5.3 Вопросы существования предела функции.

5.3.1 Критерий Коши существования предела функции.

Определение 5.3.1 Пусть $X\subset\mathbb{R},f(x):X\to\mathbb{R}$, тогда число $\omega(f,X):=\sup\{|f(x')-f(x'')|\:|\:x',x''\in{X}\}$ называется колебанием функции $f(x)$ на множестве $X$.

Теорема 5.3.1: Критерий Коши существования предела функции.
Пусть $f(x):E\to\mathbb{R},a\in\mathring{E}\subset\overline{\mathbb{R}}$, тогда $$\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)\in\mathbb{R}\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0(\exists{U}(a):\forall{x}',x''\in\mathring{U}_E(a)(|f(x')-f(x'')|<\varepsilon))\quad(1)$$ Если дополнительно потребовать, что $a\in\mathbb{R}$, то утверждение (1) можно сформулировать следующим образом $$\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)\in\mathbb{R}\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0(\exists\delta>0:\forall{x}',x''\in{E}(0<|x'-a|<\delta\wedge0<|x''-a|<\delta\Rightarrow|f(x')-f(x'')|<\varepsilon))\quad(2)$$ Используя введенное выше понятие колебания функции на множестве утверждение (1) можно сформулировать следующим образом $$\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)\in\mathbb{R}\Rightarrow\forall\varepsilon>0(\exists{U}(a):\omega(f,\mathring{U}_E(a))<\varepsilon)\quad(3)$$

Доказательство:

• $\Rightarrow)$
  Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда $$\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=A\Rightarrow\exists{U}(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)\left(|f(x)-A|<\frac\varepsilon{2}\right)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall{x}',x''\in\mathring{U}_E(a)\left(|f(x')-f(x'')|=|(f(x')-A)-(f(x'')-A)|\leq|f(x')-A|+|f(x'')-A|< \frac\varepsilon{2}+\frac\varepsilon{2}=\varepsilon\right)$$
• $\Leftarrow)$
  Факт существования конечного предела функции $f(x)$ при $E\ni{x}\to{a}$ докажем с помощью критерия существования предела функции по Гейне.
  Фиксируем $\varepsilon>0$, тогда по условию $$\exists{U}(a):\forall{x}',x''\in\mathring{U}_E(a)(|f(x')-f(x'')|<\varepsilon)$$ Фиксируем последовательность $\{x_n\}$ из $E\backslash\{a\}$ такую, что $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}x_n=a$, тогда $$\lim_{n\to\infty}x_n=a\Rightarrow\exists{k}\in\mathbb{N}:\forall{n}>k(x_n\in\mathring{U}_E(a))\Rightarrow \forall{n}>k,\forall{m}>k(x_n,x_m\in\mathring{U}_E(a)\Rightarrow|f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon)$$ Таким образом последовательность $\{f(x_n)\}$ фундаментальна и, следовательно, по критерию Коши существования предела последовательности последовательность $\{f(x_n)\}$ сходится.
  Для реализации критерия существования передела функции по Гейне осталось доказать, что для любой последовательности $\{x_n\}$ из $E\backslash\{a\}$ последовательности $\{f(x_n)\}$ сходятся к одному и тому же пределу, не зависящему от выбора последовательности $\{x_n\}$. Доказательство проведем от противного, предположим, что существуют последовательности $\{x'_n\},\{x''_n\}$ такие, что $$\lim_{n\to\infty}x'_n=\lim_{n\to\infty}x''_n=a\wedge\lim_{n\to\infty}f(x'_n)=A_1\wedge\lim_{n\to\infty}f(x''_n)=A_2\wedge{A}_1\neq{A}_2$$ Рассмотрим последовательность $\{x'''_n\}$ такую, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $x'''_n=\begin{cases}x''_k,n=2k\\x'_k,n=2k-1\end{cases}$, то есть $\{x'''_n\}=\{x'_1,x''_1,x'_2,x''_2,\dots,x'_s,x''_s,\dots\}$. Проверим, что последовательность $\{x'''_n\}$ сходится к $a$.
  Фиксируем окрестность $U(a)$. Тогда по определению предела последовательности $$\lim_{n\to\infty}x'_n=a\Rightarrow\exists{n}_1\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_1(x'_n\in{U}(a))$$ $$\lim_{n\to\infty}x''_n=a\Rightarrow\exists{n}_2\in\mathbb{N}:\forall{n}>n_2(x''_n\in{U}(a))$$ следовательно, по построению последовательности $\{x'''_n\}$ $$\exists{n}_0:=2\max\{n_1,n_2\}+1:\forall{n}>n_0(x'''_n\in{U}(a))\Rightarrow\lim_{n\to\infty}x'''_n=a.$$ Следовательно, по доказанному, последовательность $\{f(x'''_n)\}$ сходится, но она имеет как минимум два различных частичных предела $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x'''_{n_{2k}}=\lim_{n\to\infty}x''_n=A_1$ и $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x'''_{n_{2k-1}}\lim_{n\to\infty}x'_{n}=A_2$. Таким образом получено противоречие с утверждением 4.4.3

Логическое отрицание критерия Коши существования предела функции. $$\exists\varepsilon>0:\forall{U}(a)(\exists{x'},x''\in\mathring{U}_E(a):|f(x')-f(x'')|\geq\varepsilon)$$

Задача 5.3.1: Доказать эквивалентность формулировок критерия Коши существования предела функции.

Решение:

1. $(1)\Leftrightarrow(2)$ при $a\in\mathbb{R}$
   Фиксируем $\varepsilon>0$.
   • $\Rightarrow)$
     $$\exists{U}(a):\forall{x}',x''\in\mathring{U}_E(a)(|f(x')-f(x'')|<\varepsilon)$$ $$\exists\delta>0:U^\delta(a)\subset{U}(a)\Rightarrow\forall{x}',x''\in{E}(0<|x'-a|<\delta\wedge0<|x''-a|<\delta\Rightarrow {x}',x''\in\mathring{U}_E(a)\Rightarrow|f(x')-f(x'')|<\varepsilon)$$
   • $\Leftarrow)$
     $$\exists\delta>0:\forall{x}',x''\in{E}({x}',x''\in\mathring{U}{}^\delta(a)\Rightarrow0<|x'-a|<\delta\wedge0<|x''-a|<\delta\Rightarrow |f(x')-f(x'')|<\varepsilon)$$
2. $(1)\Leftrightarrow(3)$
   Фиксируем $\varepsilon>0$.
   • $\Rightarrow)$
     $$\exists{U}(a):\forall{x}',x''\in\mathring{U}_E(a)\left(|f(x')-f(x'')|<\frac\varepsilon{2}\right)\Rightarrow\omega(f,\mathring{U}_E(a))<\varepsilon$$
   • $\Leftarrow)$
     $$\omega(f,\mathring{U}_E(a))<\varepsilon\Rightarrow\forall{x}',x''\in\mathring{U}_E(a)(|f(x')-f(x'')|\leq\omega(f,\mathring{U}_E(a))<\varepsilon)$$

5.3.2 Предел композиции функций (сложной функции).

Приводимая ниже теорема помимо чисто теоретического значения имеет огромное практическое значение, так как является удобным способом вычисления пределов функций.

Теорема 5.3.2: Пусть для функций $f(x):E\to\mathbb{R}$, $F(y):Y\to\mathbb{R}$, где $f(E)\subset{Y},a\in\mathring{E}\subset\overline{\mathbb{R}}$, $b\in\mathring{Y}\subset\overline{\mathbb{R}}$ выполнены две предпосылки

1. $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=b\wedge\lim_{Y\ni{y}\to{b}}F(y)=A\in\overline{\mathbb{R}}$
2. $\exists{U}^*(a):\forall{x}\in\mathring{U}{}^*_E(a)(f(x)\neq{b})$

Доказательство: Фиксируем окрестность $V(A)$. Тогда по определению предела функции $$\lim_{Y\ni{y}\to{b}}F(y)=A\Rightarrow\exists{U}(b):\forall{y}\in\mathring{U}_Y(b)(F(y)\in{V}(A))\quad(*)$$ $$(\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=b\wedge{f}(E)\subset{Y})\Rightarrow\exists{U}'(a):\forall{x}\in\mathring{U}{}'_E(a)(f(x)\in{U}_Y(b))\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\exists{U}(a):=U^*(a)\cap{U}'(a):\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(f(x)\neq{b}\wedge{f}(x)\in{U}_Y(b))\Rightarrow \forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(f(x)\in\mathring{U}_Y(b))\Rightarrow^{(*)}\forall{x}\in\mathring{U}_E(a)(F(f(x))\in{V}(A))$$

Пример 5.3.1: Контрпример к условию (2) теоремы.
${E}:=\mathbb{R},a=0,f(x)=x\sin\frac1{x},b:=\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=0$
$\displaystyle{Y}:=\mathbb{R},F(y):=\begin{cases}\ln|y|,y\neq0\\0,\quad\;\;{y}=0\end{cases},\lim_{Y\ni{y}\to{b}}F(y)=-\infty$
Первое условие теоремы выполнено, но не выполнено второе так как по пункту 1 следствия из принципа Архимеда для любого $\varepsilon>0$ существует $n\in\mathbb{N}$ такое, что $\frac1{\pi{n}}<\varepsilon$ и $f(\frac1{\pi{n}})=\frac1{\pi{n}}\sin{\pi{n}}=0$. Следовательно, любая окрестность $a=0$ содержит точку $x=\frac1{\pi{n}}$ такую что $f(x)=0=b$. Докажем, что функция $F(f(x))$ не имеет предела при $E\ni{x}\to{0}$. $$F(f(x))=\begin{cases}\ln|x\sin\frac1{x}|, & x\neq\frac1{\pi{n}}\\0, & {x}=\frac1{\pi{n}}\end{cases}$$ Рассмотрим две последовательности $\{x'_n\},\{x''_n\}$ из $E$ такие, что для любого $n\in\mathbb{N}$ $\displaystyle{x}'_n=\frac1{\pi{n}},x''_n=\frac1{\frac{\pi}{2}+\pi{n}}$, тогда $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(F(f(x'_n))=F\left(f\left(\frac1{\pi{n}}\right)\right)=F\left(\frac1{\pi{n}}\sin\pi{n}\right)=F(0)=0\right)\Rightarrow \lim_{n\to\infty}F(f(x'_n))=0$$ $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(F(f(x''_n))=F\left(f\left(\frac1{\frac{\pi}{2}+\pi{n}}\right)\right)= F\left(\frac1{\frac{\pi}{2}+\pi{n}}\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi{n}\right)\right)=ln\frac1{\frac{\pi}{2}+\pi{n}}\right)\Rightarrow \lim_{n\to\infty}F(f(x''_n))=-\infty$$ Таким образом $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x'_n=\lim_{n\to\infty}x''_n=0$, но последовательности $\{f(x'_n)\}$ и $\{f(x''_n)\}$ имеют разные пределы. Следовательно, в соответствии с критерием существования предела функции по Гейне, функция $F(f(x))$ не имеет предела при $E\ni{x}\to{a}$.

Следствие 5.3.1 Пусть для функций $f(x):E\to\mathbb{R}$, $F(y):Y\to\mathbb{R}$, где $f(E)\subset{Y},a\in\mathring{E},b\in\mathring{Y},A\in\overline{\mathbb{R}}$ выполнены условия

1. существуют окрестности ${U}^*(a),{U}^{**}(b)$ такие, что функция $f(x):\mathring{U}{}^*_E(a)\to\mathring{U}{}^{**}_Y(b)$ биективна,
2. $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=b$,
3. $\displaystyle{f}^{-1}(y):\mathring{U}{}^{**}_Y(b)\to\mathring{U}{}^*_E(a):\lim_{\mathring{U}{}^{**}_Y(b)\ni{y}\to{b}}f^{-1}(y)=a$,

Доказательство:

• $\Rightarrow)$
  Из первой предпосылки следует, что $f(\mathring{U}{}^*_E(a))=\mathring{U}{}^{**}_Y(b)$ и так как $b\notin\mathring{U}{}^{**}_Y(b)$, то для любого $x\in\mathring{U}{}^*_E(a)$ $f(x)\neq{b}$. Следовательно, для функций $f(x)$ и $F(y)$ выполнены условия теоремы о пределе композиции, и тогда $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}F(f(x))=A$.
• $\Leftarrow)$
  Рассмотрим функцию $F'(x):=F(f(x)):E\to\mathbb{R}$. Из первой предпосылки следует, что $f^{-1}(\mathring{U}{}^{**}_Y(b))=\mathring{U}{}^*_E(a)$ и так как $a\notin\mathring{U}{}^*_E(a)$, то для любого $y\in\mathring{U}{}^{**}_Y(b)$ $f^{-1}(y)\neq{a}$. Таким образом для пары функций $f^{-1}(y)$ и $F'(x)$ можно применить теорему о пределе композиции функций, тогда $$(\lim_{\mathring{U}{}^{**}_Y(b)\ni{y}\to{b}}f^{-1}(y)=a\wedge\lim_{E\ni{x}\to{a}}F'(x)=\lim_{E\ni{x}\to{a}}F(f(x))=A)\Rightarrow \lim_{\mathring{U}{}^{**}_Y(b)\ni{y}\to{b}}F'(f^{-1}(y))=A$$ Фиксируем окрестность $V(A)$, тогда по определению предела для функции $F'(f^{-1}(y))$ по множеству $\mathring{U}^{**}_Y(b)$ $$\exists{U}'(b):\forall{y}\in\mathring{U}{}'(b)\cap{U}^{**}_Y(b)(F'(f^{-1}(y))\in{V}(A))\Rightarrow \exists{U}(b):=U'(b)\cap{U}^{**}(b):\forall{y}\in\mathring{U}_Y(F'(f^{-1}(b))=F(f(f^{-1}(y)))=F(y)\in{V}(A))\Rightarrow\lim_{Y\ni{y}\to{b}}F(y)=A.$$

5.3.3 Предел монотонной функции.

Определение 5.3.3: Будем говорить, что функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ является

1. неубывающей на множестве $E$, если $$\forall{x}_1,x_2\in{E}(x_1>x_2\Rightarrow{f}(x_1)\geq{f}(x_2)),$$
2. возрастающей на множестве $E$, если $$\forall{x}_1,x_2\in{E}(x_1>x_2\Rightarrow{f}(x_1)\>f(x_2)),$$
3. невозрастающей на множестве $E$, если $$\forall{x}_1,x_2\in{E}(x_1>x_2\Rightarrow{f}(x_1)\leq{f}(x_2)),$$
4. убывающей на множестве $E$, если $$\forall{x}_1,x_2\in{E}(x_1>x_2\Rightarrow{f}(x_1)<f(x_2)).$$

Теорема 5.3.3: Теорема о пределе монотонной функции. Вариант теоремы для неубывающей функции.
Пусть функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ не убывает на множестве $E$, $s:=\sup{E}\in\overline{\mathbb{R}}$, $i:=\inf{E}\in\overline{\mathbb{R}}$, $s\in\mathring{E},i\in\mathring{E}$, тогда

1. существует конечный предел $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{s}}f(x)$ тогда и только тогда, когда $f(x)$ ограничена сверху на $E$,
2. существует конечный предел $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{i}}f(x)$ тогда и только тогда, когда $f(x)$ ограничена снизу на $E$.

Доказательство:

1. • $\Rightarrow)$
     Если $s\in{E}$, то по неубыванию функции $f(x)$ число $f(s)$ является мажорантой множества ее значений.
     Если $s\notin{E}$, тогда $$A:=\lim_{E\ni{x}\to{s}}f(x)\Rightarrow\forall\varepsilon>0(\exists{U}(s):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}(s)\Rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon))$$ $$\varepsilon:=2|A|\Rightarrow\exists{U}^*(x):\forall{x}\in{E}(x\in\mathring{U}(s)\Rightarrow|f(x)-A|<2|A|\Rightarrow{f}(x)-A<2|A|\Rightarrow {f}(x)<2|A|+A)$$ $$M_0:=2|A|+A>0\Rightarrow\forall{x}\in\mathring{U}{}^*_E(s)(f(x)\leq{M}_0)$$ $$x\notin{U}^*(s):=(\alpha,\beta)\Rightarrow(x\leq\alpha\wedge\alpha<s\wedge{x}\in\mathring{E})\Rightarrow (x\leq\alpha\wedge\exists{x}'\in{E}:\alpha<{x}'<s)\Rightarrow{x}<x'\Rightarrow{f}(x)\leq{f}(x')\leq{M}_0\Rightarrow\forall{x}\in{E}(f(x)\leq{M}_0)$$ Необходимо было рассмотреть случай $s\in{E}$ отдельно, потому что, если $s\in{E}$, то возможно, что точка $f(s)$ будет изолированной в множестве $f(E)$ и тогда может быть $M_0<{f}(s)$. Например, $E:=(0,1], f(x)=\begin{cases}x,x\in(0,1)\\5,x=1\end{cases}$, тогда $s=1,f(s)=5,M_0=3$, так как $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to1}f(x)=1$, и $M_0$ не является мажорантой множества $f(E)$.
   • $\Leftarrow)$
     Если функция $f(x)$ ограничена сверху на множестве $E$, то по принципу верхней грани множество $f(E)$ имеет конечный супремум $A:=\sup\{f(x)\:|\:x\in{E}\backslash\{s\}\}$. Покажем, что $\displaystyle{A}=\lim_{E\ni{x}\to{s}}f(x)$. Фиксируем $\varepsilon>0$. $$A=\sup\{f(x)\:|\:x\in{E}\backslash\{s\}\}\Rightarrow\exists{x}_0\in{E}\backslash\{s\}:f(x_0)>A-\varepsilon$$ Так как $f(x)$ не убывает, то $$(s=\sup{E}\wedge{x}_0\neq{s})\Rightarrow{x}_0<s\Rightarrow\exists{U}(s):=(x_0,+\infty):\forall{x}\in\mathring{U}_E(s)(x>x_0)\Rightarrow \forall{x}\in\mathring{U}_E(s)(f(x)\geq{f}(x_0)>A-\varepsilon)$$ С другой стороны $$A=\sup\{f(x)\:|\:x\in{E}\backslash\{s\}\}\Rightarrow\forall{x}\in\mathring{U}_E(f(x)\leq{A}<A+\varepsilon)\Rightarrow \forall{x}\in\mathring{U}_E(s)(|f(x)-A|<\varepsilon).$$
2. Доказывается аналогично пункту 1.

Получим несколько типичный следствий.

Следствие 5.3.2 Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ не убывает на $E$, $s:=\sup{E},i:=\inf{E}$, $s\in\mathring{E},i\in\mathring{E}$, тогда

1. предел $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{s}}f(x)$ равен $+\infty$ тогда и только тогда, когда функция $f(x)$ не ограничена сверху на множестве $E$,
2. предел $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{i}}f(x)$ равен $-\infty$ тогда и только тогда, когда функция $f(x)$ не ограничена снизу на множестве $E$.

Доказательство:

1. • $\Rightarrow)$
     Докажем от противного. Предположим, что $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{s}}f(x)=+\infty$ и $f(x)$ ограничена сверху на $E$. Но это противоречит теореме, так как из ограниченности следует существование конечного предела $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{s}}f(x)$.
   • $\Leftarrow)$
     Фиксируем окрестность $V(+\infty):=(a,+\infty)$, где $a\in\mathbb{R}$.
     Функция $f(x)$ не ограничена сверху на $E$, следовательно, она не ограничена сверху и на $E\backslash\{s\}$, тогда существует $x_0\in{E}\backslash\{s\}$ такое, что $f(x_0)>a$. $$(s=\sup{E}\wedge{x}_0\neq{s})\Rightarrow{x}_0<s\Rightarrow\exists{U}(s):=(x_0,+\infty):\forall{x}\in\mathring{U}_E(s)(x>x_0)\Rightarrow \forall{x}\in\mathring{U}_E(s)(f(x)\geq{f}(x_0)>a)\Rightarrow\forall{x}\in\mathring{U}_E(f(x)\in{V}(+\infty)).$$
2. Доказывается аналогично пункту 1.

Следствие 5.3.3: Монотонные функции и односторонние пределы.
Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ не убывает на $E$, $a\in\mathring{E}{}^+_a\cap\mathring{E}{}^-_a$, тогда $$\exists{f}(a-0)\wedge\exists{f}(a+0)\wedge{f}(a-0)\leq{f}(a+0)$$

Доказательство:Так как функция $f(x)$ не убывает, то $$a\in\mathring{E}{}^+_a\Rightarrow\exists{a}_0\in{E}:(a_0>a)\Rightarrow\forall{x}\in{E}^-_a(x<a<a_0)\forall{x}\in{E}^-_a(f(x)\leq{f}(a_0))$$ Следовательно, функция $f(x)$ ограничена сверху на множестве ${E}^-_a$. Тогда по теореме 5.3.3 $$a\in\mathring{E}{}^-_a\Rightarrow{a}=\sup{E}^-_a\Rightarrow\exists{f}(a-0):=\lim_{E^-_a\ni{x}\to{a}}f(x)=\sup({f}(E^-_a))\in\mathbb{R}$$ Аналогично доказывается, что $$\exists{f}(a+0):=\lim_{E^+_a\ni{x}\to{a}}f(x)=\inf(f(E^+_a))\in\mathbb{R}$$ По неубыванию функции $f(x)$ имеем $$\forall{x}'\in{E}^-_a,\forall{x}''\in{E}^+_a(x'<x'')\Rightarrow\forall{x}'\in{E}^-_a,\forall{x}''\in{E}^+_a(f(x')\leq{f}(x''))\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\forall{x}\in{E}^+_a(\sup(f(E^-_a))=f(a-0)\leq{f}(x))\Rightarrow{f}(a-0)\leq\inf(f(E^+_a))=f(a+0))\Rightarrow{f}(a-0)\leq{f}(a+0).$$

Следствие 5.3.4: Один типичный частный случай следствия 5.3.3.
Пусть $E:=(\alpha,\beta)$, функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ не убывает на $E$, тогда $$\forall{x}_0\in(\alpha,\beta)(\exists{f}(x_0-0)\wedge\exists{f}(x_0+0)\wedge{f}(x_0-0)\leq{f}(x_0+0))$$

Доказательство: Утверждение следует из следствия 5.3.3, так как если $E=(\alpha,\beta),a\in{E}$, то $a\in\mathring{E}{}^+_a\cap\mathring{E}{}^-_a$.

Следствие 5.3.5: Пусть $f(x):(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}$, тогда $$\forall{x}_0\in(\alpha,\beta)(\exists\lim_{(\alpha,\beta)\ni{x}\to{x}_0}f(x)\in\mathbb{E})\Leftrightarrow{f}(x_0-0)=f(x_0+0)$$

Доказательство: Из пункта 3 следствия из принципа Архимеда следует, что если $E=(\alpha,\beta),a\in{E}$, то $a\in\mathring{E}{}^+_a\cap\mathring{E}{}^-_a$. И тогда утверждение следует из решения задачи 5.1.1.

Определение 5.3.4: Пусть $f(x):E\to\mathbb{R},a\in\mathring{E}$, тогда число $A\in\overline{\mathbb{R}}$ является частичным пределом функции $f(x)$ при $E\ni{x}\to{a}$, если существует последовательность $\{x_n\}$ из $E$ такая, что $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=a$ и $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(x_n)=A$

Как и для случая последовательности можно доказать, для множества $P\subset\overline{\mathbb{R}}$ частичных пределов функции что

1. $\mathring{E}\neq\varnothing\Rightarrow{P}\neq\varnothing$
2. $P\neq\varnothing\Rightarrow(\exists{i}:=\inf{P}\wedge\exists{s}:=\sup{P})$
3. $(s\in{P}\wedge{i}\in{P})$
4. $(s=\max{P}\wedge{i}=\min{P})$