15.3 Самосопряженные преобразования.

Определение 15.4:
Преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ называется самосопряженным, если $\varphi=\varphi^*$.

Замечание 15.2:

1. Если преобразование $\varphi$ самосопряженное, то $\varphi\circ\varphi^*=\varphi^2=\varphi^*\circ\varphi$, то есть преобразование $\varphi$ нормальное.
2. Если $\vec{\delta}$ ортонормированный базис пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$, то по теореме 15.1 преобразование $\varphi$ самосопряженное тогда и только тогда, когда $A_{\vec{\delta}}(\varphi)=A_{\vec{\delta}}(\varphi^*)=\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)}^T$, то есть когда матрица $A_{\vec{\delta}}(\varphi)$ эрмитова.

Теорема 15.5: Критерий самосопряженности.
Преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ самосопряженное тогда и только тогда, когда

1. существует ортонормированный базис пространства $L_{\mathbb{P}}$ из собственных векторов преобразования $\varphi$,
2. все корни многочлена $\chi_{\varphi}(x)$ действительные числа.

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Так как преобразование $\varphi$ самосопряженное, то оно нормальное.

1. Пусть $\mathbb{P}=\mathbb{C}$, тогда $\chi_{\varphi}(x)$ раскладывается на линейные множители и по теореме 15.3 существует ортонормированный базис $\vec{\gamma}$ из собственных векторов преобразования $\varphi$. Тогда $A:=A_{\vec{\gamma}}(\varphi)=\diag{(r_1,\ldots,r_n)}$, где $r_1,\ldots,r_n\in\mathbb{C}$ корни многочлена $\chi_{\varphi}(x)$. При этом $$ \varphi=\varphi^*\Rightarrow{A}=\overline{A}^T\Rightarrow\diag{(r_1,\ldots,r_n)}=\diag{(\overline{r}_1,\ldots,\overline{r}_n)}\Rightarrow \forall{i}\in\overline{1,n}(r_i=\overline{r}_i)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,n}(r_i\in\mathbb{R}). $$
2. Пусть $\mathbb{P}=\mathbb{R}$, тогда по теореме 15.4 существуют ортонормированный базис $\vec{\delta}$ и $m,s\in\mathbb{N}_0$, $r_1,\ldots,r_m,a_1,\ldots,a_s\in\mathbb{R}$, $b_1,\ldots,b_s\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ такие, что $$ A_{\vec{\delta}}(\varphi)=\diag\left(r_1,\ldots,r_m,\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ -b_1 & a_1\end{pmatrix},\ldots, \begin{pmatrix}a_s & b_s \\ -b_s & a_s\end{pmatrix}\right). $$ Предположим, что $s<0$, тогда $$ \varphi=\varphi^*\Rightarrow{A}=A^T\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,s}\left(\begin{pmatrix}a_i & b_i \\ -b_i & a_i\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a_i & - b_i \\ b_i & a_i\end{pmatrix}\right)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,s}(b_i=-b_i=0). $$ Получено противоречие, следовательно, $s=0$, $m=n$, матрица $A_{\vec{\gamma}}(\varphi)$ диагональная и по утверждению 12.5 $\vec{\gamma}$ - базис пространства $L_{\mathbb{R}}$ из собственных векторов преобразования $\varphi$.

Следствие 15.3:
Пусть $A\in\mathbb{P}_{n,n}$ такая, что $A=\overline{A}^T$, тогда существуют унитарная матрица $C\in(\mathbb{P}_{n,n})^*$ и диагональная матрица $D\in\mathbb{R}_{n,n}$ такие, что $C^{-1}AC=D$.

Доказательство:
Существует пространство $(L_\mathbb{P},S)$ размерности $n$ с ортонормированным базисом $\vec{\delta}$ и преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ такие, что ${A_{\vec{\delta}}(\varphi)=A}$. Так как $A=\overline{A}^T$, то преобразование $\varphi$ самосопряженное. Тогда по теореме 15.5 существует ортонормированный базис $\vec{\gamma}$ из собственный векторов преобразования $\varphi$ и все корни $r_1,\ldots,r_n$ многочлена $\chi_{\varphi}(x)$ действительные числа, то есть $D:=A_{\vec{\gamma}}(\varphi)=\diag{(r_1,\ldots,r_n)}$. Тогда существует матрица $C\in(\mathbb{P}_{n,n})^*$ такая, что $\vec{\gamma}=\vec{\delta}C$, тогда по утверждению 12.3 $C^{-1}AC=D$ и по утверждению 15.2 матрица $C$ унитарна.

15.4 Изометрические преобразования.

Определение 15.5:
Преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ называется изометрическим, если для любых $\alpha,\beta\in{L}_{\mathbb{P}}$ $S(\varphi(\alpha),\varphi(\beta))=S(\alpha,\beta)$.

Теорема 15.6:
Пусть $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$, $\vec{\alpha}:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ - базис $L_{\mathbb{P}}$, тогда следующие утверждения эквивалентны

1. преобразование $\varphi$ изометрическое,
2. $\forall{i},j\in\overline{1,n}(S(\varphi(\alpha_i),\varphi(\alpha_j))=S(\alpha_i,\alpha_j))$,
3. $\forall\gamma\in{L}_{\mathbb{P}}(\|\varphi(\gamma)\|=\|\gamma\|)$,
4. преобразование $\varphi$ обратимо и $\varphi^{-1}=\varphi^*$.

Доказательство:

$1)\Rightarrow2)$ Следует из определения 15.5.
$2)\Rightarrow3)$ Пусть $\gamma\in{L}_{\mathbb{P}}$ и $c_1,\ldots,c_n\in\mathbb{P}$ такие, что $\gamma=\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i$, тогда $$ \|\varphi(\gamma)\|^2=S(\varphi(\gamma),\varphi(\gamma))= S\biggl(\varphi\biggl(\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i\biggr),\varphi\biggl(\sum_{j=1}^n\alpha_jc_j\biggr)\biggr)= S\biggl(\sum_{i=1}^n\varphi(\alpha_i)c_i,\sum_{j=1}^n\varphi(\alpha_j)c_j\biggr)= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nc_i\overline{c}_jS(\varphi(\alpha_i),\varphi(\alpha_j))=\\= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nc_i\overline{c}_jS(\alpha_i,\alpha_j)=S\biggl(\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i,\sum_{j=1}^n\alpha_jc_j\biggr)=S(\gamma,\gamma)=\|\gamma\|^2 $$ Следовательно, так как норма не отрицательна по определению скалярного произведения, то $\|\varphi(\gamma)\|=\|\gamma\|$.
$3)\Rightarrow4)$ Обозначим $\psi:=\varphi^*\circ\varphi$, тогда по п.3 теоремы 15.2 $$\psi^*=(\varphi^*\circ\varphi)^*=\varphi^*\circ(\varphi^*)^*=\varphi^*\circ\varphi=\psi.$$ Таким образом, преобразование $\psi$ самосопряженное, тогда по теореме 15.5 существует ортонормированный базис $\vec{\delta}:=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$ и $r_1,\ldots,r_n\in\mathbb{R}$ такие, что для любого $i\in\overline{1,n}$ $\psi(\delta_i)=\delta_i{r}_i$, тогда для любого $i\in\overline{1,n}$ $$ 1=\|\delta_i\|^2=\|\varphi(\delta_i)\|^2=S(\varphi(\delta_i),\varphi(\delta_i))=S(\delta_i,\varphi^*(\varphi(\delta_i)))= S(\delta_i,\psi(\delta_i))=S(\delta_i,\delta_i{r}_i)=r_iS(\delta_i,\delta_i)=r_i\|\delta_i\|^2=r_i. $$ Таким образом, для любого $i\in\overline{1,n}$ $r_i=1$, тогда $A_{\vec{\delta}}(\psi)=A_{\vec{\delta}}(\varphi^*\circ\varphi)=E$, то есть $\varphi^*\circ\varphi=e$, следовательно, преобразование $\varphi$ обратимое и $\varphi^{-1}=\varphi^*$.
$4)\Rightarrow1)$ Для любых $\alpha,\beta\in{L}_{\mathbb{P}}$ $$S(\varphi(\alpha),\varphi(\beta))=S(\alpha,\varphi^*(\varphi(\beta)))=S(\alpha,\varphi^{-1}(\varphi(\beta)))=S(\alpha,\beta).$$

Замечание 15.3:

1. Если $\varphi$ изометрическое, то из п.4 теоремы 15.6 следует $$\varphi^*\circ\varphi=\varphi^{-1}\circ\varphi=e=\varphi\circ\varphi^{-1}=\varphi\circ\varphi^*,$$ то есть преобразование $\varphi$ нормальное.
2. Пусть $\vec{\delta}$ - ортонормированный базис $(L_{\mathbb{P}},S)$, $\varphi\in{L}_{\mathbb{P}}$, тогда из п. 4 теоремы 15.6, теоремы 15.1 и п. 2 задачи 12.3 следует, что преобразование $\varphi$ изометрическое тогда и только тогда, когда $A_{\vec{\delta}}(\varphi)^{-1}=\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)}^T$. При $\mathbb{P}=\mathbb{C}$ последние условие означает, что матрица $A_{\vec{\delta}}(\varphi)$ унитарна, при $\mathbb{P}=\mathbb{R}$ - ортогональна.

Теорема 15.7:

1. Преобразование $\varphi\in{L}_{\mathbb{P}}$ изометрично тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$ из собственных векторов преобразования $\varphi$ и все собственные значения $\varphi$ по модулю равны единице.
2. Преобразование $\varphi\in{L}_{\mathbb{R}}$ изометрично тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$ такой, что $$ A_{\vec{\delta}}(\varphi)=\diag{\left(r_1,\ldots,r_k,\begin{pmatrix}{2}\cos{\omega_1} & \sin{\omega_1} \\ -\sin{\omega_1} & \cos{\omega_1}\end{pmatrix},\ldots, \begin{pmatrix}{2}\cos{\omega_s} & \sin{\omega_s} \\ -\sin{\omega_s} & \cos{\omega_s}\end{pmatrix}\right)}, $$ где $k,s\in\mathbb{N}_0$, для любого $i\in\overline{1,k}$ $r_i\in\{1, -1\}$, для любого $j\in\overline{1,s}$ $\omega_j\in(0,2\pi)\backslash\{\pi\}$

Доказательство:

1. $\Rightarrow)$ Так как преобразование $\varphi$ изометрическое, то оно нормальное. По теореме 15.3 существует ортонормированный базис $\vec{\delta}$ такой, что $A_{\vec{\delta}}(\varphi)=\diag{(r_1,\ldots,r_n)}$, где $r_1,\ldots,r_n\in\mathbb{P}$ собственные значения преобразования $\varphi$. По п. 2 замечания 15.3 $$ A_{\vec{\delta}}(\varphi)^{-1}=\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)}^T\Rightarrow\diag{(r_1^{-1},\ldots,r_n^{-1})}= \diag{(\overline{r}_1,\ldots,\overline{r}_n)}\Rightarrow \forall{i}\in\overline{1,n}(r_i^{-1}=\overline{r}_i)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,n}(|r_i|^2=|r_i|=1). $$ $\Leftarrow)$ По утверждению 12.4 $A_{\vec{\delta}}(\varphi):=\diag{(r_1,\ldots,r_n)}$, где $r_1,\ldots,r_n\in\mathbb{P}$ собственные занчения преобразования $\varphi$. Так как для любого $i\in\overline{1,n}$ $|r_i|=|r_i|^2=\overline{r}_ir_i=1$, то $r_i^{-1}=\overline{r}_i$ и тогда $A_{\vec{\delta}}(\varphi)^{-1}=\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)}^T$, то есть преобразование $\varphi$ изометрическое.
2. $\Rightarrow)$ Так как преобразование изометрично, то оно нормальное. Тогда по теореме 15.4 существуют ортонормированный базис $\vec{\delta}$ и $k,s\in\mathbb{N}_0$, $r_1,\ldots,r_k,a_1,\ldots,a_s\in\mathbb{R}$, $b_1,\ldots,b_s\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ такие, что $$ A_{\vec{\delta}}(\varphi)=\diag\left(r_1,\ldots,r_k,\begin{pmatrix}{2}a_1 & b_1 \\ -b_1 & a_1\end{pmatrix},\ldots, \begin{pmatrix}{2}a_s & b_s \\ -b_s & a_s\end{pmatrix}\right). $$ Так как преобразование $\varphi$ изометрическое, то $A_{\vec{\delta}}(\varphi)^{-1}=\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)}^T$, следовательно, для любого $i\in\overline{1,k}$ $r_i=r_i^{-1}$, то есть $r_i\in\{1, -1\}$ и для любого $j\in\overline{1,s}$ $$ \begin{pmatrix}{2}a_j & b_j \\ -b_j & a_j\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}{2}a_j & b_j \\ -b_j & a_j\end{pmatrix}^T\Rightarrow \begin{pmatrix}{2}a_j & b_j \\ -b_j & a_j\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}a_j & -b_j \\ b_j & a_j\end{pmatrix}=E\Rightarrow {a}_j^2+b_j^2=1\Rightarrow\exists\omega_j\in(0,2\pi)\backslash\{0\}:(\cos{\omega_j}=a_j\,\wedge\,\sin{\omega_j}=b_j). $$ $\Leftarrow)$ Так как для любого $i\in\overline{1,k}$ $r_i=r_i^{-1}$ и для любого $j\in\overline{1,s}$ $$ \begin{pmatrix}{2}\cos{\omega_j} & \sin{\omega_j} \\ -\sin{\omega_j} & \cos{\omega_j}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{2}\cos{\omega_j} & -\sin{\omega_j} \\ \sin{\omega_j} & \cos{\omega_j}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\sin^2{\omega_j}+\cos^2{\omega_j} & \sin{\omega_j}\cos{\omega_j}-\sin{\omega_j}\cos{\omega_j} \\ \sin{\omega_j}\cos{\omega_j}-\sin{\omega_j}\cos{\omega_j} & \sin^2{\omega_j}+\cos^2{\omega_j}\end{pmatrix}=E, $$ то $A_{\vec{\delta}}(\varphi)^{-1}=A_{\vec{\delta}}(\varphi^T)$.