6.4 Основные теоремы дифференциального исчисления.

6.4.1 Лемма Ферма.

Определение 6.4.1: Будем говорить, что функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ имеет в точке $x_0\in{E}$ локальный

1.	минимум если	$\exists{U}(x_0):\forall{x}\in{U}_E(x_0)(f(x)\geq{f}(x_0))$
2.	строгий минимум если	$\exists{U}(x_0):\forall{x}\in{U}_E(x_0)(f(x)>f(x_0))$
3.	максимум если	$\exists{U}(x_0):\forall{x}\in{U}_E(x_0)(f(x)\leq{f}(x_0))$
4.	строгий максимум если	$\exists{U}(x_0):\forall{x}\in{U}_E(x_0)(f(x)<f(x_0))$

Если для точки $x_0$ выполнено одно из условий, то она называется точкой локального экстремума функции $f(x)$, а значение $f(x_0)$ локальным экстремумом. Если выполнено условие 2 или 4, то точка $x_0$ называется точкой строгого локального экстремума.

Определение 6.4.2 Если точка $x$ точка локального экстремума функции $f(x):E\to\mathbb{R}$ и $x\in\mathring{E}{}^-_x\cap\mathring{E}^+_x$ то принято говорить, что $x$ точка внутреннего локального экстремума функции $f(x)$.

Пример 6.4.1: Рассмотрим функцию $f(x):[-1,3]\to\mathbb{R}$ такую, что $f(x)=\begin{cases}x^2, & -1\leq{x}\leq2\\4, & 2<x\leq3\end{cases}$.

• $x=-1$ - точка строгого локального максимума,
• $x=0$ - точка строгого внутреннего локального минимума,
• $x=2$ - точка внутреннего локального максимума,
• для любого $x\in(2,3)$, $x$ - точка внутреннего локального максимума и минимума,
• $x=3$ - точка локального максимума и минимума.

Лемма 6.4.1: Лемма Ферма.
Если точка $x_0\in{E}\cap\mathring{E}$ точка внутреннего локального экстремума функции $f(x):E\to\mathbb{R}$ и функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то $f'(x_0)=0$.

Доказательство: Без ограничения общности будем считать, что $x_0$ точка локального минимума, то есть существует окрестность $U(x_0)$ такая, что для любого $x\in{U}_E(x_0)$ $f(x)\geq{f}(x_0)$.
Обозначим $E_1:=U_E(x_0)\cap(x_0,+\infty)$, $E_2:=U_E(x_0)\cap(-\infty,x_0)$. Тогда $E_1\subset{E}$, $E_2\subset{E}$ и $$\forall{x}\in{E}_1(x-x_0\geq0\wedge{f}(x)-f(x_0)\geq0)\Rightarrow\forall{x}\in{E}_1\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq0\right)\quad(1)$$ $$\forall{x}\in{E}_2(x-x_0\leq0\wedge{f}(x)-f(x_0)\geq0)\Rightarrow\forall{x}\in{E}_2\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq0\right)\quad(2)$$ Так как $x_0$ внутренний экстремум, то $x_0\in\mathring{E}_1\cap\mathring{E}_2$ и может переходить к пределу при $E_1\ni{x}\to{x}_0$, $E_2\ni{x}\to{x}_0$. Так как из существования предела функции по множеству следует существование предела по подмножеству и численное равенство занчений пределов, то $$\lim_{E_1\ni{x}\to{x}_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{E_2\ni{x}\to{x}_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x)$$ Отсюда так как операция взятия предела сохраняет знак в нестрогом смысле имеем $$(1)\Rightarrow\forall{x}\in{E}_1\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq0\right)\Rightarrow{f}'(x_0)=\lim_{E_1\ni{x}\to{x}_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq0$$ $$(2)\Rightarrow\forall{x}\in{E}_2\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq0\right)\Rightarrow{f}'(x_0)=\lim_{E_2\ni{x}\to{x}_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq0 \Rightarrow(f'(x_0)\geq0\wedge{f}'(x_0)\leq0)\Rightarrow{f}'(x)=0$$

Определение 6.4.3: Говорят, что число $x_0\in{E}\subset\mathbb{R}$ внутренняя точка множества $E$, если существует интервал $(\alpha,\beta)\subset{E}$ такой, что $x_0\in(\alpha,\beta)$.
Совокупность всех внутренних точек множества $E$ обозначают $int{E}$. $$int{E}:=\{x\in{E}\:|\:\exists(\alpha,\beta):(x\in(\alpha,\beta)\wedge(\alpha,\beta)\subset{E})\}$$

Из определения внутренней точки очевидно следует, что если $x\in{i}nt{E}$, то $x\in\mathring{E}{}^-_x\cap\mathring{E}{}^+_x$.
Обратное неверно, например, для любого $r\in\mathbb{Q}$ $r\in\mathring{\mathbb{Q}}{}^-_r\cap\mathring{\mathbb{Q}}{}^+_r$, но $r\notin{i}nt\mathbb{Q}$, так как $int\mathbb{Q}=\varnothing$. Из этого в частности следует, что не всякая точка внутреннего локального экстремума является внутренней точкой для области определения функции.

Следствие 6.4.1: Традиционная формулировка леммы Ферма.
Если $x_0\in{i}nt{E}$ точка локального экстремума функции $f(x):E\to\mathbb{R}$ дифференцируемой с точке $x_0$, то $f'(x_0)=0$.

Доказательство: Следует из леммы Ферма так как внутренняя точка является предельной и справа и слева.

Следствие 6.4.2: Если $x_0$ точка внутреннего локального экстремума функции $f(x):E\to\mathbb{R}$, то либо функция не дифференцируема в точке $x_0$, либо $f'(x_0)=0$.

Доказательство: Предположим противное функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, и $f'(x_0)\neq0$, но это есть логическое отрицание утверждения леммы Ферма.

Пример 6.4.2: Точка $x=0$ точка внутреннего локального экстремума функции $f(x)=|x|$, но функция $f(x)$ не дифференцируема в точке 0.

Определение 6.4.4: Точка $x_0\in{E}\cap\mathring{E}$ называется стационарной точкой функции $f(x):E\to\mathbb{R}$, если $f'(x_0)=0$.

Определение 6.4.5: Точка $x_0\in{E}\cap\mathring{E}$ называется критической точкой первого рода функции $f(x):E\to\mathbb{R}$, если она является стационарной точкой либо функция $f(x)$ не дифференцируема в точке $x_0$.

Таким образом внутренние локальные экстремумы функции следует искать только среди критических точек первого рода.

6.4.2 Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.

Формулируемые ниже теоремы Ролля, Лагранжа, Коши называются теоремами о среднем. В них участвует промежуточная точка средняя $\xi$.

Теорема 6.4.1: Теорема Ролля (1625-1719).
Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ такая, что

1. $f(x)\in{C}[a,b]$,


2. $\forall{x}\in(a,b)\:\exists{f}'(x)$,


3. $f(a)=f(b)$,

Доказательство: По теореме Вейерштрасса об экстремальном значении функция $f(x)$ достигает своего максимума и минимума $$\exists{x}_m,x_M\in[a,b]:(f(x_m)=\min_{a\leq{x}\leq{b}}f(x)\wedge{f}(x_M)=\max_{a\leq{x}\leq{b}}f(x)\Rightarrow \forall{x}\in[a,b](f(x_m)\leq{f}(x)\leq{f}(x_M))$$ Следовательно, $x_m$ точка локального минимума, $x_M$ точка локального максимума. Так $f(x_m)\leq{f}(x_M)$, то либо $f(x_m)=f(x_m)$, либо $f(x_m)<f(x_M)$.

• Если $f(x_m)=f(x_m)$, то для любого $x\in[a,b]$ $f(x_m)=f(x)=f(x_M)$, то есть $f(x)\equiv{f}(x_M)$ и тогда в качестве точки $\xi$ можно взять любую точку интервала $(a,b)$.
• Если $f(x_m)<f(x_M)$, то $$(f(x_m)<f(x_M)\wedge{f}(a)=f(b))\Rightarrow\{x_m,x_M\}\neq\{a,b\}\Rightarrow(x_m\in(a,b)\vee{x}_M\in(a,b))\Rightarrow (x_m\in{i}nt(a,b)\vee{x}_M\in{i}nt(a,b))$$ Последняя импликация корректна так как $int(a,b)=(a,b)$. Из предпосылки 2 следует, что существуют производные $f'(x_m)$, $f'(x_M)$ тогда по следствию 6.4.2 из леммы Ферма либо $f'(x_m)=0$, либо $f'(x_M)=0$.

Пример 6.4.3: Контрпример к каждому из условий теоремы Ролля.

1. Пусть $[a,b]=[0,1]$, $f(x)=\begin{cases}x, & 0\leq{x}<1\\0, & x=1\end{cases}$, тогда выполнены все условия теоремы 6.4.1 кроме первого. Так как для любого $x\in(0,1)$ существует производная $f'(x)=1$ и $f(1)=f(0)=0$, но $f(x)\notin{C}[a,b]$. Точка $x=1$ является точкой разрыва так как $\lim_{x\to1}f(x)=1\neq0=f(1)$.


2. Пусть $[a,b]=[-1,1]$, $f(x)=|x|$, тогда выполнены все условия теоремы 6.4.1 кроме второго, так как $f(-1)=f(1)=1$ и $f(x)\in{C}[-1,1]$, но не дифференцируема в точке $0\in(-1,1)$. Таким образом не существует точки $\xi\in(-1,1)$ такой, что $f'(\xi)=0$, так как для любой положительной точки производная равна 1, для любой отрицательной -1, а в точке 0 производной не существует.


3. Пусть $[a,b]=[0,1]$, $f(x)=x$, выполнены все условия теоремы 6.4.1 кроме третьего так как $f(x)\in{C}^1[0,1]$, но $f(0)=0\neq1=f(1)$. Таким образом не существует точки $\xi\in(0,1)$ такой, что $f'(\xi)=0$, так как для любого $x\in(0,1)$ $f'(x)=1$.

Теорема 6.4.2: Теорема Коши.
Если функции $x(t),y(t):[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $x(t),y(t)\in{C}[\alpha,\beta]$,


2. $\forall{t}\in(\alpha,\beta)\:(\exists{x}'(t)\wedge\exists{y}'(t))$,


3. $\forall{t}\in(\alpha,\beta)(x'(t)\neq0)$,

Доказательство: При сделанных предпосылках формулировка теоремы корректна, в том смысле, что $x(\beta)-x(\alpha)$ не может быть равно нулю, так как если $x(\beta)=x(\alpha)$, то по теореме Ролля существует $t\in(\alpha,\beta)$ такое, что $x'(t)=0$, а это противоречит предпосылке 3.
Рассмотрим функцию $$F(t):[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}: \forall{x}\in[\alpha,\beta]\left(F(t):=y(t)-y(\alpha)-\frac{y(\beta)-y(\alpha)}{x(\beta)-x(\alpha)}(x(t)-x(\alpha))\right)$$ Тогда для $F(t)$ выполняются предпосылки теоремы Ролля.

1. Функция $F(t)$ непрерывна на $[a,b]$ как сумма непрерывных функций.
2. Для любого $t\in(\alpha,\beta)$ существует производная $F'(t)=y'(t)-\frac{y(\beta)-y(\alpha)}{x(\beta)-x(\alpha)}x'(t)$.
3. $F(\alpha)=F(\beta)=0$

Теорема 6.4.3: Теорема Лагранжа.
Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ такая, что

1. $f(x)\in{C}[a,b]$


2. $\forall{x}\in(\alpha,\beta)\:\exists{f}'(x)$

Доказательство: Применив теорему Коши при $[\alpha,\beta]:=[a,b]$, $t:=x$, $y(t):=f(t)$, $x(t):=t$ получим $$\exists\xi\in(a,b):\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f'(\xi)}{1}=f'(\xi)\right)\Rightarrow{f}(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$$

Теорема Лагранжа задает связь между приращением аргумента и приращением значения функции. Ее геометрический смысл состоит в том, что где-то на интервале $(a,b)$ найдется точка, касательная к которой параллельна прямой соединяющей концы графика функции точки $(a,f(a))$ и $(b,f(b))$. В предпосылках теоремы Ролля эта прямая будет горизонтальной.

Следствие 6.4.3: Пусть $a,b\in\overline{\mathbb{R}}$ такие, что $a<b$ и функция $f(x):\Delta(a,b)\to\mathbb{R}$ удовлетворяет условиям

1. $f(x)\in{C}(\Delta(a,b))$,


2. $\forall{x}\in(a,b)\:\exists{f}'(x)$

• если для любого $x\in(a,b)$ $f'(x)\geq0$, то функция $f(x)$ не убывает,
• если для любого $x\in(a,b)$ $f'(x)>0$, то функция $f(x)$ возрастает,
• если для любого $x\in(a,b)$ $f'(x)\leq0$, то функция $f(x)$ не возрастает,
• если для любого $x\in(a,b)$ $f'(x)<0$, то функция $f(x)$ убывает.

Доказательство: Фиксируем $x_1,x_2\in\Delta(a,b)$ такие, что $x_1<x_2$, тогда $$[x_1,x_2]\subset\Delta(a,b)\Rightarrow(f(x)\in{C}[x_1,x_2]\wedge\forall{x}\in(x_1,x_2)\:\exists{f}'(x))$$ Применим теорему Лагранжа для функции $f(x)$ на отрезке $[x_1,x_2]$, тогда существует $\xi\in(a,b)$ такое, что $f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)$.
Рассмотрим случай $f'(x)\geq0$ $$\forall{x}\in(a,b)(f'(x)\geq0)\Rightarrow\forall{x}\in[x_1,x_2](f'(x)\geq0)\Rightarrow{f}'(\xi)\geq0\Rightarrow {f}(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)\geq0\Rightarrow{f}(x_2)\geq{f}(x_1)$$ Таким образом $$\forall{x}_1,x_2\in\Delta(a,b)(x_1<x_2\Rightarrow{f}(x_1)\leq{f}(x_2))$$ то есть функция $f(x)$ не убывает.
Утверждения для случаев $f'(x)>0$, $f'(x)\leq0$, $f'(x)<0$ доказываются аналогично. Знак приращения значения функции определяется знаком производной.

Следствие 6.4.4: Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ такая, что

1. $f(x)\in{C}[a,b]$


2. $\forall{x}\in(a,b)(f'(x)>0)$

Доказательство: При сделанных предпосылках функция $f(x)$ строго монотонна на $[a,b]$ по следствию 6.4.3, следовательно, она биективна на $[a,b]$ и $[f(a),f(b)]$. Следовательно, по теореме о непрерывности обратной функции существует обратная функция строго монотонная и непрерывная на своей области определения. Тогда по теореме о производной обратной функции существует производная $(f^{-1})'(y)=\frac1{f'(f^{-1}(y))}$.

Задача 6.4.1: Доказать аналогичное утверждение для случая функции заданной на интервале.

Решение: Доказывается аналогично, так как следствие 6.4.3 сформулировано для произвольного числового промежутка, и вместо теоремы о непрерывности обратной функции для случая интервала можно использовать следствие из нее.

Следствие 6.4.5: Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ такая, что

1. $f(x)\in{C}[a,b]$,


2. $\forall{x}\in(a,b)\:\exists{f}'(x)$,

Доказательство:

• $\Rightarrow)$
  $$\exists{c}\in\mathbb{R}:f(x)\equiv{c}\Rightarrow\forall{x},x_0\in[a,b](f(x)-f(x_0)=c-c=0)\Rightarrow\forall{x},x_0\in[a,b]\left(x\neq{x}_0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=0\right)\Rightarrow(\exists{f}'(x_0)=\lim_{[a,b]\ni{x}\to{x}_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\Rightarrow{f}'(x_0)=0)$$
• $\Leftarrow)$
  Для любого $x\in(a,b]$ $f(x)\in{C}[a,x]$ и $f(x)$ дифференцируема на $(a,x)$, тогда по теореме Лагранжа $$\forall{x}\in(a,b]\:\exists\xi\in(a,x):f(x)-f(a)=f'(\xi)(x-a)=0\Rightarrow\forall{x}\in[a,b](f(x)=f(a))$$

Следствие 6.4.6: Теорема о пределе производной.
Пусть $a,b\in\overline{\mathbb{R}}$, $a<b$, $x_0\in(a,b)$ и функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ такая, что

1. $f(x)\in{C}[a,b]$


2. $\forall{x}\in(a,b)\:\exists{f}'(x)$


3. $\displaystyle\exists{K}\in\mathbb{R}:\lim_{x\to{x}_0}{f}'(x)=K$

Доказательство: По теореме Лагранжа имеем $$\forall{x}\in[a,b](x>x_0\Rightarrow\exists\xi\in(x_0,x):f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0))\Rightarrow \forall{x}\in[a,b]\left(x>x_0\Rightarrow\exists\xi\in(x_0,x):f'(\xi)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)$$ $$\forall{x}\in[a,b](x<x_0\Rightarrow\exists\xi\in(x,x_0):f(x_0)-f(x)=f'(\xi)(x_0-x))\Rightarrow \forall{x}\in[a,b]\left(x<x_0\Rightarrow\exists\xi\in(x,x_0):{f}'(\xi)=\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)$$ Таким образом $$\forall{x}\in[a,b]\left(x\neq{x}_0\Rightarrow\exists\xi\in\left(\min\{x_0,x\},\max\{x_0,x\}\right):f'(\xi)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)$$ Значение $\xi$ зависит от выбора точки $x$, значит можно рассмотреть функцию $\xi(x)$. Тогда по теореме о двух милиционерах $$\xi(x)\in(\min\{x_0,x\},\max\{x_0,x\})\Rightarrow0<|\xi(x)-x_0|<|x-x_0|\Rightarrow\lim_{x\to{x}_0}\xi(x)=x_0$$ Применим теорему о пределе композиции функций для функций $\xi(x)$, $f'(\xi)$ при $x\to{x}_0$. $$f'(x_0)=\lim_{x\to{x}_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to{x}_0}f'(\xi(x))=\lim_{\xi\to{x}_0}f'(\xi)=K$$

Таким образом производная не может иметь точек разрыва первого рода. Однако, может иметь точки разрыва второго рода. Например, функция $f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac1{x}, & x\neq0\\0, & x=0\end{cases}$ дифференцируема на $\mathbb{R}$. При $x\neq0$ $f'(x)=2x\sin\frac1{x}-\cos\frac1{x}$, а $f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac1{x}}{x}=\lim_{x\to0}(x\sin\frac1{x})=0$. Таким образом предела функции $f'(x)$ при $x\to0$ не существует. То есть 0 точка разрыва второго рода для функции $f'(x)$.

Теорема 6.4.4: Теорема Дарбу.
Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ такая, что

1. $\forall{x}\in(a,b)\:\exists{f}'(x)$,


2. $\exists{f}'_+(a),\exists{f}'_-(b)$,

Доказательство: Доказательство см., например, Фихтенгольц т. 1, стр. 224.

Чтобы доказывать теорему Дарбу с помощью теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении надо потребовать, чтобы функция $f'(x)$ была непрерывна на отрезке $[a,b]$, но такого условия нет в предпосылках, и оно, как мы выяснили, не следует из существования производной на отрезке (производная может иметь точки разрыва второго рода).

Следствие 6.4.7: Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ такая, что для любого $x\in(a,b)$ существует производная $f'(x)\neq0$, тогда функция $f'(x)$ знакопостонянна на интервале $(a,b)$.

Доказательство: Докажем от противного. Пусть существуют $x_1,x_2\in(a,b)$ такие, что $f'(x)<x_1$ и $f'(x)>x_2$, тогда по теореме Дарбу существует $\xi\in(\min\{x_1,x_2\},\max\{x_1,x_2\})$ такое, что $f'(\xi)=0$, но это противоречит условию.

6.4.3 Правило Лопиталя.

Теорема 6.4.5: Пусть $a,b<\overline{\mathbb{R}}$ и функции $f(x),g(x):(a,b)\to\mathbb{R}$ такие, что

1. $\forall{x}\in(a,b)\:\exists{f}'(x),\exists{g}'(x)$,


2. $\forall{x}\in(a,b)(g'(x)\neq0)$,


3. $\displaystyle\exists{A}\in\overline{\mathbb{R}}:\lim_{x\to{a}+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A$,

1. $\displaystyle\lim_{x\to{a}+0}f(x)=0$ и $\displaystyle\lim_{x\to{a}+0}g(x)=0$,
2. $\displaystyle\lim_{x\to{a}+0}|g(x)|=+\infty$

1. Предложена версия теоремы на языке правосторонних пределов. Теорему можно симметрично сформулировать на языке левосторонних пределов. Если же предпосылки выполнены и для правого и для левого пределов, то при желании можно сформулировать правило Лопиталя на языке предела. То есть если для точки $c\in(a,b)$ выполнены предпосылки на интервале $(a,c)$ при $x\to{x}-0$ и на интервале $(c,b)$ при $x\to{c}+0$, то правило Лопиталя можно сформулировать для предела при $x\to{c}$.
2. Неправильно формулировать правило Лопиталя просто как: "Предел отношения функций равен пределу отношения производных." Предпосылки гораздо богаче.
3. В условии говорится о раскрытии неопределенностей типа $\frac0{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$, остальные пять типов неопределенностей $\infty-\infty$, $\infty^0$, $0^\infty$, $1^\infty$, $0\cdot\infty$ сводятся к этим двум.

Доказательство: Чтобы рассматривать предел отношения $\frac{f(x)}{g(x)}$ при $x\to{a}+0$, покажем для корректности, что $g(x)\neq0$ в некоторой окрестности точки $a$. Действительно, производная $g'(x)$ не равна нулю на интервале $(a,b)$, следовательно, функция $f(x)$ строгомонотонна, а значит инъективна, поэтому существует не более одного значения $c\in(a,b)$ такого, что $g(c)=0$. Следовательно, существует $c_1\in(a,b)$ такое, что для любого $x\in(a,c_1)$ $g(x)\neq0$. Всюду далее ограничимся аргументами $x\in(a,c_1)$.

1. этап. $A<+\infty$
   Фиксируем $p,q\in\mathbb{R}$ такие, что $A<p<q$. В любом из двух случаев рассматриваемых в формулировке теоремы найдем $c_q\in(a,b)$ такое, что для любого $x\in(a,c_q)$ $\frac{f(x)}{g(x)}<q$. $$\left(\lim_{x\to{a}+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\wedge{A}<p\right)\Rightarrow \exists{U}(a):\forall{x}\in(a,b)\left(x\in{U}(a)\Rightarrow\frac{f'(x)}{g'(x)}\in(-\infty,p)\right)\Rightarrow \exists{c}_3\in(a,b):\forall{x}\in(a,c_3)\left(\frac{f'(x)}{g'(x)}<p\right)\quad(2)$$ Фиксируем $x,y\in(a,c_3)$ такие, что $x\neq{y}$. На отрезке $[x,y]$ применим теорему Коши: $$\exists\xi\in(x,y)\subset(a,c_3):\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\Rightarrow^{(2)}\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}<p\quad(4)$$
   1. $\displaystyle\lim_{x\to{a}+0}f(x)=\lim_{x\to{a}+0}g(x)=0$
      Фиксируем $x\in(a,c_3)$ и переходим в неравенстве (4) к пределу при $y\to{a}+0$. Переход к пределу возможен, так как функция $g(x)$ инъективна и, следовательно, для любых различных $x,y\in(a,b)$ $f(x)\neq{g}(y)$, тогда так как переход к пределу сохраняет знак в нестрогом смысле, то $$p\geq\lim_{y\to{a}+0}\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\frac{f(x)-\lim_{y\to{a}+0}f(y)}{g(x)-lim_{y\to{a}+0}g(y)}=\frac{f(x)}{g(x)}$$ Таким образом найдено искомое $c_q:=c_3$ такое, что для любого $x\in(a,c_q)$ $\frac{f(x)}{g(x)}<q$.
   2. $\displaystyle\lim_{x\to{a}+0}|g(x)|=+\infty$
      Фиксируем $y\in(a,c_3)$ $$\lim_{x\to{a}+0}|g(x)|=+\infty\Rightarrow\lim_{x\to{a}+0}\frac{g(y)}{g(x)}=0\Rightarrow {c}_4\in(a,c_3):\forall{x}\in(a,c_4)\left(\frac{g(y)}{g(x)}<1\right)\Rightarrow\forall{x}\in(a,c_4)\left(\frac{g(x)-g(y)}{g(x)}>0\right)\quad(5)$$ $$(a<y<c_3\wedge{c}_4<c_3)\Rightarrow^{(4)}\forall{x}\in(a,c_4)\left(\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}<p\right)\Rightarrow \forall{x}\in(a,c_4)\left(\frac{f(x)-f(y)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}\frac{g(x)-g(y)}{g(x)}<^{(5)}p\frac{g(x)-g(y)}{g(x)}\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall{x}\in(a,c_4)\left(\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(y)}{g(x)}<p\left(1-\frac{g(y)}{g(x)}\right)\right)\Rightarrow \forall{x}\in(a,c_4)\left(\frac{f(x)}{g(x)}<\frac{f(y)}{g(x)}+p-p\frac{g(y)}{g(x)}\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\lim_{x\to{a}+0}\frac{f(x)}{g(x)}\leq\lim_{x\to{a}+0}\left(\frac{f(y)}{g(x)}+p-p\frac{g(y)}{g(x)}\right)=p<q\Rightarrow \exists{c}_5\in(a,c_4):\forall(a,c_5)\left(\frac{f(x)}{g(x)}<q\right)$$ Таким образом найдено искомое $c_q:=c_5:\forall{x}\in(a,c_q)$ $\frac{f(x)}{g(x)}<q$.
   Итого в обоих случаях при $A<+\infty$. $$\forall{q}>A\left(\exists{c}_q\in(a,b):\forall{x}\in(a,c_q)\left(\frac{f(x)}{g(x)}<q\right)\right)\quad(8)$$
2. этап. $A>-\infty$
   Аналогично первому этапу доказывается, что $$\forall\tilde{q}<A\left(\exists{c}_{\tilde{q}}\in(a,b):\forall{x}(a,c_{\tilde{q}})\left(\frac{f(x)}{g(x)}>\tilde{q}\right)\right)\quad(9)$$
3. этап.
   
   1. $A\in\mathbb{R}\Rightarrow(A<+\infty\wedge{A}>-\infty)$
      Обозначим $U(a):=(q,\tilde{q})$, тогда $$(8)\Rightarrow\exists{c}_q\in(a,b):\forall{x}\in(a,c_q)\left(\frac{f(x)}{g(x)}<q\right)$$ $$(9)\Rightarrow\exists{c}_{\tilde{q}}\in(a,b):\forall{x}\in(a,c_{\tilde{q}})\left(\frac{f(x)}{g(x)}>\tilde{q}\right)$$ Обозначим $c'=\min\{c_q,c_{\tilde{q}}\}$, тогда $$\forall{x}\in(a,c')\left(\tilde{q}<\frac{f(x)}{g(x)}<q\right)\Rightarrow\forall{x}\in(a,c')\left(\frac{f(x)}{g(x)}\in{U}(A)\right)\Rightarrow \lim_{x\to{a}+0}\frac{f(x)}{g(x)}=A$$
   2. $$A=-\infty\Rightarrow{A}<+\infty\Rightarrow^{(8)} \forall{q}\in\mathbb{R}\left(\exists{c}_q\in(a,b):\forall{x}\in(a,c_q)\left(\frac{f(x)}{g(x)}<q\right)\right)\Rightarrow \lim_{x\to{a}+0}\frac{f(x)}{g(x)}=-\infty.$$
   3. $$A=+\infty\Rightarrow{A}>-\infty\Rightarrow^{(9)} \forall\tilde{q}\in\mathbb{R}\left(\exists{c}_{\tilde{q}}\in(a,b):\forall{x}\in(a,c_{\tilde{q}})\left(\frac{f(x)}{g(x)}>\tilde{q}\right)\right) \Rightarrow\lim_{x\to{a}+0}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty.$$

Пример 6.4.4: Рассмотрим предел функции $\frac{\sin{x}}{x}$ при $x\to0$.
Можно применить правило Лопиталя, так как $\displaystyle\lim_{x\to0}\sin{x}=\lim_{x\to0}x=0$. Таким образом $$\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin'x}{x'}=\lim_{x\to0}\frac{\cos{x}}{1}=\lim_{x\to0}\cos{x}=1.$$

Пример 6.4.5: Рассмотрим предел функции $\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ при $x\to0$.
Правило Лопиталя применять нельзя, так как $\displaystyle\lim_{x\to0}\cos{x}=1$.

Пример 6.4.6: Рассмотрим предел функции $\frac{x-\sin{x}}{x+\sin{x}}$ при $x\to\infty$.
Правило Лопиталя применять нельзя, так как $$\forall{x}>0(\exists{x}_0:=(2[x]+1)\pi>x:(x+\sin{x})'|_{x=x_0}=1+\cos{x}_0=0)$$ а это противоречит второму условию теоремы. Производная функции стоящей в знаменателе должна быть отлична от нуля в некоторой окрестности предельной точки.
Вместо применения правила Лопиталя предел можно вычислить так $$\lim_{x\to\infty}\frac{x-\sin{x}}{x+\sin{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{\sin{x}}{x}}{1+\frac{\sin{x}}{x}}=1$$

Пример 6.4.7: Рассмотрим предел отношения функций $f(x)=x^2\sin{\frac1{x}}$, и $g(x)=\sin{x}$ при $x\to0$.
Правило Лопиталя применять нельзя так как отношение производных $\displaystyle\frac{f'(x)}{g'(x)}=\frac{2x\sin{\frac1{x}}-\cos{\frac1{x}}}{\cos{x}}$ не имеет предела при $x\to0$. Так как существуют последовательности $x'_n=\frac2{\pi(2n-1)}$ и $x''_n=\frac1{2\pi{n}}$ такие, что $\lim_{x\to\infty}x'_n=\lim_{n\to\infty}x''_n=0$, в то время как $$\lim_{n\to\infty}f(x'_n)=\lim_{n\to\infty}\frac4{\pi(2n-1)\cos{\frac2{\pi(2n-1)}}}=0\neq\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{\cos{\frac1{2\pi{n}}}}=-1$$ Следовательно, в соответствии с критерием существования предела по Гейне предела отношения производных $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ при $x\to0$ не существует, а предел отношения функций $\frac{f(x)}{g(x)}$ при $x\to0$ существует $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin{\frac1{x}}}{\sin{x}}=\lim_{x\to0}\left(x\frac{x}{\sin{x}}\sin{\frac1{x}}\right)=0$$

Пример 6.4.8: Покажем с помощью правила Лопиталя, что при $a>1$ $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{\alpha}}{a^x}=0$.
Действительно, применив $n>\alpha$ раз правило Лопиталя получим $$\lim_{x\to\infty}\frac{x^{\alpha}}{a^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\alpha{x}^{\alpha-1}}{a^x\ln{a}}= \lim_{x\to\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2}}{a^x(\ln{a})^2}=\dots =\lim_{x\to\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-n+1)x^{\alpha-n}}{a^x(\ln{a})^n}$$ Так как $n>\alpha$, то показатель степени в числителе $\alpha-n$ меньше нуля, то есть числитель стремится к нулю, а знаменатель к бесконечности значит предел равен нулю.

Пример 6.4.9: Рассмотрим предел функции $x^{\alpha}\log_a{x}$ при $x\to0+$ и $\alpha>0$
$$\lim_{x\to0+}(x^{\alpha}\log_a{x})=\lim_{x\to0+}\frac{\log_a{x}}{x^{-\alpha}}=\lim_{x\to0+}\frac{(\log_a{x})'}{(x^{-\alpha})'}= \lim_{x\to0+}\frac1{-\alpha{x}^{-\alpha-1}x\ln{a}}=-\frac1{\alpha\ln{a}}\lim_{x\to0+}x^{\alpha}=0$$ Здесь неопределенность вида $0\cdot\infty$ сведена к неопределенности вида $\frac{\infty}{\infty}$, что позволяет применить правило Лопиталя.
Отсюда в частности следует, что $$\lim_{x\to0+}x^x=\lim_{x\to0+}e^{x\ln{x}}=\exp(\lim_{x\to0+}(x\ln{x}))=e^0=1.$$ Здесь используется, то что так как функция $e^x$ непрерывна, то она перестановочна с операцией перехода к пределу.



previous contents next