5.5.5 Непрерывность обратной функции.

Утверждение 5.5.9: Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ строго монотонна на множестве $E$, то существует строго монотонная в том же смысле функция $f^{-1}(y):f(E)\to{E}$ обратная для $f(x)$.

Доказательство: Обозначим $Y:=f(E)$. Без ограничения общности будем считать, что функция $f(x)$ возрастает. Функция $f(x)$ строго монотонна на множестве $E$, значит $$\forall{x}_1,x_2\in{E}(x_1\neq{x}_2\Rightarrow(x_1<x_2\vee{x}_1>x_2)\Rightarrow({f}(x_1)<f(x_2)\vee{f}(x_1)>f(x_2))\Rightarrow {f}(x_1)\neq{f}(x_2))$$ то есть функция $f(x)$ инъективна. Тогда для $f(x)$ существует обратная функция $f^{-1}(y):Y\to{E}$. Докажем, что если функция $f(x)$ возрастает, что для любых $x_1,x_2\in{E}$ таких, что $f(x_1)<f(x_2)$ выполняется $x_1<x_2$. Действительно, предположим противное $$(f(x_1)<f(x_2)\wedge{x}_1\geq{x}_2)\Rightarrow({f}(x_1)<f(x_2)\wedge{x}_1\neq{x}_2\wedge{x}_1\geq{x}_2)\Rightarrow ({f}(x_1)<f(x_2)\wedge{x}_1>x_2)\Rightarrow({x}_2<x_1\wedge{f}(x_1)\leq{f}(x_2))\equiv\neg(x_2<x_1\Rightarrow{f(x_2)<f(x_1)}),$$ где первая импликация по определению функции, так как в предложенных условиях $f(x_1)\neq{f}(x_2)$. Таким образом получено противоречие с возрастанием функции $f(x)$, следовательно, для любых $x_1,x_2\in{E}$ таких, что $f(x_1)<f(x_2)$ выполнено $x_1<x_2$. Докажем, что функция $f^{-1}(y)$ возрастает, фиксируем $y_1,y_2\in{Y}$ такие, что $y_1<y_2$, тогда $$(y_1,y_2\in{Y}\wedge{y}_1<y_2)\Rightarrow\exists!{x}_1,x_2\in{E}:(x_1=f^{-1}(y_1)\wedge{x}_2=f^{-1}(y_2)\wedge{y}_1=f(x_1)<y_2=f(x_2))\Rightarrow {f}^{-1}(y_1)<{f}^{-1}(y_2).$$

Утверждение 5.5.10: Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ монотонна и $a\in{E}$ точка разрыва функции $f(x)$, тогда $a$ точка разрыва первого рода.

Доказательство: Без ограничения общности будем считать, что функция $f(x)$ не убывающая. Так как неубывание следует из возрастания, а случаи убывания и невозрастания доказываются аналогично.
Если $a$ точка разрыва, то точка $a$ не может быть изолированной точкой, так как в изолированной точке любая функция непрерывна, следовательно, $a\in\mathring{E}$. Если $a\in\mathring{E}$, тогда либо $a\in\mathring{E}{}^+_a$, либо $a\in\mathring{E}{}^-_a$.
Пусть $a\in\mathring{E}{}^-_a$. Так как функция $f(x)$ не убывающая, то для любого $x\in{E}^-_a$ $f(x)\leq{f}(a)$, то есть функция $f(x)$ ограничена сверху на множестве $E^-_a$. Так как $a=\sup{E}^-_a$, то по теореме о пределе монотонной функции существует конечный предел $\displaystyle{f}(a-0):=\lim_{E^-_a\ni{x}\to{a}}f(x)$.
Аналогично доказывается, что если $a\in\mathring{E}{}^+_a$, то существует конечный предел $f(a+0)$.
Таким образом для точки $a$ реализовано определение точки разрыва первого рода.

Утверждение 5.5.11: Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ монотонна и $a\in{E}$ точка разрыва первого рода, тогда $$(a\in\mathring{E}{}^-_a\wedge\exists{f}(a-0)\leq{f}(a))\vee(a\in\mathring{E}{}^+_a\wedge\exists{f}(a+0)\geq{f}(a))$$ и если оба предела существуют, то по крайней мере одно из неравенств строгое.

Доказательство: Без ограничения общности будем считать, что функция $f(x)$ не убывает. Аналогично предыдущему утверждению доказывается существование предела $f(a-0)$ при условии $a\in\mathring{E}{}^-_a$ и предела $f(a+0)$ при условии $a\in\mathring{E}{}^+_a$. Тогда так как $f(x)$ не убывает то по следствию 5.2.1 $$\forall{x}\in{E}^-_a(x<a)\Rightarrow\forall{x}\in{E}^-_a(f(x)\leq{f}(a))\Rightarrow{f}(a-0)=\lim_{E^-_a\ni{x}\to{a}}f(x)\leq{f}(a)$$ Аналогично $f(a+0)\geq{f}(a)$.
Если оба предела существуют и $f(a-0)=f(a+0)=f(a)$, то по задаче 5.1.1 существует предел то $\displaystyle\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=f(a)$, а это противоречит наличию разрыва в точке $a$. Значит либо $f(a-0)<f(a)$, либо $f(a+0)>f(a)$.

Следствие 5.5.4: Если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ монотонна, $a\in{E}$ точка разрыва первого рода, тогда

1. если $f(a-0)<f(a)$, то $(f(a-0),f(a))\cap{f}(E)=\varnothing$.
2. если $f(a)<f(a+0)$, то $(f(a),f(a+0))\cap{f}(E)=\varnothing$.

Доказательство: Без ограничения общности будем считать, что функция $f(x)$ не убывающая.

1. Для любого $x\in{E}$ либо $x=a$, либо $x\in{E}^-_a$, либо $x\in{E}^+_a$
   • Если $x=a$, то ${f}(x)=f(a)\notin(f(a-0),f(a))$.
   • Если $x\in{E}^-_a$, то $f(x)\leq{f}(a-0)$.
     Действительно, если предположить, что существует $x_0\in{E}{}^-_a$ такое, что $f(x_0)>f(a-0)$, то по неубыванию функции $f(x)$ для любого $x\in{E}^-_a$, такого, что $x>x_0$ $f(x)>f(x-0)$, a это противоречит тому, что $\displaystyle\lim_{E^-_a\ni{x}\to{a}}f(x)=f(a-0)$. Значит для любого $x\in{E}^-_a$ $f(x)\leq{f}(a-0)$, следовательно, $f(x)\notin(f(a-0),f(a))$.
   • Если $x\in{E^+_a}$, то $x>a$, следовательно, по неубыванию функции $f(x)$ $f(x)\geq{f}(a)$ и $f(x)\notin(f(a-0),f(a))$.
2. Доказывается аналогично пункту 1.

Задача 5.5.6: Доказать, что если функция $f(x):E\to\mathbb{R}$ монотонна (б. о. о неубывающая),

1. то функция $f(x)$ имеет не более двух точек разрыва второго рода, ими могут быть только $\sup{E}$, $\inf{E}$,
2. то множество неустранимых точек разрыва первого рода функции $f(x)$ не более чем счетно,
3. то если $f(x)\in{C}[a,b]$, то $f(x)$ строго монотонна на $[a,b]$ тогда и только тогда, когда $f(x)$ инъективна на $[a,b]$.

Решение:

1. Докажем от противного. Пусть $a$ точка разрыва второго рода, $a\neq\sup{E}$ и $a\neq\inf{E}$, тогда по неубыванию $f(x)$ $$(a\neq\sup{E}\wedge{a}\neq\inf{E})\Rightarrow\exists{x}_1,x_2\in{E}:(x_1>a\wedge{x}_2<a)\Rightarrow (\forall{x}\in{E}^-_a(x_1>x)\wedge\forall{x}\in{E}^+_a(x_2<x)\Rightarrow\forall{x}\in{E}^-_a({f}(x)<f(x_1))\wedge\forall{x}\in{E}^+_a(f(x)>f(x_2))$$ Таким образом функция $f(x)$ ограничена на множестве $E^-_a$ сверху, и на множестве $E^+_a$ снизу. Так как $a$ точка разрыва, то $a\in\mathring{E}$, то есть $a\in\mathring{E}{}^-_a$ и\или $a\in\mathring{E}{}^+_a$, тогда по теореме о пределе монотонной функции если $a\in{E}{}^-_a$ то существует конечный предел $f(a-0)$, если $a\in\mathring{E}{}^+_a$, то существует конечный предел $f(a+0)$. Таким образом $a$ точка разрыва первого рода.
2. Определим функцию $g(x)$ следующим образом: $$g(x):=\begin{cases} f(x), & x\in{E}\\ f(x+0), & x\in\mathring{E}\backslash{E}\wedge\exists{f}(x+0)\\ f(x-0), & x\in\mathring{E}\backslash{E}\wedge\nexists{f}(x+0)\wedge\exists{f}(x-0) \end{cases}$$ Таким образом все не устранимые точки разрыва первого рода функции $g(x)$ принадлежат ее области определения $E'$ и их количество не меньше чем количество неустранимых точек разрыва функции $f(x)$. При этом функция $g(x)$ будет неубывающей.
   По следствию 5.5.4 каждой не устранимой точке разрыва первого рода $a$ функции $g(x)$ соответствует интервал ($(g(a-0),g(a))$ или $(g(a),g(a+0))$) не содержащий значений функции. При этом для двух различных точек разрыва $a_1<a_2$ эти интервалы не пересекаются так как существует $x\in{E}'$ такое, что $a_1<x<x_2$ и по неубыванию $g(x)$ $g(a_1+0)\leq{f}(x)\leq{g}(a_2-0)$. Но любое множество не пересекающихся интервалов из $\mathbb{R}$ не более чем счетно, так как каждый интервал по пункту 3 следствия из принципа Архимеда содержит рациональное число, и ни какое $r\in\mathbb{Q}$ не содержится в двух интервалах. Следовательно, утверждение следует из счетности множества $\mathbb{Q}$.
3. Без ограничения общности будем считать, что функция $f(x)$ возрастает.
   • $\Rightarrow)$
     $$\forall{x}_1,x_2\in{E}(x_1\neq{x}_2\Rightarrow(x_1<x_2\vee{x}_2<x_1)\Rightarrow(f(x_1)<f(x_2)\vee{f}(x_2)<f(x_1))\Rightarrow{f}(x_1)\neq{f}(x_2))$$
   • $\Leftarrow)$
     Предположим противное: $f(x)$ инъективна и не строго монотонна.
     Функция $f(x)$ не строго монотонна, значит существуют $x_1,x_2,x_3,x_4\in{E}$ такие что $$(x_1<x_2\wedge{y}_1:=f(x_1)\leq{y}_2:=f(x_2))\wedge(x_3<x_4\wedge{y}_3:=f(x_3)\geq{y}_4:=f(x_4))$$ Из инъективности в свою очередь следует, что $$(y_1\neq{y}_2\wedge{y}_3\neq{y}_4)\Rightarrow(x_1<x_2\wedge{y}_1<{y}_2\wedge{x}_3<x_4\wedge{y}_3>y_4)$$ Существует шесть вариантов взаимного расположения точек $x_1,x_2,x_3,x_4$ удовлетворяющих условию $x_1<x_2$ и $x_3<x_4$. Действительно, при заданном положении точек $x_1,x_2$ положение точек $x_3,x_4$ определено однозначно, положение же точек $x_1,x_2$ при четырех возможных позициях можно задать шестью способами. Для каждого из шести вариантов взаимного расположения точек $x_1,x_2,x_3,x_4$ существует шесть вариантов взаимного расположения точек $y_1,y_2,y_3,y_4$ удовлетворяющих условию $y_1<y_2$ и $y_3>y_4$. Для каждого из тридцати шести вариантов взаимного расположения точек $x_1,x_2,x_3,x_4,y_1,y_2,y_3,y_4$ найдем такие $x'<x''<x'''$, что $f(x'')$ не лежит между $f(x')$ и $f(x''')$
     1. $(x_1<x_2<x_3<x_4\wedge{y}_1<y_2<y_3<y_4)\Rightarrow(x':=x_2\wedge{x}'':=x_3\wedge{x}''':=x_4)$
     2. $(x_1<x_2<x_3<x_4\wedge{y}_1<y_4<y_2<y_3)\Rightarrow(x':=x_2\wedge{x}'':=x_3\wedge{x}''':=x_4)$
     3. $(x_1<x_2<x_3<x_4\wedge{y}_1<y_4<y_3<y_2)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_2\wedge{x}''':=x_3)$
     4. $(x_1<x_2<x_3<x_4\wedge{y}_4<y_1<y_2<y_3)\Rightarrow(x':=x_2\wedge{x}'':=x_3\wedge{x}''':=x_4)$
     5. $(x_1<x_2<x_3<x_4\wedge{y}_4<y_1<y_3<y_2)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_2\wedge{x}''':=x_3)$
     6. $(x_1<x_2<x_3<x_4\wedge{y}_4<y_3<y_1<y_2)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_2\wedge{x}''':=x_3)$
     7. $(x_1<x_3<x_2<x_4\wedge{y}_1<y_2<y_4<y_3)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_3\wedge{x}''':=x_2)$
     8. $(x_1<x_3<x_2<x_4\wedge{y}_1<y_4<y_2<y_3)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_3\wedge{x}''':=x_2)$
     9. $(x_1<x_3<x_2<x_4\wedge{y}_1<y_4<y_3<y_2)\Rightarrow(x':=x_3\wedge{x}'':=x_2\wedge{x}''':=x_4)$
     10. $(x_1<x_3<x_2<x_4\wedge{y}_4<y_1<y_2<y_3)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_3\wedge{x}''':=x_2)$
     11. $(x_1<x_3<x_2<x_4\wedge{y}_4<y_1<y_3<y_2)\Rightarrow(x':=x_3\wedge{x}'':=x_2\wedge{x}''':=x_4)$
     12. $(x_1<x_3<x_2<x_4\wedge{y}_4<y_3<y_1<y_2)\Rightarrow(x':=x_3\wedge{x}'':=x_2\wedge{x}''':=x_4)$
     13. $(x_1<x_3<x_4<x_2\wedge{y}_1<y_2<y_4<y_3)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_3\wedge{x}''':=x_4)$
     14. $(x_1<x_3<x_4<x_2\wedge{y}_1<y_4<y_2<y_3)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_3\wedge{x}''':=x_4)$
     15. $(x_1<x_3<x_4<x_2\wedge{y}_1<y_4<y_3<y_2)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_3\wedge{x}''':=x_4)$
     16. $(x_1<x_3<x_4<x_2\wedge{y}_4<y_1<y_2<y_3)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_3\wedge{x}''':=x_4)$
     17. $(x_1<x_3<x_4<x_2\wedge{y}_4<y_1<y_3<y_2)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_3\wedge{x}''':=x_4)$
     18. $(x_1<x_3<x_4<x_2\wedge{y}_4<y_3<y_1<y_2)\Rightarrow(x':=x_3\wedge{x}'':=x_4\wedge{x}''':=x_2)$
     19. $(x_3<x_1<x_2<x_4\wedge{y}_1<y_2<y_4<y_3)\Rightarrow(x':=x_3\wedge{x}'':=x_1\wedge{x}''':=x_2)$
     20. $(x_3<x_1<x_2<x_4\wedge{y}_1<y_4<y_2<y_3)\Rightarrow(x':=x_3\wedge{x}'':=x_1\wedge{x}''':=x_2)$
     21. $(x_3<x_1<x_2<x_4\wedge{y}_1<y_4<y_3<y_2)\Rightarrow(x':=x_3\wedge{x}'':=x_1\wedge{x}''':=x_2)$
     22. $(x_3<x_1<x_2<x_4\wedge{y}_4<y_1<y_2<y_3)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_2\wedge{x}''':=x_4)$
     23. $(x_3<x_1<x_2<x_4\wedge{y}_4<y_1<y_3<y_2)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_2\wedge{x}''':=x_4)$
     24. $(x_3<x_1<x_2<x_4\wedge{y}_4<y_3<y_1<y_2)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_2\wedge{x}''':=x_4)$
     25. $(x_3<x_1<x_4<x_2\wedge{y}_1<y_2<y_4<y_3)\Rightarrow(x':=x_3\wedge{x}'':=x_1\wedge{x}''':=x_4)$
     26. $(x_3<x_1<x_4<x_2\wedge{y}_1<y_4<y_2<y_3)\Rightarrow(x':=x_3\wedge{x}'':=x_1\wedge{x}''':=x_4)$
     27. $(x_3<x_1<x_4<x_2\wedge{y}_1<y_4<y_3<y_2)\Rightarrow(x':=x_3\wedge{x}'':=x_1\wedge{x}''':=x_4)$
     28. $(x_3<x_1<x_4<x_2\wedge{y}_4<y_1<y_2<y_3)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_4\wedge{x}''':=x_2)$
     29. $(x_3<x_1<x_4<x_2\wedge{y}_4<y_1<y_3<y_2)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_4\wedge{x}''':=x_2)$
     30. $(x_3<x_1<x_4<x_2\wedge{y}_4<y_3<y_1<y_2)\Rightarrow(x':=x_1\wedge{x}'':=x_4\wedge{x}''':=x_2)$
     31. $(x_3<x_4<x_1<x_2\wedge{y}_1<y_2<y_4<y_3)\Rightarrow(x':=x_4\wedge{x}'':=x_1\wedge{x}''':=x_2)$
     32. $(x_3<x_4<x_1<x_2\wedge{y}_1<y_4<y_2<y_3)\Rightarrow(x':=x_4\wedge{x}'':=x_1\wedge{x}''':=x_2)$
     33. $(x_3<x_4<x_1<x_2\wedge{y}_1<y_4<y_3<y_2)\Rightarrow(x':=x_4\wedge{x}'':=x_1\wedge{x}''':=x_2)$
     34. $(x_3<x_4<x_1<x_2\wedge{y}_4<y_1<y_2<y_3)\Rightarrow(x':=x_3\wedge{x}'':=x_4\wedge{x}''':=x_1)$
     35. $(x_3<x_4<x_1<x_2\wedge{y}_4<y_1<y_3<y_2)\Rightarrow(x':=x_3\wedge{x}'':=x_4\wedge{x}''':=x_1)$
     36. $(x_3<x_4<x_1<x_2\wedge{y}_4<y_3<y_1<y_2)\Rightarrow(x':=x_3\wedge{x}'':=x_4\wedge{x}''':=x_1)$
     Таким образом в $[a,b]$ существуют $x'<x''<x'''$ такие, что $f(x'')$ не лежит между $f(x')$ и $f(x''')$. Но одна точка должна лежать между двумя другими, значит либо $f(x')$ лежит между $f(x'')$ и $f(x''')$, либо $f(x''')$ лежит между $f(x')$ и $f(x'')$. Если $f(x')$ лежит между $f(x'')$ и $f(x''')$, то по следствию 5.5.2 из теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении $$f(x)\in{C}[a,b]\Rightarrow{f}(x)\in{C}[x'',x''']\Rightarrow\exists{x}_0\in[a,b]:(x'<x''<x_0<x'''\wedge{f}(x_0)=f(x'))\Rightarrow (x'\neq{x}_0\wedge{f}(x_0)=f(x'))$$ но это противоречит инъективности функции $f(x)$.
     Случай $f(x''')\in(f(x'),f(x'') )$ рассматривается аналогично.

Утверждение 5.5.12: Критерий непрерывности монотонной функции.
Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ монотонна, без ограничения общности не убывающая, то $$f(x)\in{C}[a,b]\Leftrightarrow{f}([a,b])=[f(a),f(b)]$$

Доказательство:

• $\Rightarrow)$
  По теореме Вейерштрасса об экстремальном значении функция $f(x)\in{C}[a,b]$ достигает на своей области определения минимума и максимума, то есть существуют числа $\displaystyle{m}:=\min_{x\in[a,b]}f(x)$ и $\displaystyle{M}:=\max_{x\in[a,b]}f(x)$.
  Так как фукнция $f(x)$ не убывающая, то $$\forall{x}\in[a,b](a\leq{x}\wedge{b}\geq{x})\Rightarrow\forall{x}\in[a,b](f(a)\leq{f}(x)\wedge{f}(b)\geq{f}(x))\Rightarrow(f(a)=m\wedge{f}(b)=M)$$ По следствию 5.5.3 $f([a,b])=[m,M]=[f(a),f(b)]$.
• $\Leftarrow)$
  Предположим, что $c\in\mathbb{R}$ точка разрыва функции $f(x)$, тогда она является предельной точкой для множества $E:=[a,b]$, но множество предельных точек отрезка совпадает с множеством точек отрезка, следовательно, $c\in{E}$. Тогда по утверждению 5.5.10 $c$ точка разрыва первого рода. По условию $f(E)=[f(a),f(b)]$, то есть функция $f(x)$ ограничена и $a=\inf[a,b]$, $b=\sup[a,b]$, следовательно, по теореме о пределе монотонной функции $$\exists\lim_{E\ni{x}\to{a}}f(x)=\inf_{x\in[a,b]}f(x)=\inf[f(a),f(b)]=f(a)$$ $$\exists\lim_{E\ni{x}\to{b}}f(x)=\sup_{x\in[a,b]}f(x)=\sup[f(a),f(b)]=f(b)$$ Таким образом, по утверждению 5.5.3 функция $f(x)$ непрерывна в концах отрезка значит точка разрыва $c$ не может быть одним из концов отрезка. То есть $c\in(a,b)$ и тогда $c\in\mathring{E}{}^-_a\cap\mathring{E}{}^+_a$. Следовательно, по следствию 5.3.4 существуют оба односторонних предела $f(c-0),f(c+0)$, тогда по утверждению 5.5.11 либо $f(a-0)<f(a)$, либо $f(a)<f(a+0)$ и по следствию 5.5.4 соответственно либо $(f(a-0),f(a))\cap{E}=\varnothing$, либо $(f(a),f(a+0))\cap{E}=\varnothing$, что противоречит предпосылке $f(E)=[f(a),f(b)]$.

Теорема 5.5.5: Теорема о непрерывности обратной функции.
Если функция $f(x):[a,b]\to\mathbb{R}$ строго монотонна и непрерывна на $[a,b]$, то существует обратная ей функция $f^{-1}(y):[f(a),f(b)]\to[a,b]$ непрерывная на $[f(a),f(b)]$.

Доказательство: По утверждению 5.5.12 $f([a,b])=[f(a),f(b)]$, следовательно, по утверждению 5.5.9 существует обратная ей функция $f^{-1}(y):[f(a),f(b)]\to[a,b]$ строго монотонная в том же смысле. И так как $f^{-1}([f(a),f(b)])=[a,b]=[f^{-1}(f(a)),f^{-1}(f(b))]$, то по критерию непрерывности монотонной функции функция $f^{-1}(y)$ непрерывна.

Таким образом строго монотонная и непрерывная на отрезке функция имеет обратную, которая тоже задана на отрезке, строго монотонна и непрерывна на нем.

Следствие 5.5.5: Вариант теоремы о непрерывности обратной функции для случая интервала.
Пусть $a,b\in\overline{\mathbb{R}}$ такие, что $a<b$. Если функция $f(x):(a,b)\to{\mathbb{R}}$ строго монотонна, без ограничения общности возрастает, и непрерывна на $(a,b)$, тогда

1. существует обратная ей функция $f^{-1}(y):(c,d)\to(a,b)$ строго монотонная в том же смысле
2. $f^{-1}(y)\in{C}((c,d))$

Доказательство: По теореме о пределе монотонной функции и следствию 5.3.2 из нее на расширенной прямой $\overline{\mathbb{R}}$ существуют односторонний пределы $c=f(a+0)$, $d=f(b-0)$. И по возрастанию функции $f(x)$ $c<d$.

1. По утверждению 5.5.9 существует обратная функции $f(x)$ функция $f^{-1}(y):f((a,b))\to(a,b)$. Докажем, что $f((a,b))=(c,d)$. Фиксируем $t\in(c,d)=(f(a+0),f(b-0))$.
   По теореме о пределе монотонной функции и следствию 5.3.2 из нее $$\forall{t}\in(c,d)(\inf{f}((a,b))<t<\sup{f}((a,b)))\Rightarrow\forall{t}\in(c,d)\:\exists{x}_1,x_2\in(a,b):(x_1<x_2\wedge{f}(x_1)\leq{t}\leq{f}(x_2))$$ По следствию 5.5.2 из теоремы Больцано - Коши о промежуточном значении функция $f(x)$ принимает все промежуточные значения на отрезке $[f(x_1),f(x_2)]$, значит существует $x_0\in[x_1,x_2]\subset(a,b)$ такое, что $f(x_0)=t$. Таким образом $$\forall{t}\in(c,d)(\exists{x}_0\in(a,b):f(x_0)=t)\Leftrightarrow{f}((a,b))=(c,d)$$
2. Фиксируем $t\in(c,d)$. Существует отрезок $[\alpha,\beta]$ такой, что $t\in[\alpha,\beta]\subset(c,b)$. Обозначим $p:=f^{-1}(\alpha)$, $q:=f^{-1}(\beta)$. Функция $f(x):[p,q]\to[\alpha,\beta]$ непрерывна и строго монотонна на $[p,q]$, значит по теореме о непрерывности обратной функции функция $f^{-1}(y):[\alpha,\beta]\to[p,q]$ непрерывна и строго монотонна на $[\alpha,\beta]$. Значит функция $f^{-1}(y)$ непрерывна в точке $t\in[\alpha,\beta]$, то есть непрерывна в любой наперед заданной точке интервала $(c,d)$.

Пример 5.5.6:

1. Функция $f(x):=\sin{x}$ непрерывна и возрастает на отрезке $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, следовательно, по теореме о непрерывности обратной функции функция $f^{-1}(x):=\arcsin{x}$ непрерывна на отрезке $f([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])=[f(-\frac{\pi}{2}),f(\frac{\pi}{2})]=[-1,1]$.
   Из этого в частности следует, что $\displaystyle\lim_{x\to0}\arcsin{x}=0$


2. Функция $f(x):=\cos{x}$ непрерывна и убывает на отрезке $[0,\pi]$, следовательно, теореме о непрерывности обратной функции фукнция $f^{-1}(x):=\arccos{x}$ непрерывна на отрезке $f([0,\pi])=[f(\pi),f(0)]=[-1,1]$. Заметим, что в силу убывания функции $f(x)$ в данном случае $f([0,\pi])=[f(\pi),f(0)]$, так как $f(0)>f(\pi)$.


3. Функция $f(x):=\tg{x}$ непрерывна и возрастает на интервале $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, причем $f(\frac{\pi}{2}+0)=-\infty$, $f(\frac{\pi}{2}-0)=+\infty$, поэтому по следствию 5.5.5 функция $f^{-1}(x):=\arctg{x}:\mathbb{R}\to(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ непрерывна на $(-\infty,+\infty)=\mathbb{R}$ и по утверждению 5.5.9 возрастает на $\mathbb{R}$.


4. Функция $f(x):=\arcctg{x}:\mathbb{R}\to(0,\pi)$ непрерывна и убывает на $\mathbb{R}$, причем $f(-\infty+0)=0$, $f(+\infty+0)=\pi$, следовательно, функция $f^{-1}(x):=\ctg(x):(0,\pi)\to\mathbb{R}$ непрерывна на интервале $(0,\pi)$ по следствию 5.5.5 и убывает по утверждению 5.5.9.

Определение 5.5.10: Функции $\varphi(t),\psi(t):T\to\mathbb{R}$ такие, что $\varphi(t)$ инъективна на $T$, тогда будем говорить, что совокупности равенств $\begin{cases}x=\varphi(t), & x\in{T}\\y=\psi(t), & x\in{T}\end{cases}$ задает параметрически функцию $y=f(x):=\psi(\varphi^{-1}(x)):\varphi(T)\to\mathbb{R}$.

Не для любой пары функций $\varphi(t),\psi(t):T\to\mathbb{R}$ можно подобрать такую функцию $f(x)$, чтобы функции $\varphi(t),\psi(t)$ задавали $f(x):\varphi(T)\to\mathbb{R}$ параметрически, так как функция $\varphi(t)$ может не иметь обратной функции.

Утверждение 5.5.13: Пусть $T:=[\alpha,\beta]$ функции $\varphi(t),\psi(t):T\to\mathbb{R}$ такие, что $\varphi(t),\psi(t)\in{C}(T)$, $\varphi(t)$ строго монотонна на $T$, тогда $$\exists{f}(x):=\psi(\varphi^{-1}(x)):[\varphi(\alpha),\varphi(\beta)]\to[\alpha,\beta]: f(x)\in{C}([\varphi(\alpha),\varphi(\beta)])$$

Доказательство: Обозначим $a:=\varphi(\alpha)$, $b:=\varphi(\beta)$. Функция $\varphi(t)$ строго монотонна на $T$, следовательно, по утверждению 5.5.9 функция $\varphi(t):[\alpha,\beta]\to[a,b]$ биективна и существует функция $\varphi^{-1}(t):[a,b]\to[\alpha,\beta]$ обратная для $\varphi(t)$ строго монотонная в том же смысле. Следовательно, существует функция $f(x):=\psi(\varphi^{-1}(x)):[a,b]\to[\alpha,\beta]$.
По теореме о непрерывности обратной фукнции $\varphi^{-1}(t)$ непрерывна, следовательно, по пункту 5 теоремы 5.5.1 функция $f(x)$ непрерывна как композиция непрерывных.

Аналогично доказывается утверждение для случая интервала при $T:=(\alpha,\beta)$ и $a:=f(\alpha+0)$, $b:=f(\beta-0)$, только вместо теоремы о непрерывности обратной функции используется следствие 5.5.5 из нее.

previous contents next