Определение 21.1:
Абелева группа $(M;+)$ называется левым модулем над кольцом $R$ или левым $R$-модулем,
если определена операция внешнего умножения $\cdot:R\times{M}\to{M}$ такая, что для любых $r,r_1,r_2\in{R}$, $m,m_1,m_2\in{M}$
Пример 21.1:
Определение 21.2:
Подмодулем модуля ${}_RM$ называют любую подгруппу $N<M$ замкнутую относительно умножения на элемент кольца, то есть
$$\forall{r}\in{R}\,\forall{n}\in{N}(rn\in{N}).$$
Пример 21.2:
Определение 21.3:
Гомоморфизм $\varphi:M\to{N}$ группы $M$ в группу $N$ называется гомоморфизмом модуля ${}_RM$ в модуль ${}_RN$, если
$$\forall{r}\in{R}\,\forall{m}\in{M}(\varphi(rm)=r\varphi(m)).$$
Пример 21.3:
Гомоморфизм $\varphi:R^n\to{R}[x]_{n-1}$ такой, что
$$\forall\vec{r}:=(r_1,\ldots,r_n)\in{R}^n:\varphi(\vec{r})=r_1+r_2x+\cdots+r_{n}x^{n-1}$$
является гоморфизмом модуля ${}_RR^n$ в модуль ${}_RR[x]_{n-1}$.
Определение 21.4:
Подмножество $S\subset{M}$ называется системой образующих модуля ${}_RM$, если
$$\forall{m}\in{M}\,\exists{n}\in\mathbb{N}\,\exists{r}_1,\ldots,r_n\in{R}\,\exists{m}_1,\ldots,m_n\in{S}:m=r_1m_1+\cdots+r_nm_n.$$
Определение 21.5:
Система образующих $S\subset{}_RM$ линейно независима, если
$$
\forall{n}\in\mathbb{N}\,\forall{r}_1,\ldots,r_n\in{R}\,\forall{m}_1,\ldots,m_n\in{S}
(r_1m_1+\cdots+r_nm_n=0\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,n}(r_i=0)).
$$
Определение 21.6:
Базисом модуля называется его линейно независимая система образующих.
Если модуль содержит базис, то он называется свободным. Если при мощность базиса $n$, то модуль называется свободным ранга $n$.
Определение 21.7:
Модуль называется конечнопорожденным, если у него есть конечная система образующих.
Модуль называется циклическим, если у него есть система образующих состоящая из одного элемента.
При этои если $\{m\}$ система образующих модуля ${}_RM$, то обозначают $M=Rm={}_R(m)$.
По теореме 11.4 любое векторное пространство имеет базис, однако не любой модуль имеет базис.
Пример 21.4:
Пример 21.5:
| модуль | свободный | циклический |
|---|---|---|
| ${}_{\mathbb{Z}_6}\mathbb{Z}_6$ | $+$ | $+$ |
| ${}_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}_6$ | $-$ | $-$ |
| ${}_{\mathbb{Z}_6}\mathbb{Z}$ | $+$ | $-$ |
| ${}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2)$ | $-$ | $-$ |
| ${}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_3)$ | $-$ | $+$ |
| ${}_{R_{m,m}}R_{m,n}$ | $-$ при $m>1$ | $-$ |
| ${}_{R_{m,m}}R^m$ | $-$ при $m>1$ | $-$ при $m>1$ |
Утверждение 21.1:
Модуль ${}_RM$ является свободным модулем ранга $n$ тогда и только тогда, когда $M\cong{R}^n$.
Доказательство:
$\Rightarrow)$ Пусть $S:=\{m_1,\ldots,m_n\}$ - базис модуля ${}_RM$. Рассмотрим отображение $\varphi:R^n\to{M}$ такое, что
$$\forall\vec{r}:=(r_1,\ldots,r_n)\in{R}^n(\varphi(\vec{r})=r_1m_1+\cdots+r_nm_n).$$
Для любых наборов $\vec{r}:=(r_1,\ldots,r_n)$,$\vec{r'}:=(r'_1,\ldots,r'_n)$ из $R^n$
$$\varphi(\vec{r}+\vec{r'})=(r_1+r'_1)m_1+\cdots+(r_n+r'_n)m_n=\varphi(\vec{r})+\varphi(\vec{r'}),$$
следовательно, $\varphi$ - гомоморфизм. И так как $S$ ЛНЗ система образующих, то $\varphi$ - изоморфизм.
$\Leftarrow)$ Пусть $\vec{e}:=\{e_1,\ldots,e_n\}$ - строки единичной матрицы $E\in{R}_{n,n}$. Тогда $\vec{e}$ базис $R^n$,
следовательно, так как $\varphi$ изоморфизм, то $\varphi(e)_1,\ldots,\varphi(e_n)$ - базис $M$.
Следствие 21.1:
Если ${}_RM$ свободный модуль ранга $n$, то $|M|=|R|^n$.
Доказательство:
Следует из утверждения 21.1.
Утверждение 21.2:
Пусть $R$ - коммутативное кольцо с единицей, тогда система строк $u_1,\ldots,u_n\in{R}^n$ является базисом модуля ${}_RR^n$ тогда и только тогда,
когда матрица $U:=(u_1,\ldots,u_n)$ обратима.
Доказательство:
$\Rightarrow)$ Если $u_1,\ldots,u_n$ базис $R^n$, тогда строки $e_1,\ldots,e_n$ единичной матрицы $E\in{R}_{n,n}$ ЛВЧ $u_1,\ldots,u_n$,
то есть существует матрица $A:=(a_{i,j})_{n,n}$ такая, что
$$
\begin{cases}
a_{1,1}u_1+\cdots+a_{1,n}u_1=e_1 \\
\cdots \\
a_{n,1}u_n+\cdots+a_{n,n}u_n=e_n
\end{cases},
$$
то есть $AU=E$. Тогда по теореме 3.6 $|A||U|=e$, следовательно,
так как $R$ коммутативно, то $|U|\in{R}^*$ и по теореме 3.8 $U\in(R_{n,n})^*$.
$\Leftarrow)$ Если матрица $U$ обратима, то по теореме 5.2 для любого $\vec{a}\in{R}^n$ СЛУ $\vec{x}U=\vec{a}$ имеет единственное решение.
То есть существует единственный набор коэффициентов $x_1,\ldots,x_n\in{R}$ такой, что $\vec{a}=x_1u_1+\cdots+x_nu_n$,
то есть $u_1,\ldots,u_n$ - базис $R^n$.
Замечание 21.1:
Прямой суммой подмодулей называется прямая сумма их абелевых подгрупп.
Определение 21.8:
Последовательностью над множеством $\Omega$ называют произвольное отображение $u:\mathbb{N}_0\to\Omega$.
Элемент $u(i)$ называется $i$-тым знаком или $i$-тым членом последовательности.
Множество всех последовательностей над множеством $\Omega$ обозначают $\Omega^{\infty}$.
Везде далее в этом разделе $R$ - коммутативное кольцо с единицей.
Определение 21.9:
Последовательность $u\in{R}^{\infty}$ называется линейной рекуррентной последовательностью (ЛРП) порядка $m$,
если существуют $c_0,c_1,\ldots,c_{m-1}\in{R}$ такие, что для любого $i\in\mathbb{N}_0$
$$u(i+m)=c_{m-1}u(i+m-1)+\cdots+c_1u(i+1)+c_0u(i).$$
Вектор $u(0),u(1),\ldots,u(m-1)$ называется начальным вектором линейной рекурентной последовательности $u$.
Многочлен $F(x)=x^m-c_{m-1}x^{m-1}-\cdots-c_1x-c_0\in{R}[x]$ называется характеристическим многочленом линейной рекурентной последовательности $u$.
Последовательность $u(i)\equiv0$ считается линейной рекуррентной последовательностью порядка 1 с характеристическим многочленом $F(x)=e$.
Множество всех линейных рекуррентных последовательностей над $R$ обозначают $\alpha{R}^{\infty}$.
Замечание 21.2:
Из определения следует, что ЛРП однозначно определяется своим начальным вектором и характеристическим многочленом.
И порядок ЛРП равен степени ее характеристического многочлена.
Пример 21.6: Последовательность Фибоначчи.
Изначально есть пара новорожденных кроликов (самец и самка); со второго месяца кролики начинают спариваться и каждый месяц производить новую пару кроликов;
кролики никогда не умирают. Сколько кроликов будет через год?
Обозначим $u(i)$ число пар кроликов через $i$ месяцев, тогда $u(0)=1$, $u(1)=1$ и для любого $i\in\mathbb{N}_0$ $u(i+2)=u(i+1)+u(i)$.
Таким образом, $u(i)$ ЛРП порядка 2 над $\mathbb{Z}$ с характерестическим многочленом $x^2-x-1$ и начальным вектором $u(\overline{0,1})=(1,1)$,
то есть
$$u=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...).$$
Таким образом, через год будет 144 пары кроликов.
Пример 21.7: Геометрическая прогрессия.
Пусть $a,q\in{R}$, тогда последовательность $u(i)=aq^i$ является ЛРП над $R$ с характерестическим многочленом $F(x)=x-q$ и начальным вектором $u(0)=(a)$.
Пример 21.8: Арифметическая прогрессия.
Пусть $a,d\in{R}$, тогда последовательность $u(i)=a+id$ является ЛРП над $R$ с характеристическим многочленом $F(x)=x^2-2x+1$ и
начальным вектором $u(\overline{0,1})=(a,a+d)$.
Пример 21.9:
Рассмотрим последовательность матриц $A_n$ над $R$ такую, что
$$
A_0=(b),A_1=\begin{pmatrix}b&c\\a&b\end{pmatrix},A_2=\begin{pmatrix}b&c&0\\a&b&c\\0&a&b\end{pmatrix},\ldots,
A_n=\begin{pmatrix}b&c&0&\cdots&0\\a&b&c&&\vdots\\0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\\vdots&&a&b&c\\0&\cdots&0&a&b\end{pmatrix}.
$$
Тогда разложив определитель матрицы $A_n$ по первой строке получим, что $|A_n|=b|A_{n-1}|-a|A_{n-2}|$.
То есть последовательность $u(i):=|A_i|$ является ЛРП с характерестическим многочленом $F(x)=x^2-bx+ac$ и
начальным вектором $u(\overline{0,1})=(b,b^2-ac)$.
Последовательность Фибоначчи является частным случаем такой последовательности при $a=-1$, $b=c=1$.
Теорема 21.1:
Определим на множестве $R^{\infty}$ операцию сложения $+$ и операцию внешнего умножения на элемент кольца $R$ такие, что
$$\forall{u},v\in{R}^{\infty},r\in{R},i\in\mathbb{N}_0((u+v)(i)=u(i)+v(i),(ru)(i)=ru(i)).$$
Тогда множество $R^{\infty}$ является левым $R$-модулем.
Доказательство:
Так как кольцо $R$ является модулем над самим собой, то $(R^{\infty};+)$ так же модуль над $R$.
Определение 21.10:
Пусть $F(x)\in{R}[x]$ - унитарный многочлен, тогда множество всех линейно рекуррентных последовательностей над кольцом $R$,
для которых многочлен $F(x)$ является характеристическим многочленом называется ЛРП-семейством и обозначаеся $L_R(F)$.
Утверждение 21.3:
Пусть $F(x)\in{R}[x]$ унитарный многочлен степени $m$, тогда
Доказательство:
Пусть $F(x):=x^m-c_{m-1}x^{m-1}-\cdots-c_1x-c_0$, $u,v\in{L}_R(F)$, $r\in{R}$, тогда для любого $i\in\mathbb{N}_0$
$$u(i+m)=c_{m-1}u(i+m-1)+\cdots+c_1u(i+1)+c_0u(i),$$
$$v(i+m)=c_{m-1}v(i+m-1)+\cdots+c_1v(i+1)+c_0v(i),$$
следовательно, для любого $i\in\mathbb{N}_0$
$$
(u+v)(i+m)=c_{m-1}(u(i+m-1)+v(i+m-1))+\cdots+c_1(u(i+1)+v(i+1))+c_0(u(i)+v(i))=c_{m-1}(u+v)(i+m-1)+\cdots+c_1(u+v)(i+1)+c_0(u+v)(i),
$$
и
$$
ru(i+m)=rc_{m-1}u(i+m-1)+\cdots+rc_1u(i+1)+rc_0u(i)=c_{m-1}(ru)(i+m-1)+\cdots+c_1(ru)(i+1)+c_0(ru)(i).
$$
Таким образом, многочлен $F(x)$ является характерестическим многочленом последовательностей $u+v$ и $ru$,
то есть $L_R(F)<{}_{R}R^{\infty}$.
Рассмотрим отображение $\varphi:L_R(F)\to{R}^m$, такое что для любого $u\in{L}_R(F)$ $\varphi(u)$ равно начальному вектору последовательности $u$.
Очевидно, что $\varphi$ - гомоморфизм модулей. Так как ЛРП с характеристическим многочленом $F(x)$ однозначно определяется своим начальным вектором,
то $\varphi$ - изоморфизм, то есть $L_R(F)\cong{R}^m$. Тогда по утверждению 21.2 $L_R(F)$
свободный модуль ранга $m$ и из утверждения 21.2 следует пункт 2.
Следствие 21.2:
Если кольцо $R$ конечно, $F(x)\in{R}[x]$, $\deg{F}(x)=m$, то $|L_R(F)|=|R|^m$.
Доказательство:
Следует из доказательства утверждения 21.3.
Следствие 21.3:
Если $R$ - поле, $F(x)\in{R}[x]$, $\deg{F}(x)=m$, то $L_R(F)$ подпространство векторного пространства последовательностей над $R$ и
$\dim{{}_RL_R(F)}=m$.
Доказательство:
Следует из п. 1 утверждения 21.3.
previous contents next