9. ВЕКТОР ФУНКЦИИ ОДНОЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

1. Операция сложения $+:\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ на множестве $\mathbb{R}^m$ определяется следующим образом: $$\forall{x}\in\mathbb{R}^m,\forall{y}\in\mathbb{R}^m(x+y:=(x_1+y_1,x_2+y_2,\ldots,x_m+y_m)).$$
2. Операция умножения на константу $\lambda\in\mathbb{R}$ определяется следующим образом: $$\forall\lambda\in\mathbb{R},\forall{x}\in\mathbb{R}^m(\lambda*x:=\lambda*x_1,\lambda*x_2,...,\lambda*x_m).$$
Введение операций 1 и 2 превращает множество $\mathbb{R}^m$ в векторное пространство.
3. Операция скалярного произведения $():\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ на множестве $\mathbb{R}^m$ определяется следующим образом $$\forall{x}\in\mathbb{R}^m,\forall{y}\in\mathbb{R}^m(x,y):=\sum_{i=1}^m(x_iy_i)$$
Введение операции скалярного произведения превращает векторное пространство $\mathbb{R}^m$ в Евклидово пространство. Одним из основных свойств скалярного произведения является неравенство Коши-Буняковского.

Утверждение 9.1: Неравенство Коши-Буняковского. $$|(x,y)|\leq\left(\sum_{i=1}^mx_i^2\right)^\frac12\left(\sum_{i=1}^my_i^2\right)^\frac12$$

Доказательство: Действительно $$|(x,y)|\leq\left(\sum_{i=1}^mx_i^2\sum_{i=1}^my_i^2\right)^\frac12\Leftrightarrow|(x,y)|^2\leq\sum_{i=1}^mx_i^2\sum_{i=1}^my_i^2$$ $$|(x,y)|^2=\left(\sum_{i=1}^m(x_iy_i)\right)^2=\sum_{i=1}^{m}(x_i^2y_i^2)+\sum_{i,j=1{,}i\neq{j}}^m(2x_ix_jy_iy_j)\leq \sum_{i=1}^m(x_i^2y_i^2)+\sum_{i,j=1{,}i\neq{j}}^m(x_i^2y_j^2+x_j^2y_i^2)=\sum_{i=1}^mx_i^2\sum_{i=1}^my_i^2$$ где последнее неравенство верно в силу того, что для любых $x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{R}$ $$(x_1y_2-x_2y_1)^2\geq0\Rightarrow{x}_1^2y_2^2-2x_1y_1x_2y_2+x_2^2y_1^2\geq0\Rightarrow{2}x_1y_1x_2y_2\leq{x}_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2$$

4. Нормой элемента векторного пространства $x\in\mathbb{R}^m$ называется функция $\|\|:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^+$ такая, что для любого $x\in\mathbb{R}$ $\|x\|:=\sqrt{\sum_{i=1}^mx_i^2}$

Утверждение 9.2: Свойства нормы.
$\forall{x},y\in\mathbb{R}^m,\lambda\in\mathbb{R}$

1. $\|x\|\geq0,$
2. $\|x\|=0\Leftrightarrow{x}=0,$
3. $\|\lambda{x}\|=|\lambda|\|x\|,$
4. $\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|.$

Доказательство:

1. Следует из свойств арифметического корня.
2. $\displaystyle\|x\|=0\Leftrightarrow\sum_{i=1}^mx_i^2=0\Leftrightarrow\forall{i}\in\overline{1,m}(x_i=0).$
3. $\displaystyle\|\lambda{x}\|=\sqrt{\sum_{i=1}^m(\lambda{x}_i)^2}=\sqrt{\lambda^2}\sqrt{\sum_{i=1}^mx_i^2}=|\lambda|\|x\|.$
4. 
   \begin{gather}\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|\Leftrightarrow\|x+y\|^2\leq(\|x\|+\|y\|)^2\Leftrightarrow\|x+y\|^2\leq\|x\|^2+\|y\|^2+2\|x\|\|y\|\Leftrightarrow \sum_{i=1}^m(x_i+y_i)^2\leq\sum_{i=1}^mx_i^m\sum_{i=1}^my_i^2+2\sqrt{\sum_{i=1}^mx_i^2\sum_{i=1}^my_i^2}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\sum_{i=1}^m(x_iy_i)\leq\sqrt{\sum_{i=1}^mx_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^my_i^2} \end{gather} Где последнее неравенство - это неравенство Коши-Буняковского. Таким образом показано, что доказанное утверждение эквивалентно уже доказанному.

Евклидово пространство с введенной на нем функцией нормы удовлетворяющей свойствам 1-4 называют нормированным пространством.

Определение 9.1: Расстояние на множестве $\mathbb{R}^m$.
Расстоянием на нормированном пространстве $\mathbb{R}^m$ называется функция $\rho:\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ такая, что для любых $x,y\in\mathbb{R}$ $\rho(x,y):=\|x-y\|$.

Утверждение 9.3: Свойства расстояния нормированного пространства $\mathbb{R}^m$.
$\forall{x},y,z\in\mathbb{R}^m$

1. $\rho(x,y)\geq0$,
2. $\rho(x,y)=0\Leftrightarrow{x}=y$,
3. $\rho(x,y)=\rho(y,x)$,
4. Неравенство треугольников: $\rho(x,z)\leq\rho(x,y)+\rho(y,z)$.

Доказательство:

1. Следует из свойства 1 нормы $\mathbb{R}^m$.
2. $\rho(x,y)=0\Leftrightarrow\|x-y\|=0\Leftrightarrow{x}-y=0\Leftrightarrow\forall{i}\in\overline{1,m}(x_i=y_i)\Leftrightarrow{x}=y$.
3. По свойству 3 нормы: $\|x-y\|=\|(-1)(y-x)\|=|-1|\|y-x\|=\|y-x\|$.
4. По свойству 4 нормы: $\rho(x,y)+\rho(y,z)=\|x-y\|+\|y-z\|\geq\|(x-y)+(y-z)\|=\|x-z\|=\rho(x,z)$.

Определение 9.2: Предел вектор функции.
Пусть $E\subset\mathbb{R}$, $f(x)\colon{E}\to\mathbb{R}^m$, $a\in\mathring{E}$, $A\in\mathbb{R}^m$, тогда говорят, что существует предел вектор функции $f(x)$ равный $\displaystyle{A}:=\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)$ при $x$ стремящемся к $a$ по множеству $E$, если $$\forall\varepsilon>0\,\exists{U}(a)\colon\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(\|f(x)-A\|<\varepsilon).$$

Если точка $a$ конечна, то можно ввести аналог определения предела функции по Коши.

Определение 9.3: Определение предела вектор функции по Коши.
Пусть $E\subset\mathbb{R}$, $f(x)\colon{E}\to\mathbb{R}^m$, $a\in\mathring{E}\cap\mathbb{R}$, $A\in\mathbb{R}^m$, тогда говорят, что существует предел функции $f(x)$ равный $\displaystyle{A}:=\lim_{E\ni{x}\to{z}}f(x)$ при $x$ стремящемся к $a$ по множеству $E$, если $$\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0\colon\forall{x}\in{E}(0<|x-a|<\delta\Rightarrow\|f(x)-A\|<\varepsilon).$$
Пусть $E\subset\mathbb{R}$, $f(x)\colon{E}\to\mathbb{R}^m$. Введем обозначения для любого $k\in\overline{1,m}$ определим функцию $f_k(x)\colon{E}\to\mathbb{R}$ такую, что для любого $x\in\mathbb{R}$, если $f(x)=(y_1,\ldots,y_{k-1},y_k,y_{k+1},\ldots,y_m)$ то $f_k(x)=y_k$.

Утверждение 9.4: Пусть $E\subset\mathbb{R}$ и $f(x)\colon{E}\to\mathbb{R}^m$, $a\in\mathring{E}$, $A:=(A_1,\ldots,A_m)\in\mathbb{R}$, тогда $$\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Leftrightarrow\forall{k}\in\overline{1,m}\left(\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f_k(x)=A_k\right).$$

Доказательство:
$\Rightarrow)$ $\forall{k}\in\overline{1,m}\,\forall{x}\in{E}\left(|f_k(x)-A_k|=\sqrt{(f_k(x)-A_k)^2}\leq\sqrt{\sum_{i=1}^m(f_i(x)-A_i)^2}=\|f(x)-A\|\right).$
$\Leftarrow$) Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда $$\forall{k}\in\overline{1,m}\,\exists{U}_k(a)\colon\forall{x}\in\mathring{U}_k(a)\cap{E}\left(|f_k(x)-A_k|<\frac{\varepsilon}{\sqrt{m}}\right)\Rightarrow \exists{U}(a):=\bigcap_{k=1}^mU_k(a)\colon\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)\left(\|f(x)-A\|=\sqrt{\sum_{i=1}^m(f_i(x)-A_i)^2}<\sqrt{m\frac{\varepsilon^2}{m}}= \varepsilon\right).$$

Определение 9.4: Непрерывность вектор функции в точке.
Пусть $E\subset\mathbb{R}$, $f(x)\colon{E}\to\mathbb{R}^m$, $x_0\in{E}$, тогда говорят, что вектор функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ по множеству $E$, если $$\forall{\varepsilon}>0\,\exists\delta>0\colon\forall{x}\in{E}(|x-x_0|<\delta\Rightarrow\|f(x)-f(x_0)\|<\varepsilon).$$ Говорят, что функция $f(x)$ непрерывна на множестве $E$, если она непрерывна в каждой точке множества $E$.

Аналогично случаю вещественнозначной функции можно показать, что если $x_0\in{E}\cap\mathring{E}$, то непрерывность вектор функции в точке $x_0$ эквивалентна существованию предела $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=f(x_0)$.

Определение 9.5: Производная вектор функции в точке.
Пусть $E\subset\mathbb{R}$, $f(x)\colon{E}\to\mathbb{R}^m$, $x_0\in{E}\cap\mathring{E}$, $A\in\mathbb{R}^m$, тогда говорят, что вектор функция $f(x)$ имеет в точке $x_0$ производную по множеству $E$ равную $A$, если существует предел $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{x_0}}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=A$.
Говорят, что функция $f(x)$ дифференцируема на множестве $E$, если она имеет производную в каждой точке множества $E$.

Определение 9.6: Определенный интеграл от вектор функции.
Пусть $f(x)\colon[a,b]\to\mathbb{R}^m$, $A\in\mathbb{R}^m$, тогда говорят, что интеграл $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$ от вектор функции $f(x)$ по отрезку $[a,b]$ существует и равен $A$, если $$\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0\colon\forall{(P,\xi)}(\lambda(P)<\delta\Rightarrow\|\sigma(f,P,\xi)-A\|<\varepsilon),$$ где понятие интегральной суммы $\sigma(f,P,\xi)=\sum_{(P)}(f(\xi_i)\Delta{x}_i)$ отвечающей разбиению отрезка $[a,b]$ с помеченными точками $(P,\xi)$ для вектор функции $f(x)$ вводится аналогично понятию интегральной суммы для вещественнозначной функции.

Определение 9.7: Первообразная вектор функции.
Пусть $\Delta:=\Delta(a,b)$ числовой промежуток; $f(x),F(x)\colon\Delta\to\mathbb{R}^m$, тогда говорят, что вектор функция $F(x)$ является первообразной вектор функции $f(x)$, если

1. $F(x)\in{C}(\Delta)$
2. $\forall{x}\in(a,b)(\exists{F}'(x)=f(x))$

Утверждение 9.5: Пусть $E\subset\mathbb{R}$, $f(x)\colon{E}\to\mathbb{R}^m$, $x_0\in{E}$ тогда

1. Вектор функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда для любого $k\in\overline{1,m}$ функция $f_k(x)$ непрерывна в точке $x_0$.
2. Вектор функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда для любого $k\in\overline{1,m}$ функция $f_k(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, при этом $f'(x_0)=(f'_1(x_0),\ldots,f'_m(x_0))$.
3. 
   $\begin{gather} f(x)\in\mathcal{R}[a,b]\Leftrightarrow\forall{k}\in\overline{1,m}(f_k(x)\in\mathcal[a,b])\\ f(x)\in\mathcal{R}[a,b]\Rightarrow\int\limits_a^bf(x)\,dx=\left(\int\limits_a^bf_1(x)\,dx,\ldots,\int\limits_a^bf_m(x)\,dx\right). \end{gather}$
4. Если для любого $k\in\overline{1,m}$ функция $F_k(x)\colon{E}\to\mathbb{R}^m$ является первообразной для функции $f_k(x)$, то вектор функция $F(x)\colon{E}\to\mathbb{R}^m$ такая, что для любого $x\in{E}$ $F(x)=(F_1(x),\ldots,F_m(x))$ является первообразной для вектор функции $f(x)$.

Доказательство:

1. Если $x_0\in\mathring{E}$, то непрерывность равносильна существованию предела $\displaystyle\lim_{x\to{x}_0}f(x)=f(x_0)$ и утверждение следует из утверждения 9.4.
   Если $x_0\notin\mathring{E}$, то существует окрестность $U(x_0)$ такая, что $U_E(x_0)=\{x_0\}$. Эта окрестность, очевидно, реализует определение непрерывности функции $f(x)$. Вещественнозначные же функции $f_k(x)$ в изолированной точке всегда непрерывны.
2. Следует из определения 9.5 и утверждения 9.4
3. Доказывается аналогично утверждению 9.4 так как для любого $x=(x_1,\ldots,x_m)\in\mathbb{R}^m$ $k\in\overline{1,m}$ $|x_k|\leq\|x\|\leq|x_1|+\cdots+|x_m|$.
4. Следует из пунктов 1 и 2.

Таким образом многие результаты интегрального и дифференциального исчисления вещественнозначных функций переносятся на случай вектор функций практически без изменений, однако, для многих результатов это не так. Например, не имеют аналогов для вектор функций теоремы о среднем, так как на множестве $\mathbb{R}^m$ не определена операция умножения. Не работает так же теорема Лагранжа, если допустить, например, что для любого $k\in\overline{1,m}$ функция $f_k(x)$ удовлетворяет условиям теоремы, то для любого $k\in\overline{1,m}$ найдется $\xi_k\in[a,b]$ такое, что $f_k(b)-f_k(a)=f'(\xi_k)(b-a)$, однако, точки $\xi_k$ могут различаться между собой.

previous contents next