11.2 Непрерывные отображения.

11.2.1 Определение и локальные свойства.

Доказательство:
$\Rightarrow)$
Пусть $G_y\subset{Y}$ - открыто в $Y$, обозначим $G_x:=f^{-1}(G_y)$ тогда для любой точки $a\in{G}_x$ множество $G_y$ является окрестностью точки $f(a)$, следовательно, по непрерывности функции $f(x)$ для любой точки $a\in{G}_x$ существует окрестность $U_x(a)$ такая, что $f(U_x(a))\subset{G}_y$, следовательно, $U_x(a)\subset{f}^{-1}(G_y)=G_x$. Таким образом, для любого $a\in{G}_x$ существует окрестность $U_x(a)\subset{G}_x$, что означает, что $G_x$ открыто.
$\Leftarrow)$
Фиксируем точку $a\in{X}$. Тогда по условию для любой окрестности $V_y(f(a))$ точки $f(a)$ прообраз $f^{-1}(V_y(f(a)))$ будет открыт, то есть будет являтся некоторой окрестностью $U_x(a)$ точки $a$. Таким образом $$\forall{a}\in{G}_x(\forall{V}_y(f(a))\,\exists{U}_x(a):=f^{-1}(V_y(f(a)))\colon{f}(U_x(a))\subset{V}_y(f(a)))$$ реализовано определение непрерывности функции $f(x)$.

Следствие 11.2.1: Отображение $f(x):X\to{Y}$ метрического пространства $X$ в метрическое пространство $Y$ непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого замкнутого подмножества $Y$ замкнут в $X$.

Доказательство:
$\Rightarrow)$
По определению 11.1.4 множество $F_y\subset{Y}$ замкнуто в $Y$ тогда и только тогда, когда множество $G_y:=Y\backslash{F}_y$ открыто в $Y$. Так как $f^{-1}(F_y)=f^{-1}(Y\backslash{G}_y)=f^{-1}(Y)\backslash{f}^{-1}(G_y)=X\backslash{f}^{-1}(G_y)$, то прообраз множества $F_y$ будет замкнут тогда и только тогда, когда открыт прообраз открытого множества $G_y$. По теореме 11.2.1 последнее утверждение верно в силу непрерывности функции f(x).
$\Leftarrow)$
Для любого множества $G_y$ открытого в $Y$ множество $F_y:=Y\backslash{G}_y$ замкнуто в $Y$ и $f^{-1}(G_y)=X\backslash{f}^{-1}(F_y)$. Так как прообраз $f^{-1}(F_y)$ замкнутого множества $F_y$ по условию замкнут, то множество $f^{-1}(G_y)$ открыто, тогда по теореме 11.2.1 отображение $f(x)$ непрерывно.

Определение 11.2.3: Пусть $(X,\rho_x)$, $(Y,\rho_y)$ метрические пространства, тогда отображение $f(x)\colon{X}\to{Y}$ называется гомеоморфизмом пространств $X$ и $Y$, если

1. отображение $f(x)$ биективно,
2. $f(x)\in{C}(X,Y)$,
3. $f^{-1}(x)\in{C}(Y,X)$.

По критерию непрерывности гомеоморфные отображения сохраняют свойства открытости и замкнутости множеств.

Сформулируем и докажем общие локальные и глобальные свойства непрерывных отображений в метрических пространствах.

Утверждение 11.2.1: Общие локальные свойства непрерывных отображений.
Пусть $(X,\rho_x)$, $(Y,\rho_y)$, $(Z,\rho_z)$ метрические пространства. Функции $f(x)\colon{X}\to{Y}$, $g(y)\colon{Y}\to{Z}$ и точка $a\in{X}$ такие, что функция $f(x)$ непрерывна в точке $a$, функция $g(y)$ непрерывна в точке $f(a)$, тогда

1. композиция отображений $(g\circ{f})(x)\colon{X}\to{Z}$ непрерывна в точке $x=a$,
2. функция $f(x)$ локально ограничена при $x\to{a}$.

Доказательство:

1. Фиксируем окрестность $V(g(f(a)))\subset{Z}$, тогда по непрерывности функции $g(y)$ в точке $f(a)$ $$\exists{U}_y(f(a))\subset{Y}\colon(y\in{U}_y(f(a))\Rightarrow{g}(y)\in{V}(g(f(a))))$$ тогда по непрерывности функции $f(x)$ в точке $a$ $$\exists{U}(a)\subset{X}\colon(x\in{U}(a)\Rightarrow{f}(x)\in{U}_y(f(a))\Rightarrow{g}(f(x))\in{V}(g(f(a)))).$$ Таким образом реализовано определение непрерывности функции $g\circ{f}$ в точке $a$.
2. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по определению непрерывности функции $f(x)$ в точке $a$ существует окрестность $U(a)$ такая, что $f(U(a))\subset{B}(a,\varepsilon)$. Таким образом реализовано определение локальной ограниченности для функции $f(x)$ при $x\to{a}$.

11.2.2 Глобальные свойства непрерывных отображений.

Утверждение 11.2.2: Пусть $(X,\rho_x)$, $(Y,\rho_y)$ метрические пространства, $X$ компакт в метрическом пространстве $(X,\rho_x)$, фукнция $f(x)\colon{X}\to{Y}$ непрерывна, тогда множество $f(X)$ компакт в метрическом пространстве $(Y,\rho_y)$.

Доказательство: Фиксируем совокупность множеств $\{G_y^{\alpha}\subset{Y}\mid\alpha\in{I}\}$ такую, что $f(X)\subset\bigcup_{\alpha\in{I}}G_y^{\alpha}$ и для любого $\alpha\in{I}$ множество $G_y^{\alpha}$ открыто в $Y$. Тогда по критерию непрерывности для любого $\alpha\in{I}$ множество $G_x^{\alpha}:=f^{-1}(G_y^{\alpha})$ открыто в $X$ и $$X=f^{-1}(f(X))=f^{-1}\left(\bigcup_{\alpha\in{I}}G_y^{\alpha}\right)=\bigcup_{\alpha\in{I}}f^{-1}(G_y^{\alpha})=\bigcup_{\alpha\in{I}}G_x^{\alpha}$$ Таким образом совокупность множеств $\{G_x^{\alpha}\subset{X}\mid\alpha\in{I}\}$ является покрытием множества $X$ открытыми множествами. Так как множество $X$ компактно, то существуют $n\in\mathbb{N}$ и $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in{I}$ такие, что $$X\subset\bigcup_{i=1}^nG_x^{\alpha_i}\Rightarrow{f}(X)\subset{f}\left(\bigcup_{i=1}^nG_x^{\alpha_i}\right)=\bigcup_{i=1}^nf(G_x^{\alpha_i})= \bigcup_{i=1}^nG_y^{\alpha_i}$$ Таким образом из системы множеств $\{G_y^{\alpha}\subset{Y}\mid\alpha\in{I}\}$ выделена конечная подсистема $\{G_y^{\alpha_i}\subset{Y}\mid{i}\in\overline{1,n}\}$ покрывающая множество $f(X)$. То есть множество $f(X)$ компакт в $Y$.

Следствие 11.2.2: Пусть $(X,\rho_x)$ метрическое пространство, $X$ - компакт, отображение $f(x)\colon{X}\to\mathbb{R}$ непрерывно, тогда функция $f(x)$ ограничена и достигает на множестве $X$ своего минимума и максимума.

Доказательство: По утверждению 11.2.2 множество $f(X)$ компакт в $\mathbb{R}$, следовательно, оно ограничено и замкнуто (по утверждению 11.1.3). Так как для любого ограниченного числового множества $E$ $\inf{E}\in{E}\cup\mathring{E}$ и $\sup{E}\in{E}\cup\mathring{E}$, то по критерию замкнутости $\inf{f(X)}\in{f}(X)$ и $\sup{f(X)}\in{f}(X)$, то есть $$\exists{x}_m\in{X}\colon{f}(x_m)=\inf{f}(X)=\min{f(X)}\wedge\exists{x}_M\in{X}\colon{f}(x_M)=\sup{f(X)}=\max{f(X)}$$

Данное утверждение является обобщением теоремы Вейерштрасса об экстремальном значении, в которую оно превращается если положить $(X,\rho)=\mathbb{R}$.

Определение 11.2.4: Пусть $(X,\rho_x)$, $(Y,\rho_y)$ метрические пространства, тогда говорят, что отображение $f(x)\colon{X}\to{Y}$ равномерно непрерывно, если $$\forall\varepsilon>0\,\exists\delta=\delta(\varepsilon)>0\colon\forall{x}_1,x_2\in{X}(\rho_x(x_1,x_2)<\delta\Rightarrow \rho_y(f(x_1),f(x_2))<\varepsilon).$$

Утверждение 11.2.3: Обобщение теоремы Кантора о равномерной непрерывности.
Если $(X,\rho_x)$, $(Y,\rho_y)$ метрические пространства, $X$ - компакт и отображение $f(x)\colon{X}\to{Y}$ непрерывно, то отображение $f(x)$ равномерно непрерывно.

Доказательство: Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по непрерывности $f(x)$ $$\forall{x}\in{X}\,\exists\delta(\varepsilon,\delta)\colon\forall{x}^*\in{X}\left(\rho_x(x,x^*)<\delta(\varepsilon,x)\Rightarrow \rho(f(x),f(x^*))<\frac{\varepsilon}{2}\right)\qquad(1)$$ Рассмотрим множество шаров $S:=\left\{B\left(x,\frac{\delta(\varepsilon,x)}{2}\right)\mid{x}\in{X}\right\}$. Система $S$ покрывает множество $X$ и для любого $x\in{X}$ множество $B\left(x,\frac{\delta(\varepsilon,x)}{2}\right)$ открыто в $X$, тогда по определению компактности существует конечная подсистема из $S$ покрывающая $X$, то есть $$\exists{n}\in\mathbb{N}\,\exists{x}_1,\ldots,x_n\in{X}\colon{X}\subset\bigcup_{k=1}^nB\left(x_k,\frac{\delta(\varepsilon,x_k)}{2}\right)$$ Положим $\displaystyle\delta(\varepsilon):=\min_{k\in\overline{1,n}}\frac{\delta(\varepsilon,x_k)}{2}$ и фиксируем $x',x''\in{X}$ такие, что $\rho_x(x',x'')<\delta(\varepsilon)$, тогда $$x'\in{X}\Rightarrow\exists{k}\in\overline{1,n}\colon{x}'\in{B}\left(x_k,\frac{\delta(\varepsilon,x_k)}{2}\right)\Rightarrow \rho_x(x',x_k)<\frac{\delta(\varepsilon,x_k)}{2}$$ Оценим теперь расстояние от $x''$ до $x_k$ $$\rho_x(x',x'')<\delta(\varepsilon)\Rightarrow\rho_x(x'',x_k)\leq\rho(x',x'')+\rho_x(x',x_k)<\delta(\varepsilon)+\frac{\delta(\varepsilon,x_k)}{2}\leq \frac{\delta(\varepsilon,x_k)}{2}+\frac{\delta(\varepsilon,x_k)}{2}=\delta(\varepsilon,x_k)$$ Тогда по неравенству (1) справедливому для всех $x\in{X}$, a, следовательно, и для $x_k$ $$(\rho_x(x',x_k)<\delta(\varepsilon,x_k)\wedge\rho_x(x'',x_k)<\delta(\varepsilon,x_k))\Rightarrow \left(\rho_y(f(x'),f(x_k))<\frac{\varepsilon}{2}\wedge\rho_y(f(x''),f(x_k))<\frac{\varepsilon}{2}\right)\Rightarrow \rho_y(f(x'),f(x''))\leq\rho_y(f(x'),f(x_k))+\rho_y(f(x''),f(x_k))<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$$ Таким образом $$\forall{x}',x''\in{X}(\rho_x(x',x'')<\delta(\varepsilon)\Rightarrow\rho_y(f(x'),f(x''))<\varepsilon)$$ то есть для функции $f(x)$ реализовано определение равномерной непрерывности.

previous contents next