5.5 Непрерывность функции.

5.5.1 Определение и общие свойства непрерывной функции.

Определение 5.5.1: Общее определение непрерывности в точке.
Будем говорить, что функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ непрерывна в точке $a\in{E}$ по множеству $E$, если $$\forall{V}(f(a))(\exists{U}(a):x\in{U}_E(a)(f(x)\in{V}(f(a)))).$$

Определение 5.5.2: Определение непрерывности в точке по Коши.
Будем говорить, что функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ непрерывна в точке $a\in{E}$ по множеству $E$, если $$\forall\varepsilon>0(\exists\delta>0:\forall{x}\in{E}(|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(a)|<\varepsilon)).$$

Определение 5.5.3: Изолированная точка.
Будем говорить, что точка $a\in{E}$ является изолированной точкой множества $E$, если существует окрестность $U(a)$ такая, что $U(a)\cap{E}=\{a\}$.

Утверждение 5.5.1: Если $a\in{E}$ изолированная точка множества $E$, то функция $f(x):E\to{R}$ непрерывна в этой точке по множеству $E$.

Доказательство: Поскольку $a\in{E}$ изолированная точка, множества $E$, то существует окрестность $U(a)$ такая, что $U(a)\cap{E}=U_E(a)=\{a\}$, тогда $$\forall{V}(f(a)),\forall{x}\in{U}_E(a)(f(x)=f(a)\in{V}(f(a)))$$

То есть любая функция всегда непрерывна на изолированной точке области определения.

Утверждение 5.5.2: Если $a\in{E}$ не изолированная точка множества $E$, тогда $a$ предельная точка множества $E$.

Доказательство:Если $a\in{E}$ не изолированная точка множества $E$, то это по определению означает, что $$\forall{U}(a)(U_E(a)\neq\{a\}\wedge{a}\in{U}_E(a))\Rightarrow\forall{U}(a)(\mathring{U}_E(a)\neq\varnothing).$$ Из последнего утверждения по задаче 3.6.2 следует, что $a\in\mathring{E}$.

Утверждение 5.5.3: Если $a\in{E}\cap\mathring{E}$, то функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ непрерывна в точке $a$ тогда и только тогда, когда $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=f(a)$.

Доказательство:

• $\Rightarrow)$
  Фиксируем окрестность $V(f(a))$. Функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$ по множеству $E$, тогда $$\exists{U}(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}(a)\Rightarrow{x}\in{U(a)}\Rightarrow{f}(x)\in{V}(f(a)))\Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=f(a).$$
• $\Leftarrow)$
  Фиксируем окрестность $V(f(a))$, тогда по определению предела функции $$(\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=f(a)\wedge{f}(a)\in{V}(a))\Rightarrow \exists{U}(a):\forall{x}\in{E}(x\in{U}(a)\Rightarrow(x\in\mathring{U}(a)\vee{x}=a)\Rightarrow{f}(x)\in{V}(f(a)))$$

Таким образом из утверждений 5.5.1-3 следует, что общее определение непрерывности функции распадается на два случая

1. Если $a$ изолированная точка области определения, тогда любая функция будет непрерывна в точке $a$.
2. Если $a$ не изолированная точка области определения, тогда она предельная точка и понятие непрерывности сводится к понятию предела.

Утверждение 5.5.4: Если $a\in{E}\cap\mathring{E}$, то $f(x):E\to\mathbb{R}$ непрерывна в точке $a$ тогда и только тогда, когда $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=f(\lim_{E\ni{x}\to{a}}x)$

Доказательство:Так как $$\forall\varepsilon>0\:\exists\:\delta=\varepsilon:\forall{x}\in{E}(0<|x-a|<\delta\Rightarrow|x-a|<\varepsilon)\Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}x=a$$ то доказываемое равенство следует из утверждения 5.5.3.

Таким образом непрерывные функции и только они перестановочны со знаком предела.

Задача 5.5.1: Доказать, что если $a\in{E}\cap\mathbb{E}$, то функция $f(x):E\to\mathring{R}$ непрерывна в точке $a$ по множеству $E$ тогда и только тогда, когда $$\forall\varepsilon>0\:\exists{U}(a):\forall{x}'\in{U}_E(a),\forall{x}''\in{U}_E(a)(|f(x')-f(x'')|<\varepsilon)$$

Решение:

• $\Rightarrow)$
  Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по утверждению 5.5.3 из непрерывности функции $f(x)$ в точке $a$ следует $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=f(a)\Rightarrow\exists{U}(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)\left(|f(x)-f(a)|<\frac{\varepsilon}{2}\right)\Rightarrow \forall{x}',x''\in{U}_E(a)\left(|f(x')-f(x'')|\leq|f(x')-f(a)|+|f(x'')-f(a)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\right)$$
• $\Leftarrow)$
  Фиксируем $\varepsilon>0$. Так как для любой окрестности $U(a)$ $a\in{U}(a)$, и если $x\in{U}(a)$, то $x\in\mathring{U}(a)$, тогда по условию имеем $$\exists{U}(a):\forall{x}',x''\in{U}_E(a)(|f(x')-f(x'')|<\varepsilon)\Rightarrow\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(|f(x)-f(a)|<\varepsilon)\Rightarrow \lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=f(a)$$ Следовательно, в соответствии с утверждением 5.5.3, функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$ по множеству $E$.

Определение 5.5.4: Будем говорить, что функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ непрерывна на множестве $E$, если она непрерывна в каждой точке множества $E$.

$\newcommand{\tg}{\operatorname{tg}}$ $\newcommand{\ctg}{\operatorname{ctg}}$ $\newcommand{\arctg}{\operatorname{arctg}}$ $\newcommand{\arcctg}{\operatorname{arcctg}}$ $\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}$

Проверим непрерывность основных элементарных функций.

1. $f(x)=const$
   Так для любого $a,x\in\mathbb{R}$ $f(x)-f(a)=0$, то, очевидно, функция $f(x)$ непрерывна на $\mathbb{R}$.
2. $f(x)=x$
   Непрерывна на $\mathbb{R}$, так при доказательстве утверждения 5.5.4 было показано, что для любого $a\in\mathbb{R}$ $\displaystyle\lim_{\mathbb{R}\ni{x}\to{a}}x=a$.
3. $f(x)=a^x$
   Непрерывна на $\mathbb{R}$ по свойству 4 показательной функции.
4. $f(x)=\log_a{x}$
   Непрерывна на $\mathbb{R}^+$ по свойству 4 функции логарифма.
5. $f(x)=x^\alpha$
   Непрерывна на $\mathbb{R}^+$ по пунктам 3, 4 и непрерывности композиции функций (будет доказано позднее), так как по определению $x^\alpha=e^{\alpha\ln{x}}$.
6. $f(x)\sin{x}$, $f(x)=\cos{x}$
   Непрерывны на $\mathbb{R}$ по свойству 1 тригонометрических функций.
7. $f(x)=\arcsin{x}$, $f(x)=\arccos{x}$
   Непрерывны на $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ и $[0,\pi]$ соответственно по теореме о непрерывности обратной функции (будет доказана позднее).
8. $f(x)=\tg(x)$, $f(x)=\ctg(x)$
   Непрерывны на области определения как частное непрерывных функций (будет доказано позднее).
9. $f(x)=\arctg(x)$, $f(x)=\arcctg(x)$
   Непрерывны на области определения по теореме о непрерывности обратной функции (будет доказана позднее).

Для лучшего уяснения понятия непрерывности функции исследуем альтернативу.

5.5.2 Точки разрыва.

Определение 5.5.5: Будем говорить, что $a\in\mathbb{R}$ точка разрыва функции $f(x):E\to\mathbb{R}$, если выполнено одно из условий:

1. Точка принадлежит области определения $a\in{E}$ и функция $f(x)$ не является непрерывной в точке $a$. То есть $$\exists{V}(f(a)):\forall{U}(a)(\exists{x}\in{U}_E(a):f(x)\notin{V}(f(a)))\sim \exists\varepsilon>0:\forall\delta>0(|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(a)|\geq\varepsilon)$$
2. Точка не принадлежит области определения $a\notin{E}$, но является предельной для нее $a\in\mathring{E}$.

Пример 5.5.1: $f(x)=\sgn{x}$, $a=0$
Точка 0 принадлежит области определения, но функция $\sgn{x}$ не имеет предела в точке 0 по задаче 5.1.1 так как $f(a+0)=1\neq-1=f(a-0)$, следовательно, функция $\sgn{x}$ не является непрерывной в точке 0 и 0 - точка разрыва функции $\sgn{x}$.

Пример 5.5.2: $f(x)=|\sgn{x}|$, $a=0$
Точка 0 принадлежит области определения, функция $|\sgn{x}|$ имеет предел в точке 0, но $\displaystyle\lim_{x\to0}|\sgn{x}|=1\neq{f}(0)=0$. Таким образом функция $|\sgn{x}|$ не является непрерывной в точке 0, следовательно, 0 точка разрыва функции $|\sgn{x}|$

Пример 5.5.3: $f(x)=\sin\frac1{x}$, $a=0$
Область определения функции $\sin\frac1{x}$ равна $\mathbb{R}\backslash\{0\}$, так что точка 0 не принадлежит области определения, но является предельная для нее, поэтому точка 0 - точка разрыва функции $\sin\frac1{x}$.

Определение 5.5.6: Точка разрыва $a\in\mathbb{R}$ является устранимой точкой разрыва функции $f(x):E\to\mathbb{R}$ по множеству $E$, если существует функция $\tilde{f}(x):E\to\mathbb{R}$ непрерывная в точке $a$ и для любого $x\neq{a}$ $\tilde{f}(x)=f(x)$.
То есть точка $a\in\mathbb{R}$ является устранимой точкой разрыва функции $f(x)$, если путем переопределения или доопределения в этой точке (и только в ней) из функции $f(x)$ можно получить функцию $\tilde{f}(x)$ непрерывную в точке $a$.

Утверждение 5.5.5: Критерий наличия устранимой точки разрыва (УТР).
Пусть точка $a\in\mathring{E}$ конечная точка разрыва функции $f(x):E\to\mathbb{R}$, тогда

1. Точка $a$ является УТР тогда и только тогда, когда существует конечный предел $\displaystyle{A}=\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)$
2. Если дополнительно известно, что $a\in{E}\cap\mathring{E}$, то точка $a$ является УТР тогда и только тогда, когда односторонние пределы $f(a+0)$ и $f(a-0)$ существуют и равны по значению.

Доказательство:

1. • $\Rightarrow)$
     Если точка $a\in\mathring{E}$ является УТР, то существует функция $\tilde{f}(x)$ такая, что $$(\lim_{E\ni{x}\to{a}}\tilde{f}(x)=\tilde{f}(a)\wedge\forall{x}\neq{a}(\tilde{f}(a)=f(x)))\Rightarrow \forall{V}(\tilde{f}(a))\:\exists{U}(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}(a)\Rightarrow{x}\neq{a}\Rightarrow{f}(x)=\tilde{f}(x)\in{V}(f(A)))\Rightarrow \lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=\tilde{f}(a).$$
   • $\Leftarrow)$
     Если существует конечный предел $\displaystyle{A}=\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)$, тогда определим функцию $\tilde{f}(x)$ следующем образом $\tilde{f}(x):=\begin{cases}A, & x=a\\f(x), & x\neq{a}\end{cases}$, тогда функция $\tilde{f}(x)$ удовлетворяет условиям пункта 2 определения УТР.
2. Если $a\in\mathring{E}{}^-_a\cap\mathring{E}{}^+_a$, то по задаче 5.1.1
$$\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Leftrightarrow{f}(a-0)=f(a+0)=A$$ и доказываемое утверждение следует из пункта 1.

Определение 5.5.7: Точка разрыва первого рода.
Точка разрыва $a\in\mathring{E}\cap\mathbb{R}$ функции $f(x):E\to\mathbb{R}$ является точкой разрыва первого рода если $$(a\in\mathring{E}{}^+_a\Rightarrow\exists{f}(a+0)\in\mathbb{R})\wedge(a\in\mathring{E}{}^-_a\Rightarrow\exists{f}(a-0)\in\mathbb{R})$$

Утверждение 5.5.6: Устранимая точка разрыва всегда является точкой разрыва первого рода.

Доказательство: Если точка $a\in\mathbb{R}$ является УТР функции $f(x):E\to\mathbb{R}$, то по утверждению 5.5.5 существует конечный предел $\displaystyle\lim_{E\ni{a}\to{a}}f(x)$. Тогда по пункту 3 утверждения 5.1.3 предел по подмножеству равен пределу по множеству, следовательно, если $a\in\mathring{E}{}^+_a$, то существует предел $\displaystyle{f}(a+0)=\lim_{E{}^+_a\ni{x}\to{a}}f(x)$. Аналогично для $f(a-0)$. Следовательно, точка $a$ точка разрыва первого рода.

Обратное не верно. Например, для функции $f(x)=\sgn{x}$ точка $a=0$ является точкой разрыва первого рода, но не является УТР, так как $f(a+0)\neq{f}(a-0)$.

Определение 5.5.8: Точка разрыва не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

Утверждение 5.5.7: Если $a\in\mathbb{R}$ точка разрыва функции $f(x)$, тогда $a$ точка разрыва второго рода тогда и только тогда, когда $$(a\in\mathring{E}{}^+_a\wedge\nexists{f}(a+0))\vee(a\in\mathring{E}{}^-_a\wedge\nexists{f}(a-0)).$$

Доказательство: Утверждение следует из определения точки разрыва первого рода.

Пример 5.5.3: Точка $a=0$, точка разрыва второго рода для функций $f(x)=\sin\frac1{x}$, $g(x)=\frac1{x}$, так как функции $f(x)$ и $g(x)$ не имеют предела в точке 0.

Задача 5.5.2: Функция $\mathcal{D}(x):=\begin{cases}1, & x\in\mathbb{Q}\\0, & x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\end{cases}$ называется функцией Дирихле. Доказать, что любая точка $x\in\mathbb{R}$ является точкой разрыва второго рода для функции $\mathcal{D}(x)$.

Решение: По пункту 3 следствия из принципа Архимеда для любых $k,s\in\mathbb{R},k<s$ существует $r\in\mathbb{Q}$ такое, что $k<r<s$. С другой стороны множество рациональных чисел счетно, а мощность любого отрезка не счетна, значит любой интервал содержит несчетное число иррациональных чисел. Таким образом в любой окрестности любой точки $a\in\mathbb{R}$ содержатся как рациональные, так и иррациональные числа. Реализуем отрицание критерия Коши существования предела функции $f(x)$ при $E\ni{x}\to{a}$. $$\exists\varepsilon=1>0:\forall\delta>0\:\exists{x}'\in\mathbb{Q},\exists{x}''\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}:(0<|x'-a|<\delta\wedge 0<|x''-a|<\delta\wedge|f(x')-f(x'')|=1-0=1\geq\varepsilon)$$

Задача 5.5.3: Функция $\mathcal{R}(x):=\begin{cases}\frac1{n}, & x=\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}\\0, & x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\end{cases}$ называется функцией Римана. Доказать, что функция $\mathcal{R}(x)$ непрерывна в любой иррациональной точке.

Решение: Докажем, что для любого $a\in\mathbb{R}$ существует предел $\displaystyle\lim_{x\to{a}}\mathcal{R}(x)=0$.
Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по пункту 1 следствия из принципа Архимеда существует $N\in\mathbb{N}$ такое, что $\frac1{N}<\varepsilon$. Рассмотрим множества $$M^-_a:=\left\{r=\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}\:|\:a-1<r<a\wedge{n}<N\right\},\; M^+_a=\left\{r=\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}\:|\:a<r<a+1\wedge{n}<N\right\}$$ Множества $M^-_a$ и $M^+_a$ конечны, так как $n\in\overline{1,N}$, $m\in\overline{[a-1],([a]+1)N}$. Значит множества $M^-_a$, $M^+_a$ имеют максимум и минимум, следовательно $$\max{M}^-_a<a\wedge\min{M}^+_a>a\Rightarrow\exists{U}(a):=(\max{M}^-_a,\min{M}^+_a):\forall{r}=\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}\cap{U}(a)(n\geq{N})\Rightarrow \forall{r}\in{U}_{\mathbb{Q}}(a)\left(\mathcal{R}(r)=\frac1{n}\leq\frac1{N}<\varepsilon\right)$$ $$\forall{x}\in{U}(a)\backslash\mathbb{Q}(\mathcal{R}(x)=0<\varepsilon)\Rightarrow\forall{x}\in{U}(a)(\mathcal{R}(x)<\varepsilon)\Rightarrow \lim_{x\to{a}}\mathcal{R}(x)=0$$ Следовательно, функция Римана $\mathcal{R}(x)$ непрерывна в тех точках где она принимает значение ноль.

previous contents next