11.3 Изоморфизм векторных пространств.

Определение 11.14:
Пусть $L_P,M_P$ - векторные пространства, тогда отображение $\varphi:L_P\to{M}_P$ называется изоморфизмом векторного пространства $L_P$ в векторное пространство $M_P$, если

1. $\varphi:(L;+)\to(M;+)$ - изоморфизм групп,
2. $\forall\alpha\in{L}_P\,a\in{P}(\varphi(\alpha\circ{a})=\varphi(\alpha)\circ{a})$.

Пример 11.6:

1. Пусть отображение $\varphi:(\mathcal{D}_2)_{\mathbb{R}}\to(\mathcal{D}_2)_{\mathbb{R}}$ такое, что для любого $\alpha\in\mathcal{D}_2$ $\varphi(\alpha)$ получается из $\alpha$ поворотом на угол $\omega$. Тогда $$\forall\alpha,\beta\in\mathcal{D}_2(\varphi(\alpha+\beta)=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta)),$$ следовательно, $\varphi$ - изоморфизм групп и $$\forall\alpha\in\mathcal{D}_2\,a\in\mathbb{R}(\varphi(\alpha)\circ{a}=\varphi(\alpha)\circ{a}),$$ следовательно, отображение $\varphi$ - изоморфизм векторного пространства $\mathcal{D}_2$ в себя.
2. Пусть отображение $\varphi:P^n\to{P}^{(n)}$ такое, что $\varphi(\alpha)=\alpha^T$, тогда, очевидно, что $\varphi$ - изоморфизм.
3. Пусть отображение $\varphi:(\mathcal{D}_2)_{\mathbb{R}}\to\mathbb{R}^2$ такое, что для любого вектора ${\alpha=((0,0),(x,y))\in\mathcal{D}_2}$ $\varphi(\alpha)=(x,y)$, тогда, очевидно, что $\varphi$ - изоморфизм.

Утверждение 11.3:
усть $K_P,L_P,M_P$ - векторные пространства, тогда

1. если отображения $\varphi:L_P\to{M}_P$, $\psi:M_P\to{K}_P$ - изоморфизмы, то $\psi\circ\varphi:L_P\to{K}_P$ - изоморфизм;
2. если $\varphi:L_P\to{M}_P$ изоморафизм, то $\varphi^{-1}:M_P\to{L}_P$ - изоморфизм;
3. тождественно отображение $\varepsilon:L_P\to{L}_P$ является изоморфизмом.

Доказательство:
В силу теоремы 9.2 во всех случаях достаточно проверить согласованность отображений с операцией $\circ$.

1. $$ \forall\alpha\in{L}_P\,a\in{P}((\psi\circ\varphi)(\alpha\circ{a})=\psi(\varphi(\alpha\circ{a}))=\psi(\varphi(\alpha)\circ{a})= \psi(\varphi(\alpha))\circ{a}=(\psi\circ\varphi)(\alpha)\circ{a}). $$
2. Так как отображение $\varphi$ биективно, то $$ \forall\alpha\in{L}_P\,a\in{P}(\varphi(\varphi^{-1}(\alpha)\circ{a})=\varphi(\varphi^{-1}(\alpha))\circ{a}=\varphi(\varphi^{-1}(\alpha\circ{a})))\Rightarrow \forall\alpha\in{L}_P\,a\in{P}(\varphi^{-1}(\alpha)\circ{a}=\varphi^{-1}(\alpha\circ{a})). $$
3. Следует из пунктов 1 и 2 так как $\varepsilon=\varphi\circ\varphi^{-1}$.

Следствие 11.2:
Отношение изоморфности векторных пространств есть отношение эквивалентности.

Доказательство:

Следует из утверждения 11.3: рефлексивность из пункта 3, симметричность из пункта 2, транзитивность из пункта 1.

Теорема 11.8:
Пусть отображение $\varphi:L_P\to{M}_P$ - изоморфизм векторных прстранств, $S\subset{L}$, $S\neq\varnothing$, тогда

1. система векторов $S$ линейно зависима тогда и только тогда, когда сиситем векторов $\varphi(S)$ линейно зависима;
2. $(S)_P=L_P\Leftrightarrow(\varphi(S))_P\Leftrightarrow{M}_P$;
3. система векторов $S$ - базис $L_P$ тогда и только тогда, когда система векторов $\varphi(S)$ - базис $M_P$.

Доказательство:

1. Система $S$ ЛЗ тогда и только тогда, когда существуют различные $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{S}$ и $(c_1,\ldots,c_k)\in{S}^k\backslash\{\overline{0}\}$ такие, что $\alpha_1\circ{c}_1+\cdots+\alpha_k\circ{c}_k=\theta_L$. По теореме 9.1 $\varphi(\theta_L)=\theta_M$, следовательно, $$ \alpha_1\circ{c}_1+\cdots+\alpha_k\circ{c}_k=\theta_L\Leftrightarrow\varphi(\alpha_1\circ{c}_1+\cdots+\alpha_k\circ{c}_k)=\varphi(\theta_L)= \theta_M\Leftrightarrow\varphi(\alpha_1)\circ{c}_1+\cdots+\varphi(\alpha_k)\circ{c}_k=\theta_M. $$ Последнее равенство эквивалентно тому, что $\varphi(S)$ ЛЗ. Обратные импликации справедливы в силу того, что отображение $\varphi^{-1}:M_P\to{L}_P$ - изоморфизм.
2. $\Rightarrow)$ $$ M_P=\varphi(L_P)=\varphi((S)_P)=\varphi(\{\alpha_1\circ{a}_1+\cdots+\alpha_n\circ{a}_n\mid{n}\in\mathbb{N},\alpha_i\in{S},a_i\in{P}\})= \{\varphi(\alpha_1\circ{a}_1+\cdots+\alpha_n\circ{a}_n)\mid{n}\in\mathbb{N},\alpha_i\in{S},a_i\in{P}\}=\\= \{\varphi(\alpha_1)\circ{a}_1+\cdots+\varphi(\alpha_k)\circ{a}_n\mid{n}\in\mathbb{N},\alpha_i\in{S},a_i\in{P}\}= \{\beta_1\circ{a}_1+\cdots+\beta_n\circ{a}_n\mid{n}\in\mathbb{N},\beta_i\in\varphi(S),a_i\in{P}\}=(\varphi(S))_P $$ $\Leftarrow)$ $L_P=\varphi^{-1}(M_P)=\varphi^{-1}(\varphi((S)_P))=S_P$.
3. Система $S$ является базисом $L_P$ тогда и только тогда, когда $(S)_P=L_P$ и $S$ ЛНЗ по пунктам 1, 2 тогда и только тогда, когда $(\varphi(S))_P=M_P$ и $\varphi(S)$ ЛНЗ тогда и только тогда, когда $\varphi(S)$ базис $M_P$.

11.4 Конечномерные векторные пространства.

Определение 11.4:
Векторное пространство называется конечномерным, если у него есть конечный базис, иначе оно называется бесконечномерным.

Введем некоторые обозначения.
Здесь и далее операцию внешнего умножения $\circ$ будем опускать.
Пусть $L_P$ - векторное пространство, $\vec{\alpha}:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in{L}^n$ - базис $L_P$. Тогда по теореме 11.3 любой $\beta\in{L}_P$ выражается через $\vec{\alpha}$ однозначно. Запись $$\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=\begin{pmatrix}c_1\\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{pmatrix},$$ где $(c_1,\ldots,c_n)\in{P}^n$ будет означать, что $\beta=\alpha_1c_1+\cdots+\alpha_nc_n$.
Для любых $\vec{\gamma}:=(\gamma_1,\ldots,\gamma_t)\in{L}^t$, $d:=\left(\begin{smallmatrix}d_1 \\ \vdots \\ d_n\end{smallmatrix}\right)\in{P}^{(t)}$: $$\vec{\gamma}d^{\downarrow}:=\gamma_1d_1+\cdots+\gamma_td_t\in{L}.$$ Тогда $$\forall\beta\in{L}(\beta=\vec{\alpha}\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow})$$ и $$\beta=\vec{\alpha}c^{\downarrow}\Leftrightarrow{c}^{\downarrow}=\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}.$$ Для любой матрицы $A\in{P}_{t,s}$ $$\vec{\gamma}A:=\left(\vec{\gamma}A_1^{\downarrow},\ldots,\vec{\gamma}A_s^{\downarrow}\right)\in{L}^s$$

Лемма 11.1:
Пусть $L_P$ конечномерное векторное пространство, ${\vec{\gamma},\vec{\delta}\in{L}^t}$, $A,B\in{P}_{t,s}$, $C\in{P}_{s,k}$, тогда

1. $(\vec{\gamma}+\vec{\delta})A=\vec{\gamma}A+\vec{\delta}A$,
2. $\vec{\gamma}(A+B)=\vec{\gamma}A+\vec{\gamma}B$,
3. $\vec{\gamma}(AC)=(\vec{\gamma}A)C$.

Доказательство:

1. $$ (\vec{\gamma}+\vec{\delta})A=\left((\vec{\gamma}+\vec{\delta})A_1^{\downarrow},\ldots,(\vec{\gamma}+\vec{\delta})A_s^{\downarrow}\right)= \left(\vec{\gamma}A_1^{\downarrow}+\vec{\delta}A_1^{\downarrow},\ldots, \vec{\gamma}A_s^{\downarrow}+\vec{\delta}A_s^{\downarrow}\right)= \left(\vec{\gamma}A_1^{\downarrow},\ldots,\vec{\gamma}A_s^{\downarrow}\right)+\left(\vec{\delta}A_1^{\downarrow},\ldots,\vec{\delta}A_s^{\downarrow}\right)= \vec{\gamma}A+\vec{\delta}A $$
2. $$ \vec{\gamma}(A+B)=\vec{\gamma}\left(A_1^{\downarrow}+B_1^{\downarrow},\ldots,A_s^{\downarrow}+B_s^{\downarrow}\right)= \left(\vec{\gamma}(A_1^{\downarrow}+B_1^{\downarrow}),\ldots,\vec{\gamma}(A_s^{\downarrow}+B_s^{\downarrow})\right)= \left(\vec{\gamma}A_1^{\downarrow}+\vec{\gamma}B_1^{\downarrow},\ldots,\vec{\gamma}A_s^{\downarrow}+\vec{\gamma}B_s^{\downarrow}\right)= \left(\vec{\gamma}A_1^{\downarrow},\ldots,\vec{\gamma}A_s^{\downarrow}\right)+\left(\vec{\gamma}B_1^{\downarrow},\ldots,\vec{\gamma}B_s^{\downarrow}\right)= \vec{\gamma}A+\vec{\gamma}B. $$
3. Пусть $(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)=\vec{\gamma}(AC)\in{L}^k$, тогда $$ \alpha_i=\vec{\gamma}\begin{pmatrix}\vec{A}_1C_i^{\downarrow} \\ \vdots \\ \vec{A}_tC_i^{\downarrow}\end{pmatrix}=\gamma_1\sum_{j=1}^sa_{1,j}c_{j,i}+\cdots+\gamma_t\sum_{j=1}^sa_{t,j}c_{j,i}= \sum_{k=1}^t\sum_{j=1}^s(\gamma_ka_{k,j}c_{j,i}) $$ Пусть $(\beta_1,\ldots,\beta_k)=(\vec{\gamma}A)C\in{L}^k$, тогда $$ \beta_i=\left(\vec{\gamma}A_1^{\downarrow},\ldots,\vec{\gamma}A_s^{\downarrow}\right)C_i^{\downarrow}= \left(\sum_{k=1}^t\gamma_ka_{k,1},\ldots,\sum_{k=1}^t\gamma_ka_{k,s}\right)C_i^{\downarrow}=\sum_{j=1}^s\sum_{k=1}^t(\gamma_ka_{k,j}c_{j,i}) $$

Утверждение 11.4:
Пусть $L_P$ конечномерное векторное пространство, $\vec{\alpha}$ - базис $L_P$, $\beta,\gamma\in{L}_P$, $c\in{P}$, тогда

1. $(\beta+\gamma)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}+\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}$.
2. $(\beta{c})_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}c$.

Доказательство:

1. По п. 2 леммы 11.1 $$ \beta+\gamma=\vec{\alpha}\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}+\vec{\alpha}\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}= \vec{\alpha}\left(\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}+\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right). $$ Таким образом, в силу однозначности разложения вектора $\beta+\gamma$ по базису $\vec{\alpha}$ $(\beta+\gamma)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}+\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}$.
2. По п. 3 леммы 11.1 (где $c\in{P}$ есть матрица размера $1\times1$) $$\beta{c}=\left(\vec{\alpha}\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)c=\vec{\alpha}\left(\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}c\right).$$ Таким образом, аналогично пункту 1 $(\beta{c})_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}c$.

Утверждение 11.5:
Если $\vec{\alpha}:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ - базис векторного пространства $L_P$, то $L_P\cong(P^{(n)})_P$.

Доказательство:
Пусть отображение $\varphi:L\to{P}^{(n)}$ такое, что для любого $\alpha\in{L}$ $\varphi(\alpha)=\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}$. По теореме 11.3 для любого $\beta\in{L}$ существует единственный $d^{\downarrow}\in{P}^{(n)}$ такой, что $\beta=\vec{\alpha}d^{\downarrow}$, следовательно, отображение $\varphi$ инъективно. По теореме 11.6 отображение $\varphi$ сюръективно, следовательно, оно биективно. При этом по утверждению 11.4 для любых $\beta,\gamma\in{L}$, $c\in{P}$ $\varphi(\beta+\gamma)=\varphi(\beta)+\varphi(\gamma)$ и $\varphi(\beta{c})=\varphi(\beta)c$. Таким образом, отображение $\varphi$ - измоморфизм векторного пространства $L_P$ в векторное пространство $(P^{(n)})_P$.

Теорема 11.9:
Пусть $\vec{\alpha}:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ - базис векторного пространства $L_P$, тогда

1. любая ЛНЗ система векторов пространства $L_P$ конечна и состоит не более чем из $n$ векторов;
2. любые два базиса пространства $L_P$ равномощны;
3. любая ЛНЗ система векторов пространства $L_P$ может быть дополнена до базиса;
4. любая ЛНЗ система векторов пространства $L_P$ состоящая из $n$ векторов является базисом.

Доказательство:
По утверждению 11.5 $L_P\cong(P^{(n)})_P$, тогда по теореме 11.8 для доказательства утверждений данной теоремы можно сослаться на аналогичные утверждения для арифметического пространства $P^{(n)}$.

1. Следует из следствия 4.10.
2. Следует из следствия 4.12.
3. Следует из теоремы 4.7.
4. Из пункта 1 следует, что если к ЛНЗ системе мощности $n$ добавить ещё один вектор, то она станет ЛЗ, следовательно, исходная система МЛНП.

Определение 11.16:
Размерностью конечномерного векторного пространства $L_P$ называют число векторов в его базисе и обозначают $\dim{L}_P$.

Утверждение 11.6:
Пусть $L_P,M_P$ - конечномерные векторные пространства, тогда $$L_P\cong{M}_P\Leftrightarrow\dim{L}_P=\dim{M}_P.$$

Доказательство:
$\Rightarrow)$ Если $L_P\cong{M}_P$, то существует изоморфизм $\varphi:L_P\to{M}_P$. Тогда если $T=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$ - базис $L_P$, то по п. 3 теоремы 11.8 $\varphi(T)$ базис $M_P$. Причем так как отображение $\varphi$ биективно, то $|\varphi(T)|=|T|=n$.
$\Leftarrow)$ Если $\dim{L}_P=\dim{M}_P=n$, то из утверждения 11.5 следует, что ${L_P\cong(P^n)_P\cong{M}_P}$

Введем некоторые обозначения.
Пусть $L_P$ - векторное пространство размерности $n$, $\vec{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in{L}^n$ и $\vec{\beta}:=(\beta_1,\ldots,\beta_n)\in{L}^n$ - два базиса пространства $L_P$. Тогда матрицу $$C_{n\times{n}}:=\left((\beta_1)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow},(\beta_2)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow},\ldots, (\beta_n)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)\in{P}_{n,n}$$ называют матрицей перехода между базисами $\vec{\alpha}$ и $\vec{\beta}$. Несложно видеть, что $$\vec{\beta}=\left(\vec{\alpha}(\beta_1)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow},\ldots,\vec{\alpha}(\beta_n)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)=\vec{\alpha}C$$ и $$\forall\gamma\in{L}_P\left(\gamma=\vec{\beta}\gamma_{\vec{\beta}}^{\downarrow}=(\vec{\alpha}C)\gamma_{\vec{\beta}}^{\downarrow}= \vec{\alpha}(C\gamma_{\vec{\beta}}^{\downarrow})\right)\Rightarrow \forall\gamma\in{L}_P\left(\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=C\gamma_{\vec{\beta}}^{\downarrow}\right).$$ Так как система векторов $(\beta_1,\ldots,\beta_n)$ базис пространства $L_P$, то по теореме 11.8 система векторов $\left((\beta_1)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow},\ldots,(\beta_n)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)$ - базис пространства $(P^{(n)})_P$, тогда по следствию 4.11 $C\in(P_{n,n})^*$, следовательно, $$\forall\gamma\in{L}_P\left(\gamma_{\vec{\beta}}^{\downarrow}=C^{-1}\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right).$$

previous contents next