18.2 Поля частных.

Определение 18.7:
Поле $P$ называется полем частных кольца $R$, если существует мономорфизм $\varphi:R\to{P}$ такой, что для любого $c\in{P}$ существуют $a\in{R}$, $b\in{R}\backslash\{0\}$ такие, что $c=\varphi(a)\varphi(b)^{-1}$.

Пример 18.6:
Поле $\mathbb{Q}$ является полем частных кольца $\mathbb{Z}$. В качестве мономорфизма $\varphi$ можно взять тождественное отображение $\varepsilon$.

Замечание 18.6:
Если у кольца $R$ есть поле частных $P$, то $R\neq\{0\}$ и по п. 2 теоремы 17.4 $\varphi(R)<P$. Следовательно, $\varphi(R)$ - коммутативное кольцо без делителей нуля и так как $R\cong\varphi(R)$, то $R$ тоже коммутативное и без делителей нуля.

Теорема 18.3:
Для любого коммутативного кольца без делителей нуля $R\neq\{0\}$ существует поле частных.

Доказательство:

Рассмотрим отношение $~$ на множестве $M:=R\times{R}\backslash\{0\}$ такое, что $$\forall(r,s),(r_1,s_1)\in{M}((r,s)\sim(r_1,s_1)\Leftrightarrow{r}s_1=r_1s).$$ Покажем, что отношение $\sim$ является отношением эквивалентности.

• рефлексивность $\forall(r,s)\in{M}(rs=rs)\Rightarrow(r,s)\sim(r,s)$.
• симметричность $$\forall(r,s)\in{M}((r,s)\sim(r_1,s_1)\Rightarrow{r}s_1=r_1s\Rightarrow(r_1,s_1)\sim(r,s).$$
• транзитивность Пусть $(r,s)\sim(r_1,s_1)$, $(r_1,s_1)\sim(r_2,s_2)$, тогда $$ (r_1s=rs_1\,\wedge\,r_2s_1=r_1s_2)\Rightarrow(r_1ss_2=rs_1s_2\,\wedge\,r_2s_1s=r_1s_2s)\Rightarrow {r}s_1s_2=r_2s_1s\Rightarrow{s}_1(rs_2-r_2s)=0\Rightarrow{r}s_2=r_2s\Rightarrow(r,s)\sim(r_2,s_2) $$

1. Докажем корректность операций $+$, $\cdot$.
   Пусть $\frac{a}{b}=\frac{a_1}{b_1}$, $\frac{c}{d}=\frac{c_1}{d_1}$, то есть $ab_1=a_1b$ и $cd_1=c_1d$, тогда $$ (ab_1dd_1=a_1bdd_1\,\wedge\,cd_1bb_1=c_1dbb_1)\Rightarrow{a}b_1dd_1+cd_1bb_1=a_1bdd_1+c_1dbb_1\Rightarrow{b}_1d_1(ad+cb)=bd(a_1d_1+c_1b_1)\Rightarrow \frac{ad+cb}{bd}=\frac{a_1d_1+c_1b_1}{b_1d_1} $$ $$ab_1cd_1=a_1bc_1d\Rightarrow(ac)(b_1d_1)=(bd)(a_1c_1)\Rightarrow\frac{ac}{bd}=\frac{a_1c_1}{b_1d_1}.$$
2. Докажем, что $(\hat{R};+,\cdot)$ - поле.
   
   1. Коммутативность операций $+$ и $\cdot$ следует из коммутативности одноименных операций в $R$.
   2. Для любых $b_1,b_2\in{R}\backslash\{0\}$ $$0b_1=b_20\Rightarrow\frac{0}{b_1}=\frac{0}{b_2}.$$ Тогда в качестве нуля можно выбрать элемент $\frac{0}{b}$ для любого фиксированного $b\in{R}\backslash\{0\}$ так как $$\frac{c}{d}+\frac{0}{b}=\frac{cb+0d}{db}=\frac{c}{d}.$$ Для любых $b_1,b_2\in{R}\backslash\{0\}$ $$b_1b_2=b_2b_1\Rightarrow\frac{b_1}{b_1}=\frac{b_2}{b_2}.$$ Тогда в качестве единицы можно выбрать элемент $\frac{b}{b}$ для любого фиксированного $b\in{R}\backslash\{0\}$ так как $$\frac{c}{d}\frac{b}{b}=\frac{cb}{db}=\frac{c}{d}.$$
   3. Докажем ассоциативность операций $+$, $\cdot$. $$ \frac{a}{b}+\left(\frac{c}{d}+\frac{g}{h}\right)=\frac{a}{b}+\frac{ch+dg}{dh}=\frac{adh+bch+bdg}{bdh}= \frac{(ad+bc)h+bdg}{bdh}=\frac{ad+bc}{bd}+\frac{g}{h}=\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\frac{g}{h} $$ $$\frac{a}{b}\left(\frac{c}{d}\frac{g}{h}\right)=\frac{a}{b}\frac{cg}{dh}=\frac{acg}{bdh}=\left(\frac{a}{b}\frac{c}{d}\right)\frac{g}{h}.$$
   4. Докажем дистрибутивность операции $\cdot$ относительно операции $+$. $$ \frac{a}{b}\left(\frac{c}{d}+\frac{g}{h}\right)=\frac{a}{b}\frac{ch+dg}{dh}=\frac{ach+adg}{bdh}= \frac{(ach+adg)bdh}{(bdh)(bdh)}=\frac{ach}{bdh}+\frac{adg}{bdh}=\frac{ac}{bd}+\frac{ag}{bh} $$
   5. $$\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=\frac{ab+(-ab)}{bb}=\frac{0}{bb}\Rightarrow\frac{-a}{b}=-\frac{a}{b}.$$
   6. $$ \frac{a}{b}\neq\frac{0}{b}\Rightarrow{a}b\neq0\Rightarrow\frac{a}{b}\frac{b}{a}=\frac{ab}{ba}=e\Rightarrow\frac{b}{a}=\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} $$
   Таким образом, $\hat{R}$ - поле.
3. Докажем, что $\hat{R}$ поле частных. Пусть $s\in{R}\backslash\{0\}$ рассмотрим отображение $\varphi:R\to\hat{R}$ такое, что для любого $r\in{R}$ $\varphi(r)=\frac{rs}{s}$.
   1. Так как в кольце $R$ нет делителей нуля, то $$ \varphi(r)=\varphi(t)\Leftrightarrow\frac{rs}{s}=\frac{ts}{s}\Leftrightarrow{r}ss=tss\Leftrightarrow {s}s(r-t)=0\Leftrightarrow{r}-t=0\Leftrightarrow{r}=t. $$ Таким образом, отображение $\varphi$ инъективно.
   2. $$ \varphi(r+t)=\frac{(r+t)s}{s}=\frac{(r+t)ss}{ss}=\frac{rss+tss}{ss}=\frac{rs}{s}+\frac{ts}{s}=\varphi(r)+\varphi(t) $$ $$\varphi(rt)=\frac{rts}{s}=\frac{rtss}{ss}=\frac{rs}{s}\frac{ts}{s}=\varphi(r)\varphi(s).$$ Таким образом, $\varphi$ - мономорфизм.
   3. Пусть $\frac{a}{b}\in\hat{R}$, тогда $$ \exists{a},b\in{R}:\left(\frac{a}{b}=\frac{ass}{bss}=\frac{as}{s}\frac{s}{bs}=\frac{as}{s}\left(\frac{bs}{s}\right)^{-1}=\varphi(a)\varphi(b)^{-1}\right) $$
   Таким образом, $\hat{R}$ - поле частных кольца $R$.

Замечание 18.7:

1. Пусть $P$ - поле, $R<P$, $R\neq\{0\}$, тогда множество $$T:=\{ab^{-1}\mid{a}\in{R},b\in{R}\backslash\{0\}\}$$ является полем частных кольца $R$. Действительно, пусть $\sim$ - это отношение эквивалентности введенное при доказательстве теоремы 18.3, тогда $$\forall(a,b),(c,d)\in{R}\times{R}\backslash\{0\}((a,b)\sim(c,d)\Leftrightarrow{a}d=bc\Leftrightarrow{a}b^{-1}=cd^{-1}).$$ Следовательно, $T\cong{R}/{\sim}$ и так как $R/{\sim}$ - поле, то $T$ тоже поле. При этом, если отображение $\varphi:R\to{T}$ тождественно, то для любого $c\in{T}$ существуют $a,b\in{R}$ такие, что $c=ab^{-1}=\varphi(a)\varphi(b)^{-1}$, то есть $T$ - поле частных кольца $R$.
   Таким образом, $T$ подполе поля $P$ и $R\subset{T}$. С другой стороны, для любого $P'$ подполя поля $P$ содержащего $R$ $$(\forall{c}\in{T}\,\exists{a},b\in{R}:c=ab^{-1}\in{P}')\Rightarrow{T}\subset{P}',$$ то есть $T$ - пересечение всех подполей поля $P$ содержащих кольцо $R$.
2. Пусть $R$ - коммутативное кольцо без делителей нуля, $\hat{R}$ поле частных кольца $R$, $\varphi:R\to\hat{R}$ - мономорфизм. Положим $\overline{R}:=(\hat{R}\backslash\varphi(R))\cup{R}$, тогда из доказательсва теоремы 17.5 следует, что $\overline{R}\cong\hat{R}$, то есть $\overline{R}$ - поле, причем $\overline{R}$ являтся полем частных $R$ и $R\subset\overline{R}$. Таким образом, любое коммутативное кольцо без делителей нуля можно вложить в некоторое поле.
3. Так как кольцо многочленов над полем $P[x]$ коммутативно и не содержит делителей нуля, то существует поле $\overline{P[x]}$ такое, что $P[x]\subset\overline{P[x]}$. Поле $P(x):=\overline{P[x]}$ называют полем рациональных функций от переменной $x$. Аналогичным образом вводится поле рациональных функций $P(x_1,\ldots,x_n)$ от переменных $x_1,\ldots,x_n$.

Теорема 18.4:
Пусть $R_1,R_2$ коммутативные кольца без делителей нуля такие, что $R_1\neq\{0\}$ и $R_2\neq\{0\}$; $\psi:{R}_1\to{R}_2$ - изоморфизм; $P_1,P_2$ соответсвенно поля частных колец $R_1,R_2$, $\varphi_1:R_1\to{P}_1$, $\varphi_2:R_2\to{P}_2$ мономорфизмы такие, что $$\forall{c}_1\in{P}_1\,\exists{a}_1,b_1\in{R}_1:c_1=\varphi_1(a_1)\varphi(b_1)^{-1},$$ $$\forall{c}_2\in{P}_2\,\exists{a}_2,b_2\in{R}_2:c_2=\varphi_2(a_2)\varphi(b_2)^{-1}.$$ Тогда существует изоморфизм $\mu:P_1\to{P}_2$ такой, что $$\forall{a}\in{R}_1(\mu(\varphi_1(a))=\varphi_2(\psi(a))),$$ то есть коммутативна диаграмма $$ \begin{CD} R_1 @>\psi>> R_2 \\ @V\varphi_1VV @VV\varphi_2V \\ P_1 @>\mu>> P_2 \end{CD} $$

Доказательство:
Любой элемент $c\in{P}_1$ может быть представлен в виде $c=\varphi_1(a)\varphi_1(b)^{-1}$, где $a\in{R}_1$, $b\in{R}_1\backslash\{0\}$, тогда для любого $a\in{R}_1$, $b\in{R}_1\backslash\{0\}$ положим $\mu(\varphi_1(a)\varphi(b)^{-1})=\varphi_2(\psi(a))\varphi_2(\psi(b))^{-1}$. Докажем, что $\mu$ изоморфизм.

• корректность и инъективность Так как $\varphi_1,\varphi_2,\psi$ мономорфизмы, то $$ \varphi_1(a)\varphi_1(b)^{-1}=\varphi_1(a_1)\varphi_1(b_1)^{-1}\Leftrightarrow \varphi_1(ab_1)=\varphi_1(a)\varphi_1(b_1)=\varphi_1(a_1)\varphi_1(b)=\varphi_1(a_1b)\Leftrightarrow {a}b_1=a_1b\Leftrightarrow\psi(ab_1)=\psi(a_1b)\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\varphi_2(\psi(a))\varphi_2(\psi(b_1))=\varphi_2(\psi(ab_1))=\varphi_2(\psi(a_1b))=\varphi_2(\psi(a_1))\varphi_2(\psi(b))\Leftrightarrow \mu(\varphi_2(a)\varphi_2(b)^{-1})=\varphi_2(\psi(a))\varphi_2(\psi(b))^{-1}= \varphi_2(\psi(a_1))\varphi_2(b_1)^{-1}=\mu(\varphi_2(a_1)\varphi_2(b_1)^{-1}). $$
• сюрективность $$ r\in{P}_2\Rightarrow\exists{c},d\in{R}_2:r=\varphi_2(c)\varphi_2(d)^{-1}\Rightarrow \exists{a}\in{R}_1,b\in{R}_1\backslash\{0\}:(c=\psi(a)\,\wedge\,d=\psi(b))\Rightarrow {r}=\varphi_2(\psi(a))\varphi_2(\psi(b))^{-1}=\mu(\varphi_1(a)\varphi_1(b)^{-1}). $$
• согласованность с операцией сложения Так как отображения $\varphi_1,\varphi_2,\psi$ мономорфизмы, то $$ \mu(\varphi_1(a)\varphi_1(b)^{-1}+\varphi_1(a_1)\varphi_1(b_1)^{-1})= \mu((\varphi_1(a)\varphi_1(b)+\varphi_1(a_1)\varphi_1(b_1))\varphi_1(b)^{-1}\varphi_1(b_1)^{-1})= \mu(\varphi_1(ab_1+a_1b)\varphi_1(bb_1)^{-1})=\\= \left(\varphi_2(\psi(a))\varphi_2(\psi(b_1))+\varphi_2(\psi(a_1))\varphi_2(\psi(b))\right)\varphi_2(\psi(b))^{-1}\varphi_2(\psi(b_1))^{-1}= \varphi_2(\psi(a))\varphi_2(\psi(b))^{-1}+\varphi_2(\psi(a_1))\varphi_2(\psi(b_1))^{-1}= \mu(\varphi_1(a)\varphi_1(b)^{-1})+\mu(\varphi_1(a_1)\varphi_1(b_1)^{-1}). $$
• согласованность с операцией умножения Так как отображения $\varphi_1,\varphi_1,\psi$ мономорфизмы, то $$ \mu(\varphi_1(a)\varphi_1(b)^{-1}\varphi_1(a_1)\varphi_1(b_1)^{-1})=\mu(\varphi_1(a,a_1)\varphi_1(bb_1)^{-1})= \varphi_2(\psi(aa_1))\varphi_2(\psi(bb_1))^{-1}=\\= \varphi_2(\psi(a))\varphi_2(\psi(a_1))\varphi_2(\psi(b))^{-1}\varphi_2(\psi(b_1))^{-1}= \mu(\varphi_1(a)\varphi_1(b)^{-1})\mu(\varphi_1(a_1)\varphi_1(b_1)^{-1}). $$

Следствие 18.5:
Пусть $P_1,P_2$ - поля частных кольца $R$; $\varphi_1:R_1\to{P}_1$, $\varphi_2:R_2\to{P}_2$ мономорфизмы такие, что $$\forall{c}_1\in{P}_1\,\exists{a}_1,b_1\in{R}_1:c_1=\varphi_1(a_1)\varphi(b_1)^{-1},$$ $$\forall{c}_2\in{P}_2\,\exists{a}_2,b_2\in{R}_2:c_2=\varphi_2(a_2)\varphi(b_2)^{-1}.$$ Тогда существует изоморфизм $\mu:P_1\to{P}_2$ такой, что $$\forall{a}\in{R}_1(\mu(\varphi_1(a))=\varphi_2(a)).$$

Доказательство:
Следует из теоремы 18.4 при $\psi$ равном тождественному отображению.

18.3 Простые поля.

Теорема 18.5:
Поле $P$ - простое тогда и только тогда, когда $P\cong\mathbb{Q}$ или существует простое число $p$ такое, что $P\cong\mathbb{Z}/p$.

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Пусть отображение $\varphi:\mathbb{Z}\to{P}$ такое, что для любого $n\in\mathbb{Z}$ $\varphi(n)=ne$, тогда $$\forall{m},n\in\mathbb{Z}(\varphi(n+m)=\varphi(n)+\varphi(m)\,\wedge\,\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)),$$ то есть $\varphi$ - гомоморфизм колец, а $\varphi:\mathbb{Z}\to\varphi(\mathbb{Z})$ - эпиморфизм колец. Тогда по теореме 17.3 $\varphi(\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/\ker{\varphi}$, где $\ker{\varphi}:=\{n\in\mathbb{Z}\mid{n}e=0\}$. По следствию 17.3 $\Char{P}=0$ или существует простое число $p$ такое, что $\Char{P}=p$.

1. Пусть $\Char{P}=0$, тогда по утверждению 17.6 $\ord{e}=\infty$ и $\ker{\varphi}=\{0\}$, то есть $\varphi(\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/\{0\}\cong\mathbb{Z}$. Пусть $T:=\{ab^{-1}\mid{a},b\in\varphi(\mathbb{Z}),b\neq0\}$, тогда по п. 1 замечания 18.7 $T$ - поле частных кольца $\varphi(R)$, $T\subset{P}$ и так как поле $P$ простое, то $P=T$. Таким образом, $P$ - поле частных кольца $\varphi(Z)$, $\mathbb{Q}$ поле частных кольца $\mathbb{Z}$ и $\varphi(\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}$, следовательно, по теореме 18.4 $P\cong\mathbb{Q}$.
2. Пусть число $p:=\Char{P}$ простое, тогда по утверждению 17.6 $\ord{e}=p$, следовательно, $ne=0$ тогда и только тогда, когда $p|n$ и $\ker{\varphi}=p\mathbb{Z}$. Тогда $\varphi(\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/p$, то есть $\varphi(\mathbb{Z})$ является полем. При этом $\varphi(\mathbb{Z})\subset{P}$ и поле $P$ простое, следовательно, $P=\varphi(\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}/p$.