18 Основы теории полей.

18.1 Подполя. Расширения полей.

Определение 18.1:
Если $(P;+,\cdot)$ - поле, $L\subset{P}$, $L$ замкнуто относительно операций $+$, $\cdot$ и является полем, то $L$ является подполем поля $P$.

Замечание 18.1:

1. Любое подполе поля является его подкольцом.
2. Любое поле является подполем себя самого.
3. Если $L$ подполе поля $P$, то единица и ноль поля $P$ совпадают с единицей и нулем поля $L$.

Утверждение 18.1:
Если $P$ - поле, $L\subset{P}$, $L\neq\{0\}$, то $L$ подполе $P$ тогда и только тогда, когда

1. $\forall{l}_1,l_2\in{L}(l_1l_2\in{L}\,\wedge\,l_1-l_2\in{L})$,
2. $\forall{l}\in{L}\backslash\{0\}(l^{-1}\in{L})$.

Доказательство:

$\Rightarrow)$

1. Следует из утвеждения 17.1.
2. Следует из того, что $L$ - поле.

Следствие 18.1:

1. Отношение "быть подполем" транзитивно.
2. Если для любого $\alpha\in{A}$ $L_{\alpha}$ подполе поля $P$, то $\bigcap_{\alpha\in{A}}L_{\alpha}$ подполе поля $P$.
3. Если $L\subset{P}$, $L\neq\{0\}$, $|L|<\infty$, то $L$ подполе поля $P$ тогда и только тогда, когда для любых $l_1,l_2\in{L}$ $l_1l_2\in{L}$ и $l_1+l_2\in{L}$.

Доказательство:

1. Если $L$ подполе поля $(P;+,\cdot)$ и $M$ подполе поля $L$, то $M$ - поле замкнутое относительно операций $+$, $\cdot$ и $M\subset{L}\subset{P}$, следовательно, $M$ подполе поля $P$.
2. По утверждениям 17.4, 17.2 $\bigcap_{\alpha\in{A}}L_{\alpha}$ - коммутативное кольцо с единицей, при этом $$ l\in\bigcap_{\alpha\in{A}}L_{\alpha}\Rightarrow\forall\alpha\in{A}(l\in{L}_{\alpha})\Rightarrow \forall\alpha\in{A}(l^{-1}\in{L}_{\alpha})\Rightarrow{l}^{-1}\in\bigcap_{\alpha\in{A}}{L}_{\alpha}. $$ Таким образом, множество $\bigcap_{\alpha\in{A}}L_{\alpha}\subset{P}$ является полем и, следовательно, подполем поля $P$.
3. $\Rightarrow)$ Следует из определения 18.1.
   $\Leftarrow)$ Следует из следствий 17.1, 17.2.

Определение 18.2:
Поле $P$ называется простым, если оно не содержит никаких подполей, кроме себя самого.

Теорема 18.1:
В любом поле содержится единственное простое подполе.

Доказательство:

Пусть $P_0$ пересечение всех подполей поля $P$. По п. 2 следствия 18.1 $P_0$ - подполе поля $P$. Если $P_1$ подполе поля $P_0$, то $P_1\subset{P}_0$ и по п. 1 следствия 18.1 $P_1$ подполе поля $P$, следовательно, $P_0\subset{P}_1$, то есть $P_1=P_0$. Таким образом, поле $P_0$ простое.
Пусть поле $P$ содержит простое подполе $P'_0$, тогда $P_0\subset{P}'_0$ и в силу простоты $P'_0$ $P_0=P'_0$.

Пример 18.1:

1. Пусть $p$ - простое, тогда по следствию 9.12 (теорема Лагранжа) группа $(\mathbb{Z}/p;+)$ не имеет собственных подгрупп. Следовательно, кольцо $(\mathbb{Z}/n;+,\cdot)$ не имеет собственных подколец, значит поле $(\mathbb{Z}/p;+,\cdot)$ простое.
2. Пусть $P$ - подполе поля $\mathbb{Q}$, тогда по п. 1 замечания 18.1, пп. 1, 2 утверждения 18.1. $$1\in{P}\Rightarrow\mathbb{Z}\subset{P}\Rightarrow\mathbb{Q}\subset{P}\Rightarrow{P}=\mathbb{Q},$$ следовательно, поле $\mathbb{Q}$ простое.

Определение 18.3:
Если $P$ подполе поля $P'$, то поле $P'$ называют расширением поля $P$.
Если при этом $M\subset{P'}$, то пересечение всех подполей поля $P'$ содержащих $M$ и $P$ называют расширением поля $P$ порожденным множеством $M$.
Расширение поля $P$ порожденное множеством $M$ обозначают $P(M)$.
Если $M$ конечно, то расширение $P(M)$ называют конечным, если $|M|=1$, то расширение $P(M)$ называют простым.

Замечание 18.2:

1. Расширение поля $P$ множеством $M$ не зависит от выбора внешнего поля $P'$. Действительно, пусть существует ещё поле $P''$ такое, что $P$ подполе $P''$ и $M\subset{P''}$. Тогда множество $P'\cap{P}''$ является полем и все его подполя являются подполями полей $P'$ и $P''$, следовательно, расширение поля $P$ множеством $M$ в полях $P'$ и $P''$ равно расширению поля $P$ множеством $M$ в поле $P'\cap{P}''$. Таким образом, определение 18.3 корректно.
2. Из п. 2 следствия 18.1 следует, что расширение поля $P$ множеством $M$ является полем.
3. Если $M:=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$, то будем обозначать $P(\alpha_1,\ldots,\alpha_n):=P(M)$.

Пример 18.2:

1. Расширение поля $\mathbb{R}$ элементом $i\in\mathbb{C}$ совпадает с полем $\mathbb{C}$, то есть $\mathbb{R}(i)=\mathbb{C}$.
   Действительно, так как $\mathbb{R}$ - поле, то $\{a+bi\mid{a},b\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}(i)\subset\mathbb{C}$. С другой стороны, известно, что $\mathbb{C}=\{a+bi\mid{a},b\in\mathbb{R}\}$.
2. В п. 2 примера 2.9 было показано, что $\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid{a},b\in\mathbb{Q}\}$.

Утверждение 18.2:
Пусть $P'$ расширение поля $P$; $L,M\subset{P}'$, тогда

1. $L\subset{M}\Rightarrow{P}(L)\subset{P}(M)$,
2. $P(L\cup{M})=P(L)(M)$.

Доказательство:

1. $(P,M\subset{P}(M)\,\wedge\,L\subset{M})\Rightarrow{P},L\subset{P}(M)\Rightarrow{P}(L)\subset{P}(M)$.
2. Так как $$ (P,L\subset{P}(L)\,\wedge\,P(L)(M)\subset{P}(L),M)\Rightarrow{P},L,M\subset{P}(L)(M)\Rightarrow {P},L\cup{M}\subset{P}(L)(M)\Rightarrow{P}(L\cup{M})\subset{P}(L)(M) $$ и $$(P(L)\subset{P}(L\cup{M})\,\wedge\,M\subset{L}\cup{M}\subset{P}(L\cup{M}))\Rightarrow{P}(L)(M)\subset{P}(L\cup{M}),$$ то $P(L\cup{M})=P(L)(M)$.

Следствие 18.2:
Если поле $P'$ расширение поля $P$ и $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in{P'}$, то $P(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)=P(\alpha_1)\ldots(\alpha_n)$.

Доказательство:

Следует из п. 2 утверждения 18.2.

Замечание 18.3:
Если $P'$ расширение поля $P$, то поле $P'$ можно рассматривать как векторное пространство $P'_P$ взяв в качестве внешней операции умножения операцию умножения в поле $P'$.

Определение 18.4:
Пусть $P'$ расширение поля $P$, тогда $P'$ называется расширением конечной степени, если векторное пространство $P'_P$ конечномерно, при этом степенью расширения $P'$ называют число $[P':P]:=\dim{P}'_P$.
Если векторное пространство $P'_P$ бесконечномерно, то считаeтся, что $P'$ расширение бесконечной степени, то есть $[P':P]=\infty$.

Пример 18.3:
Так как $\{1,i\}$ - базис $\mathbb{C}_{\mathbb{R}}$, то $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=\dim{\mathbb{C}_{\mathbb{R}}}=2$.

Утверждение 18.3:
Расширение поля $P$ конечной степени является конечным расширением поля $P$.

Доказательство:

Пусть $[P':P]=n<\infty$, тогда существует $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in{P}'$ - базис векторного пространства $P'_P$, тогда по следствию 11.1 и теореме 11.6 $$ P'=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)_P=\{c_1\alpha_1+\cdots+c_n\alpha_n\mid\forall{i}\in\overline{1,n}(c_i\in{P})\}\Rightarrow {P}'\subset{P}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n), $$ с другой стороны, включение $P(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\subset{P}'$ очевидно, следовательно, $P'=P(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$.

Теорема 18.2: Теорема о башне полей
Пусть $P_1\subset{P}_2\ldots\subset{P}_n$ - поля, тогда $[P_n:P_1]<\infty$ тогда и только тогда, когда для любого $i\in\overline{1,n-1}$ $[P_{i+1}:P_i]<\infty$.
При этом если $[P_n:P_1]<\infty$, то $[P_n:P_1]=\prod_{i=1}^{n-1}[P_{i+1}:P_i]$.

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Докажем от противного, предположим, что существует $i\in\overline{1,n-1}$ такое, что $[P_{i+1}:P_i]=\infty$, то есть $\dim{(P_{i+1})_{P_i}}=\infty$. Тогда для любого $k\in\mathbb{N}$ существует система $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{P}_{i+1}$ ЛНЗ над $P_i$. Так как $P_{i+1}\subset{P}_n$ и $P_1\subset{P}_i$, то для любого $k\in\mathbb{N}$ существует система $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{P_n}$ ЛНЗ над $P_1$, то есть $[P_n:P_1]=\dim{(P_n)_{P_1}}=\infty$.
$\Leftarrow)$ Докажем индукцией по $n$, что $[P_n:P_1]=\prod_{i=1}^{n-1}[P_{i+1}:P_i]$.

1. При $n=2$ $[P_2:P_1]=[P_2:P_1]$.
2. Докажем, что для любого $t\geq2$ из справедливости утверждения при $n\in\overline{1,t}$ следует его справедливость при $n=t+1$.
   Обозначим $m:=\prod_{i=1}^{t-1}[P_{i+1}:P_i]$, тогда по предположению индукции $[P_n:P_1]:=\dim{(P_t)_{P_1}}=m$. Тогда существует базис $\alpha_1,\ldots,\alpha_m\in{P}_t$ пространства $(P_t)_{P_1}$. Обозначим $s:=\dim{(P_{t+1})_{P_t}}$, тогда существует базис $\beta_1,\ldots,\beta_s\in{P}_{t+1}$ пространства $(P_{t+1})_{P_t}$. Докажем, что система векторов $t:=\{\alpha_i\beta_j\mid{i}\in\overline{1,m},j\in\overline{1,s}\}\subset{P}_{t+1}$ базис пространства $(P_{t+1})_{P_1}$.
   1. Пусть $\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^s(\alpha_i\beta_j)c_{i,j}=0$, где для любых $i\in\overline{1,m}$, $j\in\overline{1,s}$ $c_{i,j}\in{P}_1$. Тогда, так как $\beta_1,\ldots,\beta_s$ базис пространства $(P_{t+1})_{P_t}$, a $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ базис пространства $(P_{t})_{P_1}$, то $$ \left(\forall{j}\in\overline{1,s}\left(\sum_{i=1}^m\alpha_ic_{i,j}\in{P}_t\right)\,\wedge\sum_{j=1}^s\beta_j\sum_{i=1}^m\alpha_ic_{i,j}=0\right)\Rightarrow \forall{j}\in\overline{1,s}\left(\sum_{i=1}^m\alpha_ic_{i,j}=0\right)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,m}\,\forall{j}\in\overline{1,s}(c_{i,j}=0). $$ Таким образом, система векторов $t$ ЛНЗ.
   2. Пусть $\gamma\in{P_{t+1}}$, тогда существуют $b_1,\ldots,b_s\in{P}_t$ такие, что $\gamma=\sum_{j=1}^s\beta_jb_j$. В свою очередь для любого $j\in\overline{1,s}$ существуют $a_{1,j},\ldots,a_{m,j}\in{P}_1$ такие, что $b_j=\sum_{i=1}^m\alpha_ia_{i,j}$. Тогда $$\gamma=\sum_{j=1}^s\sum_{i=1}^m(\alpha_i\beta_j)a_{i,j}$$ то есть система $\{t,\gamma\}$ ЛЗ.
   Из пунктов (a), (b) следует, что система векторв $t$ - базис пространства $(P_{t+1})_{P_1}$, при этом $$|t|=sm=\dim{(P_{t+1})_{P_t}}\prod_{i=1}^{t-1}[P_{i+1}:P_i]=\prod_{i=1}^t[P_{i+1}:P_i].$$

Определение 18.5:
Пусть $P'$ расширение поля $P$, тогда элемент $\alpha\in{P}'$ называется алгебраическим над $P$, если система $e,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^n,\ldots$ линейно зависима.
В противном случае элемент $\alpha$ называется трансцендентным над $P$.

Замечание 18.4:

1. Любой элемент $\alpha\in{P}$ алгебраичен над самим полем $P$, так как существуют $-e,\alpha\in{P}$ такие, что $e\alpha+\alpha(-e)=0$, то есть система $e,\alpha$ ЛЗ.
2. Если элемент $\alpha$ трансцендентен над $P$, то $[P(\alpha):P]=\infty$, так как для любого $n\in\mathbb{N}_0$ $\alpha^n\in{P}(\alpha)$.
3. Если $P\subset{P}'\subset{P}''$ - поля и элемент $\alpha\in{P}''$ алгебраичен над $P$, то он алгебраичен над $P'$.

Пример 18.4:

1. Для любых $n\in\mathbb{N}_0$, $a\in\mathbb{Q}$ элемент $c:=\sqrt[n]{a}\in\mathbb{R}$ алгебраичен над $\mathbb{Q}\subset{\mathbb{R}}$, так как $a-c^n=0$, то есть система $1,c^n$ ЛЗ.
2. Элемент $i\in\mathbb{C}$ алгебраичен над $\mathbb{R}$ и над $\mathbb{Q}$, так как $i^2=-1$, следовательно, $1+i^2=0$, то есть система $1,i^2$ ЛЗ.

Утверждение 18.4:
Пусть $P'$ расширение поля $P$, $\alpha\in{P}'$, тогда элемент $\alpha$ алгебраичен над $P$ тогда и только тогда, когда существует многочлен $f(x)\in{P}[x]\backslash\{0\}$ такой, что $f(\alpha)=0$.

Доказательство:
Элемент $\alpha$ алгебраичен над $P$ тогда и только тогда, когда система $e,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^n,\ldots$ ЛЗ тогда и только тогда, когда существует ЛЗ конечная подсистема $\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_t}$ тогда и только тогда, когда существует набор $(c_1,\ldots,c_t)\in{P}\backslash\{\vec{0}\}$ такой, что $\alpha^{i_1}c_1+\cdots+\alpha^{i_t}c_n=0$ тогда и только тогда, когда $\alpha$ корень многочлена $f(x):=c_1x^{i_1}+\cdots+c_tx^{i_t}$.

Следствие 18.3:
Пусть $P'$ расширение поля $P$, элемент $\alpha\in{P}'$ алгебраичен над $P$, тогда существует единственный унитарный неприводимый многочлен $m(x)\in{P}[x]$ такой, что $m(\alpha)=0$. При этом $$\forall{f}(x)\in{P}[x](f(\alpha)=0\Leftrightarrow{m}(\alpha)|f(\alpha)).$$

Доказательство:

Пусть $F:=\{f(x)\in{P}[x]\mid{f}(\alpha)=0\}$, тогда по утверждению 18.4 $F\neq\varnothing$ и $$ \forall{g}(x)\in{P}[x]\forall{f}(x)\in{F}(f(\alpha)g(\alpha)=0)\Rightarrow \forall{g}(x)\in{P}[x]\forall{f}(x)\in{F}(g(x)f(x)\in{F})\Rightarrow{F}\vartriangleleft{P}[x]. $$ Тогда по следствию 17.6 существует единственный унитарный многочлен $m(x)\in{P}[x]$ такой, что $F=(m(x))_{P[x]}=m(x)P[x]$. Тогда $$f(\alpha)=0\Leftrightarrow{f}(x)\in{m}(x)P[x]\Leftrightarrow\exists{g}(x)\in{P}[x]:f(x)=m(x)g(x)\Leftrightarrow{m}(x)|f(x).$$ Докажем от противного, что многочлен $m(x)$ неприводим. Предположим противное $$ \exists{u}(x),v(x)\in{P}[x]:(m(x)=u(x)v(x)\,\wedge\,\deg{u}(x)<\deg{m}(x))\Rightarrow {m}(\alpha)=u(\alpha)v(\alpha)=0\Rightarrow(u(\alpha)=0\vee{v}(\alpha)=0) $$ б. о. о. будем считать, что $u(\alpha)=0$, тогда по доказанному $m(x)|u(x)$ и так как $\deg{u}(x)<\deg{m}(x)$, то $m(x)=u(x)=0$. Таким образом, получено противоречие с унитарностью $m(x)$.
Для любого унитарного неприводимного многочлена $h(x)\in{P}[x]$ такого, что $h(\alpha)=0$ по доказанному $m(x)|h(x)$ и $h(x)|m(x)$, следовательно, в силу унитарности и неприводимости обоих многочленов $m(x)=h(x)$.

Следствие 18.4:
Пусть $P'$ расширение $P$, тогда элемени $\alpha$ трансциндентен над $P$ тогда и только тогда, когда для любого $f(x)\in{P}[x]$ $f(\alpha)\neq0$.

Доказательство:

Следует от противного из утверждения 18.4.

Замечание 18.5:
Так как множество $\mathbb{Q}$ счетно, то множество $\mathbb{Q}[x]$ тоже счетно. По п. 2 следствия 7.3 число корней многочлена конечно, следовательно, число корней всех многочленов из $\mathbb{Q}[x]$ счетно. Так как $\mathbb{R}$ несчетно, то по следствию 18.4 $\mathbb{R}$ содержит элементы трансцендентные над $\mathbb{Q}$.

Определение 18.6:
Расширение $P'$ поля $P$ называется алгебраическим, если любой элемент $\alpha\in{P}'$ алгебраичен над $P$.
В противном случае расширение $P'$ называется трансцендентным.

Пример 18.5:

1. Из замечания 18.5 следует, что $\mathbb{R}$ трансцендентное расширение $\mathbb{Q}$.
2. Расширение $\mathbb{C}$ поля $\mathbb{R}$ алгебраично, так как для любого $\alpha:=a+bi\in\mathbb{C}$ сущестует многочлен $f(x):=(x-a)^2+b^2\in\mathbb{R}[x]$ такой, что $f(\alpha)=0$.

Утверждение 18.5:
Если $[P':P]<\infty$, то $P'$ алгебраичное расширение $P$.

Так как $[P':P]<\infty$, то $\deg{P}'_P<\infty$, то есть в $P'_P$ нет бесконечных ЛНЗ систем, следовательно, для любого $\alpha\in{P}'$ система $e,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^n,\ldots$ ЛЗ. Таким образом, любой элемент $\alpha\in{P}'$ алгебраичен и $P'$ алгебраическое расширение $P$.

previous contents next