Далее везде под обозначением $\mathbb{P}$ будет имется ввиде как поле вещественных чисел $\mathbb{R}$, так и поле комплексных чисел $\mathbb{C}$.
Определение 15.1.1: Система векторов $S=\{x_{\alpha}\mid\alpha\in{I}\}$ из евклидова пространства $H$ называется ортогональной,
если для любых различных $\alpha,\beta\in{I}$ вектора $x_{\alpha}$, $x_{\beta}$ ортогональны, то есть $(x_{\alpha},x_{\beta})=0$.
Определение 15.1.1.1: Множество $A$ является всюду плотным в евклидовом пространстве $X$, если
$\overline{A}:=A\cup\partial{A}=X$.
Определение 15.1.1.2: Евклидово пространство называют сепарабельным, если оно содержит хотя бы одно счетное всюду плотное
множество.
Для любого $n\in\mathbb{R}^n$ пространство $\mathbb{R}^n$ над $\mathbb{R}$ является сепарабельным, так как всюду плотным счетным множеством в нем
является множество $\mathbb{Q}^n$.
Пространство непрерывных функций заданных на отрезке сепарабельно, так как всюду плотным счетным множеством в нем является множество многочленов с
рациональными коэффициентами.
Теорема 15.1.1: В любом сепарабельном евклидовом пространстве любая ортогональная система векторов не более чем счетна.
Доказательство: Без доказательства.
Пример 15.1.1: Рассмотрим евклидово пространство $\mathcal{R}_2[a,b]$ функций $f(x)\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ таких, что функция
$|f(x)|^2$ интегрируема по Риману на отрезке $[a,b]$ хотя бы в несобственном смысле.
Скалярное произведение на этом пространстве задается функцией $(f,g):=\int_a^bf(x)g(x)\,dx$.
Поскольку для любого $x\in[a,b]$ $f(x)g(x)\leq|f(x)|^2+|g(x)|^2$, то данное определение скалярного произведения корректно.
Пространство $\mathcal{R}_2[a,b]$ является евклидовым только если функции имееющие различные значения лишь на множестве меры 0 считаются равными. Иначе
не выполняется условие $(x,x)=0\Rightarrow{x}=0$.
Если положить $a=-\pi$, $b=\pi$, то множество функций $\{1,\sin{x},\cos{x},\sin{2x},\cos{2x},\ldots,\sin{nx},\cos{nx},\ldots\}=
\{1,\sin{nx},\cos{nx}\mid{x}\in\mathbb{N}\}$ будет ортогональной системой пространства $\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$, так как для любых различных
$m,n\in\mathbb{N}$
$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\sin{nx}\,dx=0,\int_{-\pi}^{\pi}\cos{mx}\cos{nx}\,dx=0,\int_{-\pi}^{\pi}\sin{mx}\cos{nx}\,dx=0$$
При доказательстве этих равенств используются формулы сложения:
$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin{\alpha}\cos{\beta}\pm\cos{\alpha}\sin{\beta}$,
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos{\alpha}\cos{\beta}\mp\sin{\alpha}\sin{\beta}$. См., например, Кудрявцев т. 2, стр. 245.
Определение 15.1.2.1: Конечная система векторов $x_1,\ldots,x_n$ евклидова пространства $H$ над $\mathbb{R}$ или
$\mathbb{C}$ называется линейно зависимой (ЛЗ), если существуют $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{R}(\mathbb{C})$ не все равные нулю такие, что
$\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_nx_n=0$.
В противном случае система векторов называется линейно не зависимой (ЛНЗ).
Определение 15.1.2: Бесконечная система векторов евклидова пространства называется линейно не зависимой, если любая ее
конечная подсистема линейно не зависима.
Если система векторов $\{x_{\alpha}\mid\alpha\in{I}\}$ евклидова пространства является
ортогональной и для любого $\alpha\in{I}$ $x_{\alpha}\neq0$,
то она является линейно не зависимой. (Кудрявцев т. 2, стр. 331)
Если $H$ евклидово пространство над полем $\mathbb{P}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$, то функция $\|x\|:=\sqrt{(x,x)}$ является
нормой. При этом для любых $x,y\in{H}$ $(x,y)\leq\|x\|\|y\|=\sqrt{(x,x)(y,y)}$
(неравенство Коши - Шварца, Кудрявцев т. 2, стр. 317).
Если вектора $x,y\in{H}$ ортогональны, то $\|x+y\|^2=(x+y,x+y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)=(x,x)+(y,y)=\|x\|^2+\|y\|^2$ (теорема Пифагора).
В случае евклидова пространства $\mathcal{R}_2[a,b]$ из неравенства $(f,g)\leq\|f\|\|g\|$ следует
неравенство Коши - Буняковского.
$$\left|\int_a^bf(x)g(x)\,dx\right|\leq\int_a^b|f(x)g(x)|\,dx=(f,g)\leq\|f\|\|g\|=
\left(\int_a^bf^2(x)\,dx\right)^{1/2}\left(\int_a^bg^2(x)\,dx\right)^{1/2}.$$
Определение 15.1.4: Ортогональная система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если норма любого ее
элемента равна единице.
Из определения 15.1.4 следует, что если система векторов $\{x_{\alpha}\mid\alpha\in{I}\}$ ортогональна и для любого $\alpha\in{I}$ $x_{\alpha}\neq0$,
то система векторов $\displaystyle\left\{\left.\frac{x_{\alpha}}{\|x_{\alpha}\|}\right|\alpha\in{I}\right\}$ ортонормирована.
Определение 15.1.5: Пусть $S=\{e_{\alpha}\mid\alpha\in{I}\}$ система векторов евклидова пространства $H$. Тогда
совокупность всех конечных линейных комбинаций векторов системы $S$ называется линейной оболочкой системы $S$ и обозначается $\mathcal{Lin}\{S\}$.
Определение 15.1.6: Пусть $S=\{e_n\}$ не более чем счетная ортогональная система векторов из евклидова пространства $H$,
тогда для любого $x\in{H}$ число $\displaystyle{x}_n:=\frac{(x,e_n)}{(e_n,e_n)}=\frac{(x,e_n)}{\|e_n\|^2}$ называется $n$-тым коэффициентом Фурье вектора
$x$ по системе $S$.
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(x_ne_n)$ называется рядом Фурье элемента $x$ по системе $S$.
Из определений 15.1.4, 15.1.6 следует, что если система $S$ ортонормирована, то $x_n=(x,e_n)$.
Произведение $x_ne_n$ называют проекцией вектора $x$ на прямую $L:=\{te_n\mid{t}\in{P}\}$.
В данном разделе будут изучаться бесконечномерные ортогональные системы векторов, так как конечномерные пространства изучаются в курсе алгебры.
Пример 15.1.2: Пусть $H=\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$, $S=\{1,\sin{nx},\cos{nx}\mid{n}\in\mathbb{N}\}$, тогда
$\|1\|=\left(\int_{-\pi}^{\pi}dx\right)^{1/2}=\sqrt{2\pi}$ и
$$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(\|\sin{nx}\|=\|\cos{nx}\|=\left(\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2{nx}\,dx\right)^{1/2}=
\left(\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2{nx}\,dx\right)^{1/2}=\left(\frac1{n}\int_{-n\pi}^{n\pi}\sin^2y\,dy\right)^{1/2}=\sqrt{\pi}\right)$$
см. пример 8.4.1.
Таким образом коэффициенты Фурье. для функции $f(x)\in\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$ равны
$$\begin{cases}
a_n=\frac{(f(x),\cos{mx})}{\|\cos{nx}\|^2}=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}\,dx&,n\in\mathbb{N}_0\\
b_n=\frac{(f(x),\sin{nx})}{\|\sin{nx}\|^2}=\frac1{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}\,dx&,n\in\mathbb{N}
\end{cases},\qquad(1)$$
где $a_0$ равен первому коэффициенту Фурье умноженному на 2.
Ряд Фурье для функции $f(x)$ по системе $S$ имеет вид:
$\displaystyle\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos{nx}+b_n\sin{nx}).$
В целях общности будем использовать формулы (1) не только для функций из $\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$, но и для функций из $\mathcal{R}_1[-\pi,\pi]$
(для которых интегрируем на $[-\pi,\pi]$ только $|f(x)|$), поскольку все интегралы из (1) сходятся по мажорантному
признаку Вейерштрасса.
Задача 15.1.1: Вычислить коэффициенты Фурье в пространстве $\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$ над $\mathbb{C}$ по системе $S=\{e^{inx}\mid{n\in\mathbb{Z}}\}$.
Решение:
В пространстве $\mathcal{R}_2[a,b]$ над $\mathbb{C}$ для любых $f,g\in\mathcal{R}_2[a,b]$ скалярное произведение определяется как
$(f,g)=\int_a^bf(z)\overline{g(z)}\,dz$, где $\overline{g(z)}=(Re(g(z)),-Im(g(z)))$ функция сопряженная с $g(z)$, тогда
$$\|e^{inx}\|^2=(e^{inx},\overline{e^{inx}})=\int_{-\pi}^{\pi}(\cos{nx}+i\sin{nx})(\cos{nx}-i\sin{nx})\,dx=
\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2{nx}\,dx+\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2{nx}\,dx=2\pi.$$
Так как $\overline{e^{ix}}=\cos{x}-i\sin{x}=e^{-ix}$, то коэффициенты Фурье по системе $S$ для функции
$f(x)\in\mathcal{R}_2[-\pi,\pi]$ при любом $z\in\mathbb{Z}$ будут равны
$$c_n=\frac{(f(x),e^{-inx})}{\|e^{inx}\|^2}=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx.$$
Соответственно ряд Фурье для функции $f(x)$ по системе $S$ будет иметь вид
$$\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inx}=\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left(e^{inx}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}\,dt\right).$$
Теорема 15.1.2: Характеристические свойства коэффициентов Фурье.
Пусть $S=\{e_n\}$ ортогональная система векторов в евклидовом пространстве $H$ над полем $\mathbb{P}$, $n\in\mathbb{N}$, $x\in{H}$, тогда
Доказательство:
Пункт 3 имеет геометрическую интерпретацию. Среди всех векторов из $\mathcal{Lin}\{e_1,\ldots,e_n\}$ $n$-тая частичная сумма ряда
$\sum_{n=1}^{\infty}(x_ke_k)$ наилучшим (среди всех линейных комбинаций из $n$ слагаемых) образом аппроксимирует вектор $x$.
previous contents next