previous contents next

12. ФУНКЦИИ МНОГИХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.

12.1 Предел функции многих вещественных переменных.

12.1.1 Определение и общие свойства.

Пусть $m,n\in\mathbb{N}$, $E\subset\mathbb{R}^n$. Далее везде в рамках этой главы будем рассматривать функцию $f(x)\colon{E}\to\mathbb{R}^m$, где $x:=(x_1,\ldots,x_n)$, $f(x):=(f_1(x),\ldots,f_m(x))$, для любого $k\in\overline{1,m}$ $f_k(x)\colon{E}\to\mathbb{R}$.
Множество $\mathbb{R}^n$ с введенной на нем функцией расстояния $\rho(x,y)\colon\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ такой, что для любых $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$, $y=(y_1,\ldots,y_n)\in\mathbb{R}^n$ $\rho(x,y):=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$ является

  1. метрическим пространством,
  2. векторным пространством над $\mathbb{R}$,
  3. нормированным пространством при $\|x\|:=\rho(x,0)=\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}$,
  4. Евклидовым пространством со скалярным произведением $(x,y):=(x_1y_1,\ldots,x_ny_n)$,
  5. если $n=1$, то Евклидово пространство линейно упорядочено.
Поскольку для любого $n\in\mathbb{N}$ $(\mathbb{R}^n,\rho)$ метрическое пространство, то для функции $f(x)\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ можно ввести определение предела, как частный случай определения предела функции для абстрактных метрических пространств.

Определение 12.1.1: Пусть $E\subset\mathbb{R}^n$, $a\in\mathring{E}$, $A\in\mathbb{R}^m$, тогда говорят, что функция $f(x)\colon{E}\to\mathbb{R}^m$ имеет предел равный $A$ при $x$ стремящимся к $a$, если для любой окрестности $V(A)$ существует окрестность $U(a)$ такая, что $f(\mathring{U}_E(a))\subset{V}(A)$, то есть $$\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Leftrightarrow\forall{V}(A)\,\exists{U}(a)\colon(x\in\mathring{U}_E(a)\Rightarrow{f}(x)\in{V}(A))$$ или $$\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\,\exists\delta>0\colon(\|x-a\|<\delta\Rightarrow\|f(x)-A\|<\varepsilon)$$

Первая формулировка (на "языке окрестностей") допускает рассмотрение предела при $x\to\infty$. В данном случае окрестностью можно считать внешность любого замкнутого шара с центром в точке 0 радиуса $r\geq0$, то есть $U(\infty):=\{x\in\mathbb{R}^n\mid\|x\|>{r}\}$

Пример 12.1.1: Докажем, что для функции $f(x,y)\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ такой, что для любого $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ $f(x,y)=x+y$ $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0$.
Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда из неравенства $2xy\leq{x}^2+y^2$ справедливого для любых $x,y\in\mathbb{R}$ следует $$\exists\delta:=\frac{\varepsilon}{\sqrt2}>0\colon\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\left(\|(x,y)-(0,0)\|=\sqrt{x^2+y^2}<\delta\Rightarrow {x}^2+y^2<\delta^2\Rightarrow(x+y)^2=x^2+y^2+2xy\leq2(x^2+y^2)<2\delta^2\Rightarrow|x+y|=\sqrt{(x+y)^2}<\delta\sqrt2=\varepsilon\right)$$

Утверждение 12.1.1: Критерии существования предела.
Пусть $E\subset\mathbb{R}^n$, $a\in\mathring{E}$, $A=(A_1,\ldots,A_m)\in\mathbb{R}^m$, $f(x)\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ тогда справедливы следующие утверждения.

  1. Покоординатный критерий. $$\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Leftrightarrow\forall{i}\in\overline{1,m}\left(\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f_i(x)=A_i\right)$$
  2. Критерий Коши. $$\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\,\exists{U}(a)\colon\forall{x}',x''\in{E}(x',x''\in\mathring{U}(a)\Rightarrow \|f(x')-f(x'')\|<\varepsilon)$$
  3. Критерий по Гейне.
    Предел $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A$ существует тогда и только тогда, когда для любой последовательности $\{x^{(k)}\}$ из $E\backslash\{a\}$ сходящейся к $a$ существует предел $\displaystyle\lim_{k\to\infty}f(x^{(k)})=A$.

Доказательство:

  1. Следует из неравенства $$\forall{k}\in\overline{1,m}\,\forall{x}\in{E}\left(|f_k(x)-A_k|\leq\|f(x)-A\|\leq\sqrt{n}\max_{1\leq{i}\leq{m}}|f_i(x)-A_i|\right)$$
  2. Для любого $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ и для любого $k\in\overline{1,n}$ справедливо неравенство $\displaystyle|x_k|\leq\|x\|\leq\sqrt{n}\max_{1\leq{i}\leq{n}}x_i$, поэтому последовательность $\{x^{(k)}\}=\{x_1^{(k)},\ldots,x_n^{(k)}\}$ из $\mathbb{R}^n$ фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальны последовательности ее координат $\{x_i^{(k)}\}$ для любого $i\in\overline{1,n}$. Значит утверждение следует из критерия Коши существования предела числовых функций и пункта 1.
  3. Следует из критерия существования числовой функции по Гейне и пункта 1.
    4.


Утверждение 12.1.2: Общие свойства предела.
Пусть $E\subset\mathbb{R}^n$, $a\in\mathring{E}$, $A\in\mathbb{R}^m$; $f(x),g(x)\colon{E}\to\mathbb{R}^m$, тогда

  1. Единственность предела. $$(\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A^{(1)}\wedge\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A^{(2)})\Rightarrow{A}^{(1)}=A^{(2)}$$
  2. Локальная ограниченность.
    Если существует предел $\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A$, то существует окрестность $U(a)$ такая, что множество $f(\mathring{U}_E(a))$ ограничено.
  3. Линейность. $$\left(\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\wedge\exists\lim_{E\ni{a}\to{a}}g(x)=B\right)\Rightarrow \forall{\alpha},\beta\in\mathbb{R}\left(\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}(\alpha{f}(x)+\beta{g}(x))=\alpha{A}+\beta{B}\right)$$

Доказательство:

  1. $$\left(\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A^{(1)}\wedge\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A^{(2)}\right)\Leftrightarrow \forall{i}\in\overline{1,m}\left(\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f_i(x)=A_i^{(1)}\wedge\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f_i(x)=A_i^{(2)}\right)\Leftrightarrow \forall{i}\in\overline{1,m}(A_i^{(1)}=A_i^{(2)})\Leftrightarrow{A}^{(1)}=A^{(2)}$$
  2. Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по определению предела существует $U(a)$ такое, что $f(\mathring{U}_E(a))\subset{B}(A,\varepsilon)$. То есть множество $f(\mathring{U}_E(a))$ ограничено.
  3. Фиксируем $\varepsilon>0$.
    Если $\alpha=\beta=0$ доказательство тривиально, иначе обозначим $M:=\max\{|\alpha|,|\beta|\}>0$. Тогда по определению предела $$\exists{U}'(a)\colon\forall{x}\in\mathring{U}'_E(a)\left(\|f(x)-A\|<\frac{\varepsilon}{2M}\right)$$ $$\exists{U}''(a)\colon\forall{x}\in\mathring{U}''_E(a)\left(\|g(x)-A\|<\frac{\varepsilon}{2M}\right)$$ следовательно $$\exists{U}(a):=U'(a)\cap{U}''(a)\colon\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(\|\alpha{f}(x)+\beta{g}(x)-(\alpha{A}+\beta{B})\|\leq |\alpha|\|f(x)-A\|+|\beta|\|g(x)-B\|)\leq{M}2\frac{\varepsilon}{2M}=\varepsilon.$$
12.1.2 Свойства предела вещественнозначной функции.

Утверждение 12.1.3 Пусть $E\subset\mathbb{R}^n$, $a\in\mathring{E}$; $A,B\in\mathbb{R}$; $f(x),g(x)\colon{E}\to\mathbb{R}$, такие, что существуют пределы $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A$, $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}g(x)=B$, тогда

  2. предельный переход и неравенства:
  3. теорема о двух милиционерах
    $$(A=B\wedge\exists{U}(a)\colon\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(f(x)\leq{h}(x)\leq{g}(x)))\Rightarrow\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}h(x)=A$$

Доказательство: Следует из утверждения 12.1.2 и соответствующих свойств предела функции одной переменной.

Если $E\subset\mathbb{R}^2$ функция $f(x,y)\colon{E}\to\mathbb{R}$, $a=(x_0,y_0)\in\mathring{E}$ такие, что при любом фиксированном $x\in\mathbb{R}$ существует предел $\displaystyle\lim_{y\to{y}_0}f(x,y)$ и при любом фиксированном $y\in\mathbb{R}$ существует предел $\displaystyle\lim_{x\to{x}_0}f(x,y)$, то можно ввести понятие повторных пределов $\displaystyle\lim_{x\to{x}_0}\left(\lim_{y\to{y}_0}f(x,y)\right)$, $\displaystyle\lim_{y\to{y}_0}\left(\lim_{x\to{x}_0}f(x,y)\right)$. Рассмотрим на примерах, как связан факт существования повторных пределов с фактом существования предела $\displaystyle\lim_{(x,y)\to{a}}f(x,y)$.

Пример 12.1.2: Рассмотрим функцию $\displaystyle{f}(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2}&,x^2+y^2\neq0\\ \quad0&,x=y=0\end{cases}\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, и точку $a=(0,0)$.
Зафиксируем $k\in\mathbb{R}$ и рассмотрим множество $E_k:=\{(x,xk)\mid{x}\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^2$. Точка $a$ является предельной для множества $E_k$, значит можно рассматривать предел функции $f(x,y)$ при $(x,y)\to{a}$ по множеству $E_k$, тогда $$\exists\lim_{E_k\ni(x,y)\to{a}}\frac{xy}{x^2+y^2}=\lim_{x\to0}\frac{kx^2}{(k^2+1)x^2}=\frac{k}{k^2+1}$$ То есть предел функции $f(x,y)$ при $x\to{a}$ по множеству $E_1$ равен $\frac12$, а по множеству $E_2$ равен $\frac25$, следовательно, предела функции $f(x,y)$ при $x\to{a}$ по $\mathbb{R}^2$ не существует, так как в случае существования предела по множеству значение предела по любому его подмножеству должно быть равно значению предела по всему множеству.
С другой стороны, оба повторных предела в данном случае существуют и равны 0.

Пример 12.1.3: Рассмотрим функцию $\displaystyle{f}(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}&,x^2+y^2=0\\ \quad0&,x=y=0\end{cases}\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ и точку $a=(0,0)$.
Аналогично предыдущему примеру предела функции $f(x,y)$ при $(x,y)\to{a}$ по $\mathbb{R}^2$ не существует, так как предел $$\lim_{E_k\ni{x}\to{a}}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\lim_{x\to0}\frac{x^2-k^2x^2}{x^2+k^2x^2}=\frac{1-k^2}{1+k^2}$$ зависит от значения $k$. Повторные пределы при этом существуют и принимают разные значения. $$\lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=\lim_{x\to0}1=1,\lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)= \lim_{y\to0}(-1)=-1.$$

Пример 12.1.4: Рассмотрим функцию $\displaystyle{f}(x,y)=\begin{cases}x+y\sin\frac1{x}&,x\neq0\\ \quad0&,x=0\end{cases}\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ и точку $a=(0,0)$.
Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда, так как для любого $x\in\mathbb{R}$ $|\sin{x}|\neq1$, то $$\exists\delta:=\frac{\varepsilon}{\sqrt2}\colon\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2\left(\sqrt{x^2+y^2}<\delta\Rightarrow{x}^2+y^2<\delta^2\Rightarrow \left(x+y\sin\frac1{x}\right)^2\leq2(x^2+y^2)<2\delta^2\Rightarrow\left|x+y\sin\frac1{x}\right|<\delta\sqrt2=\varepsilon\right)$$ То есть существует предел $\displaystyle\lim_{(x,y)\to{a}}f(x,y)=0$. При этом один из повторных пределов существует $\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}\left(x+y\sin\frac1{x}\right)\right)=\lim_{x\to0}x=0$, а другой не существует, так как не существует предела функции $\sin\frac1{x}$ при $x\to0$.

Таким образом из существования предела функции в точке не следует существования повторных пределов в этой точке, и наоборот, из существования повторных пределов не следует существования предела по совокупности переменных.

Пример 12.1.5: Рассмотрим функцию $\displaystyle{f}(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2y}{x^4+y^2}&,x^2+y^2\neq0\\ \quad0&,x=y=0\end{cases}\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ и точку $a=(0,0)$.
Для любого $k\in\mathbb{R}$ существует предел функции $f(x,y)$ при $(x,y)\to{a}$ по множеству $E_k$ равный 0 $$\lim_{E_k\ni(x,y)\to{a}}\frac{x^2y}{x^4+y^2}=\lim_{x\to0}\frac{kx^3}{x^4+k^2x^2}=\lim_{x\to0}\frac{kx}{x^2+k^2}=0$$ Однако, по множеству $S:=\{(x,x^2)\mid{x}\in\mathbb{R}\}\subset{R}^2$ предел существует и равен $\frac12$: $\displaystyle\lim_{S\ni(x,y)\to{a}}\frac{x^2y}{x^4+y^2}=\lim_{x\to0}\frac{x^4}{2x^4}=\frac12$.
Таким образом предела функции $f(x,y)$ при $x\to{a}$ по $\mathbb{R}^2$ не существует.

Пример 12.1.6: Рассмотрим функцию $\displaystyle{f}(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2y}{x^2+y^2}&,x^2+y^2=0\\ \quad0&,x=y=0\end{cases}\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ и точку $a=(0,0)$.
Так как $$\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|=\left|\frac{x}{2}\frac{2xy}{x^2+y^2}\right|\leq\frac{|x|}{2}\Rightarrow -\frac{|x|}{2}\leq\frac{x^2y}{x^2+y^2}\leq\frac{|x|}{2}$$ то по теореме о двух милиционерах существует предел $\lim_{(x,y)\to{a}}f(x,y)$ и $$0=\lim_{(x,y)\to{a}}\left(-\frac{|x|}{2}\right)\leq\lim_{(x,y)\to{a}}f(x,y)\leq\lim_{(x,y)\to{a}}\frac{|x|}{2}=0\Rightarrow \lim_{(x,y)\to{a}}f(x,y)=0$$

Пример 12.1.7: Рассмотрим функцию $\displaystyle{f}(x,y)=\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}:\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}\to\mathbb{R}$ при $(x,y)\to\infty$.
Для любых $x,y\in\mathbb{R}$ существуют $r,\alpha\in\mathbb{R}$ такие, что $x=r\cos{\alpha}$, $y=r\sin{\alpha}$. В этом можно убедится разрешив относительно $r$ и $\alpha$ систему уравнений $\begin{cases}x=r\cos{\alpha}\\y=r\sin{\alpha}\end{cases}$. Тогда $$|\cos{\alpha}\sin{\alpha}|=\left|\frac{\sin{2\alpha}}{2}\right|\leq\frac12\Rightarrow0\leq|f(x,y)|= \left|\frac{\cos{\alpha}+\sin{\alpha}}{r(1-\cos{\alpha}\sin{\alpha})}\right|<\frac{2}{|r|\frac12}=\frac4{|r|}\Rightarrow -\frac4{|r|}\leq\lim_{(x,y)\to\infty}f(x,y)\leq\frac4{|r|}\Rightarrow\lim_{(x,y)\to\infty}f(x,y)=0$$ Последняя импликация следует из теоремы о двух милиционерах, так как $(x,y)\to\infty$ тогда и только тогда, когда $r=\sqrt{x^2+y^2}\to\infty$.

previous contents next