8.4 Основные методы вычисления определенного интеграла Римана.

8.4.1 Интеграл и первообразная.

Здесь и далее если $h<0$, то под выражением "$\forall{x}\in[t,t+h]$" следует понимать "$\forall{x}\in[t+h,t]$"

Утверждение 8.4.1: Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ интегрируема на отрезке $[a,b]$ непрерывна в точке $t\in(a,b)$, тогда существует производная $F'(t):=\left(\int\limits_a^xf(s)ds\right)'_{x=t}=f(t)$.

Доказательство: Фиксируем $\varepsilon>0$. Функция $f(x)$ непрерывна в точке $t$, значит $$\exists\delta_1>0:\forall{x}\in[a,b](|x-t|<\delta_1\Rightarrow|f(x)-f(t)|<\varepsilon)$$ Обозначим $\delta_2=\min\{t-a,b-t\}$, $\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\}$, тогда для любого $h\in\mathbb{R}$ такого, что $0<|h|<\delta$ $t+h\in[a,b]$. Фиксируем $h\in\mathbb{R}$ такое, что $0<|h|<\delta$, тогда $$\left|\frac{F(t+h)-F(t)}{h}-f(t)\right|=\left|\frac1{h}\left(\int\limits_a^{t+h}f(x)dx-\int\limits_a^tf(x)dx-f(t)h\right)\right|= \left|\frac1{h}\left(\int\limits_t^{t+h}f(x)dx-\int\limits_t^{t+h}f(t)dx\right)\right|=\left|\frac1{h}\int\limits_t^{t+h}(f(x)-f(t))dx\right|\leq \left|\frac1{h}\int\limits_t^{t+h}|f(x)-f(t)|dx\right|$$ и так как $$|h|<\delta\Rightarrow\forall{x}\in[t,t+h](|x-t|<\delta_1)\Rightarrow\forall{x}\in[t,t+h](|f(x)-f(t)|<\varepsilon)$$ то $$\forall{h}\in\mathbb{R}\left(0<|h|<\delta\Rightarrow\left|\frac{F(t+h)-F(t)}{h}-f(t)\right|\leq \left|\frac1{h}\int\limits_t^{t+h}|f(x)-f(t)|dx\right|<\left|\frac1{h}\int\limits_t^{t+h}\varepsilon{d}x\right|= \left|\frac1{h}\varepsilon{h}\right|=\varepsilon\right)\Rightarrow{F}'(t)=\lim_{h\to0}\frac{F(t+h)-F(t)}{h}=f(t)$$

Следствие 8.4.1: Если $t=a$ ($t=b$), то можно сформулировать утверждение аналогичное утверждению 8.4.1 с заменой $F'$ на $F'_+$ ($F'_-$). Например, если $f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$ и $f(x)$ непрерывана в точке $a$, тогда существует производная $F'_+(a):=\left(\int\limits_a^xf(s)ds\right)'=f(a)$.

Доказательство: Фиксируем $\varepsilon>0$. Функция непрерывна в точке $a$, значит $$\exists\delta_1>0:\forall{x}\in[a,b](|x-a|<\delta_1\Rightarrow|f(x)-f(a)|<\varepsilon)$$ Положим $\delta:=\min\{\delta_1,b-a\}$, тогда для любого $h\in\mathbb{R}$ такого, что $0<h<\delta$ $a+h\in[a,b]$. Тогда аналогично доказательству утверждения 8.4.1, при $t=a$ и, следовательно, $F(t)=F(a)=0$, для любого $0<h<\delta$ получим оценку $\left|\frac{F(a+h)}{h}-f(a)\right|<\varepsilon$, что означает существование производной $F'_+(a)=\lim_{h\to0+}\frac{F(a+h)}{h}=f(a)$.

Следствие 8.4.2: Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ интегрируема на отрезке $[a,b]$ и непрерывна в точке $t\in[a,b]$, тогда существует производная $\left(\int\limits_x^bf(s)ds\right)'_x=t=-f(t)$.

Доказательство: $\left(\int\limits_x^bf(s)ds\right)'_{x=t}=\left(\int\limits_a^bf(s)ds-\int\limits_a^xf(s)ds\right)'_{x=t}=\left(-\int\limits_a^xf(s)ds\right)'_{x=t}=-f(t)$.

Задача 8.4.1 Доказать, что если $\alpha,\beta\in\overline{\mathbb{R}}$ и функции $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ $p(x),q(x):(\alpha,\beta)\to[a,b]$ такие, что

1. $f(x)\in{C}[a,b]$,


2. $\forall{x}\in(\alpha,\beta)(\exists{p}'(x)\wedge\exists{q}'(x))$,


3. $F(x):=\int\limits_{p(x)}^{q(x)}f(s)ds:(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}$,

Решение: Так как для любого $x\in(\alpha,\beta)$ $$\int\limits_{p(x)}^{q(x)}f(s)ds=\int\limits_a^{q(x)}f(s)ds-\int\limits_a^{p(x)}f(s)ds$$ то достаточно доказать, что что для любого $x\in(\alpha,\beta)$ существует производная $\left(\int\limits_a^{q(x)}f(s)ds\right)'$ равная $f(q(x))q'(x)$.
Обозначим $G(x):=\int\limits_a^{q(x)}f(s)ds$. Фиксируем $t\in(\alpha,\beta)$ такое, что $q(t)\notin\{a,b\}$, тогда по утверждению 8.4.1 и теореме о производной композиции $G'(t)=\left(\int\limits_a^{q(s)}f(s)ds\right)'_{x=t}=\left(\int\limits_a^yf(s)ds\right)'_{y=q(t)}q'(t)=f(q(t))q'(t)$.
Если $q(t)=a$, фиксируем $\varepsilon>0$, тогда $$\exists{q}'(t)\Rightarrow\exists\delta_1>0:\forall{h}>0\left(h<\delta_1\Rightarrow\left|\frac{q(t+h)-a}{h}-q'(t)\right|<\varepsilon\Rightarrow \left|\frac{q(t+h)-a}{h}\right|<|q'(t)|+\varepsilon\right)\quad(*)$$ По непрерывности функции $f(x)$ $$\exists\delta_2>0:\left(|y-a|<\delta_2\Rightarrow|f(y)-f(a)|<\frac{\varepsilon}{|q'(t)|+\varepsilon}\right)$$ По непрерывности функции $q(x)$ (из дифференцируемости следует непрерывность) $$\exists\delta_3<0:\left(|x-t|<\delta_3\Rightarrow|q(x)-a|<\delta_2\Rightarrow |f(q(x))-f(a)|<\frac{\varepsilon}{|q'(x)|+\varepsilon}\right)\quad(**)$$ Обозначим $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,t-\alpha,\beta-t\}$, тогда для любого $h\in\mathbb{R}$ такого, что $0<|h|<\delta$ $t+h\in(\alpha,\beta)$ и $q(t+h)\in[a,b]$, фиксируем $h\in\mathbb{R}$ такое, что $0<|h|<\delta$ тогда $$\left|\frac{G(t+h)-G(t)}{h}-f(t)\frac{q(t+h)-q(t)}{h}\right|=\left|\frac1{h}\int\limits_a^{q(t+h)}f(x)dx-f(a)(q(t+h)-a)\right|= \left|\frac1{h}\int\limits_a^{q(t+h)}f(x)dx-\int\limits_a^{q(t+h)}f(a)dx\right|=\left|\frac1{h}\int\limits_a^{q(t+h)}\int\limits(f(x)-f(a))dx\right|\leq$$ $$\leq\left|\frac1{h}\int\limits_a^{q(t+h)}|f(x)-f(a)|dx\right|<^{(**)}\left|\frac1{h}\frac{\varepsilon}{|q'(t)|+\varepsilon}(q(t+h)-a)\right|\leq \left|\frac{q(t+h)-a}{h}\right|\frac{\varepsilon}{|q'(t)|+\varepsilon}<^{(*)}\varepsilon\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\lim_{h\to0}\left(\frac{G(t+h)-G(t)}{h}-f(a)\frac{q(t+h)-q(t)}{h}\right)=0\Rightarrow{G}'(t)=\lim_{h\to0}\frac{G(t+h)-G(t)}{h}= f(a)\lim_{h\to0}\frac{q(t+h)-q(t)}{h}=f(a)q'(t)$$ Случай $q(t)=b$ доказывается аналогично.

Теорема 8.4.1: Теорема о существовании первообразной непрерывной функции.
Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, то она имеет первообразную на этом отрезке, и $\int{f}(x)dx=F(x):=\int\limits_a^xf(t)dt$.

Доказательство: По утверждению 8.3.1 функция $F(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и по утверждению 8.4.1 для любого $x\in(a,b)$ $F'(x)=f(x)$, следовательно, функция $F(x)$ первообразная функции $f(x)$.

Определение 8.4.1: Пусть $a,b\in\overline{\mathbb{R}}$ такие, что $a<b$, $\Delta:=\Delta(a,b)$, тогда функция $F(x):\Delta\to\mathbb{R}$ называется обобщенной первообразной функции $f(x):\Delta\to\mathbb{R}$, если

1. $F(x)\in{C}(\Delta)$,
2. $\exists\Delta_0\subset\Delta:(card\Delta_0<card\mathbb{N}\wedge\forall{x}\in\Delta\backslash\Delta_0(F'(x)=f(x)))$

Утверждение 8.4.2: Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ ограничена и имеет конечное число точек разрыва, то

1. функция $F(x):=\int\limits_a^xf(t)dt$ является обобщенной первообразной для функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$,
2. если функция $G(x)$ другая обобщенная первообразная функции $f(x)$, то существует $C\in\mathbb{R}$ такое, что $G(x)=F(x)+C$.

Доказательство: Так как функция $f(x)$ имеет конечное число точек разрыва, то $f(x)\in\mathcal{R}[a,b]$, следовательно, $F(x)\in{C}[a,b]$ и для любого $x\in(a,b)$ такого, что $f(x)$ непрерывна в $x$ выполняется $F'(x)=f(x)$. Таким образом для функции $F(x)$ реализовано определение обобщенной первообразной функции $f(x)$, где в качестве множества $\Delta_0$ можно взять множество точек разрыва функции $f(x)$.
Если функция $G(x)$ другая обобщенная первообразная функции $f(x)$, то $G(x)\in{C}[a,b]$ и существует конечное множество $\Delta_1$ такое, что для любого $x\in(a,b)\backslash\Delta_1$ $G'(x)=f(x)$. Точки множеств $\Delta_0$ и $\Delta_1$ разбивают отрезок $[a,b]$ на конечное число отрезков, на каждом из которых $G'(x)\equiv{F}'(x)$, тогда для каждого из таких отрезков существует $C_i\in\mathbb{R}$ такое, что $F(x)-G(x)\equiv{C}_i$, причем по непрерывности функции $F(x)-G(x)$ все константы $C_i$ равны между собой. Таким образом существует $C\in\mathbb{R}$ такое, что для любого $x\in[a,b]\backslash(\Delta_0\cup\Delta_1)$ $F(x)-G(x)=C$. И для любого $s\in\Delta_0\cup\Delta_1$ $$\lim_{x\to{s}+}(F(x)-G(x))=\lim_{x\to{s}-}(F(x)-G(x))=C\Rightarrow\lim_{x\to{s}}(F(x)-G(x))=C$$ $$(\lim_{x\to{s}}(F(x)-G(x))=C\wedge{F}(x)-G(x)\in{C}[a,b])\Rightarrow{F}(s)-G(s)=C\Rightarrow{F}(x)-G(x)\equiv{C}$$

Утверждение 8.4.3: Формула Ньютона - Лейбница.
Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ ограничена и имеет конечное число точек разрыва, то для любой ее обобщенной первообразной $G(x)$ верно $$\int\limits_a^bf(x)dx=\left.G(x)\right|_a^b:=G(b)-G(a)$$

Доказательство: По утверждению 8.4.2 существует $C\in\mathbb{R}$ такое, что $G(x)={F}(x)+C=\int\limits_a^xf(t)dt+C$, тогда $$G(b)-G(a)=\int\limits_a^bf(x)dx+C-\int\limits_a^af(x)dx-C=\int\limits_a^bf(x)dx$$

Следствие 8.4.3: Интегрирование по частям.
Если функции $u(x),v(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ такие, что $u(x),v(x)\in{C}'[a,b]$ $(\sim{u}'(x),v'(x)\in{C}[a,b])$, тогда $$\int\limits_a^bu(x)v'(x)dx=\left.(u(x)v(x))\right|_a^b-\int\limits_a^bu'(x)v(x)dx$$

Доказательство: Так как $$u'(x),v'(x)\in{C}[a,b]\Rightarrow{u}(x)v(x),u'(x)v(x),u(x)v'(x)\in{C}[a,b]\Rightarrow{u}(x)v(x),u'(x)v(x),u(x)v'(x)\in\mathcal{R}[a,b]$$ то $$(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\Rightarrow\int\limits_a^b(u(x)v(x))'dx=\int\limits_a^bu'(x)v(x)dx+\int\limits_a^bu(x)v'(x)dx.$$ Функция $u(x)v(x)$ является первообразной для функции $(f(x)g(x))'$, следовательно, по утверждению 8.4.2 $$\int\limits_a^b(u(x)v(x))'dx=\left.(u(x)v(x))\right|_a^b\Rightarrow\int\limits_a^bu(x)v'(x)dx=\left.(u(x)v(x))\right|_a^b-\int\limits_a^bu'(x)v(x)dx.$$

Следствие 8.4.4: Формула Тэйлора с остаточным членом в интегральной форме.
$$f(t)\in{C}^{(n)}[a,x]\Rightarrow{f}(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{k!}f^{(k)}(a)(x-a)^k\right)+\frac1{(n-1)!}\int\limits_a^xf^{(n)}(t)(x-t)^{n-1}dt$$

Доказательство: Докажем индукцией по $n$.
При $n=1$. $$\frac1{0!}f(a)+\frac1{0!}\int\limits_a^xf'(t)dt=f(a)+\left.f(t)\right|_a^x=f(a)+f(x)-f(a)=f(x)$$ Пусть равенство верно при $n=m$. $$f(x)=\sum_{k=0}^{m-1}\left(\frac1{k!}f^{(k)}(a)(x-a)^k\right)+\frac1{(m-1)!}\int\limits_a^xf^{(m)}(t)(x-t)^{m-1}dt$$ Докажем, что оно верно при $n=m+1$. Повысим на единицу степень при множителе $x-t$ в остаточном члене. Воспользуемся для этого формулой интегрирования по частям. $$\frac1{(m-1)!}\int\limits_a^xf^{(m)}(t)(x-t)^{m-1}dt=-\frac1{m!}\int\limits_a^xf^{(m)}(t)((x-t)^m)'_tdt= -\frac1{m!}\left.\left(f^{(m)}(t)(x-t)^m\right)\right|_a^x+\frac1{m!}\int\limits_a^xf^{(m+1)}(t)(x-t)^mdt=$$ $$=\frac1{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m+\frac1{m!}\int\limits_a^xf^{(m+1)}(t)(x-t)^mdt$$ Таким образом $$f(x)=\sum_{k=0}^{m-1}\left(\frac1{m!}f^{(k)}(a)(x-a)^k\right)+\frac1{(m-1)!}\int\limits_a^xf^{(m)}(t)(x-t)^{m-1}dt= \sum_{k=0}^{m-1}\left(\frac1{k!}f^{(k)}(a)(x-a)^k\right)+\frac1{m!}f^{(m)}(a)(x-a)^m+\frac1{m!}\int\limits_a^xf^{(m+1)}(t)(x-t)^mdt=$$ $$=\sum_{k=0}^m\left(\frac1{k!}f^{(k)}(a)(x-a)^k\right)+\frac1{m!}\int\limits_a^xf^{(m+1)}(t)(x-t)^mdt$$

previous contents next