_{n+1}\delta\leq{b}_n$, следовательно, ряд $\sum_{n=1}^\infty(a_{n+1}\delta)$ сходится и сходится ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$.
  2. Так как $$\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(K_n=c_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}\leq0\right)\Rightarrow \forall{n}>n_0\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}\leq\frac{c_{n+1}}{c_n}\right)\Rightarrow \forall{n}>n_0\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq\frac{c_n}{c_{n+1}}=\frac{\frac1{c_{n+1}}}{\frac1{c_n}}\right)$$ Так как знакопостоянный ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac1{c_n}$ расходится, то расходится и ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$.


Следствие 7.2.7: Допредельная форма признака Даламбера.
Если ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ такой, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n>0$, тогда

  1. если существуют $\delta>0$, $n_0\in\mathbb{N}$ такие, что для любого $n>n_0$ $\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\geq\delta$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится.

  2. если существует $n_0\in\mathbb{N}$ такое, что для любого $n>n_0$ $\frac{a_n}{a_{n+1}}\leq1$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ расходится.

Доказательство: Если для любого $n\in\mathbb{N}$ положить $c_n=1$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac1{c_n}$ расходится, значит можем применить схему Куммера, тогда $K_n=c_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}=\frac{a_n}{a_{n+1}}-1$ и утверждение следует из утверждения схемы Куммера.

Данное утверждение следует так же из признака Даламбера. Действительно, пусть существует предел $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$, тогда

  1. $q<1\Rightarrow\exists\delta:=\frac{1-q}{2q}>0\wedge{q}=\frac1{1+2\delta}$
    Положим $\varepsilon:=\frac1{1+\delta}-\frac1{1+2\delta}=\frac{\delta}{(1+\delta)(1+2\delta)}>0$ тогда по определению предела последовательности $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\Rightarrow \exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}-q\right|<\varepsilon\right)\Rightarrow \forall{n}>n_0\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}<q+\varepsilon=\frac1{1+2\delta}+\varepsilon=\frac1{1+\delta}\right)\Rightarrow \forall{n}>n_0\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\geq\delta\right)$$
  2. $q>1\Rightarrow\exists\varepsilon>0:q-\varepsilon>1$
    Тогда по определению предела последовательности $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\Rightarrow \exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}-q\right|<\varepsilon\right)\Rightarrow \forall{n}>n_0\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}>q-\varepsilon>1\right)\Rightarrow\forall{n}>n_0\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\leq0\right)$$


Следствие 7.2.8: Допредельная форма признака Раабе.
Если ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ такой, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n>0$, тогда

  1. если существуют $\delta>0$, ${n}_0\in\mathbb{N}$ такие, что для любого $n>n_0$ $n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\geq1+\delta$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится,
  2. если существует $n_0\in\mathbb{N}$ такое, что для любого $n>n_0$ $n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\leq1$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ расходится.

Доказательство: Если для любого $n\in\mathbb{N}$ положить $c_n=n$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac1{c_n}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n}$ расходится, значит можем применить схему Куммера, тогда $$K_n=c_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}=n\frac{a_n}{a_{n+1}}-n-1=n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1$$ и утверждение следует из утверждения схемы Куммера.

Следствие 7.2.9: Предельная форма признака Раабе.
Если ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ такой, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n>0$ и $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\right)=p$, тогда

  1. если $p>1$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится,

  2. если $p<1$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ расходится.

Доказательство: Предельная форма признака Раабе сводится к допредельной форме.

  1. $p>1\Rightarrow\exists\delta>0:p=1+2\delta$
    Тогда по определению предела последовательности $$\lim_{n\to\infty}\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\right)=p\Rightarrow \exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(\left|n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-p\right|<\delta\right)\Rightarrow \forall{n}>n_0\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)>p-\delta=1+\delta\right)$$ Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится по следствию 7.2.8.
  2. $p<1\Rightarrow\exists\varepsilon>0:p+\varepsilon<1$
    Тогда по определению предела последовательности. $$\lim_{n\to\infty}\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\right)=p\Rightarrow \exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(\left|n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-p\right|<\delta\right)\Rightarrow \forall{n}>n_0\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)<p+\varepsilon<1\right)$$ Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ расходится по следствию 7.2.8.


Следствие 7.2.10: Признак Бертрана (промежуточный результат необходимый для доказательства признака Гаусса).
Если ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ и последовательность $\{B_n\}$ такие, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n>0$, $\displaystyle{B}_n=\left(n\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}-1\right)-1\right)\ln{n}$ и $\displaystyle\lim_{n\to\infty}B_n=B$, тогда

  1. если $B>1$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится,

  2. если $B<1$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ расходится.

Доказательство: Для любого $n\in\mathbb{N}$ положим $c_n=n\ln{n}$, тогда ряд $\sum_{n=1}^\infty\frac1{c_n}$ расходится по признаку Коши-Маклорена. Следовательно, можем применить схему Куммера, тогда $$K_n=c_n\frac{a_n}{a_{n+1}}-c_{n+1}=n\ln{n}\frac{a_n}{a_{n+1}}-(n+1)\ln(n+1)=n\ln{n}\frac{a_n}{a_{n+1}}-(n+1)(\ln(n+1)-\ln{n})-(n+1)\ln{n}=$$ $$\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)\ln{n}-\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}=B_n-\ln\left(1+\frac1{n}\right)^{n+1}\Rightarrow \lim_{n\to\infty}K_n=B-\lim_{n\to\infty}\ln\left(1+\frac1{n}\right)^{n+1}=B-1$$

  1. Если $B>1$, то $\displaystyle\lim_{n\to\infty}K_n=B-1>0$, следовательно, $$\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(|K_n-(B-1)|<\frac{B-1}{2}\right)\Rightarrow \forall{n}>n_0\left(K_n>(B-1)-\frac{B-1}{2}=\frac{B-1}{2}>0\right)$$ Следовательно, по схеме Куммера ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится.
  2. Если $B<1$, то $\displaystyle\lim_{n\to\infty}K_n=B-1<0$, следовательно $$\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0(|K_n-(B-1)|<1-B)\Rightarrow\forall{n}>n_0(K_n<(B-1)+1-B=0)$$ Следовательно, по схеме Куммера ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ расходится.


Следствие 7.2.11: Признак Гаусса.
Если ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ такой, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n>0$ и существуют $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$, $\delta>0$, $n_0\in\mathbb{N}$ и ограниченная последовательность $\{\theta_n\}$ такие, что для любого $n>n_0$ $\displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lambda+\frac{\mu}{n}+\frac{\theta_n}{n^{1+\delta}}$, тогда

  1. если $\lambda>1$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится, а если $\lambda<1$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ расходится;

  2. если $\lambda=1$ и $\mu>1$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ сходится,

  3. если $\lambda=1$ и $\mu\leq1$, то ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ расходится.

Доказательство:

  1. Так как $$\exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lambda+\frac{\mu}{n}+\frac{\theta_n}{n^{1+\delta}}\right)\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim_{n\to\infty}\left(\lambda+\frac{\mu}{n}+\frac{\theta_n}{n^{1+\delta}}\right)=\lambda$$ то утверждение следует из признака Даламбера.

    2. Пусть $\lambda=1$, тогда $$n\frac{a_n}{a_{n+1}}-n=n+\mu+\frac{\theta_n}{n^\delta}-n=\mu+\frac{\theta_n}{n^\delta}\Rightarrow \exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=\mu+\frac{\theta_n}{n^\delta}\right)\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\right)=\mu$$
  2. Так как $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\right)=\mu$, то утверждение следует из признака Раабе.
  3. Так как $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)\right)=\mu$, то при $\mu<1$, ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ расходится по признаку Раабе.
    Если $\mu=1$, тогда в условиях признака Бертрана $$B_n=\left(n\frac{a_n}{a_{n+1}}-n-1\right)=\left(n\lambda+\mu+\frac{\theta_n}{n^\delta}-n-1\right)\ln{n}=\theta_n\frac{\ln{n}}{n^\delta}\Rightarrow \lim_{n\to\infty}B_n=\lim_{n\to\infty}\left(\theta_n\frac{\ln{n}}{n^\delta}\right)=0<1$$ Следовательно, по признаку Бератрана ряд $\sum_{n=1}^\infty{a}_n$ расходится.


previous contents next