6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

6.1 Дифференциал и производная.

6.1.1 Некоторые характерные понятия и обозначения.

1. $\forall{x}_1,x_2\in\mathbb{R}(f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2))$
2. $\forall{x},\alpha\in\mathbb{R}(f(\alpha{x})=\alpha{f}(x))$

Легко проверить, что для любого $k\in\mathbb{R}$ отображение $f(x)=kx$ будет линейным.

Определение 6.1.1: Понятие функции дифференцируемой в точке.
Будем говорить, что функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ дифференцируема в точке $x\in{E}\cap\mathring{E}$ по множеству $E$, если существует линейное относительно приращения аргумента $h$ отображение $A(x)h$ такое, что $$\Delta{f}(x,h)=f(x+h)-f(x)=A(x)h+\alpha(x,h),\;\alpha(x,h)=o(h),H_x\ni{h}\to0,\;H_x:=\{h\in\mathbb{R}\:|\:x+h\in{E}\}$$

Определение корректно, так как в силу того, что $x\in\mathring{E}$ выполняется $0\in\mathring{H_x}$.

Определение 6.1.2: Определение дифференцируемости функции в точке в других обозначениях.
Будем говорить, что функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ дифференцируема в точке $x_0\in{E}\cap\mathring{E}$ по множеству $E$, если существует линейное относительно приращения аргумента $x-x_0$ отображение $A(x)(x-x_0)$ такое, что $$\Delta{f}(x,x_0)=f(x)-f(x_0)=A(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0), E\ni{x}\to{x}_0$$

Данные обозначение имеют преимущество по отношению к обозначениям определения 6.1.1 так как нет необходимости вводить в рассмотрение множество $H_x$, по которому приращение стремится к нулю. Однако, в некоторых случаях, когда это удобно, будут использоваться обозначения из определения 6.1.1, при этом запись $H_x\ni{h}\to0,\;H_x:=\{h\in\mathbb{R}\:|\:x+h\in{E}\}$ будет сокращаться до $h\to0$.

Определение 6.1.3: Производная функции в точке.
Будем говорить, что функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ имеет производную в точке $x\in{E}\cap\mathring{E}$ по множеству $E$, если существует конечный предел $$f'_E(x):=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Определение 6.1.4: Односторонние производные.
Будем говорить, что функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ имеет правую производную в точке $x\in{E}\cap\mathring{E}{}^+_x$ по множеству $E$, если существует конечный предел $$f'_+(x):=\lim_{h\to0+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ Будем говорить, что функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ имеет левую производную в точке $x\in{E}\cap\mathring{E}{}^-_x$ по множеству $E$, если существует конечный предел $$f'_-(x):=\lim_{h\to0-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Определение 6.1.5: Дифференциал функции в точке.
Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x$ по множеству $E$, тогда линейное отображение задающее линейную (главную) часть приращения функции называют дифференциалом функции $f(x)$ в точке $x$ и обозначают $df(x)$.

То есть для функции $f(x)$ дифференцируемой в точке $x$ выполняется $df(x)(h):=A(x)h$, и $\Delta{f}(x,h)=df(x)(h)+o(h),h\to0$
Значение дифференциала функции на элементе $h$ - есть главная (линейная) часть приращения функции.
Если в определении дифференцируемости функции 6.1.1 не требовать $\alpha(x,h)=o(1)$ при $h\to0$, то определение вырождается, так как в этом случае любая функция была бы дифференцируема в любой точке по любому множеству.
Например для любой функции $f(x)$ можно было бы положить $A(x)\equiv0,\alpha(x,h)=f(x+h)-f(x)$.
Смысл отыскания дифференциала в том, чтобы найти такое линейное относительно приращения аргумента отображение, вычитание значения которого из соответствующего приращения функции давало бы величину бесконечно малую по сравнению с приращением аргумента, при приращении аргумента стремящемся к нулю.

Утверждение 6.1.1 Функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ дифференцируема в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда существует производная $f'_E(x_0)$ в точке $x_0$.

Доказательство: По определению производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, и по определению функции бесконечно малой по сравнению с другой функцией имеем $$f'_E(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\Leftrightarrow\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-f'_E(x_0)=o(1),h\to0\Leftrightarrow$$ $${f}(x_0+h)-f(x_0)=f'_E(x_0)h+o(1)h,h\to0\Leftrightarrow{f}(x_0+h)-f(x)=f'_E(x_0)h+o(h),h\to0$$ Последнее выражение реализует определение дифференцируемости функции $f(x)$ в точке $x_0$ при $A(x_0)=f'_E(x_0)$.

Утверждение 6.1.2: Если $f(x):E\to\mathbb{R}$ и $x\in{E}\cap\mathring{E}{}^-_x\cap\mathring{E}{}^+_x$, то производная $f'_E(x)$ существует тогда и только тогда, когда существуют и равны односторонние производные $f'_-(x)$, $f'_+(x)$.

Доказательство: Утверждение следует из задачи 5.1.1.

Утверждение 6.1.3: Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ дифференцируема в точке $x_0$, то она непрерывна в точке $x_0$.

Доказательство: По определению дифференцируемости функции $f(x)$ в точке $x_0$ существует $A(x_0)\in\mathbb{R}$ такое, что $$f(x)-f(x_0)=A(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0),x\to{x}_0\Rightarrow{f}(x)=f(x_0)+A(x_0)(x-x_0)+o(1),x\to{x}_0\Rightarrow \lim_{x\to{x}_0}f(x)=f(x_0)+A(x_0)\lim_{x\to{x_0}}(x-x_0)+0=f(x_0)$$ В последней импликации имеем право перейти к пределу так как предел правой части существует. Таким образом по утверждению 5.5.3 функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$.

$\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}$

Пример 6.1.1: Утверждение обратное утверждению 6.1.3 неверно.
Из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке, например, функция $f(x)=|x|$ непрерывна в точке 0, но не дифференцируема в ней. Действительно $$\left(f'_-(0)=\lim_{x\to0-}\frac{|x|-|0|}{x-0}=\lim_{x\to0-}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to0-}\sgn{x}=-1\wedge f'_+(0)=\lim_{x\to0+}\frac{|x|-|0|}{x-0}=\lim_{x\to0+}\sgn{x}=1\right)\Rightarrow{f}'_-(0)\neq{f}'_+(0)$$ Следовательно, по утверждениям 6.1.1, 6.1.2 функция $f(x)$ не дифференцируема в точке 0.

Иногда для практических целей вводят понятие бесконечной производной.
Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ непрерывна в точке $x_0\in{E}\cap\mathring{E}$ и $\displaystyle\lim_{x\to{x}_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\infty$, то считают, что $f'_E(x_0)=\infty$.

Выражение $f'(x)$ для обозначения производной от функции $f(x)$ предложено Лагранжем. Лейбниц ввел для производной функции $f(x)$ обозначение $\frac{df(x)}{dx}$. Оба обозначения в настоящее время используются как эквивалентные. Действительно так как при доказательстве утверждения 6.1.1 было показано, что $df(x,h)=f'(x)h$, то для функции $f(x)=x$ имеем $dx(x)h=f'(x)h=h$, тогда для произвольной функции $f(x)$ справедливо $$df(x)h=f'(x)h=f'(x)dx(x)h\Rightarrow{f}'(x)\frac{df(x)h}{dx(x)h}=\frac{df(x)}{dx(x)}\sim\frac{df(x)}{dx}$$ Отсутствие символа $h$ в обозначении $\frac{df(x)}{dx}$ говорит о независимости производной от приращения аргумента. Производная в точке есть значение в точке частного дифференциалов функции и независимой переменной.

6.1.2 Задача локальной линейной аппроксимации функции. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала.

Задача локальной линейной аппроксимации заключается в нахождении условий, при которых функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ непрерывная в точке $x_0\in{E}\cap\mathring{E}$ локально представима в виде $$f(x)=C_0+C_1(x-x_0)+o(x-x_0),E\ni{x}\to{x}_0,\;C_0,C_1\in\mathbb{R}$$ Что эквивалентно существованию предела $$\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}\frac{f(x)-C_0-C_1(x-x_0)}{x-x_0}=0\Leftrightarrow \lim_{E\ni{x}\to{x}_0}\frac{f(x)-C_0}{x-x_0}=C_1$$

Утверждение 6.1.4: Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ непрерывна в точке $x_0\in{E}\cap\mathring{E}$, то $$\exists{C}_0,C_1\in\mathbb{R}:f(x)=C_0+C_1(x-x_0)+o(x-x_0),E\ni{x}\to{x}_0\Leftrightarrow\exists{f}'(x_0)=C_1$$

Доказательство:

• $\Rightarrow)$
  Так как функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, то существует предел $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}f(x)=f(x_0)$, тогда $$f(x)=C_0+C_1(x-x_0)+o(x-x_0),E\ni{x}\to{x}_0\Rightarrow\lim_{E\in{x}\to{x}_0}f(x)=C_0+C_1\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}(x-x_0)+0\Rightarrow {f}(x_0)=C_0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow{f}(x)-f(x_0)=C_1(x-x_0)+o(1)(x-x_0),E\ni{x}\to{x}_0 \Rightarrow{C}_1=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-o(1),E\ni{x}\to{x}_0\Rightarrow{C}_1=\lim_{E\ni{x}\to{x}_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x)$$
• $\Leftarrow)$
  Существует, производная $f'(x_0)$, следовательно, функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и $df(x_0)=f'(x_0)$, тогда $$f(x)-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0),E\ni{x}\to{x}_0\Rightarrow\exists{C}_0:=f(x_0),\exists{C}_1:=f'(x_0):f(x)=C_0+C_1(x-x_0)+o(x-x_0),E\ni{x}\to{x}_0$$

Определение 6.1.6: Понятие касательной функции в точке.
Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ непрерывна в точке $x_0\in{E}\cap\mathring{E}$, то прямая $y=c_0+c_1h$ такая, что $$f(x)-[c_0+c_1(x-x_0)]=o(x-x_0),E\ni{x}\to{x}_0$$ называется касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Предполагается, что локально при $x\to{x}_0$ график функции $f(x)$ аппроксимируется графиком линейной (по приращению аргумента) функции с точностью до $o(x-x_0)$.
В силу доказанного выше утверждения 6.1.4 факт наличия касательной в точке $x_0$ (при условии непрерывности функции $f(x)$ в $x_0$) равносилен дифференцируемости функции $f(x)$ в точке $x_0$. Причем в случае дифференцируемости уравнение касательной имеет вид: $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$. Нетрудно видеть, в частности, что эта прямая всегда проходит через точку $(x_0,f(x_0))$, однако точка помимо точки $x_0$ касательная может иметь другие общие точки с графиком функции.

Пример 6.1.2: Рассмотрим функцию $f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac1{x}, & x\neq0\\0, & x=0\end{cases}$
Так как функция $\sin{x}$ ограничена на $\mathbb{R}$, то по свойству 1 бесконечно малых имеем $$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to{0}}\frac{h^2\sin\frac1{h}}{h}=\lim_{h\to0}\left(h\sin{\frac1{h}}\right)=0$$ Таким образом касательная к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид $y=f(0)=0$. Поскольку для любого $k\in\mathbb{N}$ $f(\frac1{\pi{k}})=(\frac1{\pi{k}})^2\sin(\pi{k})=0$, то, в частности, функция $f(x)$ имеет счетное число точек пересечения с графиком функции.

Задача 6.1.1: Выяснить, при каких значениях $\alpha$ функция $y(x)=\begin{cases}|x|^\alpha\sin\frac1{x}, & x\neq0\\0, & x=0\end{cases}$

1. непрерывна в точке 0,
2. дифференцируема в точке 0,
3. непрерывна, но не дифференцируема в точке 0,
4. дифференцируема в точке 0, и функция $y'(x)$ имеет точку разрыва в точке 0.

Решение

1. • При $\alpha=0$ $y(x)=\begin{cases}\sin{\frac1{x}}, & x\neq0\\0, & x=0\end{cases}$ и $\displaystyle\lim_{x\to0}y(x)\neq{y}(0)=0$, так как $$\exists\varepsilon=1:\forall\delta>0\exists{n}\in\mathbb{N}:\left(0<x=\frac2{\pi{n}}<\delta\wedge|y(x)|=1\geq\varepsilon\right)$$ Следовательно, точка 0 точка разрыва функции $y(x)$.
   • При $\alpha>0$ $y(x)=o(1)\sin{\frac1{x}},x\to0$ и так как функция $\sin{\frac1{x}}$ ограничена на $\mathbb{R}$, то $y(x)=o(1),x\to0$, то есть $\displaystyle\lim_{x\to0}y(x)=0=y(0)$, следовательно, функция $y(x)$ непрерывна в точке 0.
   • При $\alpha<0$ функция $y(x)$ локально не ограничена при $x\to0$, следовательно, не имеет предела в точке 0, и тогда 0 - точка разрыва.


2. Найдем правую и левую производные функции $y(x)$ в точке 0. $$y'_+(0)=\lim_{x\to0+}\frac{y(x)-y(0)}{x-0}=\lim_{x\to0+}\frac{|x|^\alpha\sin\frac1{x}}{x}=\lim_{x\to0+}\left(\sgn{x}|x|^{\alpha-1}\sin{\frac1{x}}\right)= \lim_{x\to{0}+}\left(|x|^{\alpha-1}\sin{\frac1{x}}\right)$$ Аналагично $\displaystyle{y}'_-(0)=-\lim_{x\to0-}(|x|^{\alpha-1}\sin{\frac1{x}})$. Таким образом
   • При $\alpha=1$ производной в точке 0 не существует, так как ни левой ни правой производной не существует по доказанному в пункте 1.
   • При $\alpha>1$ $y'(0)=y'_-(0)=y'_+(0)=0$
   • При $\alpha<1$ $y'_-(0)=-\infty\neq{y}'_+(0)=+\infty$, следовательно, производной в точке 0 даже бесконечной не существует.


3. По доказанному в пунктах 1, 2 функция $y(x)$ непрерывна но не дифференцируема в точке 0 при $\alpha\in(0,1]$


4. Как можно будет видеть после изложения раздела "Основные правила дифференцирования" для любого $\alpha\in\mathbb{R}$ и $x\neq0$ $y'(x)=\alpha|x|^{\alpha-1}\sin{\frac1{x}}-|x|^{\alpha-2}\cos{\frac1{x}}$, а при $x=0$, как было показано в пункте 2, производная существует только при $\alpha>1$, при этом $y'(0)=0$. Таким образом
   • При $\alpha\leq1$ функция $y'(x)$ не определена в точке 0, но точка 0 является предельной для области определения, значит точка 0 является точкой разрыва функции $y'(x)$. При этом предела функции $y'(x)=|x|^{\alpha-2}(|x|\sin{\frac1{x}}-\cos{\frac1{x}})$ при $x\to0$ не существует, следовательно, точка 0 точка разрыва второго рода.
   • При $1<\alpha\leq2$, $f'(0)=0$, но предела функции $y'(x)=\alpha|x|^{\alpha-1}\sin{\frac1{x}}-|x|^{\alpha-2}\cos{\frac1{x}}$ при $x\to0$ не существует, так как первое слагаемое стремится к нулю, а второе к бесконечности (при $\alpha\neq2$), следовательно, точка 0 точка разрыва второго рода функции $y'(x)$.
   • При $\alpha>2$ $y'(0)=0$ и существует предел $\displaystyle\lim_{x\to0}y'(x)=0$, следовательно, функция $y'(x)$ непрерывна в точке 0.

Задача нахождения производной имеет несколько практических приложений. Одно из них приближенное вычисление значений функции в окрестности точки, в которой значение функции известно.
Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ дифференцируема в точке $x_0$, тогда $$f(x)-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0),E\ni{x}\to{x}_0$$ следовательно, можно выписать приближенное равенство $f(x)\approx{f}(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$, которое выполняется с погрешностью $o(x-x_0)$. Таким образом получен легкий способ вычисления значения функции $f(x)$ в точке $x$ близкой к точке $x_0$.

$\newcommand{\arctg}{\operatorname{arctg}}$

Пример 6.1.2: Вычислим значение $\arctg1,02$
$x:=1,02,x_0:=1\Rightarrow{h}=x-x_0=1,02-1=0,02$
$f(x_0)=\arctg1=\frac{\pi}{4}=\frac{3,141}{4}$
Значение $\pi$ взяли с точностью до трех знаков, так как значение $x$ дано с точностью до двух.
$$f'(x)=(\arctg{x})'=\frac1{1+x^2}\Rightarrow{f}'(x_0)=f'(1)=\frac1{2}\Rightarrow\arctg1,02\approx\arctg{x}_0+f'(x_0)(x-x_0)=\frac{3,141}{4}+\frac1{2}0,02= 0,78525+0,01=0,795$$

previous contents next