15 Линейные преобразования конечномерных евклидовых пространств.

15.1 Сопряженные преобразования.

Определение 15.1:
Пусть $(L_{\mathbb{P}},S)$ конечномерное евклидово пространство $\varphi,\psi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ такие, что $$\forall\alpha,\beta\in{L}_{\mathbb{P}}(S(\varphi(\alpha),\beta)=S(\alpha,\psi(\beta))).$$ тогда преобразование $\psi$ называют сопряженным к преобразованию $\varphi$.

Лемма 15.1:
Пусть $\vec{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ - базис $L_{\mathbb{P}}$, $\varphi,\psi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$, тогда преобразование $\varphi$ сопряжено к преобразованию $\psi$ тогда и только тогда, когда для любого $i,j\in\overline{1,n}$ $S(\varphi(\alpha_i),\alpha_j)=S(\alpha_i,\psi(\alpha_j))$.

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Следует из определения 15.1
$\Leftarrow)$ Пусть $\beta,\gamma\in{L}_{\mathbb{P}}$, $b_1,\ldots,b_n,\gamma_1,\ldots,\gamma_n\in\mathbb{P}$ такие, что $\beta=\sum_{i=1}^n\alpha_ib_i$, $\gamma=\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i$, тогда $$ S(\varphi(\beta),\gamma)=S\biggl(\varphi\biggl(\sum_{i=1}^n\alpha_ib_i\biggr),\sum_{j=1}^n\alpha_jc_j\biggr)= S\biggl(\sum_{i=1}^n\varphi(\alpha_i)b_i,\sum_{i=1}^n\alpha_jc_j\biggr)= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_i\overline{c}_jS(\varphi(\alpha_i),\alpha_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_i\overline{c}_jS(\alpha_i,\psi(\alpha_j))= S(\beta,\psi(\gamma)). $$

Теорема 15.1:
Пусть $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$, тогда существует единственне преобразование $\psi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ сопряженное к $\varphi$. При этом в любом ортонормированном базисе $\vec{\delta}$ $A_{\vec{\delta}}(\psi)=\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)}^T$.

Доказательство:

1. Докажем единственность сопряженного преобразования. Пусть преобразования $\psi_1,\psi_2\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ сопряженные к $\varphi$, тогда $$ \forall\alpha,\beta\in{L}_{\mathbb{P}}(S(\alpha,\psi_1(\beta))=S(\varphi(\alpha),\beta)=S(\alpha,\psi_2(\beta))\Rightarrow {S}(\alpha,\psi_1(\beta)-\psi_2(\beta))=0) $$ Подставив в полученное равенство $\alpha:=\psi_1(\beta)-\psi_2(\beta)$ получим $$ \forall\beta\in{L}_{\mathbb{P}}(S(\psi_1(\beta)-\psi_2(\beta),\psi_1(\beta)-\psi_2(\beta))=0\Rightarrow \psi_1(\beta)-\psi_2(\beta)=\theta\Rightarrow\psi_1(\beta)=\psi_2(\beta))\Rightarrow\psi_1=\psi_2 $$
2. Докажем существование преобразования сопряженного к преобразованию $\varphi$. Пусть $\vec{\delta}:=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$ - ортонормированный базис пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$, преобразование $\psi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ такое, что $A_{\vec{\delta}}(\psi)=\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)}^T$. Обозначим $A_{\vec{\delta}}(\varphi):=(a_{i,j})_{n,n}$, $A_{\vec{\delta}}(\psi):=(b_{i,j})_{n,n}$, тогда для любых $i,j\in\overline{1,n}$ $b_{i,j}=\overline{a}_{j,i}$. Для любых $r,s\in\overline{1,n}$ $$ S(\varphi(\delta_r),\delta_s)=S\biggl(\sum_{i=1}^n\delta_ia_{i,r},\delta_s\biggr)=\sum_{i=1}^na_{i,r}S(\delta_i,\delta_s)=a_{s,r} $$ $$ S(\delta_r,\psi(\delta_s))=S\biggl(\delta_r,\sum_{i=1}^n\delta_ib_{i,s}\biggr)=\sum_{i=1}^n\overline{b}_{i,s}S(\delta_r,\delta_i)=\overline{b}_{r,s} $$ Таким образом, для любых $r,s\in\overline{1,n}$ $S(\varphi(\delta_r),\delta_s)=S(\delta_r,\psi(\delta_s))$, следовательно, по лемме 15.1 преобразование $\psi$ сопряженное к преобразованию $\varphi$.
3. Пусть $\gamma$ - ортонормированный базис пространства $L_{\mathbb{P}}$, преобразование $\psi'\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ такое, что $A_{\vec{\gamma}}(\psi')=\overline{A_{\vec{\gamma}}(\varphi)}^T$, тогда по пункту 2 преобразование $\psi'$ сопряженное к $\varphi$, тогда по пункту 1 $\psi'=\psi$, следовательно, $A_{\vec{\gamma}}(\psi)=A_{\vec{\gamma}}(\psi')=\overline{A_{\vec{\gamma}}(\varphi)}^T$.

Теорема 15.2:
Пусть $\varphi,\psi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$, $f(x)=c_mx^m+\cdots+c_1m+c_0\in{P}[x]$, $\overline{f}(x):=\overline{c}_mx^m+\cdots+\overline{c}_1x+\overline{c}_0\in{P}[x]$, тогда

1. $(\varphi^*)^*=\varphi$,
2. $(\varphi+\psi)^*=\varphi^*+\psi^*$,
3. $(\varphi\circ\psi)^*=\psi^*\circ\varphi^*$,
4. $f(\varphi)^*=\overline{f}(\varphi^*)$,
5. $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})\Leftrightarrow\varphi^*\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$, $(\varphi^{-1})^*=(\varphi^*)^{-1}$.

Доказательство:

Пусть $\vec{\delta}$ - ортонормированный базис $L_{\mathbb{P}}$

1. По теореме 15.1 $$ A_{\vec{\delta}}((\varphi^*)^*)=\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi^*)}^T=\overline{\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)}^T}^T= A_{\vec{\delta}}(\varphi)\Rightarrow(\varphi^*)^*=\varphi $$
2. По теореме 15.1, п. 1 следствия 12.1, п. 2 задачи 6.1, п. 2 теоремы 3.4 $$ A_{\vec{\delta}}((\varphi+\psi)^*)=\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi+\psi)}^T=\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)+A_{\vec{\delta}}(\psi)}^T= \overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)}^T+\overline{A_{\vec{\delta}}(\psi)}^T= A_{\vec{\delta}}(\varphi^*)+A_{\vec{\delta}}(\psi^*)=A_{\vec{\delta}}(\varphi^*+\psi^*)\Rightarrow(\varphi+\psi)^*=\varphi^*+\psi^*. $$
3. По теореме 15.1, п. 2 теоремы 12.2, пп. 2, 3 задачи 6.1, п. 3 теоремы 3.4 $$ A_{\vec{\delta}}((\varphi\circ\psi)^*)=\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi\circ\psi)}^T= \overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)A_{\vec{\delta}}(\psi)}^T=\left(\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)}\;\overline{A_{\vec{\delta}}(\psi)}\right)^T= \overline{A_{\vec{\delta}}(\psi)}^T\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)}^T=A_{\vec{\delta}}(\psi^*)A_{\vec{\delta}}(\varphi^*)= A_{\vec{\delta}}(\psi^*\circ\varphi^*)\Rightarrow(\varphi\circ\psi)^*=\psi^*\circ\varphi^*. $$
4. Так как для любого $c\in\mathbb{P}$ $(\hat{c})^*=\hat{\overline{c}}$ и для любого преобразования $\varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})$ $\hat{c}\circ\varphi=\varphi\circ\hat{c}$, то по пунктам 2, 3 $$ f(\varphi)^*=(\hat{c}_m\circ\varphi^m+\cdots+\hat{c}_1\circ\varphi+\hat{c}_0)^*= (\hat{c}_m\circ\varphi^m)^*+\cdots+(\hat{c}_1\circ\varphi)^*+\hat{\overline{c}}_0= (\varphi^m)^*\circ\hat{\overline{c}}_m+\cdots+(\varphi)^*\circ\hat{\overline{c}}_1+\hat{\overline{c}}_0=\overline{f}(\varphi^*). $$
5. По теореме 15.1, п. 2 задачи 12.3 $$ \varphi\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})^*\Leftrightarrow{A}_{\vec{\delta}}(\varphi)\in(\mathbb{P}_{n,n})^*\Leftrightarrow |A_{\vec{\delta}}(\varphi)|=\left|\overline{\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)}^T}\right|= \overline{|A_{\vec{\delta}}(\varphi^*)|}\neq0\Leftrightarrow |A_{\vec{\delta}}(\varphi^*)|\neq0\Leftrightarrow\varphi^*\in\mathcal{L}(L_{\mathbb{P}})^*. $$ Так как для любой матрицы $A\in(\mathbb{P}_{n,n})^*$ $$\left(\overline{A^{-1}}\right)^T\overline{A}^T=\left(\overline{A}\;\overline{A^{-1}}\right)^T=\overline{E}^T=E,$$ то $\left(\overline{A^{-1}}\right)^T=\left(\overline{A}^T\right)^{-1}$, следовательно, $$ A_{\vec{\delta}}((\varphi^{-1})^*)=\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi^{-1})}^T=\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)^{-1}}^T= \left(\overline{A_{\vec{\delta}}(\varphi)}^T\right)^{-1}=A_{\vec{\delta}}(\varphi^*)^{-1}. $$