В отличии от производной, первообразная от элементарной функции может не быть элементарной функцией.
Например, первообразные
$$\int{e}^{-x^2}dx,\int\sin{x^2}dx,\int\cos{x^2}dx,\int\frac{\sin{x}}{x}dx,\int\frac{\cos{x}}{x}dx$$
не являются элементарными функциями.
Однако, есть классы элементарных функций, для всех элементов которых первообразная будет элементарной функцией.
Одним из таких классов является класс рациональных функций.
Определение 8.1.3: Рациональной функцией или рациональной дробью называется частное двух многочленов:
$R(x):=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$.
Здесь $P_n(x)$ и $Q_m(x)$ многочлены степени $n$ и $m$ соответственно.
Определение 8.1.4: Рациональную дробь $R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ называют правильной,
если $n<m$, то есть степень многочлена стоящего в числителе меньше чем степень многочлена стоящего в знаменателе.
Если $n\geq{m}$, то существуют многочлены $T_s(x)$ и $P_t(x)$ такие, что $t<m$ и $R(x)=T_s(x)+\frac{P_t(x)}{Q_m(x)}$.
Так как операция взятия неопределенного интеграла линейна, то
$$\int{R}(x)dx=\int\left(T_s(x)+\frac{P_t(x)}{Q_m(x)}\right)dx=\int{T}_s(x)dx+\int\frac{P_t(x)}{Q_m(x)}dx$$
То есть если дана рациональная дробь $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ и $n\geq{m}$, то осуществляем деление и получаем сумму многочлена $T_s(x)$
и правильной рациональной дроби $\frac{P_t(x)}{Q_m(x)}$. Алгоритм вычисления неопределенного интеграла от многочлена понятен в силу
линейности операции взятия неопределенного интеграла. Таким образом задача вычисления неопределенного интеграла от рациональной функции сводится к
задаче вычисления неопределенного интеграла от правильной рациональной дроби.
Определение 8.1.5: Пусть $s,m\in\mathbb{N}$; $A,M,N,a,p,q\in\mathbb{R}$ такие, что $\frac{p^2}{4}-q<0$, тогда
правильная рациональная дробь вида $\displaystyle\frac{A}{(x-a)^s}$ или $\displaystyle\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^m}$ называется простейшей.
Условие $\frac{p^2}{4}-q$ означает, что многочлен стоящий в знаменателе дроби второго типа не имеет корней.
Опишем алгоритм вычисления несобственных интегралов от простейших дробей. $\newcommand{\arctg}{\operatorname{arctg}}$
Опишем алгоритм вычисления неопределенного интеграла для произвольной правильной дроби.
Теорема 8.1.1: Разложение многочлена над $\mathbb{R}$ на неприводимые множители.
Любой многочлен раскладывается над $\mathbb{R}$ в произведение неприводимых многочленов первой и второй степени. При этом такое разложение единственно
с точностью до перестановки множителей. То есть
$$(m\in\mathbb{N}\wedge\forall{i}\in\overline{1,m}(b_i\in\mathbb{R})\wedge{b}_m\neq0\wedge{Q}_m(x)=b_0+b_1x+\dots+b_mx^m)\Rightarrow
(\exists{k},s\in\mathbb{N}:(\exists{t}_1,\dots,t_k\in\mathbb{N}\wedge\exists{r}_1,\dots,r_s\in\mathbb{N}\wedge
\exists{a}_1,\dots{a}_k\in\mathbb{R}\wedge\exists{q}_1,\dots,q_s\in\mathbb{R}:$$
$$(\forall{i}\in\overline{1,s}\left(\frac{p^2_i}{4}-q_i\right)<0\wedge
Q_m(x)=(x-a_1)^{t_1}(x-a_2)^{t_2}\dots(x-a_k)^{t_k}(x^2+p_1x+q_1)^{r_1}\dots(x^2+p_sx+q_s)^{r_s})))$$
Доказательство: Доказательство основывается на том, что любой многочлен над полем комплексных чисел
$\mathbb{C}$ раскладывается на линейные множители.
При этом, если комплексное число $z=(u,v)$ является корнем многочлена, то сопряженное ему число $\overline{z}=(u,-v)$ тоже является корнем
многочлена (см. например Зорич т. 1, стр. 328). Таким образом, разложим многочлен $Q_m$ на линейные множители над $\mathbb{C}$ и перемножив попарно
все одночлены содержащие сопряженные комплексные корни $(x-z)(x-\overline{z})=x^2-(z+\overline{z})x+z\overline{z}=x^2-2(u,0)x+(u^2+v^2,uv-uv)=
x^2-2ux+u^2+v^2$ получим искомое разложение многочлена над $\mathbb{R}$.
Теорема 8.1.2: Разложение рациональной дроби в сумму простейших.
Пусть $m,k,s\in\mathbb{N}$, для любого $i\in\overline{1,m}$ $b_i\in\mathbb{R}$, $b_m\neq0$; для любого $i\in\overline{1,s}$ $r_i\in\mathbb{N}$,
$p_i,q_i\in\mathbb{R}$, $\frac{p^2_i}{4}-q_i<0$; для любого $i\in\overline{1,k}$ $t_i\in\mathbb{N}$, $a_i\in\mathbb{R}$,
$Q_m(x)=(x-a_1)^{t_1}(x-a_2)^{t_2}\dots(x-a_k)^{l_k}(x^2+p_1x+q_1)^{r_1}\dots(x^2+p_sx+q_s)^{r_s}$, тогда если $R(x)=\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ -
правильная рациональная дробь (т. е. $n<m$), то она представима в виде
$$R(x)=\frac{A^{(1)}_1}{x-a_1}+\frac{A^{(2)}_1}{(x-a_1)^2}+\dots+\frac{A^{(t_1)}_1}{(x-a_1)^{t_1}}+\frac{A^{(1)}_2}{x-a_2}+\frac{A^{(2)}_2}{(x-a_2)^2}+\dots
+\frac{A^{(t_2)}_2}{(x-a_2)^{t_2}}+\dots+\frac{A^{(1)}_k}{x-a_k}+\frac{A^{(2)}_k}{(x-a_k)^2}+\dots+\frac{A^{(t_k)}_k}{(x-a_k)^{t_k}}+$$
$$+\frac{M^{(1)}_1x+N^{(1)}_1}{x^2+p_1x+q_1}+\dots+\frac{M^{(r_1)}_1x+N^{(r_1)}_1}{(x^2+p_1x+q_1)^{r_1}}+\dots+\frac{M^{(1)}_sx+N^{(1)}_s}{x^2+p_sx+q_s}+
\dots+\frac{M^{(r_s)}_sx+N^{r_s}_s}{(x^2+p_sx+q_s)^{r_s}}\quad(10)$$
где
$$\forall{i}\in\overline{1,k}(\forall{j}\in\overline{1,t_i}(A^{(j)}_i\in\mathbb{R}))\wedge
\forall{i}\in\overline{1,s}(\forall{j}\in\overline{1,r_i}(M^{(j)}_i,N^{(j)}_i\in\mathbb{R}))$$
Доказательство: Доказательство приводится в курсе алгебры.
Теорема 8.1.2 сводит проблему интегрирования произвольной рациональной дроби к интегрированию простейшей рациональной дроби.
Метод дробей или метод неопределенных коэффициентов: выписываем равенство (10) из теоремы 8.1.2 с неопределенными коэффициентами
$A^{(j)}_i$, $M^{(j)}_i$, $N^{(j)}_i$, приводим дроби к общему знаменателю и находим коэффициенты из системы уравнений. Уравнения получаются
следующим образом: собираем в числителе все слагаемые при одинаковых степенях $x$ и приравниваем получившееся выражения к коэффициентам, стоящим
при соответствующих степенях $x$ в многочлене $P_n(x)$, если таковые имеются, если нет, то приравниваем к нулю.
Алгоритм интегрирования произвольной рациональной функции:
Пример 8.1.4: Найдем неопределенный интеграл от функции
$\displaystyle{R}(x)=\frac{x}{(x^2-1)(x+2)}$. Пример 8.1.5: Использование приведенного метода интегрирования рациональных функций не всегда оптимально, в некоторых случаях
могут существовать более простые подходы.
В частности разложение на неприводимые множители многочлена степени более четырех может быть очень непростой задачей. Например
в данном случае намного проще воспользоваться заменой переменной
$$\int\frac{dx}{x-x^{13}}=\int\frac{dx}{x^{13}(x^{-12}-1)}=-\frac1{12}\int\frac{d(x^{-12}-1)}{x^{-12}-1}=-\frac1{12}\ln(x^{-12}-1)$$
$$\frac{x}{(x^2-1)(x+2)}=\frac{x}{(x-1)(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}=\frac{A(x+1)(x+2)+B(x-1)(x+2)+C(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}=$$
$$=\frac{A(x^2+3x+2)+B(x^2+x-2)+C(x^2-1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}=\frac{(A+B+C)x^2+(3A+B)x+(2A-2B-C)}{(x-1)(x+1)(x+2)}\Rightarrow$$
$$\Rightarrow
\begin{cases}
A+B+C=0\\
3A+B=1\\
2A-2B-C=0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
A+B+C=0\\
3A+B=1\\
3A-B=0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
A=\frac1{6}\\
B=\frac1{2}\\
C=-\frac{2}{3}
\end{cases}\Rightarrow$$
$$\Rightarrow{R}(x)=\frac1{6(x-1)}+\frac1{2(x+1)}-\frac{2}{3(x+2)}\Rightarrow\int\frac{xdx}{(x^2-1)(x+2)}=\int\frac{dx}{6(x-1)}-\int\frac{2dx}{3(x+2)}=
\frac1{6}\ln|x-1|+\frac1{2}\ln|x+1|-\frac{2}{3}\ln|x+2|$$
previous contents next