15.2 Нормальные преобразования.

Определение 15.2:
Преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ называется нормальным, если $\varphi\circ\varphi^*=\varphi^*\circ\varphi$.
Матрица $A\in\mathbb{P}_{n,n}$ называется нормальной, если $A\overline{A}^T=\overline{A}^TA$.

Из определения и теоремы 15.1 следует, что если $\vec{\delta}$ ортонормированный базис $(L_{\mathbb{P}},S)$, то преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ нормальное тогда и только тогда, когда матрица $A_{\vec{\delta}}(\varphi)$ нормальная.

Лемма 15.2:
Пусть подпространство $K<L_{\mathbb{P}}$ и преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ такие, что ${\varphi(K)\subset{K}}$, тогда $\varphi^*(K^{\perp})\subset{K}^{\perp}$.

Доказательство:

Пусть $\beta\in\varphi^*(K^{\perp})$, то есть существет $\gamma\in{K}^{\perp}$ такое, что $\varphi^*(\gamma)=\beta$, тогда $$\forall\alpha\in{K}(S(\alpha,\beta)=S(\alpha,\varphi^*(\gamma))=S(\varphi(\alpha),\gamma)=0)\Rightarrow\beta\in{K}^{\perp}.$$

Утверждение 15.1:
Пусть преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ нормальное, тогда

1. если $K<L_{\mathbb{P}}$ и $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ такие, что $\varphi(K)\subset{K}$, то подпростраства $K$ и $K^{\perp}$ инвариантны относительно преобразований $\varphi$ и $\varphi*$.
2. $\alpha\in{L}_{\mathbb{P}}$ собственный вектор преобразования $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ принадлежащий собственному значению $r\in\mathbb{P}$, тогда $\alpha$ собственный вектор преобразования $\varphi^*$ принадлежащий собственному значению $\overline{r}$.

Доказательство:

1. Докажем, что $\varphi(K^{\perp})\subset{K}^{\perp}$.
   Пусть $\vec{\delta'}:=(\delta_1,\ldots,\delta_m)$ - ортонормированный базис подпространства $K$, $\vec{\delta}:=(\delta_1,\ldots,\delta_m,\delta_{m+1},\ldots,\delta_n)$ - ортонормированный базис $L_{\mathbb{P}}$, тогда из доказательства теоремы 14.5 следует, что $K^{\perp}=(\delta_{m+1},\ldots,\delta_n)_{\mathbb{P}}$. Тогда по теореме 12.8 существуют матрицы $B\in\mathbb{P}_{m,m}$, $C\in\mathbb{P}_{m,n-m}$, $D\in\mathbb{P}_{n-m,n-m}$ такие, что $$A:=A_{\vec{\delta}}(\varphi)=\begin{pmatrix}B & C \\ \Theta & D\end{pmatrix}.$$ Тогда по теореме 12.9 для того, чтобы доказать, что $\varphi(K^{\perp})\subset{K}^{\perp}$ достаточно доказать, что $C=\Theta$.
   Преобразование $\varphi$ нормальное, следовательно, матрица $A$ нормальная, то есть $$ \overline{A}^T=\begin{pmatrix}\overline{B}^T & \Theta \\ \overline{C}^T & \overline{D}^T\end{pmatrix}\Rightarrow{A}\overline{A}^T= \begin{pmatrix}B\overline{B}^T+C\overline{C}^T & X \\ Y & Z\end{pmatrix}=\overline{A}^TA= \begin{pmatrix}\overline{B}^TB & X_1 \\ Y_1 & Z_1\end{pmatrix}\Rightarrow{B}\overline{B}^T+C\overline{C}^T=\overline{B}^TB, $$ где $X,Y,Z,X_1,Y_1,Z_1$ некоторые матрицы подходящих размеров. Обозначим $B:=(b_{i,j})_{m,m}$, $C:=(c_{i,j})_{m,n-m}$ и $$F:=(f_{i,j})_{m,m}:=C\overline{C}^T=\overline{B}^TB-B\overline{B}^T,$$ тогда для любого $i\in\overline{1,m}$ $$ f_{i,i}=\overline{B_i^{\downarrow}}^TB_i^{\downarrow}-\vec{B_i}\overline{\vec{B_i}}^T= \sum_{k=1}^m\overline{b}_{k,i}b_{k,i}-\sum_{k=1}^mb_{i,k}\overline{b}_{i,k}=\sum_{i=1}^m|b_{k,i}|^2-\sum_{k=1}^m|b_{k,i}|^2, $$ следовательно, $$ \sum_{i=1}^mf_{i,i}=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{k=1}^m|b_{k,i}|^2-\sum_{k=1}^m|b_{i,k}|^2\right)= \sum_{i=1}^m\sum_{k=1}^m|b_{k,i}|^2-\sum_{i=1}^m\sum_{k=1}^m|b_{i,k}|^2=0, $$ с другой стороны, $$ F=C\overline{C}^T\Rightarrow\sum_{i=1}^mf_{i,i}=\sum_{i=1}^m\vec{C}_i\overline{\vec{C}_i}^T=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{n-m}c_{i,j}\overline{c}_{i,j}= \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^{n-m}|c_{i,j}|^2=0\Rightarrow\forall{i},j\in\overline{1,m}(c_{i,j}=0)\Rightarrow{C}=\Theta. $$ Таким образом,
   1. по условию $\varphi(K)\subset{K}$,
   2. из (a) и леммы 15.2 следует $\varphi^*(K^{\perp})\subset{K^{\perp}}$,
   3. доказано выше, что $\varphi(K^{\perp})\subset{K}^{\perp}$,
   4. из (с) и леммы 15.2 следует $$\varphi(K^{\perp})\subset{K^{\perp}}\Rightarrow\varphi^*((K^{\perp})^{\perp})\subset(K^{\perp})^{\perp}\Rightarrow\varphi^*(K)\subset{K}.$$
2. $\Rightarrow)$ Положим $K:=(\alpha)_{\mathbb{P}}$, тогда по п. 1 задачи 12.3 и пункту 1 $$ \varphi(K)\subset{K}\Rightarrow\varphi^*(K)\subset{K}\Rightarrow\varphi^*(\alpha)\in{K}\Rightarrow\exists{k}_1\in\mathbb{P}:\varphi^*(\alpha)=\alpha{r}_1, $$ тогда так как $S(\varphi(\alpha),\alpha)=S(\alpha,\varphi^*(\alpha))$ и $S(\alpha,\alpha)\neq0$, то $$ \begin{cases} S(\varphi(\alpha),\alpha)=S(\alpha{r},\alpha)&=rS(\alpha,\alpha) \\ S(\alpha,\varphi^*(\alpha))=S(\alpha,\alpha{r}_1)&=\overline{r}_1S(\alpha,\alpha) \end{cases}\Rightarrow(r-\overline{r}_1)S(\alpha,\alpha)=0\Rightarrow{r}=\overline{r}_1\Rightarrow{r}_1=\overline{r}. $$ $\Leftarrow)$ По доказанному $\alpha$ собственный вектор преобразования $(\varphi^*)^*$ принадлежащий собственному значению $\overline{\overline{r}}$, то есть $\alpha$ собственный вектор преобразования $\varphi$ принадлежащий собственному значению $r$.

Утверждение 15.2:
Пусть $\vec{\delta}$ - ортонормированный базис евклидова пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$, тогда система векторов $\vec{\gamma}:=\vec{\delta}C$ являтеся ортонормированным базисом пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$ тогда и только тогда, когда матрица $C$ унитарна (см. определение 14.7).

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Так как $\vec{\delta}$ и $\vec{\gamma}:=\vec{\delta}C$ ортонормированные базисы, то $\Gamma_S(\vec{\delta})=\Gamma_S(\vec{\gamma})=E$ и по утверждению 14.4 $$ E=\Gamma_S(\vec{\gamma})=C^T\Gamma_S(\vec{\delta})\overline{C}=C^T\overline{C}\Rightarrow(C^T\overline{C})^T= \overline{C}^TC=E\Rightarrow{C}^{-1}=\overline{C}^T. $$ $\Leftarrow)$ Так как матрица $C$ унитарна, то она обратима, тогда $\vec{\gamma}$ - базис простраства $L_{\mathbb{P}}$. Тогда по утверждению 14.4 $$C^{-1}=\overline{C}^T\Rightarrow\overline{C}^{-1}=C^T\Rightarrow\Gamma_S(\gamma)=C^T\Gamma_S(\vec{\delta})\overline{C}=C^T\overline{C}=E,$$ то есть $\vec{\gamma}$ - ортонормированный базис.

Теорема 15.3:
Пусть преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ такое, что $\chi_{\varphi}(x)$ раскладывается на линейные множители, тогда преобразование $\varphi$ нормальное тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис пространства $L_{\mathbb{P}}$ из собственных векторов преобразования $\varphi$.

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Докажем индукцией по $n$ размерности пространства $L_{\mathbb{P}}$.

1. При $n=1$ матрица любого преобразования $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ в любом базисе (в том числе и ортонормированном) диагональна, следовательно, по утверждению 12.5 ортонормированный базис пространства $L_{\mathbb{P}}$ состоит из собственных векторов преобразования $\varphi$.
2. Для любого $m\geq1$ докажем, что если утверждение верно при $n\in\overline{1,m}$, то оно верно при $n=m+1$.
   Так как многочлен $\chi_{\varphi}(x)$ раскладывается на линейные множители, то существует $r\in\mathbb{P}$ такое, что $\chi_{\varphi}(r)=0$, тогда по теореме 12.3 $r$ - собственное значение преобразования $\varphi$, то есть существует $\alpha\in{L}_{\mathbb{P}}$ такое, что $\varphi(\alpha)=\alpha{r}$. Обозначим $K_{\mathbb{P}}:=(\alpha)_{\mathbb{P}}$, тогда по п.1 примера 12.3 $K_{\mathbb{P}}$ инвариантное подпространство $L_{\mathbb{P}}$. Тогда по утверждениям 14.6 и 15.1 $K^{\perp}$ тоже инвариантное подпространство $L_{\mathbb{P}}$, причем по теореме 14.5 $L_{\mathbb{P}}=K\dotplus{K}^{\perp}$. Так как $\dim{K_{\mathbb{P}}}=1$, то по следствию 11.4 $\dim{K^{\perp}}=n-1$. Обозначим $S'=S|_{K^{\perp}\times{K}^{\perp}}$, $\varphi'=\varphi|_{K^{\perp}}$, тогда по теореме 12.9 $\chi_{\varphi'}(x)|\chi_{\varphi}(x)$, следовательно, многочлен $\chi_{\varphi'}(x)$ раскладывается на линейные множители.
   Так как по п. 1 утверждения 15.1 $\varphi^*(K^{\perp})\subset{K}^{\perp}$, то для любых ${\beta,\gamma\in{K}^{\perp}}$ $$S'(\varphi'(\beta),\gamma)=S(\varphi(\beta),\gamma)=S(\beta,\varphi^*(\gamma))=S'(\beta,\varphi^*(\gamma)),$$ то есть $(\varphi')^*=\varphi^*|_{K^{\perp}}$. Тогда $$ \forall\beta\in{K}^{\perp}((\varphi'\circ(\varphi')^*)(\beta)=(\varphi\circ\varphi^*)(\beta)=(\varphi^*\circ\varphi)(\beta)= ((\varphi')^*\circ\varphi')(\beta))\Rightarrow\varphi'\circ(\varphi')^*=(\varphi')^*\varphi', $$ то есть преобразование $\varphi'$ нормальное, тогда по предположению индукции существует ортонормированный базис $\vec{\delta'}:=(\delta_1,\ldots,\delta_{n-1})$ евклидова пространства $(K^{\perp},S')$ состоящий из собственных векторов преобразования $\varphi'$. Тогда по п. 2 замечания 12.7 $\vec{\delta}:=(\alpha,\delta_1,\ldots,\delta_{n-1})$ - базис пространства $L_{\mathbb{P}}$, причем так как $K=(\alpha)_{\mathbb{P}}$, то для любого $i\in\overline{1,n-1}$ $\alpha\perp\delta_i$, то есть $\vec{\delta}$ - ортогональный базис. Так как вектор $\alpha$ - собственный вектор $\varphi$ принадлежащий собственному заначению $r$, то вектор $\frac{\alpha}{\|\alpha\|}$ - собственный вектор $\varphi$ принадлежащий собственному значению $\frac{r}{\|\alpha\|}$, следовательно, система $\left(\frac{\alpha}{\|\alpha\|},\delta_1,\ldots,\delta_{n-1}\right)$ является искомым ортонормированным базисом пространства $L_{\mathbb{P}}$ состоящим из собственных векторов преобразования $\varphi$.

Следствие 15.1:
Пусть матрица $A\in\mathbb{P}_{n,n}$ такая, что $A$ - нормальная и $\chi_A(x)$ раскладывается на линейные множители, тогда существуют матрицы $C,D\in\mathbb{P}_{n,n}$ такие, что матрица $C$ - унитарная, матрица $D$ - диагональная и $D=C^{-1}AC$.

Доказательство:

Пусть $(L_{\mathbb{P}},S)$ евклидово пространство размерности $n$ (напрмер из п. 3 примера 14.1), $\vec{\delta}$ - ортонормированный базис пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$, преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ такое, что $A_{\vec{\delta}}(\varphi)=A$. Так как матрица нормальна, то по теореме 15.1 преобразование $\varphi$ нормально. Тогда по теореме 15.3 существует ортонормированный базис $\vec{\gamma}$ пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$ из собственных векторов преобразования $\varphi$. Тогда по утверждению 12.5 матрица $D:=A_{\vec{\gamma}}(\varphi)$ - диагональная и по утверждению 12.3 существует матрица $C\in\mathbb{P}_{n,n}$ такая, что $\gamma=\delta{C}$ и $$D:=A_{\vec{\gamma}}(\varphi)=C^{-1}A_{\vec{\delta}}(\varphi)C=C^{-1}AC.$$ Так как $\vec{\gamma}=\vec{\delta}C$, то по утверждению 15.2 матрица $C$ унитарна.

Утверждение 15.3:
Собственные вектора нормального преобразования принадлежащие различным собственным значениям ортогональны.

Доказательство:

Пусть $\alpha_1,\alpha_2\in(L_{\mathbb{P}},S)$, $r_1,r_2\in\mathbb{P}$ такие, что $r_1\neq{r}_2$, $\varphi(\alpha_1)=\alpha_1r_1$, $\varphi(\alpha_2)=\alpha_2r_2$. Пусть преобразование $\varphi$ нормальное, тогда $S(\varphi(\alpha_1),\alpha_2)=S(\alpha_1,\varphi^*(\alpha_2))$, следовательно, по п. 2 утверждения 15.1 $$ \begin{cases} S(\varphi(\alpha_1),\alpha_2)=S(\alpha_1{r}_1,\alpha_2)&=r_1S(\alpha_1,\alpha_2) \\ S(\alpha_1,\varphi^*(\alpha_2))=S(\alpha_1,\alpha_2\overline{r}_2)&=r_2S(\alpha_1,\alpha_2) \end{cases}\Rightarrow{S}(\alpha_1,\alpha_2)(r_1-r_2)=0\Rightarrow{S}(\alpha_1,\alpha_2)=0 $$
Алгоритм построение ортонормированного базиса из собственных векторов нормального преобразования.

Пусть $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ нормальное преобразование такое, что существуют элементы $r_1,\ldots,r_s\in\mathbb{P}$, $k_1,\ldots,k_s\in\mathbb{N}$ такие, что $\chi_{\varphi}(x)=(x-r_i)^{k_1}\cdots(x-r_s)^{k_s}$.

1. Для любого $i\in\overline{1,s}$ строим МЛНП систему $\vec{\gamma_i}:=(\gamma_{i,1},\gamma_{i,2},\ldots,\gamma_{i,k_i})$ собственных векторов преобразования $\varphi$ принадлежащих собственному значению $r_i$. Эта система равна ФСР СОЛУ $(Er_i-A_{\vec{\alpha}}(\varphi))x^{\downarrow}=0$.
Для любого $i\in\overline{1,s}$ применим к системе $\vec{\gamma}_i$ процесс ортогонализации описанный в замечании 14.2 и поделим каждый из векторов на его норму получим ортонормированную систему $\vec{\delta}_i:=(\delta_{i,1},\delta_{i,2},\ldots,\delta_{i,k_i})$ эквивалентную системе $\vec{\gamma}_i$.
2. Тогда по теореме 12.9 и утверждению 15.3 система $\vec{\delta}:=(\vec{\delta_1},\ldots,\vec{\delta}_s)$ - ортонормированный базис из собственных векторов преобразования $\varphi$.

Теорема 15.4:
Если $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{R}})$, то $\varphi$ нормальное тогда и только тогда, когда существует ортнонормированный базис пространства $(L_{\mathbb{R}},S)$ такой, что существуют $m,s\in\mathbb{N}_0$, $r_1,\ldots,r_m,a_1,\ldots,a_s\in\mathbb{R}$, ${b_1,\ldots,b_s\in\mathbb{R}\backslash\{0\}}$ такие, что $$ A_{\vec{\delta}}(\varphi)=\diag{\left(r_1,\ldots,r_m,\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ -b_1 & a_1\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}a_1 & b_s \\ -b_s & a_s\end{pmatrix}\right)}\quad(*).$$

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Докажем индукцией по $n$ размерности пространства $L_{\mathbb{R}}$.

1. При $n=1$ любая матрица преобразования $\varphi$ диагональна, то есть имеет вид $(*)$ при $m=1$ и $s=0$.
   При $n=2$, если $\chi_{\varphi}(x)$ раскладывается на линейные множители, то утверждение следует из теоремы 15.3. Если $\chi_{\varphi}(x)$ не раскладывается на линейные множители, то он не приводим. Пусть $\vec{\delta}$ - ортонормированный базис пространства $(L_{\mathbb{R}},S)$, $A:=A_{\vec{\delta}}(\varphi):=\left(\begin{smallmatrix}a & b \\ c & d\end{smallmatrix}\right)$. Тогда по теореме 15.1 $$ AA^T=A^TA\Rightarrow\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & c \\ b & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & c \\ b & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix}a^2+c^2 & ab+cd \\ ab+cd & b^2+d^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2+b^2 & ac+bd \\ ac+bd & c^2+d^2\end{pmatrix}\Rightarrow \begin{cases}a^2+b^2=&a^2+c^2 \\ ac+bd=&ab+cd \\ c^2+d^2=&b^2+d^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}b^2=c^2 \\ ac+bd=ab+cd\end{cases}. $$ Из первого равенства следует, что $c=b$ или $c=-b$. Предположим, что $b=c$, тогда $$\chi_{\varphi}(x)=|Ex-A|=(x-a)(x-b)-bc=x^2-(a+d)x+ad-b^2.$$ Дискриминант $D$ последнего выражения неотрицателен при любых $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ $$D:=(a+d)^2-4(ad-b^2)=(a-d)^2+4b^2\geq0.$$ Следовательно, многочлен $\chi_{\varphi(x)}$ имеет корни, то есть приводим, что противоречит выбору преобразования $\varphi$. Таким образом, $c=-b$ и $b\neq0$ (иначе $\chi_{\varphi}(x)=(x-a)(x-d)$), тогда $$-ab+bd=ab+d(-b)\Rightarrow{d}-a=a-d\Rightarrow{d}=a.$$
2. Для любого $m\geq2$ докажем, что если утверждение верно при $n\in\overline{1,m}$, то оно верно при $n=m+1$.
   
   1. Докажем, что в пространстве $L_{\mathbb{R}}$ существует собственное, инвариантное относительно преобразования $\varphi$ подпространство.
      Так как над $\mathbb{C}$ любой многочлен имеет корни, то существует $z:=a+bi\in\mathbb{C}$ такое, что $\chi_{\varphi}(z)=0$. Пусть $\gamma$ - ортонормированный базис пространства $(L_{\mathbb{R}},S)$, $A:=A_{\vec{\gamma}}(\varphi)$, тогда $A$ - нормальная матрица. Тогда по следствию 15.1 существуют $r_1,\ldots,r_n\in\mathbb{C}$ и матрица $T\in(\mathbb{C}_{n,n})^*$ такие, что $T^{-1}AT=D:=\diag{(r_1,\ldots,r_n)}$, то есть $AT=TD$. По утверждению 12.6 характерестические многочлены подобных матриц равны, то есть $$\chi_{\varphi}(x)=\chi_D(x)=(x-r_1)\cdots(x-r_n),$$ следовательно, существует $j\in\overline{1,n}$ такое, что $r_j=z$, тогда (зачем введено $z$? почему не взять вместо $r_j$ $r_1$???) $AT_j^{\downarrow}=T_j^{\downarrow}z$. Существуют $R^{\downarrow},J^{\downarrow}\in\mathbb{R}^{(n)}$ такие, что $T_j^{\downarrow}=R^{\downarrow}+J^{\downarrow}i$, тогда $$ A(R^{\downarrow}+J^{\downarrow}i)=(R^{\downarrow}+J^{\downarrow}i)(a+bi)\Rightarrow {A}R^{\downarrow}+AJ^{\downarrow}i=R^{\downarrow}a-J^{\downarrow}b+(R^{\downarrow}b+J^{\downarrow}a)i\Rightarrow \begin{cases}AR^{\downarrow}=R^{\downarrow}a-J^{\downarrow}b \\ AJ^{\downarrow}=R^{\downarrow}b+J^{\downarrow}a.\end{cases} $$ Обозначим $\alpha:=\vec{\gamma}R^{\downarrow}$, $\beta:=\vec{\gamma}J^{\downarrow}$, $K:=(\alpha,\beta)_{\mathbb{R}}$. Предположим, что $\alpha=\beta=0$, тогда (так как $\vec{\gamma}$ ЛНЗ) $$R^{\downarrow}=J^{\downarrow}=\theta\Rightarrow{T}_j^{\downarrow}=\theta\Rightarrow{T}\notin(\mathbb{C}_{n,n})^*.$$ Таким образом, либо $\alpha\neq0$, либо $\beta\neq0$, то есть $1\leq\dim{K}_{\mathbb{R}}\leq2$. При этом $$ \varphi(\alpha)=\vec{\gamma}A_{\vec{\gamma}}(\varphi)\alpha_{\vec{\gamma}}^{\downarrow}=\vec{\gamma}AR^{\downarrow}= \vec{\gamma}(R^{\downarrow}a-J^{\downarrow}b)=\vec{\gamma}R^{\downarrow}a-\vec{\gamma}J^{\downarrow}b=\alpha{a}-\beta{b}\in{K}_{\mathbb{R}}. $$ Аналогично показывается, что $\varphi(\beta)\in{K}_{\mathbb{R}}$. Таким образом, по п. 1 замечания 12.6 $K_{\mathbb{R}}$ инвариантное относительно $\varphi$ подпространство пространства $L_{\mathbb{R}}$.
   2. По п.1 утверждения 15.1 $K^{\perp}$ - инвариантное относительно $\varphi$ подпространство пространства $L_{\mathbb{R}}$, по теореме 14.5 $L_{\mathbb{R}}=K_{\mathbb{R}}\dotplus{K}^{\perp}$ при этом $1\leq\dim{K^{\perp}}<n$. Обозначим $S_1:=S|_{K\times{K}}$, $S_2:=S|_{K^{\perp}\times{K}^{\perp}}$, тогда $(K_{\mathbb{R}},S_1)$, $(K^{\perp},S_2)$ - евклидовы пространства. Из доказательства теоремы 15.3 следует, что преобразования $\sigma_1:=\varphi|_K$, $\sigma_2:=\varphi|_{K^{\perp}}$ нормальные, тогда по предположению индукции
      • существует $\vec{\delta}_1$ ортонормированный базис пространства $(K_{\mathbb{R}},S_1)$ такой, что матрица $A_{\vec{\delta}_1}(\sigma_1)$ имеет вид $(*)$,
      • существует $\vec{\delta}_2$ ортонормированный базис пространства $(K^{\perp},S_2)$ такой, что матрица $A_{\vec{\delta}_2}(\sigma_2)$ имеет вид $(*)$.
      Так как $\vec{\delta_1}\perp\vec{\delta}_2$, то по теореме 12.9 система $\vec{\delta}:=(\vec{\delta}_1,\vec{\delta}_2)$ является ортонормированным базисом пространства $(L_{\mathbb{R}},S)$ таким, что $A_{\vec{\delta}}(\varphi)=\diag{(A_{\vec{\delta}_1}(\sigma_1),A_{\vec{\delta}_2}(\sigma_2))}$. Таким обрзом, существует перестановка векторов базиса $\vec{\delta}$ такая, что матрица $A_{\vec{\delta}}(\varphi)$ имеет вид $(*)$.

Следствие 15.2:
Для любой нормальной матрицы $A\in\mathbb{R}_{n,n}$ существуют $m,s\in\mathbb{N}_0$, $r_1,\ldots,r_m,a_1,\ldots,a_s\in\mathbb{R}$, ${b_1,\ldots,b_s\in\mathbb{R}\backslash\{0\}}$ такие, что $$ A\approx{D}:=\diag{\left(r_1,\ldots,r_m,\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ -b_1 & a_1\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}a_1 & b_s \\ -b_s & a_s\end{pmatrix}\right)}.\quad(*) $$ При этом существует ортогональная матрица $C\in(\mathbb{R}_{n,n})^*$ такая, что $C^{-1}AC=D$.

Доказательство:

Пусть $(L_{\mathbb{R}},S)$ евклидово пространство размерности $n$, $\vec{\alpha}$ - ортонормированный базис пространства $(L_{\mathbb{R}},S)$. Существует преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{R}})$ такое, что $A_{\vec{\alpha}}(\varphi)=A$ и так как матрица $A$ нормальная, то преобразование $\varphi$ тоже нормальное. Тогда по теореме 15.4 существует ортонормированный базис $\vec{\delta}$ такой, что матрица $D:=A_{\vec{\delta}}(\varphi)$ имеет вид $(*)$. По утверждению 12.3 матрицы одного и того же преобразования в разных базисах подобны, следовательно, $A=A_{\vec{\alpha}}(\varphi)\approx{A}_{\vec{\delta}}(\varphi)=D$.
Так как базисы $\vec{\alpha},\vec{\delta}$ ортонормированны, то существование ортогональной матрицы $C\in(\mathbb{R}_{n,n})^*$ такой, что $C^{-1}AC=D$ следует из утверждения~15.2.

Замечание 15.1:
Матрица вида $(*)$ из формулировки теоремы 15.4 определена однозначно с точностью до перестановки клеток. Действительно $$ \begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ -b_1 & a_1\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\ -b_2 & a_2\end{pmatrix}\Rightarrow(x-a_1)^2+b_1^2= (x-a_2)^2+b_2^2\Rightarrow{x}^2-2a_1x+a_1^2+b_1^2=x^2-2a_2x+a_2^2+b_2^2\Rightarrow \begin{cases}2a_1=2a_2 \\ a_1^2+b_1^2=a_2^2+b_2^2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a_1=a_2 \\ b_1=b_2\end{cases} $$

Определение 15.3
Пусть $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{R}})$ тогда базис $\vec{\delta}$ такой, что матрица $A_{\vec{\delta}}(\varphi)$ имеет вид $$\diag{\left(r_1,\ldots,r_m,\begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ -b_1 & a_1\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}a_1 & b_s \\ -b_s & a_s\end{pmatrix}\right)}$$ называется геометрически нормальным базисом преобразования $\varphi$.

previous contents next