Теорема 12.1:

1. $(\mathcal{L}(L_P);+,\circ)$ - кольцо с единицей,
2. $(\mathcal{L}(L_P);+)_P$ - векторное пространство, где операция внешнего умножения определена как $$\forall\varphi\in\mathcal{L}(L_P)\,a\in{P}(\forall\alpha\in{L}_P((\varphi{a})(\alpha)=\varphi(\alpha)a).$$

Доказательство:
См. задача 12.2

Задача 12.2:
Доказать теорему 12.1.
Решение:

1. Замкнутость множества $\mathcal{L}(L_P)$ относительно операций $+$ и $\circ$ доказана в задаче 12.1.
   Фиксируем $\varphi,\psi,\tau\in\mathcal{L}(L_P)$, $\alpha\in{L}$.
   1. Ассоциативность операции $+$ следует из ассоциативности операции $+$ в $(L;+)$.
      Ассоциативность операции композиции следует из ее определения.
   2. Коммутативность операции $+$ следует из коммутативности операции $+$ в $(L;+)$.
   3. Докажем дистрибутивность операции $\circ$ относительно операции $+$ $$ ((\varphi+\psi)\circ\tau)(\alpha)=(\varphi+\psi)(\tau(\alpha))=\varphi(\tau(\alpha))+\psi(\tau(\alpha))= (\varphi\circ\tau)(\alpha)+(\psi\circ\tau)(\alpha). $$
   4. Пусть отображение $\Omega:L\to{L}$ такое, что для любого $\alpha\in{L}$ $\Omega(\alpha)=\theta$, тогда $\Omega\in\mathcal{L}(L_P)$ и $$ \forall\varphi\in\mathcal{L}(L_P)((\varphi+\Omega)(\alpha)=\varphi(\alpha)+\Omega(\alpha)=\varphi(\alpha))\Rightarrow \forall\varphi\in\mathcal{L}(L_P)(\varphi+\Omega=\varphi). $$ Аналогично $\Omega+\varphi=\varphi$, то есть перобразование $\Omega\in\mathcal{L}(L_P)$ нейтральный элемент относительно операции $+$.
   5. Симметричным элементом для преобразования $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$ является отображение $\varphi(-e)$ которое, как было показано в п. 3 задачи 12.1 принадлежит $\mathcal{L}(L_P)$. Действительно, по п. 2 теоремы 11.1 $$\forall\alpha\in{L}_P(\varphi+\varphi(-e))(\alpha)=\varphi(\alpha)+\varphi(\alpha)(-e)=\varphi(\alpha)-\varphi(\alpha)=\theta,$$ то есть $\varphi+\varphi(-e)=\Omega$, аналогично $\varphi(-e)+\varphi=\Omega$.
   6. Пусть $\varepsilon:L\to{L}$ тождественное отображение, то есть для любого $\alpha\in{L}$ $\varepsilon(\alpha)=\alpha$. Отображение $\varepsilon$ является изоморфизмом пространства $L_P$ в себя, следовательно, $\varepsilon\in\mathcal{L}(L_P)$. При этом $$\forall\varphi\in\mathcal{L}(L_P)((\varphi\circ\varepsilon)(\alpha)=\varphi(\varepsilon(\alpha))=\varphi(\alpha)),$$ $$\forall\varphi\in\mathcal{L}(L_P)((\varepsilon\circ\varphi)(\alpha)=\varepsilon(\varphi(\alpha))=\varphi(\alpha)).$$ Таким образом, элемент $\varepsilon\in\mathcal{L}(L_P)$ - нейтральный относительно операции $\circ$.
   Таким образом, $(\mathcal{L}(L_P);+,\circ)$ - кольцо с единицей $\varepsilon$.
2. По пункту 1 $(\mathcal{L}(L_P);+)$ - коммутативная группа. Замкнутость множества $\mathcal{L}(L_P)$ относительно операции внешнего умножения доказана в п. 3 задачи 12.1. Так что для доказательства утверждения достаточно проверить аксиомы опрерации внешнего умножения. Фиксируем $\varphi,\psi\in\mathcal{L}(L_P)$, $a,b\in{P}$, тогда так как $L_P$ - векторное пространство, то
   1. $$ \forall\alpha\in{L}(((\varphi{a})b)(\alpha)=(\varphi{a})(\alpha)b=(\varphi(\alpha)a)b=\varphi(\alpha)ab= (\varphi{a}b)(\alpha))\Rightarrow(\varphi{a})b=\varphi(ab) $$
   2. $$ \forall\alpha\in{L}((\varphi(a+b))(\alpha)=\varphi(\alpha)(a+b)=\varphi(\alpha)a+\varphi(\alpha)b= (\varphi{a})(\alpha)+(\varphi{b})(\alpha))\Rightarrow\varphi(a+b)=\varphi{a}+\varphi{b} $$
   3. $$ \forall\alpha\in{L}(((\varphi+\psi)a)(\alpha)=(\varphi+\psi)(\alpha)a=(\varphi(\alpha)+\psi(\alpha))a= \varphi(\alpha)a+\psi(\alpha)a=(\varphi{a})(\alpha)+(\psi{a})(\alpha))\Rightarrow(\varphi+\psi)a=\varphi{a}+\psi{a} $$
   4. $$\forall\alpha\in{L}((\varphi{e})(\alpha)=\varphi(\alpha)e=\varphi(\alpha))\Rightarrow\varphi{e}=\varphi.$$
   Таким образом, $(\mathcal{L}(L_P))_P$ - векторное пространство.

Утверждение 12.1:
Пусть $\varphi,\psi\in\mathcal(L_P,M_P)$, $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in{L}_p$ - базис $L_P$, тогда

1. $\varphi=\psi\Leftrightarrow\forall{i}\in\overline{1,n}(\varphi(\alpha_i)=\psi(\alpha_i))$,
2. $\forall\beta_1,\ldots,\beta_n\in{M}\,\exists!\varphi\in\mathcal{L}(L_P):\forall{i}\in\overline{1,n}(\varphi(\alpha_i)=\beta_i)$.

Доказательство:

1. $\Rightarrow)$ Очевидно.
   $\Leftarrow)$ Пусть $\gamma\in{L}$, тогда $$ \exists{c}_1,\ldots,c_n\in{P}:\gamma=\alpha_1c_1+\cdots+\alpha_nc_n\Rightarrow\varphi(\gamma)=\varphi\left(\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i\right)= \sum_{i=1}^n\varphi(\alpha_i)c_i=\sum_{i=1}^n\psi(\alpha_i)c_i=\psi\left(\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i\right)=\psi(\gamma) $$
2. Единственность преобразования следует из пункта 1 докажем его существование. Рассмотрим отображение $\varphi:L\to{L}$ такое, что для любого $\gamma=\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i\in{L}$ $\varphi(\gamma):=\sum_{i=1}^n\beta_ic_i$. Докажем, что $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$.
   1. Пусть $\gamma,\delta\in{L}$, тогда $$ \exists{c}_1,\ldots,c_n,d_1,\ldots,d_n\in{P}:\left(\gamma=\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i\,\wedge\,\delta=\sum_{i=1}^n\alpha_id_i\right)\Rightarrow \varphi(\gamma+\delta)=\varphi\left(\sum_{i=1}^n\alpha_i(c_i+d_i)\right)=\sum_{i=1}^n\beta_i(c_i+d_i)= \sum_{i=1}^n\beta_ic_i+\sum_{i=1}^n\beta_id_i=\varphi(\gamma)+\varphi(\delta) $$
   2. Пусть $a\in{P}$, $\gamma\in{L}$, тогда $$ \exists{c}_1,\ldots,c_n\in{P}:\gamma=\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i\Rightarrow\varphi(\gamma{a})= \varphi\left(\sum_{i=1}^n\alpha_ic_ia\right)=\sum_{i=1}^n\beta_ic_ia=\left(\sum_{i=1}^n\beta_ic_i\right)a=\varphi(\gamma)a $$
   Таким образом, $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$.

Определение 12.2:
Пусть $L_P$ - векторное пространство, $\vec{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ - базис $L_P$, $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, тогда матрица $$A_{\vec{\alpha}}(\varphi):=\left(\varphi(\alpha_1)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow},\ldots,\varphi(\alpha_n)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)$$ называется матрицей линейного преобразования $\varphi$ в базисе $\vec{\alpha}$.

Из утверждения 12.1 следует, что при фиксированном базисе $\vec{\alpha}$ определение 12.2 задает взаимнооднозначное соответствие между множеством матриц $P_{n,n}$ и множеством $\mathcal{L}(L_P)$.
Если дано преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, то по п. 1 утверждения 12.1 образы базисных векторов $\varphi(\vec{\alpha})=(\varphi(\alpha_1),\ldots,\varphi(\alpha_n))$ определены однозначно, а по ним однозначно строится матрица $A_{\vec{\alpha}}(\varphi)$.
С другой сторны, если дана матрица $A\in{P}_{n,n}$, тогда как показано в п. 2 утверждения 12.1 отображение $\varphi(\gamma)=(\vec{\alpha}A)\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}:L_P\to{L}_P$ будет линейным. При этом $$ \varphi(\gamma)=\varphi(\vec{\alpha}\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow})=\varphi(\vec{\alpha})\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}= \left(\vec{\alpha}A_{\vec{\alpha}}(\varphi)\right)\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}, $$ то есть разложение образа вектора $\gamma$ по базису $\vec{\alpha}$ можно найти как $$\varphi(\gamma)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=A_{\vec{\alpha}}(\varphi)\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}.$$

Утверждение 12.2:
Пусть $\vec{\alpha}$ - базис векторного пространства $L_P$ размерности $n$, $B\in{P}_{n,n}$. Отображение $\varphi:L\to{L}$ такое, что для любого $\gamma\in{L}$ $\varphi(\gamma)=\vec{\alpha}B\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}$, тогда $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$ и $A_{\vec{\alpha}}(\varphi)=B$.

Доказательство:
По п. 2 утверждения 12.1 существует $\psi\in\mathcal{L}(L_P)$ такое, что $A_{\vec{\alpha}}(\psi)=B$. Фиксируем $\gamma\in{L}_P$, тогда $$\varphi(\gamma)=\vec{\alpha}B\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=\vec{\alpha}A_{\vec{\alpha}}(\psi)\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}= \vec{\alpha}\psi(\gamma)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=\psi(\gamma),$$ то есть $\varphi=\psi\in\mathcal{L}(L_P)$.

Теорема 12.2:
Пусть $L_P$ - векторное пространство, $\dim{L}_P=n$, тогда

1. $\mathcal{L}(L_P)_P\cong(P_{n,n})_P$, $\dim{\mathcal{L}(L_P)_P}=n^2$,
2. $(\mathcal{L}(L_P);+,\circ)\cong(P_{n,n};+,\cdot)$.

Доказательство:
Пусть $\vec{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ - базис простраства $L_P$, отображение $\varphi:\mathcal{L}(L_P)\to{P}_{n,n}$ такое, что $\tau(\varphi)=A_{\vec{\alpha}}(\varphi)$. Докажем, что отображение $\varphi$ изоморфизм. Фиксируем $\varphi,\psi\in\mathcal{L}(L_P)$, $\gamma\in{L}_P$.

1. Отображение $\tau$ инъективно по утверждению 12.1 и сюръективно по утверждению 12.2, то есть отображение $\tau$ биективно.
2. Применяя теорему 3.1 и лемму 11.1 получим $$ (\varphi+\psi)(\gamma)=\varphi(\gamma)+\psi(\gamma)= \vec{\alpha}A_{\vec{\alpha}}(\varphi)\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}+\vec{\alpha}A_{\vec{\alpha}}(\psi)\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}= \vec{\alpha}\left(A_{\vec{\alpha}}(\varphi)+A_{\vec{\alpha}}(\psi)\right)\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\Rightarrow{A}_{\vec{\alpha}}(\varphi+\psi)= A_{\vec{\alpha}}(\varphi)+A_{\vec{\alpha}}(\psi)\Rightarrow\tau(\varphi+\psi)=\tau(\varphi)+\tau(\psi) $$
3. Применяя теорему 3.1 и лемму 11.1 получим $$ (\varphi\circ\psi)(\gamma)=\varphi(\psi(\gamma))=\vec{\alpha}A_{\vec{\alpha}}(\varphi)\psi(\gamma)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}= \vec{\alpha}\left(A_{\vec{\alpha}}(\varphi)A_{\vec{\alpha}}(\psi)\right)\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\Rightarrow {A}_{\vec{\alpha}}(\varphi)A_{\vec{\alpha}}(\psi)=A_{\vec{\alpha}}(\varphi\circ\psi)\Rightarrow\tau(\varphi\circ\psi)=\tau(\varphi)\tau(\psi) $$
4. Фиксируем $a\in{P}$, применяя теорему 3.5 и лемму 11.1 получим $$ (\varphi{a})(\gamma)=\varphi(\gamma)a=\vec{\alpha}A_{\vec{\alpha}}(\varphi)\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}a=\vec{\alpha}\left(A_{\vec{\alpha}}(\varphi)a\right)\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\Rightarrow\\ \Rightarrow{A}_{\vec{\alpha}}(\varphi{a})=A_{\vec{\alpha}}(\varphi)a\Rightarrow\tau(\varphi{a})=\tau(\varphi)a $$

Следствие 12.1:
Пусть $\vec{\alpha}$ - базис конечномерного векторного пространства $L_P$, тогда для любых $\varphi,\psi\in\mathcal{L}(L_P)$ и $a\in{P}$

1. $A_{\vec{\alpha}}(\varphi+\psi)=A_{\vec{\alpha}}(\varphi)+A_{\vec{\alpha}}(\psi)$,
2. $A_{\vec{\alpha}}(\varphi\circ\psi)=A_{\vec{\alpha}}(\varphi)A_{\vec{\alpha}}(\psi)$,
3. $A_{\vec{\alpha}}(\varphi{a})=A_{\vec{\alpha}}(\varphi)a$.

Доказательство:
Следует из доказательства теоремы 12.2.

Задача 12.3:
Пусть $L_P$ - векторное пространство, $\dim{L_P}=n$. Доказать, что

1. преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$ биективно тогда и только тогда, когда ${A_{\vec{\alpha}}(\varphi)\in(P_{n,n})^*}$;
2. если преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$ биективно, то $A_{\vec{\alpha}}(\varphi^{-1})=(A_{\vec{\alpha}}(\varphi))^{-1}$.

1. $\Rightarrow)$ Если $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$ биективно, то оно изоморфизм, значит по п.2 утверждения 11.3 существует изоморфизм $\varphi^{-1}:L_P\to{L}_P$. Так как $\varphi^{-1}$ изоморфизм, то $\varphi^{-1}\in\mathcal{L}(L_P)$, тогда по п. 2 следствия 12.1 $$A_{\vec{\alpha}}(\varphi)A_{\vec{\alpha}}(\varphi^{-1})=A_{\vec{\alpha}}(\varphi\circ\varphi^{-1})=A_{\vec{\alpha}}(\varepsilon)=E.$$ Аналогично показывается, что $A_{\vec{\alpha}}(\varphi^{-1})A_{\vec{\alpha}}(\varphi)=E$, следовательно, $A_{\vec{\alpha}}(\varphi)\in{P}_{n,n}^*$ и при этом $(A_{\vec{\alpha}}(\varphi))^{-1}=A_{\vec{\alpha}}(\varphi^{-1})$.
   $\Leftarrow)$ Пусть $A_{\vec{\alpha}}(\varphi)\in{P}_{n,n}^*$, тогда по утверждению 12.2 существует преобразование $\psi\in\mathcal{L}(L_P)$ такое, что $A_{\vec{\alpha}}(\psi)=(A_{\vec{\alpha}}(\varphi))^{-1}$, тогда по п. 2 следствия 12.1 $$A_{\vec{\alpha}}(\varphi\circ\psi)=A_{\vec{\alpha}}(\varphi)A_{\vec{\alpha}}(\psi)=A_{\vec{\alpha}}(\varphi)(A_{\vec{\alpha}}(\varphi))^{-1}= E\Rightarrow\varphi\circ\psi=\varepsilon.$$ Аналогично показывается, что $\psi\circ\varphi=\varepsilon$, то есть существует $\varphi^{-1}=\psi$ и $\varphi$ - обратимо.
2. Следует из доказательства пункта 1.

Утверждение 12.3:
Пусть $\vec{\alpha},\vec{\beta}$ - базисы векторного пространства $L_P$, $\dim{L}_P=n<\infty$, $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, матрица $C\in{P}_{n,n}$ такая, что $\vec{\beta}=\vec{\alpha}C$, тогда $A_{\vec{\beta}}(\varphi)=C^{-1}A_{\vec{\alpha}}(\varphi)C$.

Доказательство:
Матрица $C\in{P}_{n,n}$ перехода между базисами $\vec{\alpha}$ и $\vec{\beta}$ была введена в конце раздела 11.4 там же было показано, что она обратима.
Так как $\vec{\beta}=\vec{\alpha}C$, то $$\varphi(\vec{\beta})=\varphi(\vec{\alpha}C)=\varphi(\vec{\alpha})C=\vec{\alpha}(A_{\vec{\alpha}}(\varphi)C).$$ С другой стороны, $$\varphi(\vec{\beta})=\vec{\beta}A_{\vec{\beta}}(\varphi)=\vec{\alpha}(CA_{\vec{\beta}}(\varphi)).$$ Таким образом, $$A_{\vec{\alpha}}(\varphi)C=CA_{\vec{\beta}}(\varphi)\Rightarrow{A}_{\vec{\beta}}(\varphi)=C^{-1}A_{\vec{\alpha}}(\varphi)(C).$$

Определение 12.3:
Матрицы $A,B\in{P}_{n,n}$ подобны если существует обратимая матрица $C\in(P_{n,n})^*$ такая, что $B=C^{-1}AC$.
Если матрицы $A$ и $B$ подобны, то пишут $A\approx{B}$.

Утверждение 12.4:
Отношение подобия матриц есть отношение эквивалентности.

Доказательство:

1. $A=E^{-1}AE\Rightarrow{A}\approx{A}$.
2. $$ A\approx{B}\Rightarrow\exists{C}\in{P}_{n,n}^*:B=C^{-1}AC\Rightarrow\exists{D}:=C^{-1}\in{P}_{n,n}^*:A=CBC^{-1}=D^{-1}BD. $$
3. Так как $P_{n,n}$ - кольцо, то по замечанию 2.1 $$ (A\approx{B}\,\wedge\,B\approx{C})\Rightarrow\exists{F},G\in{P}_{n,n}^*:(B=F^{-1}AF\,\wedge\,C=G^{-1}BG)\Rightarrow {C}=G^{-1}F^{-1}AFG\Rightarrow\exists{H}:=FG\in{P}_{n,n}^*:C=H^{-1}AH\Rightarrow{A}\approx{C} $$

Замечание 12.2:
Если $L_P$ - векторное пространство, $\dim{L_P}=n<\infty$, тогда матрицы $A,B\in{P}_{n,n}$ подобны тогда и только тогда, когда существуют два базиса $\vec{\alpha},\vec{\beta}$ пространства $L_P$ и преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$ такие, что $A=A_{\vec{\alpha}}(\varphi)$, $B=A_{\vec{\beta}}(\varphi)$.
Если $A\approx{B}$, то существует $C\in{P}_{n,n}^*$ такая, что $B=C^{-1}AC$. Фиксируем некоторый базис $\vec{\alpha}$ пространства $L_P$, тогда по утверждению 12.2 существует преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$ такое, что $A_{\vec{\alpha}}(\varphi)=A$. Положим $\vec{\beta}:=\vec{\alpha}C$, тогда $\vec{\beta}$ ЛНЗ система из $n$ векторов, то есть $\vec{\beta}$ - базис $L_P$. Тогда по утверждению 12.3 $$A_{\vec{\beta}}(\varphi)=C^{-1}A_{\vec{\alpha}}(\varphi)C=C^{-1}AC=B.$$ Если матрицы $A$ и $B$ матрицы одного и того же линейного преобразования в разных базисах, то по утверждению 12.3 $A\approx{B}$ так как $B=C^{-1}AC$, где матрица $C\in{P}_{n,n}^*$ - матрица перехода между базисами.

previous contents next