5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

5.1 Определение и общие свойства предела функции.

5.1.1 Определение предела функции.

Определение 5.1.1: Общее определение предела функции на расширенной прямой $\overline{\mathbb{R}}$.
Пусть $E$ бесконечное подмножество $\mathbb{R}$, $a\in\overline{\mathbb{R}}$ - предельная точка множества $E$, $A\in\overline{\mathbb{R}}$.
Предел функции $f(x):E\to\mathbb{R}$ при $x$ стремящемся к $a$ по множеству $E$ существует и равен $A$ тогда и только тогда, когда для любой окрестности $V(A)$ точки $A$ существует такая окрестность точки $a$, что образы всех точек этой окрестности принадлежащих множеству $E\backslash\{a\}$ лежат в $V(A)$. То есть: $$(\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A):=(\forall{V}(A)(\exists{U}(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}(a)\Rightarrow{f}(x)\in{V}(A)))),$$ или $$(\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(a)=A):=(\forall{V}(A)(\exists{U}(a):f(\mathring{U}_E(a))\subset{V}(a))).$$

Определение 5.1.2: Определение предела функции по Коши.
Пусть $E$ бесконечное подмножество $\mathbb{R}$, $a\in\mathbb{R}$ - предельная точка множества $E$, $A\in\mathbb{R}$, тогда $$(\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A):=(\forall\varepsilon>0(\exists\delta>0:\forall{x}\in{E}(0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon))).$$

Если $a\in\mathbb{R},A\in\overline{\mathbb{R}}$, то можно сформулировать комбинированное определение $$(\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A):=(\forall{V}(a)(\exists\delta>0:\forall{x}\in{E}(0<|x-a|<\delta\Rightarrow{f}(x)\in{V}(A)))),$$ аналогично если $a\in\overline{\mathbb{R}},A\in\mathbb{R}$ $$(\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A):=(\forall\varepsilon>0(\exists{U}(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}(a)\Rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon))).$$

Утверждение 5.1.1: Если $a\in\mathbb{R}$ и $A\in\mathbb{R}$ то общее определение предела функции эквивалентно определению предела функции по Коши.

Доказательство:

• $\Rightarrow)$
  Фиксируем $\varepsilon>0$. Тогда из общего определения предела функции следует, что существует окрестность $U(a)$ такая, что $f(\mathring{U}_E(a))\subset{V}^\varepsilon(A)$, следовательно $$\exists\delta>0:U^\delta(a)\subset{U}(a)\Rightarrow{f}(\mathring{U}{}^\delta_E)\subset{V}^\varepsilon(A)\Rightarrow \forall{x}\in{E}(0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(a)-A|<\varepsilon).$$
• $\Leftarrow)$
  Фиксируем окрестность $V(A)$. Существует $\varepsilon>0$ такое, что $V^\varepsilon(A)\subset{V}(A)$, тогда из определения предела функции по Коши следует $$\exists\delta>0:\forall{x}\in{E}(0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon)\Rightarrow f(\mathring{U}{}^\delta_E)\subset{V}^\varepsilon(A)\subset{V}(A).$$

Логическое отрицание общего определения предела функции: $$\exists{V}(A):\forall{U}(a)(\exists{x}\in\mathring{U}_E(a):f(x)\notin{V}(A)).$$

Логическое отрицание определения предела функции по Коши: $$\exists\varepsilon>0:\forall\delta>0(\exists{x}\in{E}:(0<|x-a|<\delta\wedge|f(x)-A|\geq\varepsilon)).$$

Пример 5.1.1: Пусть $E:=\mathbb{R}\backslash\{0\}$, тогда $0\in\mathring{E}$ докажем, что $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{0}}\left(x\sin\frac1{x}\right)=0$, действительно
$$\forall\varepsilon>0(\exists\delta:=\varepsilon:0<|x-0|<\delta\Rightarrow \left|x\sin\frac1{x}-0\right|=|x|\left|\sin\frac1{x}\right|\leq|x|<\delta=\varepsilon)$$

Покажем, что множество $E$ играет активную роль в определении предела функции.

Пример 5.1.2:
$\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}$ $f(x)=\sgn{x}=\begin{cases}-1,\:x<0\\0,\quad x=0\\1,\quad x>0\end{cases}$
Пусть $E_1:=\{x\in\mathbb{R}\:|\:x>0\},E_2:=\{x\in\mathbb{R}\:|\:x<0\},E_3:=\mathbb{R}$, тогда $0\in\mathring{E}_1\cap\mathring{E}_2\cap\mathring{E}_3$

1. $\displaystyle\lim_{E_1\ni{x}\to0}\sgn{x}=\lim_{E_1\ni{x}\to0}1=1$,
2. $\displaystyle\lim_{E_2\ni{x}\to0}\sgn{x}=\lim_{E_2\ni{x}\to0}-1=-1$,
3. предела функции $sgn{x}$ при $x$ стремящемся к $0$ по множеству $E_3$ не существует.
   Действительно, если предел существует, то он принадлежит множеству $f(E_3)=\{-1,0,1\}$ так как $$A\notin{f}(E_3)\Rightarrow\exists{V}(A):V(A)\cap{f}(E_3)=\varnothing\Rightarrow\forall{U}(0)(f(U(0))\nsubseteq{V}(A))$$
   • Покажем, что $\displaystyle\lim_{E_3\ni{x}\to0}\sgn{x}\neq1$. Действительно $$\exists\varepsilon:=1:\forall\delta>0(\exists{x}:=\frac\delta{2}\in{E}_3:(|x-0|=\left|\frac\delta{2}\right|<\delta\wedge|f(x)+1|=2\geq\varepsilon))$$
   • Покажем, что $\displaystyle\lim_{E_3\ni{x}\to0}\sgn{x}\neq-1$. Действительно $$\exists\varepsilon:=1:\forall\delta>0(\exists{x}:=-\frac\delta{2}\in{E}_3:(|x-0|=\left|-\frac\delta{2}\right|<\delta\wedge|f(x)-1|=2\geq\varepsilon))$$
   • Покажем, что $\displaystyle\lim_{E_3\ni{x}\to0}\sgn{x}\neq0$. Действительно $$\exists\varepsilon:=1:\forall\delta>0(\exists{x}:=\frac\delta{2}\in{E}_3:(|x-0|=\left|\frac\delta{2}\right|<\delta\wedge|f(x)-0|=1\geq\varepsilon))$$

Если дополнительно известно, что существует окрестность предельной точки такая что $U(a)\subset{E}$, то при описании предела функции $f(x)$ при $x$ стремящимся к $a$ указание на множество $E$ можно опустить. То есть для любого множества $E$ такого, что $a\in\mathring{E}$ предел $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)$ будет существовать тогда и только тогда, когда будет существовать предел $\displaystyle\lim_{U(a)\ni{x}\to{a}}f(x)$, и в случае существования численные значения пределов будут равны.

Утверждение 5.1.2: Критерий существования предела функции по Гейне.
Пусть $f(x):E\to\mathbb{R},a\in\mathring{E},A\in\mathbb{R}$, тогда предел $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)$ сущеcтвует и равен $A$ тогда и только тогда, когда для любой последовательности $\{x_n\}$ из множества $E\backslash\{a\}$ сходящейся к $a$ последовательность $\{f(x_n)\}$ сходится к $A$.

Доказательство:

• $\Rightarrow)$
  Фиксируем $V(A)$. $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Rightarrow\exists{U}(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(f(x)\in{V}(A))$$ $$(\forall{n}\in\mathbb{N}(x_n\in{E}\backslash\{a\})\wedge\lim_{n\to\infty}x_n=a)\Rightarrow \exists{n}_0\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_0(x_n\in\mathring{U}_E(a))\Rightarrow\forall{n}>n_0(f(x_n)\in{V}(A))\Rightarrow\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A$$
• $\Leftarrow)$
  Докажем от противного. Пусть для любой последовательности $\{x_n\}$ из $E\backslash\{a\}$ сходящейся к $a$ последовательность $\{f(x_n)\}$ сходится к $A$ и при этом $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)\neq{A}$.
  Для опровержения этого утверждения, построим последовательность $\{x_n\}$ такую, что $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=a$ и $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_n)\neq{A}$.
  Так как $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)\neq{A}\Rightarrow\exists{V}(A):\forall{U}(a)(\exists{x}\in\mathring{U}_E(a):f(x)\notin{V}(A))\quad(*)$$ то
  1. Пусть $a\in\mathbb{R}$ $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(U_n(a):=\left\{x\:|\:|x-a|<\frac1{n}\right\}\right)\Rightarrow^{(*)} \forall{n}\in\mathbb{N}(\exists{x}_n\in\mathring{U}_n\cap{E}:f(x_n)\notin{V}(A))$$ То есть найдена последовательность $\{x_n\}$ из $E\backslash\{a\}$ такая, что $0<|x_n-a|<\frac1{n}$. По теореме о двух милиционерах $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=a$, с другой стороны $$\forall{n}\in\mathbb{N}(f(x_n)\notin{V}(A))\Rightarrow\lim_{n\to\infty}f(x_n)\neq{A}$$
  2. Пусть $a=+\infty$ $$\forall{n}\in\mathbb{N}(U_n(a):=(n,+\infty))\Rightarrow^{(*)}\forall{n}\in\mathbb{N}(\exists{x}_n\in(n,+\infty)\cap{E}:f(x_n)\notin{V}(A))$$ $$\forall{n}\in\mathbb{N}(n<x_n<+\infty)\Rightarrow\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty$$ $$\forall{n}\in\mathbb{N}(f(x_n)\notin{V}(A)\Rightarrow\lim_{n\to\infty}f(x_n)\neq{A})$$
  3. Пусть $a=-\infty$
     Доказывается аналогично пункту 2 при $U_n(a):=(-\infty,-n)$.

При желании результат доказанного утверждения можно взять за определение предела функции. Такой подход к определению предела функции называется секвенциальным подходом.

5.1.2 Общие свойства предела функции.

Схема получения результатов для предела функции будет напоминать аналогичную схему для предела последовательности. Критерий существования предела функции по Гейне перекидывает мостик между понятиями предела последовательности и предела функции. Поэтому можно сэкономить на доказательстве свойств предела функции.

Определение 5.1.3: Функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ ограничена сверху (снизу) или ограничена, если ограничено сверху (снизу) или ограничено множество значений функции $f(E):=\{f(x)\:|\:x\in{E}\}$.

Определение 5.1.4: Функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ локально ограничена сверху (снизу) или ограничена при $x$ стремящемся к $a\in\mathring{E}$ по множеству $E$ (т. е. при $E\ni{x}\to{a}$), если существует окрестность $U(a)$ такая, что множество $f(\mathring{U}_E(a)):=\{f(x)\:|\:x\in\mathring{U}_E(a)\}$ ограничено сверху (снизу) или ограничено.

Из просто ограниченности следует локальная ограниченность. Обратное не верно, например, функция $f(x)=x\cos\frac1{x}$ не ограничена на $\mathbb{R}\backslash\{0\}$, но локально ограничена при $\mathbb{R}\ni{x}\to0$.
Приставка локально будет часто употребляться в дальнейшем. Некоторое свойство выполняется локально, если оно выполняется в некоторой достаточно малой окрестности.

Утверждение 5.1.3: Пусть $f(x):E\to\mathbb{R},a\in\mathring{E},A\in\overline{\mathbb{R}}$, тогда

1. Если существует конечный предел $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)$, то функция $f(x)$ локально ограничена при $E\ni{x}\to{a}$.
2. $$(\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A_1\wedge\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A_2)\Rightarrow{A}_1=A_2.$$
3. $$(E_1\subset{E}\wedge{a}\in\mathring{E}_1\wedge\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A)\Rightarrow\lim_{E_1\ni{x}\to{a}}=A.$$

Доказательство:

1. Воспользуемся одним из комбинированных определений предела фукции $$\exists{A}\in\mathbb{R}:\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Rightarrow\forall\varepsilon>0\:\exists{U}(a):(x\in\mathring{U}_E(a)\Rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon)$$ Тогда при $\varepsilon:=1$ $$\exists{U}_0(a):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}(a)\Rightarrow|f(x)|-|A|<|f(x)-A|<1\Rightarrow|f(x)|<|A|+1).$$ Таким образом множество $f(\mathring{U}_0\cap{E})$ ограничено, следовательно функция $f(x)$ локально ограничена при $E\ni{x}\to{a}$.
2. Докажем от противного. Пусть $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A_1$, $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A_2$, $A_1\neq{A}_2$. $$A_1\neq{A}_2\Rightarrow\exists{V}(A_1),\exists{V}(A_2):(V(A_1)\cap{V}(A_2)=\varnothing\wedge\exists{U}'(a):f(\mathring{U}{}'_E(a))\subset{V}(A_1) \wedge\exists{U}''(a):f(\mathring{U}{}''_E(a))\subset{V}(A_2)))$$ По свойству 3 окрестностей точки существует окрестность $U(a)\subset{U'}(a)\cap{U''(a)}\neq\varnothing$ тогда $$a\in\mathring{E}\Rightarrow\exists{x_0}\in\mathring{U}_E(a)\Rightarrow{x_0}\in\mathring{U}{}'_E(a)\cap\mathring{U}{}''_E(a)\Rightarrow f(x_0)\in{V}(A_1)\cap{V}(A_2)=\varnothing.$$ Получено противоречие.
3. Так как $$E_1\subset{E}\Rightarrow\forall{U}(a)(\mathring{U}_{E_1}(a)\subset\mathring{U}_E(a))\Rightarrow \forall{U}(a)({f}(\mathring{U}_{E_1}(a))\subset{f}(\mathring{U}_E(a))).$$ то $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Rightarrow\forall{V}(A)\:\exists{U}(a):f(\mathring{U}_{E_1}(a))\subset{f}(\mathring{U}_E(a))\subset{V}(A)\Rightarrow \lim_{E_1\ni{x}\to{a}}f(x)=A.$$

Рассмотрим один важный частный случай предела функции по множеству.

Определение 5.1.5: Пусть $f(x):E\to\mathbb{R},a\in\mathring{E}$.
Обозначим: $E^+_a:=E\cap\{x\in\mathbb{R}\:|\:x>a\}$, $E^-_a:=\{x\in\mathbb{R}\:|\:x<a\}$, тогда
если $a\in\mathring{E}{}^+_a$, то предел $\displaystyle{f}(a+0):=\lim_{E^+_a\ni{x}\to{a}}f(x)$ называется пределом функции $f(x)$ при $x$ стремящимся к $a$ по множеству $E$ справа, или правосторонним пределом;
если $a\in\mathring{E}{}^-_a$, то предел $\displaystyle{f}(a-0):=\lim_{E^-_a\ni{x}\to{a}}f(x)$ называется пределом функции $f(x)$ при $x$ стремящимся к $a$ по множеству $E$ слева, или левосторонним пределом.

Если существует $\displaystyle{A}:=\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)$ и $a\in{E}{}^+_a\cap{E}{}^-_a$, то $f(a+0)=f(a-0)=A$.

Задача 5.1.1: Доказать, что

1. $\displaystyle{f}(a+0)=f(a-0)=A\Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A$,
2. $\displaystyle(a\in\mathring{E}{}^+_a\cap\mathring{E}{}^-_a\wedge\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A)\Rightarrow{f}(a+0)=f(a-0)=A$.

1. $$E^+_a\cup{E}^-_a=E\backslash\{a\}\Rightarrow\forall{U}(a)(\mathring{U}_E(a)=(\mathring{U}(a)\cap{U}^+_a)\cup(\mathring{U}(a)\cap{E}^-_a))\quad(*)$$ Фиксируем окрестность $V(A)$. Так как $$\lim_{E^+_a\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Rightarrow\exists{U}_+(a):f(\mathring{U}(a)\cap{E}^+_a)\subset{V}(A)$$ $$\lim_{E^-_a\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Rightarrow\exists{U}_-(a):f(\mathring{U}(a)\cap{E}^-_a)\subset{V}(A))$$ то $$\exists{U}(a):=U_+(a)\cup{U}_-(a):f(\mathring{U}_E(a))=^{(*)}f((\mathring{U}(a)\cap{E}^+_a)\cup(\mathring{U}(a)\cap{E}^-_a))= f(\mathring{U}(a)\cap{E}^+_a)\cup{f}(\mathring{U}(a)\cap{E}^-_a)\subset{V}(A) \Rightarrow\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A.$$
2. Утверждение следует из пункта 3 утверждения 5.1.3.