Пусть задана последовательность функций $\{f_n(t)\}$, тогда эту последовательность можно рассматривать как последовательность частичных сумм ряда
$\sum_{n=1}^{\infty}a_n(t)$ такого, что $a_1(t):=f_1(t)$ и для любого $n>1$ $a_n(t):=f_n(t)-f_{n-1}(t)$. Таким образом для любого $n\in\mathbb{N}$
$S_n(t)=\sum_{k=1}^na_k(t)=f_n(t)$. С другой стороны сумма любого ряда это предел последовательности его частичных сумм, следовательно,
результаты полученные для рядов из функций можно применять к последовательностям функций и наоборот. Так что при доказательстве результатов можно
применять подход, который будет наиболее удобен.
Введем обозначение: если формулируемый результат справедлив как для множества вещественных чисел $\mathbb{R}$, так и для множества
комплексных чисел $\mathbb{C}$, то при формулировке будет использован символ $\mathbb{P}$.
Везде далее выражение "$\{f_n(x)\}$" будет употребляться в двух смыслах как последовательность функций и как числовая последовательность значений
функций на элементе $x$. Различать значения следует из контекста.
Определение 10.1.1: Поточечная сходимость функциональных последовательностей.
Пусть $X\subset\mathbb{P}$ и для любого $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)\colon{X}\to\mathbb{P}$, тогда множество $E\subset{X}$ такое, что для любого
$t\in{E}$ числовая последовательность $\{f_n(t)\}$ сходится называется множеством поточечной сходимости функциональной последовательности
$\{f_n(x)\}$, то есть $$E:=\{t\in{X}\mid\exists\lim_{n\to\infty}f_n(t)\in\mathbb{P}\}$$
Функция $f(t)\colon{E}\to\mathbb{P}$ такая, что для любого $t\in{E}$ $\displaystyle{f}(t):=\lim_{n\to\infty}f_n(t)$ называется предельной функцией
для функциональной последовательности $\{f_n(x)\}$. В этом случае говорят, что функциональная последовательность $\{f_n(x)\}$ сходится поточечно к
функции $f(t)$ на множестве $E$, что обозначают как $$f_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}f(t),t\in{E}$$
Таким образом функциональная последовательность $\{f_n(x)\}$ сходится поточечно к функции $f(t)$ на множестве $E$, если
$$\forall{t}\in{E}\,\forall\varepsilon>0\,\exists{n}_0=n_0(\varepsilon,t)\in\mathbb{N}\colon\forall{n}\geq{n_0}(|f_n(t)-f(t)|<\varepsilon).$$
Определение 10.1.2: Поточечная сходимость функциональных рядов.
Пусть $X\subset\mathbb{P}$ и для любого $n\in\mathbb{N}$ $a_n(x)\colon{X}\to\mathbb{P}$, $S_n(x)\colon{X}\to\mathbb{P}:S_n(x):=\sum_{k=1}^na_k(x)$,
тогда множеством поточечной сходимости функционального ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$ называют множество $E$ поточечной сходимости функциональной
последовательности $\{S_n(x)\}$.
Функцию $S(t)\colon{E}\to\mathbb{P}$ такую, что для любого $t\in{E}$ $\displaystyle{S}(t):=\lim_{n\to\infty}S_n(t)$ называют суммой функционального
ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$. При этом говорят, что функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$ сходится поточечно на множестве $E$ и имеет
своей суммой $S(t)$.
Наиболее характерными свойствами предельной функции $f(t)$ изучаемыми в зависимости от свойств функций последовательности $\{f_n(x)\}$ являются:
Пример 10.1.1: Рассмотрим функциональную последовательность
$\{f_n(x)\}$ такую, что $X=[0,1]$ и для любого $n\in\mathbb{N}$
$f_n(x)\colon{X}\to\mathbb{R}$ такая, что для любого $x\in[0,1]$ $f_n(x)=x^n$.
Ранее было показано, что последовательность $\{q^n\}$ сходится к нулю тогда и только тогда,
когда $|q|<1$, при $q=1$ предел последовательности $\{q^n\}$ равен 1. Следовательно, множество поточечной сходимости $E$ функциональной последовательности
$\{f_n(x)\}$ равно $[0,1]$ и предельная функция имеет вид: $f(t)=\begin{cases}0,0\leq{t}<1\\ 1,\quad{t}=1\end{cases}$.
Таким образом предельная функция $f(t)$ функциональной последовательности $\{f_n(x)\}$ не является непрерывной на множестве поточечной сходимости $E$
несмотря на то, что для любого $n\in\mathbb{N}$ функция $f_n(x)$ является непрерывной на множестве $X$.
Так же можно отметить, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)\in\mathcal{R}[0,1]$ и $f(t)\in\mathcal{R}[0,1]$ и при этом числовая последовательность
$\displaystyle\int_0^1x^n\,dx=\left.\frac{x^{n+1}}{n+1}\right|_0^1=\frac{1}{n+1}$ сходится к значению интеграла от предельной функции
$\displaystyle\int_0^1f(t)\,dt=0$.
Пример 10.1.2: Рассмотрим функциональную последовательность
$\displaystyle{f}_n(x)=\frac{\sin{n^2x}}{n}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.
Так как функция $\sin{x}$ ограничена на $\mathbb{R}$, то для любого $t\in\mathbb{R}$ $\displaystyle\frac{\sin{n^2t}}{n}\to0$, при $n\to\infty$,
следовательно, множество поточечной сходимости функциональной последовательности $\{f_n(x)\}$ равно $\mathbb{R}$ и предельная функция $f(t)\equiv0$.
Однако,
$$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(f'_n(x)=\left(\frac{\sin{n^2x}}{n}\right)'_x=\frac{n^2\cos{n^2x}}{n}=n\cos{n^2x}\right)$$
следовательно, например числовая последовательность $\{f'_n(\pi)\}=\{(-1)^nn\}$ расходится. То есть нет поточечной сходимости функциональной
последовательности $\{f'_n(x)\}$ к функции $f'(t)\equiv0$ на $\mathbb{R}$.
Пример 10.1.3: Рассмотрим функциональную последовательность
$\displaystyle{f}_n(x)=\frac{\sin{nx}}{n^2}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.
Так как функция $\sin{x}$ ограничена на $\mathbb{R}$, то для любого $t\in\mathbb{R}$ $\displaystyle\frac{\sin{nt}}{n^2}\to0$, при $n\to\infty$.
Следовательно, множество поточечной сходимости функциональной последовательности $\{f_n(x)\}$ равно $\mathbb{R}$ и предельная функциия $f(t)\equiv0$.
При этом для любого $n\in\mathbb{R}$ $\displaystyle{f}'_n(x)=\frac{\sin{nx}}{n}$, тогда для любого $t\in\mathbb{R}$ $f'_n(t)\to0$, при $n\to\infty$.
То есть в данном случае имеет место поточечная сходимость $f'_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}f'(t),t\in\mathbb{R}$.
Пример 10.1.4: Рассмотрим функциональную последовательность
$f_n(x)=2(n+1)x(1-x^2)^n\colon[0,1]\to\mathbb{R}$.
Аналогично примеру 10.1.1 для любого $t\in\mathbb{R}$ такого, что $1-t^2\in[1,0)$, то есть для всех $t\in(0,1]$
$\{f_n(t)\}\to0$, при $n\to\infty$. При $t=0$ для любого $n\in\mathbb{N}$ $f_n(0)=0$, следовательно, имеет место сходимость
$f_n(x)\xrightarrow[n\to\infty]{}f(t)\equiv0,t\in[0,1]$. При этом для любого $n\in\mathbb{N}$ $f_n(x)\in{C}[0,1]$ и следовательно
$f_n(x)\in\mathcal{R}[0,1]$, тогда
$$\int_0^1f_n(x)\,dx=\int_0^12(n+1)x(1-x^2)^n\,dx=(n+1)\int_0^1(1-x^2)\,d(x^2)=(n+1)\int_0^1(1-t)^n\,dt=-\frac{n+1}{n+1}(1-t)^{n+1}|_0^1=1$$
То есть числовая последовательность $\left\{\int_0^1f_n(x)\,dx\right\}$ не сходится к значению интеграла от предельной функции $\int_0^1f(t)\,dt=0$.
Пример 10.1.5: Рассмотрим функциональную последовательность
$\displaystyle{f}_m(x)=\lim_{n\to\infty}(\cos(m!\pi{x}))^{2n}\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.
Так как для любого $k\in\mathbb{Z}$ $|\cos{\pi{k}}|=1$, а для всех остальных $x\in\mathbb{R}$ $|\cos{x}|<1$, то
$f_m(x)=\begin{cases}1, m!x\in\mathbb{Z}\\0, m!x\notin\mathbb{Z}\end{cases}$. Найдем предельную функцию $f(t)$ для функциональной последовательности
$\{f_n(x)\}$
$\begin{multline}
t\in\mathbb{Q}\Rightarrow\exists{p}\in\mathbb{Z}\colon{t}=\frac{p}{q}\Rightarrow\forall{m}>p(m!t=m!\frac{p}{q}\in\mathbb{Z})\Rightarrow
\forall{m}>p(f_m(t)=1)\Rightarrow{f}(t)=\lim_{n\to\infty}f_m(t)=1\\
\shoveleft{t}\notin\mathbb{Q}\Rightarrow\forall{m}\in\mathbb{N}(m!t\notin\mathbb{Z})\Rightarrow\forall{m}\in\mathbb{N}(f_m(t)=0)\Rightarrow
f(t)=\lim_{m\to\infty}f_m(t)=0.
\end{multline}$
Таким образом $f(t)=\mathcal{D}(t)=\begin{cases}1,t\in\mathbb{Q}\\0,t\notin\mathbb{Q}\end{cases}$.
При этом для любого отрезка $[a,b]$ и для любого $m\in\mathbb{N}$ функция $f_m(x)$ ограничена и имеет конечное число точек разрыва и, следовательно,
интегрируема на отрезке $[a,b]$. Однако, предельная функция $f(t)$ не интегрируема на отрезке $[a,b]$, так как она тождественно равна
функции Дирихле.
Таким образом примеры показывают, что поточечной сходимости функциональной последовательности недостаточно для того, чтобы предельная функция
сохраняла свойства функций образующих последовательность.
previous contents next