17.5 Гомоморфизмы колец.

Утверждение 17.13:
Пусть $\varphi:R\to{L}$ эпиморфизм колец, $$\ker{\varphi}:=\varphi^{-1}(0_L)=\{r\in{R}\mid\varphi(r)=0_L\},$$ тогда $\ker{\varphi}\vartriangleleft{R}$.

Доказательство:

По утверждению 9.8 $(\ker{\varphi};+)<(R;+)$, следовательно, $\ker{\varphi}$ замкнуто относительно разности. При этом для любых $a\in\ker{\varphi}$, $r\in{R}$ $$\varphi(ar)=\varphi(a)\varphi(r)=0\varphi(r)=0\Rightarrow{a}r\in\ker{\varphi},$$ аналогично показывается, что $ra\in\ker{\varphi}$. Таким образом, $\ker{\varphi}\vartriangleleft{R}$.

Теорема 17.3:

Пусть $\varphi:R\to{L}$ - эпиморфизм колец, тогда

1. $R/\ker{\varphi}\cong{L}$.
2. Существует единственный изоморфизм $\tau:R/\ker{\varphi}\to{L}$ такой, что $\varphi=\tau\circ\varphi_0$, где $\varphi_0:R\to{R}/\ker{\varphi}$ - естественный эпиморфизм, т. е. $\varphi_0(r)=r+\ker{\varphi}$.

Доказательство:

Так как $\varphi:(R;+)\to(L;+)$ - эпиморфизм групп, то по теореме 9.24 $(R/\ker{\varphi};+)\cong(L;+)$, и существует единственный изоморфизм $\tau:R/\ker{\varphi}\to{L}$ такой, что $\varphi=\tau\circ\varphi_0$. Докажем, что $\tau$ является изоморфизмом колец, для этого достаточно доказать, что $\tau$ согласовано с операцией умножения. Так как для любого $a\in{R}$ $\varphi(a)=\tau\circ\varphi_0(a)$, то для любого $a\in{R}$ $\varphi(a)=\tau(\varphi_0(a))=\tau(a+\ker{\varphi})$, следовательно, $$ \tau((a+\ker{\varphi})(b+\ker{\varphi}))=\tau(ab+\ker{\varphi})=\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)=\tau(a+\ker{\varphi})\tau(b+\ker{\varphi}). $$

Теорема 17.4:
Пусть $\varphi:R\to{L}$ гомоморфизм колец, тогда

1. $A<R\Rightarrow(\varphi(A)<L\,\wedge\,\varphi^{-1}(\varphi(A))=A+\ker{\varphi})$,
2. $B<L\Rightarrow(\varphi^{-1}(B)<R\,\wedge\,\varphi(\varphi^{-1}(B))=B\cap\varphi(R))$,
3. $A\vartriangleleft{R}\Rightarrow\varphi(A)\vartriangleleft\varphi(R)$,
4. $B\vartriangleleft{L}\Rightarrow\varphi^{-1}(B)\vartriangleleft{R}$.

Доказательство:

Так как $\varphi:(R;+)\to(L;+)$ гомоморфизм групп, то можем применять теорему 9.25.

1. По п. 1 теоремы 9.25 $$ A<R\Rightarrow(A;+)<(R;+)\Rightarrow((\varphi(A);+)<(L;+)\,\wedge\,\varphi^{-1}(\varphi(A))=A+\ker{\varphi}). $$ По утверждению 17.1 для того чтобы доказать, что $\varphi(A)<L$ осталось доказать замунутость $\varphi(A)$ относительно умножения $$ \alpha,\beta\in\varphi(A)\Rightarrow\exists{a},b\in{A}:(\varphi(a)=\alpha\,\wedge\,\varphi(b)=\beta)\Rightarrow \alpha\beta=\varphi(a)\varphi(b)=\varphi(ab)\in\varphi(A). $$
2. По п. 2 теоремы 9.25 $$B<L\Rightarrow(B;+)<(L;+)\Rightarrow(\varphi^{-1}(B);+)<(R;+).$$ По утверждению 17.1 для того чтобы доказать, что $\varphi^{-1}(B)<R$ осталось доказать замкнутость $\varphi^{-1}(B)$ относительно умножения $$ \alpha,\beta\in\varphi^{-1}(B)\Rightarrow\exists{a},b\in{B}:(\varphi(\alpha)=a\,\wedge\,\varphi(\beta)=b)\Rightarrow \varphi(\alpha\beta)=\varphi(\alpha)\varphi(\beta)=ab\in{B}\Rightarrow\alpha\beta\in\varphi^{-1}(B). $$ Так как $$a\in\varphi(\varphi^{-1}(B))\Rightarrow\exists{b}\in\varphi^{-1}(B):\varphi(b)=a\Rightarrow{a}\in{B}$$ и $$a\in{B}\cap\varphi(R)\Rightarrow\exists{b}\in\varphi^{-1}(B):\varphi(b)=a\Rightarrow{a}\in\varphi(\varphi^{-1}(B)),$$ то $\varphi(\varphi^{-1}(B))=B\cap\varphi(R)$.
3. По пункту 1 $$A\vartriangleleft{R}\Rightarrow{A}<R\Rightarrow\varphi(A)<\varphi(R)<L.$$ Пусть $a\in\varphi(A)$, $r\in\varphi(R)$, тогда $$\exists\alpha\in{A},\rho\in{R}:(\varphi(\alpha)=a\,\wedge\varphi(\rho)=r)\Rightarrow{a}r=\varphi(\alpha)\varphi(\rho)=\varphi(\alpha\rho)\in\varphi(A),$$ аналогично показывается, что $ra\in\varphi(A)$, следовательно, $\varphi(A)\vartriangleleft\varphi(R)$.
4. По пункту 2 $$B\vartriangleleft{L}\Rightarrow{B}<L\Rightarrow\varphi^{-1}(B)<R.$$ Пусть $a\in\varphi^{-1}(B)$, $r\in{R}$, тогда $$(\varphi(a)\in{B}\,\wedge\varphi(r)\in{L})\Rightarrow\varphi(ar)=\varphi(a)\varphi(r)\in{B}\Rightarrow{a}r\in\varphi^{-1}(B),$$ аналогично показыватеся, что $ra\in\varphi^{-1}(B)$ и тогда $\varphi^{-1}(B)\vartriangleleft{R}$.

17.6 Разложение кольца в прямую сумму подколец.

Определение 17.10:
Кольцо $(R;+,\cdot)$ разложимо, если существуют собственные идеалы $I_1,\ldots,I_t$, $t\geq2$ кольца $R$ такие, что $R=I_1+\cdots+I_t$ и $(R;+)=(I_1;+)\dotplus\cdots\dotplus(I_t,+)$. При этом обозначают $R=I_1\dotplus\cdots\dotplus{I}_t$.
В противном случае кольцо $R$ называют неразложимым.

Пример 17.3:
Кольцо $\mathbb{Z}$ не разложимо, так как по теореме 17.1 любой идеал кольца $\mathbb{Z}$ имеет вид $n\mathbb{Z}$. Тогда для любых двух идеалов $n\mathbb{Z}$, $m\mathbb{Z}$ $$n\mathbb{Z}\cap{m}\mathbb{Z}=[m,n]\mathbb{Z}\neq\{0\},$$ следовательно, по п. 3 теоремы 9.12 кольцо $\mathbb{Z}$ не разложимо.

Замечание 17.7:
Пусть $R$ - кольцо и $R=I_1\dotplus\cdots\dotplus{I}_t$, $r,r'\in{R}$, тогда $$ \exists{i}_1,i'_1\in{I}_1,\ldots,i_t,i'_t\in{I}_t:(r=i_1+\cdots+i_t\,\wedge\,r'=i'_1+\cdots+i'_t)\Rightarrow \begin{cases}r+r'=(i_1+i'_1)+\cdots(i_t+i'_t) \\ rr'=\left(\sum_{k=1}^ti_k\right)\left(\sum_{s=1}^ti'_s\right)=\sum_{k,s=1}^ti_ki'_s= \sum_{k=1}^ti_ki'_k\end{cases} $$ где последнее равенство в силу того что для любых $k,s\in\overline{1,t}$ $i_ki'_s\in{I}_k\cap{I}_s$, а по п. 3 теоремы 9.12 для любых различных $k,s\in\overline{1,t}$ $I_k\cap{I}_s=\{0\}$

Утверждение 17.14:
Пусть $R$ - кольцо, $t\geq2$, $R=I_1\dotplus\cdots\dotplus{I}_t$, для любого $I_j\neq\{0\}$, тогда

1. кольцо $R$ содержит делители нуля,
2. кольцо $R$ коммутативно тогда и только тогда, когда для любого $j\in\overline{1,t}$ $I_j$ - коммутатаивно,
3. кольцо $R$ с единицей тогда и только тогда, когда для любого $j\in\overline{1,t}$ $I_j$ - с единицей,
4. если $(i_1,\ldots,i_t)\in{I}_1\times\cdots\times{I}_t$, $r:=i_1+\cdots+i_t$, то $r$ - обратим в $R$ тогда и только тогда, когда для любого $i_j\in\overline{1,t}$ $i_j\in{I}_j$.

Доказательство:

1. Так как $t\geq2$ и для любого $j\in\overline{1,t}$ $I_j\neq\{0\}$, то существуют два различных числа $k,s\in\overline{1,t}$ и существуют $i_k\in{I}_k\backslash\{0\}$, $i_s\in{I}_s\backslash\{0\}$, тогда по замечанию 17.7 $i_ki_s=0$, то есть $i_k$ - делитель нуля.
2. $\Rightarrow)$ Очевидно.
   $\Leftarrow)$ Следует из замечания 17.7.
3. $\Rightarrow)$ Пусть $e=e_1+\cdots+e_t$ разложение единицы кольца $R$ в сумму элементов $I_1,\ldots,I_t$. Фиксируем $j\in\overline{1,t}$ и $b_j\in{I}_j$, тогда $$ \forall{i}\in\overline{1,t}(i\neq{j}\Rightarrow{b}_je_i=0)\Rightarrow{b}_j=b_je=b_j(e_1+\cdots+e_t)=b_je_j. $$ Аналогично $e_jb_j=b_j$, следовательно, $e_j$ единица кольца $I_j$.
   $\Leftarrow)$ Пусть $r=i_1+\cdots+i_t\in{R}$, где для любого $j\in\overline{1,t}$ $i_j\in{I}_j$, тогда $$r=i_1+\cdots+i_t=i_1e_1+\cdots+i_te_t=(i_1+\cdots+i_t)(e_1+\cdots+e_t)=r(e_1+\cdots+e_t).$$ Аналогично $(e_1+\cdots+e_t)r=r$, то есть $e_1+\cdots+e_t$ -- единица кольца $R$.
4. Пусть $e=e_1+\cdots+e_t$ разложение единицы кольца $R$ в элементы $I_1,\ldots,I_t$.
   $\Rightarrow)$ Пусть $r=i_1+\cdots+i_t\in{R}$, $r^{-1}=i'_1+\cdots+i'_t$, где для любого $j\in\overline{1,t}$ $i_j,i'_j\in{I}_j$, тогда $$rr^{-1}=(i_1+\cdots{i}_t)(i'_1+\cdots+i'_t)=i_1i'_1+\cdots+i_ti'_t=e=e_1+\cdots+e_t.$$ Тогда из единственности разложения $e$ в элементы $I_1,\ldots,I_t$ для любого $j\in\overline{1,t}$ $i_ji'_j=e_j$. Аналогично показывается, то для любого $j\in\overline{1,t}$ $i'_ji_j=e_j$, то есть $i_j\in{I}_j^*$.
   $\Leftarrow)$ Из замечания 17.7 следует, что элемент $i_1^{-1}+\cdots+i_t^{-1}$ является обратным для элемента $r=i_1+\cdots+i_t$.

Утверждение 17.15:
Пусть $R$ - кольцо, $|R|=p_1^{k_1}\cdots{p}_t^{k_t}$, тогда для любого $j\in\overline{1,t}$ существует единственный идеал $I_j\vartriangleleft{R}$ такой, что $|I_j|=p_j^{k_j}$, при этом $R=I_1\dotplus\cdots\dotplus{I}_t$.

Доказательство:

По теореме 10.4 группа $(R;+)$ едиственным образом раскладывается в прямую сумму своих силовских подгрупп, $$(R;+)=(R_{p_1};+)\dotplus\cdots\dotplus(R_{p_t};+),$$ где для любого $j\in\overline{1,t}$ $|R_{p_j}|=p_j^{k_j}$. Докажем, что для любого $j\in\overline{1,t}$ подгруппа $$R_{p_j}:=\left\{h\in{R}\,\bigl|\,\ord{h}|p_j^{k_j}\right\}=\left\{h\in{R}\,\bigl|\,{p}_j^{k_j}h=0\right\}$$ является идеалом кольца $R$.
Фиксируем $j\in\overline{1,t}$, $h\in{R}_{p_j}$, $r\in{R}$, тогда $$p_j^{k_j}(rh)=r(p_j^{k_j}h)=r0=0\Rightarrow{r}h\in{R}_{p_j},$$ аналогично показывается, что $hr\in{R}_{p_j}$, следовательно, $R_{p_j}\vartriangleleft{R}$.

Определение 17.11:
Пусть $R_1,\ldots,R_t$ кольца, определим на множестве $R:=R_1\times\cdots\times{R}_t$ операции $+$ и $\cdot$ такие, что для любых $a:=(a_1,\ldots,a_t)\in{R}$, $b:=(b_1,\ldots,b_t)\in{R}$ $$a+b:=(a_1+b_1,\cdots,a_t+b_t),ab=(a_1b_2,\ldots,a_tb_t).$$ Алгебра $(R;+,\cdot):=R_1\oplus\cdots\oplus{R}_t$ называется внешней прямой суммой колец $R_1,\ldots,R_t$.

Определение 17.16:
Пусть $R_1,\ldots,R_t$ кольца, тогда $R:=R_1\oplus\cdots\oplus{R}_t$ - разложимое кольцо.

Доказательство:

Для любого $j\in\overline{1,t}$ обозначим $$\overline{R}_j:=\{(\underbrace{0,\ldots,0}_{j-1},b_j,0,\ldots,0)\in{R}\mid{b}_j\in{R}_j\}.$$ Тогда для любого $j\in\overline{1,t}$ $\overline{R}_j\vartriangleleft{R}$ и при этом $R=\overline{R}_1\dotplus\cdots\dotplus\overline{R}_t$.

Замечание 17.8:

1. Если $R$ - разложимое кольцо и $R=I_1\dotplus\cdots\dotplus{I}_t$, то $R\cong{I}_1\oplus\cdots\oplus{I}_t$.
2. Пусть $R_1,\ldots,R_t$ кольца, $R:=R_1\oplus\cdots\oplus{R}_t$, для любого $j\in\overline{1,t}$ ${R_j\cong{R}'_j}$, $\varphi_j:R_j\to{R}'_j$ - изоморфизм, $R':=R'_1\oplus\cdots\oplus{R}'_t$. Определим отображение $\varphi:R\to{R}'$ такое, что для любого $r:=(r_1,\ldots,r_t)\in{R}$ $\varphi(r):=(\varphi_1(r_1),\ldots,\varphi_t(r_t))$. Несложно видеть, что отображение $\varphi$ - изоморфизм, то есть $R\cong{R}'$.

Утверждение 17.17:
Если $n=p_1^{k_1}\cdots{p}_t^{k_t}$ каноническое разложение числа $n\in\mathbb{N}$, то $\mathbb{Z}/n\cong\mathbb{Z}/p_1^{k_1}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}/p_t^{k_t}$.

Доказательство:

По утверждению 17.15 $\mathbb{Z}/n=I_1\dotplus\cdots\dotplus{I}_t$, где для любого $i\in\overline{1,t}$ при $n_j:=n/p_j^{k_j}$ $$I_j=n_j\mathbb{Z}/n:=\{n_j[k]_n\mid{k}\in\mathbb{Z}\}=\left\{[n_jk]_n\mid{k}\in\overline{0,p_j^{k_j}-1}\right\}.$$ Для любого $j\in\overline{1,t}$ определим отображение $$\varphi_j:I_j\to\mathbb{Z}/p_j^{k_j}:\forall{k}\in\overline{0,p_j^{k_j}-1}\left(\varphi_j([n_jk]_n)=[n_jk]_{p_j^{k_j}}\right).$$ Фиксируем $j\in\overline{1,t}$ и докажем, что $\varphi_j$ изоморфизм.

1. Фиксируем $k,m\in\overline{0,p_j^{k_j}-1}$, так как $(p_j^{k_j},n_j)=1$, то $$ [n_jk]_n=[n_jm]_n\Leftrightarrow{n}|n_j(k-m)\Leftrightarrow{p}_j^{k_j}|(k-m)\Leftrightarrow {p}_j^{k_j}|n_j(k-m)\Leftrightarrow[n_jk]_{p_j^{k_j}}=[n_jm]_{p_j^{k_j}}. $$ Таким образом, отображение $\varphi_j$ корректно и инъективно.
2. Так как $|I_j|=p_j^{k_j}=|\mathbb{Z}/p_j^{k_j}|$, то из пункта 1 следует, что отображение $\varphi_j$ биективно.
3. Пусть $*\in\{+,\cdot\}$, тогда $$ \varphi([n_jk]_n*[n_jm]_n)=\varphi([n_jk*n_jm]_n)=[n_jk*n_jm]_{p_j^{k_j}}=[n_jk]_{p_j^{k_j}}*[n_jm]_{p_j^{k_j}}=\varphi([n_jk]_n)*\varphi([n_jm]_n) $$

Следствие 17.7:
Кольцо $\mathbb{Z}/n$ не разложимо тогда и только тогда, когда существует простое $p$ и $k\in\mathbb{N}$ такие, что $n=p^k$.

Доказательство:
$\Rightarrow)$ Противное противоречит утверждению 17.17.
$\Leftarrow)$ Докажем от противного. Предположим, что $\mathbb{Z}=I_1\dotplus{I}_2$, тогда $$ (\mathbb{Z}/n;+)=(I_1;+)\dotplus(I_2;+)\Rightarrow|I_1||I_2|=n\Rightarrow(p\bigl||I_1|\,\wedge\,p\bigl||I_2|). $$ Тогда по лемме 9.3 существуют подгруппы $G_1<(I_1;+)$, $G_2<(I_2;+)$ такие, что $|G_1|=|G_2|=p$. Но тогда $G_1,G_2$ подгруппы циклической группы $(\mathbb{Z}/n;+)$, которая по теореме 10.3 может иметь только одну подгруппу порядка $p$. Следовательно, $G_1=G_2\subset{I}_1\cap{I}_2$, следовательно, по теореме 9.12 сумма $I_1+I_2$ не может быть прямой.

Замечание 17.9:
В соответствии с п. 2 замечания 17.8 при $n=p_1^{k_1}\cdots{p}_t^{k_t}$ изоморфизм $\varphi:\mathbb{Z}/n\to\mathbb{Z}/p_1^{k_1}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}/p_t^{k_t}$ определяется как $$\forall{a}\in\mathbb{Z}/n\left(\varphi([a]_n):=\left([a]_{p_1^{k_1}},\ldots,[a]_{p_t^{k_t}}\right)\right).$$

Теорема 17.5:
Пусть $\varphi:A\to{B}$ мономорфизм колец, $A\cap{B}=\varnothing$, тогда существует кольцо $C$ такое, что $A<C$ и существует изоморфизм ${\psi:C\to{B}}$ такой, что для любого $a\in{A}$ $\psi(a)=\varphi(a)$.

Доказательство:

Положим $C:=(B\backslash\varphi(A))\cup{A}$ и $$\psi:C\to{B}:\forall{c}\in{C}\left(\varphi(c)=\begin{cases}\varphi(c),&c\in{A} \\ c,&c\notin{A}\end{cases}\right).$$ Поскольку $\varphi$ мономорфизм, то отображение $\psi$ инъективно. При этом $$(A\cap{B}=\varnothing\wedge|\varphi(A)|=|A|\wedge\varphi(A)\subset{B})\Rightarrow|C|=|B|-|\varphi(A)|+|A|=|B|.$$ Таким образом, отображение $\psi$ биективно.
Определим на множестве $C$ операции $\overline{+}$, $\overline{\cdot}$, так что $$ *\in\{+,\cdot\}\Rightarrow\forall{c}_1,c_2\in{C}(c_1\overline{*}c_2=\psi^{-1}(\psi(c_1)*\psi(c_2)) $$ Следовательно, $$*\in\{+,\cdot\}\Rightarrow\forall{c}_1,c_2\in{C}(\psi(c_1\overline{*}c_2)=\psi(c_1)*\psi(c_2)).$$ Таким образом, $\psi:(C;\overline{+},\overline{\cdot})\to(B;+,\cdot)$ - изоморфизм, следовательно, $(C;\overline{+},\overline{\cdot})$ - кольцо.
Так как $A\subset{C}$ и для любых $a_1,a_2\in{A}$ $$ *\in\{+,\cdot\}\Rightarrow{a}_1\overline{a}_2=\psi^{-1}(\psi(a_1)*\psi(a_2))= \psi^{-1}(\varphi(a_1)*\varphi(a_2))=\psi^{-1}(\varphi(a_1*a_2))=\psi^{-1}(\psi(a_1*a_2))=a_1*a_2 $$ Таким образом, $A<C$.

previous contents next