20.3 Кратнотранзитивные группы подстановок.

Опеределение 20.7:
Пусть $k\in\mathbb{N}$ $k\leq|\Omega|$.
Группа подстановок $G<S(\Omega)$ называется $k$-транзитивной, если для любой пары наборов $k$ различных элементов $(\alpha_1,\dots,\alpha_k),(\beta_1,\ldots,\beta_k)\in\Omega^k$ существует подстановка $g\in{G}$ такая, что для любого $i\in\overline{1,k}$ $g(\alpha_i)=\beta_i$.
Группа подстановок $G<S(\Omega)$ называется точно $k$-транзитивной, если для любой пары наборов $k$ различных элементов $(\alpha_1,\dots,\alpha_k),(\beta_1,\ldots,\beta_k)\in\Omega^k$ существует единственная подстановка $g\in{G}$ такая, что для любого $i\in\overline{1,n}$ $g(\alpha_i)=\beta_i$.

Замечание 20.6:

1. Группа $G$ $1$-транзитивна тогда и только тогда, когда она транзитивна.
2. Группа $G$ точно $1$-транзитивна тогда и только тогда, когда она регулярна.
3. Группа $S_n$ точно $n$-транзитивна.
4. Группа $A_n$ точно $(n-2)$-транзитивна.
   Действительно, для любых двух наборов из $n-2$ различных элементов $\alpha:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_{n-2})$, $\beta:=(\beta_1,\ldots,\beta_{n-2})$ в $S_n$ существует ровно две постановки переводящие $\alpha$ в $\beta$. При этом четности этих подстановок отличается на единицу, то есть одна из них принадлежит $A_n$, а другая нет. Следовательно, существует ровно одна подстановка из $A_n$ переводящая $\alpha$ в $\beta$.

Теорема 20.3:
Пусть $k\geq2$, $G<S(\Omega)$, тогда $G$ - (точно) $k$-транзитивна тогда и только тогда, когда

1. группа $G$ транзитивна,
2. существует $\alpha\in\Omega$ такой, что $G_{\alpha}$ - (точно) $(k-1)$-транзитивна как группа подстановок на множестве $\Omega\backslash\{\alpha\}$.

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Если $(\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1}),(\beta_1,\ldots,\beta_{k-1})\in(\Omega\backslash\{\alpha\})^{k-1}$ наборы из $k-1$ различных элементов множества $\Omega\backslash\{\alpha\}$, то $(\alpha_1,\ldots,\alpha_{k-1},\alpha),(\beta_1,\ldots,\beta_{k-1},\alpha)\in\Omega^k$ наборы $k$ различных элементов множества $\Omega$. Тогда если группа $G<S(\Omega)$ (точно) $k$-кратнотранзитивна, то существует (единственная) подстановка $g\in{G}$ такая, что для любого $i\in\overline{1,k-1}$ $g(\alpha_i)=\beta_i$ и $g(\alpha)=\alpha$. Тогда $g\in{G}_{\alpha}$ и $G_{\alpha}$ - (точно) $(k-1)$-кратнотранзитивна как группа подстановок на множестве $\Omega\backslash\{\alpha\}$.
$\Leftarrow)$ Пусть $(\alpha_1,\ldots,\alpha_k),(\beta_1,\ldots,\beta_k)\in\Omega^k$ наборы из $k$ различных элементов множества $\Omega$.

1. Пусть $G$ - транзитивна, тогда $$\exists{g}_1,g_2\in{G}:(g_1(\alpha_1)=g_2(\beta_1)=\alpha\,\wedge\,\forall{i}\in\overline{2,k}(g_1(\alpha_i)=\alpha'_i\,\wedge\,g_2(\beta_i)=\beta'_i)).$$ Так как $G_{\alpha}$ $(k-1)$-транзитивна, как группа подстановок на множестве $\Omega\backslash\{\alpha\}$, то $$ \exists{g}_3\in{G}:(g_3(\alpha)=\alpha\,\wedge\,\forall{i}\in\overline{2,k}(g_3(\alpha_i)=\beta_i))\Rightarrow \exists{h}:=g_1g_3g_2^{-1}\in{G}:\forall{i}\in\overline{1,k}(h(\alpha_i)=\beta_i). $$
2. Докажем от противного, что если $G_{\alpha}$ точно $(k-1)$-транзитивна как группа подстановок на множестве $\Omega\backslash\{\alpha\}$, то группа $G<S(\Omega)$ - точно $k$-транзитивна. Предположим, что существуют различные $g_4,g_5\in{G}$ такие, что для любого $i\in\overline{1,k}$ $g_4(\alpha_i)=g_5(\alpha_i)=\beta_i$. Тогда $$g_1^{-1}g_4g_2(\alpha)=g_4g_2(\alpha_1)=g_2(\beta_1)=\alpha,$$ то есть подстановку $g_1^{-1}g_4g_2$ (выкинув из нее единичный цикл $(\alpha)$) можно рассматривать как элемент $G_{\alpha}$ такой, что $$\forall{i}\in\overline{2,k}(g_1^{-1}g_4g_2(\alpha'_i)=g_4g_2(\alpha_i)=g_2(\beta_i)=\beta'_i).$$ Аналогично можно показать, что $g_1^{-1}g_5g_2\in{G}_{\alpha}$ и для любого $i\in\overline{2,k}$ $g_1^{-1}g_5g_2(\alpha'_i)=\beta'_i$. Таким образом, две подстановки из $G_{\alpha}$ переводят набор $(\alpha'_2,\ldots,\alpha'_k)$ в набор $(\beta'_2,\ldots,\beta'_k)$ что противоречит точной $(k-1)$-транзитивности группы $G_{\alpha}$.

Утверждение 20.6:
Пусть $|\Omega|=n$, $G<S(\Omega)$, $G$ - $k$-транзитивна, тогда

1. $n(n-1)\cdots(n-k+1)\bigl||G|$,
2. $|G|=n(n-1)\cdots(n-k+1)$ тогда и только тогда, когда $G$ точно $k$-транзитивна.

Доказательство:

1. Пусть $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ - различные элементы множетсва $\Omega$. По теореме 20.1 (лемма Бернсайда) и по теореме 20.3 $$ |G|=|G(\alpha_1)||G_{\alpha_1}|=n|G_{\alpha_1}(\alpha_2)||G_{\alpha_1,\alpha_2}|=\cdots =n(n-1)\cdots(n-k+1)|G_{\alpha_1,\ldots,\alpha_k}|\Rightarrow{n}(n-1)\cdots(n-k+1)\bigl||G|. $$
2. $\Rightarrow)$ Докажем индукцией по $k$.
   1. При $k=1$ $|G|=n=|\Omega|$, тогда по п. 3 теоремы 20.2. группа $G$ - регулярна, то есть точно $1$-транзитивна.
   2. Для любого $m\geq1$ докажем, что из справедливости утверждения при $k\in\overline{1,m}$ следует его справедливость при $k=m+1$.
      Так как $G$ $k$-транзитивна, то по теореме 20.3 она транзитивна, тогда по следствию 20.1 $$|G_{\alpha}|=\frac{|G|}{n}=(n-1)(n-2)\cdots(n-1-(k-1)+1).$$ Так как $G$ $k$-транзитивна, то по теореме 20.3 $G_{\alpha}$ $(k-1)$-транзитивна как группа подстановок на множетсве $\Omega\backslash\{\alpha\}$. Тогда по предположению индукции $G_{\alpha}$ точно $(k-1)$-транзитивна, следовательно, по теореме 20.3 $G$ точно $k$-транзитивна.
   $\Leftarrow)$ Если $G$ точно $k$-транзитивна, то для любого набора из $k$ различных элементов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in\Omega$ существует единственная подстановка $g\in{G}$ такая, что для любого $i\in\overline{1,k}$ $g(\alpha_i)=\alpha_i$, то есть $|G_{\alpha_1,\ldots,\alpha_k}|=1$. Тогда из доказательтсва пункта 1 следует, что $|G|=n(n-1)\cdots(n-k+1)$.

Следствие 20.2:
Группа $G$ точно $k$-транзитивна тогда и только тогда, когда

1. группа $G$ транзитивна,
2. для любых различных $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in\Omega$ $|G_{\alpha_1,\ldots,\alpha_k}|=1$.

Доказательство:

Следует из теоремы 20.3 и утверждения 20.6.

Пример 20.4:

1. Пусть $P:=GF(q)$, $n\in\mathbb{N}$, для любого $\alpha\in{P}^{(n)}$, $\psi\in\mathcal{L}\bigl(P_P^{(n)}\bigr)^*$ обозначим $$A_{\psi,\alpha}:P^{(n)}\to{P}^{(n)}:\forall\beta\in{P}^{(n)}(A_{\psi,\alpha}(\beta)=\psi(\beta)+\alpha).$$ Для любых $\psi\in\mathcal{L}\bigl(P_P^{(n)}\bigr)^*$, $\alpha\in{P^{(n)}}$ отобаржение $A_{\psi,\alpha}$ биективно. Действительно, $$ \beta_1,\beta_2\in{P}^{(n)}:A_{\psi,\alpha}(\beta_1)=A_{\psi,\alpha}(\beta_2)\Rightarrow{A}_{\psi,\alpha}(\beta_1-\beta_2)= \theta\Rightarrow\beta_1=\beta_2, $$ то есть для любых $\psi\in\mathcal{L}\bigl(P_P^{(n)}\bigr)^*$, $\alpha\in{P}^{(n)}$ $A_{\psi,\alpha}\in{S}(P^{(n)})$. Обозначим $$AGL(n,q):=\{A_{\psi,\alpha}\mid\psi\in\mathcal{L}\bigl(P^{(n)}\bigr)^*,\alpha\in{P}^{(n)}\},$$ тогда множество постановок $AGL(n,q)$ замкнуто относительно композиции, $A_{\varepsilon,\theta}$ является нейтральным в группоиде $(AGL(n,q);\circ)$, подстановка $A_{\psi^{-1},-\psi^{-1}(\alpha)}\in{A}GL(n,q)$ обратна к $A_{\psi,\alpha}\in{A}GL(n,q)$. Таким образом, $AGL(n,q)<S(P^{(n)})$, группа $AGL(n,q)$ называется полной афинной группой преобразований пространства $P_P^{(n)}$.
   Для любых $\beta,\gamma\in{P}^{(n)}$ $A_{\varepsilon,\gamma-\beta}(\beta)=\gamma$, то есть группа $AGL(n,q)$ транзитивна. При этом так как $$A_{\psi,\alpha}\in{A}GL(n,q)_{\theta}\Leftrightarrow\psi(\theta)+\alpha=\theta\Leftrightarrow\alpha=\theta,$$ то $$AGL(n,q)_{\theta}=\{A_{\psi,\theta}\mid\psi\in\mathcal{L}\bigl(P_P^{(n)}\bigr)^*\}.$$ По утверждению 20.2 $GL(n,q):=AGL(n,q)_{\theta}<AGL(n,q)$, группа $GL(n,q)$ называется полной линейной группой преобразований пространства $P_P^{(n)}$.
   Пусть $\alpha_1,\beta_1\in{P}^{(n)}\backslash\{\theta\}$, тогда по п. 3 теоремы 11.9 существуют базисы $\vec{\alpha}:=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ и $\vec{\beta}:=(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n)$ пространства $P_P^{(n)}$. Тогда по утверждению 12.1 существует $\psi\in\mathcal{L}(P_P^{(n)})$ такое, что для любого $i\in\overline{1,n}$ $\psi(\alpha_i)=\beta_i$ и так как $\vec{\alpha}$, $\vec{\beta}$ - базисы, то $\psi\in\mathcal{L}\bigl(P_P^{(n)}\bigr)^*$. Таким образом, $A_{\psi,\theta}\in{G}L(n,q)$ и $A_{\psi,\theta}(\alpha_1)=\beta_1$, то есть группа $GL(n,q)$ - транзитивна как подгруппа группы $S(P_P^{(n)}\backslash\{\theta\})$. Тогда по теореме 20.3 группа $AGL(n,q)$ - $2$-транзитивна.
   Так как $$AGL(1,q)=\left\{\left.\binom{x}{ax+b}\right|a\in{P}^*,b\in{P}\right\}\Rightarrow|AGL(1,q)|=q(q-1),$$ то по п. 2 утверждения 20.6 группа $AGL(1,q)$ точно $2$-транзитивна. При этом доказано, что других точно $2$-транзитивных групп не существует.
2. Проективные линейные группы являются точно $3$-транзитивными (ГЕН т. 2 стр. 284 пример 7).
3. Существуют как минимум две отличные от $S_n,A_n$ $4$-транзитивные группы обозначаемые $M_{11}$, $M_{23}$. Существует одна и только одна отличная от $S_n,A_n$ точно $4$-транзитивная группа, это группа $M_{11}$.
4. Существуют как минимум две отличные от $S_n,A_n$ $5$-транзитивные группы обозначаемые $M_{12}$, $M_{24}$. Существует одна и только одна отличная от $S_n,A_n$ точно $5$-транзитивная группа, это группа $M_{12}$.
   Группы $M_{11},M_{23},M_{12},M_{24}$ называются группами Матье, индекс в обозначении равен их порядку.
5. В 1873 году М. Э. К. Жорданом было доказано, что не существует точно $6$-транзитивных групп отличных от $S_n,A_n$.
6. По завершении в 2004 году классификации конечных простых групп стало ясно, что для любого $k\geq7$ $k$-транзитивных групп отличных от $S_n,A_n$ не существует.

20.4 Примитивные группы.

Определение 20.8:
Подмножество $\Delta\subset\Omega$ называется блоком группы подстановок $G<S(\Omega)$, если для любой $g\in{G}$ $g(\Delta)=\Delta$ или $g(\Delta)\cap\Delta=\varnothing$.

Замечание 20.7:
Пусть $G<S(\Omega)$, $\alpha\in\Omega$.

1. Блоки $\Omega$, $\varnothing$, $\{\alpha\}$ группы $G$ называются тривиальными.
2. Фиксируем $g\in{G}$, тогда $$g(G(\alpha))=\{gh(\alpha)\mid{h}\in{G}\}=\{h(\alpha)\mid{h}\in{G}\}=G(\alpha),$$ где предпоследнее равентсво в силу того, что для любой $h_1\in{G}$ $g(g^{-1}h_1)=h_1$. Таким образом, $G(\alpha)$ - блок группы $G$.
3. Если $\Delta$ блок группы $G$, то для любой $g\in{G}$ $g(g(\Delta))=g(\Delta)$, то есть $g(\Delta)$ - блок группы $G$.
4. Пусть $\Delta_1$, $\Delta_2$ блоки группы $G$, тогда
   • если $g\in{G}$ такая, что $g(\Delta_1)\cap\Delta_1=\varnothing$ или $g(\Delta_2)\cap\Delta_2=\varnothing$, то $g(\Delta_1\cap\Delta_2)\cap(\Delta_1\cap\Delta_2)=\varnothing$,
     
   • если подстановка $g\in{G}$ такая, что $g(\Delta_1)=\Delta_1$ и $g(\Delta_2)=\Delta_2$, то $g(\Delta_1\cap\Delta_2)=\Delta_1\cap\Delta_2$, так как для любого биективного отображения $f:A\to{B}$ и любых подмножеств $A_1,A_2\subset{A}$ верно $f(A_1\cap{A}_2)=f(A_1)\cap{f}(A_2)$.
   Таким образом, $\Delta_1\cap\Delta_2$ - блок группы $G$.

Пример 20.5:
Пусть $G:=\langle(1,2,3,4)\rangle$, $\Delta_1=\{1,3\}$, $\Delta_2=\{2,4\}$, тогда для любого четного $k$ $g^k(\Delta_1)=\Delta_1$, $g^k(\Delta_2)=\Delta_2$, а для любого нечетного $k$ $g^k(\Delta_1)\cap\Delta_1=g^k(\Delta_2)\cap\Delta_2=\varnothing$. Таким образом, $\Delta_1,\Delta_2$ блоки группы $G$.

Определение 20.9:
Транзитивная группа подстановок называется примитивной, если она не имеет нетривиальных блоков в противном случае она называется импримитивной.

Определение 20.10:
Система блоков $\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_k$ импримитивной группы $G<S(\Omega)$ называется полной системой блоков сопряженной с блоком $\Delta_1$, если

1. $\Delta_1\cup\ldots\cup\Delta_k=\Omega$,
2. $\forall{i},j\in\overline{1,k}(i\neq{j}\Rightarrow\Delta_i\cap\Delta_j=\varnothing)$,
3. $\forall{i}\in\overline{1,k}\,\exists{g}_i\in{G}:\Delta_i=g_i(\Delta_1)$.

Утверждение 20.7:
Для любого непустого блока импримитивной группы подстановок существует полная система блоков сопряженная с этим блоком.

Доказательство:

Пусть $G=\{g_1,\ldots,g_N\}$, $\Delta$ - непустой блок $G$. Тогда для любого $i\in\overline{1,N}$ $g_i(\Delta)$ - блок $G$ и для любого $j\in\overline{1,N}$ $g_j(\Delta)=g_jg_i^{-1}(g_i(\Delta))$, следовательно, либо $g_i(\Delta)=g_j(\Delta)$, либо $g_j(\Delta)\cap{g}_i(\Delta)=\varnothing$.
Так как $G$ - импримитивна, то она по определению транзитивна, следовательно, $$\forall\alpha\in\Omega\,\exists{g}\in{G}:\alpha\in{g}(\Delta)\Rightarrow\bigcup_{i=1}^Ng_i(\Delta)=\Omega,$$ тогда можно получить искомую систему выкинув совпадающие блоки из системы $g_1(\Delta),\ldots,g_N(\Delta)$.

Следствие 20.3:
Пусть группа $G<S(\Omega)$ импримитивна, $\Delta_1$ - блок $G$, тогда $|\Delta_1|\bigl|\Omega|$

Доказательство:

По утверждению 20.7 существует $\Delta_1,\ldots,\Delta_k$ - полная система блоков группы $G$ сопряженная с $\Delta_1$. Так как подстановка - это биективное отображение, то $$ \left(\forall{i}\in\overline{1,k}(|\Delta_1|=|\Delta_i|)\,\wedge\,\sum_{i=1}^k|\Delta_i|=|\Omega|\right)\Rightarrow|\Omega|=k|\Delta_1| $$

Утверждение 20.8:
Пусть $\overline{\Omega}:=\{\Delta_1,\ldots,\Delta_k\}$ - полная система блоков импримитивной группы $G<S(\Omega)$ порожденная блоком $\Delta_1$, тогда отображение $\varphi:G\to{S}(\Omega)$ такое, что $$\forall{g}\in{G}\left(\varphi(g):=\begin{pmatrix}\Delta_1, & \ldots, & \Delta_k \\ g(\Delta_1), & \ldots, & g(\Delta_k)\end{pmatrix}\right)$$ является гомоморфизмом.

Доказательство:

1. Докажем от противного, что $\varphi(g)\in{S}(\overline{\Omega})$. Предположим, что существуют $r,s,t\in\overline{1,k}$, $\alpha,\beta\in\Delta_r$, $g\in{G}$ такие, что $s\neq{t}$, $g(\alpha)\in\Delta_s$, $g(\beta)\in\Delta_t$. Из доказательства утверждения 20.7 следует, что существует $h\in{G}$ такая, что $h(\Delta_s)=\Delta_r$, тогда $g(\alpha),g(\beta)\in{h}g(\Delta_s)$ и $g(\beta)\notin\Delta_s$. Таким образом, получено противоречие с тем, что $\Delta_s$ блок группы $G$.
2. Для любых $g,h\in{G}$ $$ \varphi(gh)=\begin{pmatrix}\Delta_1, & \ldots, & \Delta_k \\ gh(\Delta_1), & \ldots, & gh(\Delta_k)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\Delta_1, & \ldots, & \Delta_k \\ g(\Delta_1), & \ldots, & g(\Delta_k)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\Delta_1, & \ldots, & \Delta_k \\ h(\Delta_1), & \ldots, & h(\Delta_k)\end{pmatrix}=\varphi(g)\varphi(h). $$

Утверждение 20.9:
Если группа подстановок $2$-транзитивна, то она примитивна.

Доказательство:

Докажем от противного. Предположим группа $G<S(\Omega)$ содержит нетривиальный блок $\Delta\subset\Omega$. Тогда существуют $\alpha,\beta\in\Delta$ $\alpha\neq\beta$, $\gamma\in\Omega\backslash\Delta$. Так как группа $G$ $2$-транзитивна, то $$ \exists{g}\in{G}:(g(\alpha)=\beta\,\wedge\,g(\beta)=\gamma)\Rightarrow(g(\alpha)\in{g}(\Delta)\cap\Delta\,\wedge\,g(\beta)\notin\Delta)\Rightarrow (g(\Delta)\cap\Delta\neq\varnothing\,\wedge\,g(\Delta)\neq\Delta), $$ следовательно, $\Delta$ не блок, то есть получено противоречие.

Теорема 20.4:
Пусть группа $G<S(\Omega)$ транзитивна, $\alpha\in\Omega$, тогда группа $G$ примитивна тогда и только тогда, когда не существует подгруппы $H<G$ такой, что $G_{\alpha}<H$, $G_{\alpha}\neq{H}$, $H\neq{G}$.

Доказательство:

$\Rightarrow)$ Докажем от противного. Предположим, что существует собственная подгруппа $H<G$ такая, что $G_{\alpha}$ ее собственная подгруппа. Обозначим $\Delta:=H(\alpha)$ и докажем, что $\Delta$ нетривиальный блок группы$G$.

1. Пусть существует $g\in{G}$ такая, что существует $\beta\in{g}(\Delta)\cap\Delta$, тогда $$ \exists{h}_1,h_2\in{H}:\beta=h_1(\alpha)=g(h_2(\alpha))=h_2g(\alpha)\Rightarrow\alpha=h_2gh_1^{-1}(\alpha)\Rightarrow {h}_2gh_1^{-1}\in{G}_{\alpha}<H\Rightarrow{g}\in{H}\Rightarrow{g}(\Delta)=g(H(\alpha))=H(\alpha)=\Delta. $$ Таким образом, для любой $g\in{G}$ если пересечение $g(\Delta)\cap\Delta$ не пусто, то $g(\Delta)=\Delta$, то есть $\Delta$ - блок группы $G$.
2. Так как по предположению $H\neq{G}_{\alpha}$, то $$\exists{h}\in{H}\backslash{G}_{\alpha}\Rightarrow{h}(\alpha)=\gamma\neq\alpha\Rightarrow\alpha,\gamma\in\Delta,$$ следовательно, блок $\Delta$ содержит как минимум два различных элемента.
3. Предположим, что $\Delta=\Omega$, тогда так как группа $G$ транзитивна и $G_{\alpha}<H<G$, то $H(\alpha)=G(\alpha)$ и $H_{\alpha}=G_{\alpha}$ и по теореме 20.1 (лемма Бернсайда) $$|H|=|H_{\alpha}||H(\alpha)|=|G_{\alpha}||G(\alpha)|=|G|\Rightarrow{H}={G},$$ получено противоречие, следовательно, $\Delta\neq\Omega$.

1. Так как для любых $g,h\in{H}$ $gh(\Delta)=h(g(\Delta))=h(\Delta)=\Delta$, то $H<G$.
   Так как $\Delta$ блок, то $$\forall{g}\in{G}_{\alpha}(g(\alpha)=\alpha\in\Delta)\Rightarrow\forall{g}\in{G}_{\alpha}(g(\Delta)=\Delta)\Rightarrow{G}_{\alpha}\subset{H},$$ следовательно, по утверждению 20.5 $G_{\alpha}<H$.
2. Так как $\Delta$ нетривиальный блок, то существуют $\alpha\in\Delta$ и $\beta\in{G}\backslash\Delta$. Тогда по транзитивности $G$ существует $g\in{G}$ такая, что $g(\alpha)=\beta$, следовательн, $g\notin{H}$, то есть $G\neq{H}$.
3. Так как $|\Delta|>1$ и группа $G$ транзитивна, то $$ \exists\alpha,\beta\in\Delta,g\in{G}:(\alpha\neq\beta\,\wedge\,g(\alpha)=\beta)\Rightarrow (g\notin{G}_{\alpha}\,\wedge\,g(\Delta)=\Delta)\Rightarrow(g\notin{G}_{\alpha}\,\wedge\,g\in{H})\Rightarrow{G}_{\alpha}\neq{H}. $$

Теорема 20.5: (Камил Мари Эдмон Жордан - 1871 г.)
Пусть группа $G<S(\Omega)$ примитивна и содержит траспозицию, тогда $G=S(\Omega)$.

Доказательство:

Пусть $\alpha\in\Omega$ такой, что $M:=\{(\alpha,\beta_1),\ldots,(\alpha,\beta_k)\}$ множество циклов длины два с мобильным элементом $\alpha$ не пусто. Обозначим $H:=\langle{M}\rangle$, тогда $G_{\alpha}<\langle{G}_{\alpha},H\rangle<G$, причем $G_{\alpha}\neq\langle{G}_{\alpha},H\rangle$, тогда по теореме 20.4 $G=\langle{G}_{\alpha},H\rangle$.
Фиксируем $g\in{G}_{\alpha}$, $i\in\overline{1,k}$, тогда по лемме 9.1 $$ g^{-1}(\alpha,\beta_i)g=(g(\alpha),g(\beta_i))=(\alpha,g(\beta_i))\in{M}\subset{H}\Rightarrow (\alpha,\beta_i)g=g(\alpha,g(\beta_i))\Rightarrow{G}={G}_{\alpha}H\Rightarrow \forall{h}\in{G}\,\exists{g}\in{G}_{\alpha},i_1,\ldots,i_s\in\overline{1,k}:h=g(\alpha,\beta_{i_1})\cdots(\alpha,\beta_{i_s}). $$ Таким образом, $$\forall{h}\in{G}\,\exists{j}\in\overline{1,k}:h(\alpha)=\beta_j\Rightarrow{G}(\alpha)\subset\{\alpha,\beta_1,\ldots,\beta_k\}.$$ Так как группа $G$ транзитивна, то $G(\alpha)=\Omega=\{\alpha,\beta_1,\ldots,\beta_k\}$, тогда по п. 2 теоремы 9.14 $H=\langle{M}\rangle=S(\Omega)$

previous contents next