5.4 Элементарные функции и их классификация.

5.4.1 Основные элементарные функции.

Определение 5.4.1: Функции вида $y=const$, $y=a^x$, $y=x^\alpha$, $y=\log_a{x}$, $y=\sin{x}$, $y=\cos{x}$, $y=\tg{x}$ $y=\ctg{x}$, $y=\arcsin{x}$, $y=\arccos{x}$, $y=\arctg{x}$, $y=\arcctg{x}$ принято называть основными элементарными функциями.

Определение 5.4.2: План построения показательной функции $a^x:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$.
$\forall{x}\in\mathbb{R}(1^x:=1)$
Фиксируем $a>0,a\neq1$.

1. $a^1:=a,\forall{n}\in\mathbb{N}(a^{n+1}:=aa^n)$
2. $a^0:=1,\forall{n}\in\mathbb{N}(a^{-n}:=(a^n)^{-1})$
3. $\forall{n}\in\mathbb{N}\left(a^{n^{-1}}=\sqrt[n]{a}\right)$
   $\forall{r}\in\mathbb{Q}\left(\exists{m}\in\mathbb{Z},\exists{n}\in\mathbb{N}:r=\frac{m}{n}=mn^{-1}\right)\Rightarrow{a}^r:=(a^{n^{-1}})^m$
   Проверяется, что способ представления $r$ в виде $\frac{m}{n}$ не влияет на значения $a^r$
4. Определим $a^x$ для $x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$. Фиксируем $x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$.
   Пусть $a>1$, тогда $a^x:=\sup\{a^r\:|\:r\in\mathbb{Q}\wedge{r}\leq{x}\}$
   Пусть $0<a<1$, тогда $a^x:=(a^{-1})^{-x}$.

Теорема 5.4.1: Основные свойства показательной функции.

1. $\forall{x}_1,x_2\in\mathbb{R}(a^{x_1+x_2}=a^{x_1}a^{x_2})$
2. $\forall{x}_1,x_2\in\mathbb{R}(a^{x_1x_2}=(a^{x_1})^{x_2})$
3. $\displaystyle\lim_{\mathbb{R}\ni{x}\to0}a^x=1$
4. $\displaystyle\forall{x}_0\in\mathbb{R}(\lim_{\mathbb{R}\ni{x}\to{x}_0}a^x=a^{x_0})$
5. $\forall{x}_1,x_2\in\mathbb{R}(a>1\wedge{x}_1<x_2\Rightarrow{a}^{x_1}<a^{x_2})$
   $\forall{x}_1,x_2\in\mathbb{R}(0<a<1\wedge{x}_1<x_2\Rightarrow{a}^{x_1}>a^{x_2})$
6. $\forall{y}>0\:\exists{x}\in\mathbb{R}:a^x=y$
   то есть множество значений показательной функции равно $\mathbb{R}^+$

Доказательство: См. Зорич т. 1, стр. 138.

Из свойства 5 следует, что для любого $a>0,a\neq1$ функция $a^x$ инъективна. Из свойства 6 следует, что она сюръективна. Следовательно, функция $a^x$ биективна, то есть можно определить обратную ей функцию, которую обычно называют логарифмом по основанию $a$.

Определение 5.4.3: Определение логарифмической функции.
Если $a>0,a\neq1$ и $f(x)=a^x$, то $\log_a{x}:=f^{-1}(x):\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$, то есть $y=\log_a{x}\Leftrightarrow{a}^y=x$.

Теорема 5.4.2: Основные свойства логарифмической функции.

1. $\forall{x}\in\mathbb{R}(\log_a{a}^x=x)$,
2. $\forall{y}>0(a^{\log_a{y}}=y)$,
3. $\forall{y}_1>0,\forall{y}_2>0(\log_a(y_1y_2)=\log_a{y}_1+\log_a{y}_2)$,
4. $\displaystyle\forall{y}_0>0(\lim_{y\to{y}_0}\log_a{y}=\log_a{y}_0)$,
5. функция $\log_a{x}$ монотонна на $\mathbb{R}^+$,
6. множество значений функции $\log_a{x}$ равно $\mathbb{R}$,
7. $\forall{b}>0,\forall\alpha\in\mathbb{R}(\log_a{b^\alpha}=\alpha\log_a{b})$,

Доказательство:См. Зорич т.1 стр. 144.

Определение 5.4.4: Степенная функции.
Для любого $\alpha\in\mathbb{R}$ степенной функцией называется функция $x^\alpha$ такая, что $x^\alpha:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ и для любого $x\in\mathbb{R}^+$ $x^\alpha:=e^{\alpha\ln{x}}$.

Теорема 5.4.3: $\displaystyle\forall\alpha>0(\lim_{x\to0+}x^\alpha=0)$

Доказательство: См. Зорич т. 1, стр. 147.

Определение 5.4.5: Функция синуса $\sin{x}$.
Для любого $x\in\mathbb{R}$ определим числовую последовательность $\{s^{(x)}_n\}$ такую, что $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(s^{(x)}_n=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kx^{2k+1}}{(2k+1)!}= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)$$ тогда для любого $x\in\mathbb{R}$ $\displaystyle\sin{x}:=\lim_{n\to\infty}s^{(x)}_n$

Определение 5.4.6: Функция косинуса $\cos{x}$.
Для любого $x\in\mathbb{R}$ определим числовую последовательность $\{c^{(x)}_n\}$ такую, что $$\forall{n}\in\mathbb{N}\left(c^{(x)}_n=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^nx^{2k}}{(2k)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}\right)$$ тогда для любого $x\in\mathbb{R}$ $\displaystyle\cos{x}:=\lim_{n\to\infty}c^{(x)}_n$.

Факт сходимости последовательностей $\{s^{(x)}_n\},\{c^{(x)}_n\}$ для любого $x\in\mathbb{R}$ будет обоснован после изложения раздела "Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тэйлора.", пока же заметим, что из определения функций $\sin{x},\cos{x}$ по теореме о двух милиционерах следует

1. $$\forall{x}\in(0,\sqrt{30})\left(1-\frac{x^2}{2}<\cos{x}<1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}\right)\Rightarrow \lim_{x\to0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}=\frac1{2}$$
2. $$\forall{x}\in(0,\sqrt{20})\left(x-\frac{x^3}{6}<\sin{x}<x\right)\Rightarrow\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=1$$

Определение 5.4.6.1: Функции $\tg{x}:=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$ и $\ctg{x}:=\frac{\cos{x}}{\sin{x}}$ определенные для всех $x$ при которых знаменатель соответствующего выражения не равен нулю называются функциями тангенса и котангенса соответственно.

Теорема 5.4.4: Основные свойства тригонометрических функций.

1. $\displaystyle\forall{x}_0\in\mathbb{R}(\lim_{x\to{x}_0}\sin{x}=\sin{x}_0,\lim_{x\to{x}_0}\cos{x}=\cos{x}_0)$,
2. множество значений функций $\sin{x},\cos{x}$ отрезок $[-1,1]$,
3. функция $\sin{x}:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]$ возрастает,
4. функция $\cos{x}:[0,\pi]\to[-1,1]$ убывает.

Доказательство: не обнаружено

Из свойств 3, 4 тригонометрических функций и теоремы об обратной функции для строго монотонной функции (будет доказана позднее) следует, что могут быть введены функции $\arcsin{x}:[-1,1]\to\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$, $\arccos{x}:[-1,1]\to[0,\pi]$ обратные функциям $\sin{x}$, $\cos{x}$.

Пример 5.4.1: Демонстрирование нахождения предела для функции $\left(1+\frac1{x}\right)^x$ при $x\to\infty$.
Как было показано существует конечный предел $\displaystyle{e}:=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^n$, тогда $$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^n\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n+1}\right)^n= \lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}\frac{n+1}{n+2}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^n\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n+2}=e$$ $$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^n\Rightarrow\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^{n+1}= \lim_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac1{n}\right)^n\frac{n+1}{n}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^n\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=e$$ Положим $$g_1(x):=\left(1+\frac1{[x]+1}\right)^{[x]}:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R},g_2(x):=\left(1+\frac1{[x]}\right)^{[x]+1}:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$$ тогда фиксируем $\varepsilon>0$ и по определению предела последовательности имеем $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n+1}\right)^n=e\Rightarrow \exists{k}\in\mathbb{N}:\forall{n}>k\left(\left|\left(1+\frac1{n+1}\right)^n-e\right|<\varepsilon\right)$$ $$M:=k+1\Rightarrow\forall{x}>M([x]>k)\Rightarrow\forall{x}>M\left(\left|\left(1+\frac1{[x]+1}\right)^{[x]}-e\right|<\varepsilon\right) \Rightarrow\lim_{x\to\infty}g_1(x)=e$$ Аналогично доказывается, что $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g_2(x)=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1{[x]}\right)^{[x]+1}=e$. И так как $$\forall{x}\in\mathbb{R}\left([x]\leq{x}\leq[x]+1\right)\Rightarrow \forall{x}\in\mathbb{R}\left(\left(1+\frac1{[x]+1}\right)^{[x]}\leq\left(1+\frac1{x}\right)^x\leq\left(1+\frac1{[x]}\right)^{[x]+1}\right)$$ то по теореме о двух милиционерах $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1{x}\right)^x=e$

Пример 5.4.2: $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac1{x}\right)^x=e$
Действительно $$e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1{x}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left(\left(1+\frac1{x}\right)^x\left(1+\frac1{x}\right)\right)= \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1{x}\right)^{x+1}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x}\right)^{x+1}$$ В условиях теоремы о пределе композиции функций положим $a=\infty$, $b=\infty$ $f(x)=x-1$, $F(y)=(\frac{y+1}{y})^{y+1}$, тогда $F(f(x))=(\frac{x}{x-1})^x$ и следовательно $$\lim_{x\to{a}}F(f(x))=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{x-1}\right)=\lim_{y\to{b}}F(y)=\lim_{y\to\infty}\left(\frac{y+1}{y}\right)^{y+1}=e$$ Так как $$\forall{x}>1\left(\left(1+\frac1{-x}\right)^{-x}=\left(\frac{x-1}{x}\right)^{-x}=\left(\frac{x}{x-1}\right)^x\right)$$ то по теореме о пределе композиции функции где $a=-\infty$, $b=+\infty$, $f(x)=-x$, $F(y)=(1+\frac1{-y})^{-y}$ получим $$\lim_{x\to{a}}F(f(x))=\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac1{x}\right)^x=\lim_{y\to{b}}F(y)=\lim_{y\to\infty}\left(1+\frac1{-y}\right)^{-y}= \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{x-1}\right)^x=e$$

Пример 5.4.3: $\displaystyle\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac1{t}}=e$
Следует из теоремы о пределе композиции функций при $a=0$, $b=+\infty$, $f(x)=\frac1{x}$, $F(y)=(1+\frac1{y})^y$

Пример 5.4.4: $\displaystyle\forall{q}>0\left(\lim_{x\to\infty}\frac{x}{q^x}=0\right)$
Доказано, что $\displaystyle\lim_{\mathbb{N}\ni{n}\to\infty}\frac{n}{q^n}=0$, значит $\displaystyle\lim_{\mathbb{N}\ni{n}\to\infty}\frac{n}{q^{n+1}}=\frac1{q}\lim_{\mathbb{N}\ni{n}\to\infty}\frac{n}{q^n}=0$. С другой стороны $\displaystyle\lim_{\mathbb{N}\ni{n}\to\infty}\frac{n+1}{q^n}= \lim_{\mathbb{N}\ni{n}\to\infty}\frac{n}{q^n}+\lim_{\mathbb{N}\ni{n}\to\infty}\frac1{q^n}=0$. И так как для любого $x>0$ верно $\displaystyle\frac{[x]}{q^{[x]+1}}\leq\frac{x}{q^x}\leq\frac{[x]+1}{q^{[x]}}$, то по теореме о двух милиционерах аналогично примеру примеру 5.4.2 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{q^{x}}=0$.

Пример 5.4.5: $\displaystyle\forall{a}>1,\forall{n}\in\mathbb{Z}\left(\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{a^x}=0\right)$
$$a>1\Rightarrow\exists{q}:=\sqrt[n]{a}>1:q^n=a\Rightarrow\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{a^x}=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x}{q^x}\right)^n= \left(\lim_{x\to\infty}\frac{x}{q^x}\right)^n=0$$ так как по предыдущему примеру $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{q^x}=0$.

Пример 5.4.6:$\displaystyle\forall{a}>1,\forall\alpha\in\mathbb{R}\left(\lim_{x\to\infty}\frac{x^\alpha}{a^x}=0\right)$
Так как множество натуральных чисел не ограничено сверху, то для любого $\alpha\in\mathbb{R}$ существует $n\in\mathbb{N}$ такое, что $n>\alpha$, тогда для любого $x>1$ $\displaystyle0<\frac{x^\alpha}{a^x}<\frac{x^n}{a^x}$. Таким образом утверждение примера следует из предыдуешго примера и теоремы о двух милиционерах.

Пример 5.4.7:$\displaystyle\forall{a}>1,\forall\alpha\in\mathbb{R}\left(\lim_{x\to0+}\frac{a^{-\frac1{x}}}{x^\alpha}=0\right)$
Утверждение следует из предыдущего примера и теоремы о пределе композиции функций при $a=0$, $b=+\infty$, $\displaystyle{f}(x)=\frac1{x}$, $\displaystyle{F}(y)=\frac{y^\alpha}{a^y}$.

Пример 5.4.8:$\forall{a}>1$, $\forall\alpha>0$ $\left(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\log_a{x}}{x^\alpha}=0\right)$
Утверждение следует из примера 5.4.4 и теоремы о пределе композиции функций при $a=+\infty$, $b=+\infty$, $f(x)=\alpha\log_a{x}$, $F(y)=\frac{y}{a^y}$, так как при $a>1$ $\lim_{x\to\infty}\log_a{x}=+\infty$. Тогда $$\lim_{x\to{a}}F(f(x))=\lim_{x\to\infty}\frac{\alpha\log_a{x}}{a^{\alpha\log_a{x}}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\alpha\log_a{x}}{x^\alpha}= \lim_{y\to{b}}F(y)=\lim_{y\to\infty}\frac{y}{a^y}=0\Rightarrow\alpha\lim_{x\to\infty}\frac{\log_a{x}}{x^\alpha}=0\Rightarrow \lim_{x\to\infty}\frac{\log_a{x}}{x^\alpha}=0$$

Пример 5.4.9: $\forall{a}>1,\forall\alpha>0\displaystyle\left(\lim_{x\to0+}(x^\alpha\log_a{x})=0\right)$
Утверждение следует из предыдущего примера и теоремы о пределе композиции функций при $a=0$, $b=+\infty$, $f(x)=\frac1{x}$, $F(y)=\frac{log_a{y}}{y^\alpha}$, тогда $$\lim_{x\to{a}}F(f(x))=\lim_{x\to0+}(x^\alpha\log_a{\frac1{x}})=\lim_{x\to0+}(-x^\alpha\log_a{x})=\lim_{y\to{b}}F(y)= \lim_{y\to\infty}\frac{\log_a{y}}{y^\alpha}=0$$

Определение 5.4.6.2: Элементарная функция
Всякая функция, которая может быть задана с помощью формулы содержащей конечное число арифметических операций "$+,-,*,/$" и суперпозиций "$\circ$" основных элементарных функций называется элементарной функцией.

В классе элементарных функций выделяют следующие подклассы:

1. Функции образованные из функций $f_1(x)\equiv1,f_2(x)=x$ с помощью конечного числа операций сложения и умножения будем называть многочленами или полиномами.
2. Функции равные отношению двух многочленов $\displaystyle\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$, где для любго $x$ из области определения $Q_m(x)\neq0$, называют дробно-рациональными.
3. Функции образованные из функций $f_1(x),f_2(x)$ с помощью операций из пункта (1), а так же операций деления, возведения в рациональную степень (конечное число раз) называются алгебраическими.
4. Алгебраические функции не являющиеся рациональными называют иррациональными.
5. Элементарные функции не являющиеся алгебраическими называют трансцендентными.