Задача - отыскание функции по производной.
Определение 8.1.1: Пусть $a,b\in\overline{\mathbb{R}}$ такие, что $a<b$. Обозначим $\Delta:=\Delta(a,b)$, тогда будем говорить, что функция $F(x):\Delta\to\mathbb{R}$ является (классической) первообразной функции $f(x):\Delta\to\mathbb{R}$, если
По определению функция $F(x)$ непрерывна на концах интервала $\Delta$ если они в него входят и
$$\forall{x}\in(a,b)(\exists{F}'(x)=f(x))\sim\forall{x}\in(a,b)(\exists{d}F(x)=f(x)dx)$$
Пример 8.1.1: Рассмотрим функцию $\displaystyle{f}(x)=\begin{cases}1, & 0<x\leq1\\0, & x=0\end{cases}$.
Функция $f(x)$ имеет первообразную $F(x)=x$ на отрезке $[0,1]$ так как
$$F(x)\in{C}[0,1]\wedge\forall{x}\in(0,1)(\exists{F}'(x)=1=f(x))$$
$\newcommand{\arctg}{\operatorname{arctg}}$
$\newcommand{\arcctg}{\operatorname{arcctg}}$
Пример 8.1.2: Рассмотрим функцию $\displaystyle{f}(x)=\frac1{1+x^2}$.
Функция $f(x)$ имеет первообразную $F(x)=\arctg{x}$ на $\mathbb{R}$, так как
для любого $x\in\mathbb{R}$ $F'(x)=f(x)$ и $F(x)\in{C}(\mathbb{R})$.
С другой стороны
$$\forall{x}\in\mathbb{R}\backslash\{0\}\left(\arcctg'\frac1{x}=-\frac1{1+\left(\frac1{x}\right)^2}\left(-\frac1{x^2}\right)=\frac1{1+x^2}\right)$$
То есть на множестве $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ функция $\arctg\frac1{x}$ также является первообразной функции $f(x)$. Однако, функция
$\arcctg\frac1{x}$ не является первообразной функции $f(x)$ на $\mathbb{R}$ так как она имеет точку разрыва в точке 0, то есть не принадлежит
$C(\mathbb{R})$.
В дальнейшем будет показано, что любая функция непрерывная на промежутке имеет первообразную на этом
промежутке.
Утверждение 8.1.1: Если функции $F_1(x),F_2(x):\Delta(a,b)\to\mathbb{R}$ являются первообразными для одной и той же функции $f(x):\Delta(a,b)\to\mathbb{R}$, то существует $K\in\mathbb{R}$ такое, что $F_1(x)-F_2(x)\equiv{K}$.
Доказательство: Обозначим $\Delta:=\Delta(a,b)$ и для любого $x\in\Delta$ $\varphi(x):=F_1(x)-F_2(x)$, тогда
по следствию 6.4.5 из теоремы Лагранжа
$$\forall{x}\in(a,b)(\exists\varphi'(x)=F_1(x)-F_2(x)=f(x)-f(x)=0)\Rightarrow\exists{K}\in\mathbb{R}:\forall{x}\in(a,b)(\varphi(x)=K)$$
Осталось доказать, что $\varphi(x)$ принимает значение $K$ на концах промежутка $\Delta$ если он содержит их. Пусть $a\in\Delta$, тогда
$$F_1(x),F_2(x)\in{C}(\Delta)\Rightarrow\varphi(x)\in{C}(\Delta)\Rightarrow\varphi(a)=\lim_{x\to{a}+}\varphi(x)=\lim_{x\to{a}+}K=K$$
Если $b\in\Delta$, то аналогично доказывается, что $\varphi(b)=K$, таким образом $\varphi(x)\equiv{K}$.
Следствие 8.1.1 Если функция $F(x)$ первообразная функции $f(x)$ на промежутке $\Delta$, то для любого $C\in\mathbb{R}$ функция $F(x)+C$ является первообразной функции $f(x)$ на промежутке $\Delta$.
Доказательство:
$$(F(x)\in{C}(\Delta)\wedge\forall{x}\in{i}nt\Delta\:\exists{F}'(x))\Rightarrow
\forall{C}\in\mathbb{R}(F(x)+C\in{C}(\Delta)\wedge\forall{x}\in{int}\Delta(\exists(F(x)+C)'=F'(x)))$$
Следствие 8.1.2: Если функция $f(x)$ имеет хотя бы одну первообразную $F(x)$, то совокупность всех первообразных есть множество функций $\{F(x)+C\:|\:C\in\mathbb{R}\}$
Доказательство: По следствию 8.1.1 для любого $C\in\mathbb{R}$ функция $F(x)+C$ является первообразной функции $f(x)$.
С другой стороны, если функция $F_1(x)$ первообразная для $f(x)$, то по утверждению 8.1.1 существует $C\in\mathbb{R}$ такое, что
$F_1(x)-F(x)\equiv{C}$, следовательно, $F_1(x)=F(x)+C$.
Пример 8.1.3: Если область определения функции не является числовым промежутком, то результат
утверждения 8.1.1 может быть не верен.
Например, множество $\Delta:=\mathbb{R}\backslash\{0\}$ не является числовым промежутком. Рассмотрим функцию $f(x)=\frac1{1+x^2}:\Delta\to\mathbb{R}$.
Как было показано в примере 8.1.2 функции $F_1(x)=\arctg{x}$ и $F_2(x)=\arcctg\frac1{x}$ являются первообразными
функции $f(x)$, однако, $F_1(x)-F_2(x)=\begin{cases}0, & x>0\\-\pi, & x<0\end{cases}$. То есть не существует такого $K\in\mathbb{R}$,
что $F_1(x)-F_2(x)\equiv{K}$. Это произошло потому, что область определения функции $f(x)$ не является числовым промежутком. Концепцию первообразных
изучают только на числовых промежутках.
Определение 8.1.2: Если функция $F(x)$ является первообразной функции $f(x):\Delta\to\mathbb{R}$, то множество
$\{F(x)+C\:|\:C\in\mathbb{R}\}$ всех первообразных функции $f(x)$ называют неопределенным интегралом функции $f(x)$ на числовом промежутке $\Delta$
и обозначают
$$\int{f}(x)dx:=\{F(x)+C\:|\:C\in\mathbb{R}\}$$
Выражение $f(x)dx$ называют подынтегральным выражением, а функцию $f(x)$ подынтегральной функцией.
Если функция $F(x)$ первообразная функции $f(x)$, то $dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx$. Следовательно, $$\forall{C}\in\mathbb{R}(d(F(x)+C)=F'(x)dx=f(x)dx)\Rightarrow{d}\int{f}(x)dx=\{F'(x)dx\}=\{f(x)dx\}$$
Последнее равенство следует понимать, как равенство множеств, т. е. $dM:=\{df(x)|f(x)\in{M}\}$
Таким образом мы взяли неопределенный интеграл и "продифференцировали" его получив в результате подынтегральное выражение. То есть математические
операции взятия неопределенного интеграла и дифференцирования - это почти две взаимообратные операции. Поэтому простейшим приемом проверки правильности
вычисления неопределенного интеграла является операция взятия производной от первообразной и сравнение результата с исходной функцией.
Так взятием производной от правых частей можно проверить истинность следующих равенств.
$\newcommand{\tg}{\operatorname{tg}}$
$\newcommand{\ctg}{\operatorname{ctg}}$
$\newcommand{\ch}{\operatorname{ch}}$
$\newcommand{\sh}{\operatorname{sh}}$
$\newcommand{\th}{\operatorname{th}}$
$\newcommand{\cth}{\operatorname{cth}}$
| 1. | $\displaystyle\int{x}^\alpha{d}x$ | = | $\displaystyle\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ | + | $C$ | $\alpha\neq-1$ |
| 2. | $\displaystyle\int\frac{dx}{x}$ | = | $\ln|x|$ | + | $C$ | |
| 3. | $\displaystyle\int{a}^xdx$ | = | $\displaystyle\frac{a^x}{\ln{a}}$ | + | $C$ | $a>0,a\neq1$ |
| 4. | $\displaystyle\int{e}^xdx$ | = | $e^x$ | + | $C$ | |
| 5. | $\displaystyle\int\sin{x}dx$ | = | $-\cos{x}$ | + | $C$ | |
| 6. | $\displaystyle\int\cos{x}$ | = | $\sin{x}$ | + | $C$ | |
| 7. | $\displaystyle\int\frac{dx}{\sin^2x}$ | = | $-\ctg{x}$ | + | $C$ | |
| 8. | $\displaystyle\int\frac{dx}{\cos^2x}$ | = | $\tg{x}$ | + | $C$ | |
| 9. | $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | = | $-\arcsin{x}$ | + | $C$ | |
| $\arccos{x}$ | + | $\tilde{C}$ | ||||
| 10. | $\displaystyle\int\frac{dx}{1+x^2}$ | = | $\arctg{x}$ | + | $C$ | |
| $-\arcctg{x}$ | + | $\tilde{C}$ | ||||
| 11. | $\displaystyle\int\ch{x}dx$ | = | $\sh{x}$ | + | $C$ | |
| 12. | $\displaystyle\int\sh{x}dx$ | = | $\ch{x}$ | + | $C$ | |
| 13. | $\displaystyle\int\frac{dx}{\ch^2x}$ | = | $\th{x}$ | + | $C$ | |
| 14. | $\displaystyle\int\frac{dx}{\sh^2x}$ | = | $\cth$ | + | $C$ | |
| 15. | $\displaystyle\int\frac{dx}{1-x^2}$ | = | $\displaystyle\frac1{2}\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|$ | + | $C$ | |
| 16. | $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{x^2\pm1}}$ | = | $\ln|x+\sqrt{x^2\pm1}|$ | + | $C$ |
Здесь не определенный интеграл определен на любом числовом промежутке $\Delta$, на котором может быть определена подынтегральная функция
и выражение $f(x)+C$ следует понимать, как $\{f(x)+C\:|\:C\in\mathbb{R}\}$. Далее константа $C$ указывается только если в этом есть необходимость.
Утверждение 8.1.2: Свойство линейности неопределенного интеграла.
Пусть $\Delta:=\Delta(a,b)$, $f_1(x),f_2(x):\Delta\to\mathbb{R}$, функция $F_1(x)$ первообразная функции $f_1(x)$ на $\Delta$, функция $F_2(x)$
первообразная функции $f_2(x)$ на $\Delta$, тогда для любых $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ функция $\alpha{f}_1(x)+\beta{f}_2(x)$ имеет первообразную
на $\Delta$ задаваемую формулой $\alpha{F}_1(x)+\beta{F}_2(x)$.
Доказательство:
$$F_1(x),F_2(x)\in{C}(\Delta)\Rightarrow\alpha{F}_1(x)+\beta{F}_2(x)\in{C}(\Delta)$$
$$\forall{x}\in(a,b)(F_1'(x)=f_1(x)\wedge{F}_2'(x)=f_2(x))\Rightarrow\forall{x}\in(a,b)((\alpha{F}_1(x)+\beta{F}_2(x))'=\alpha{F}_1'(x)+\beta{F}_2'(x)=
\alpha{f}_1(x)+\beta{f}_2(x))$$
Утверждение 8.1.3: Замена переменной в подынтегральном выражении.
Пусть числовые промежутки $\Delta_x:=\Delta(a,b)$, $\Delta_t:=\Delta(\alpha,\beta)$ и функции $f(x):\Delta_x\to\mathbb{R}$,
$\varphi(t):\Delta_t\to\Delta_x$ такие, что
Доказательство: Функция $F(x)$ является первообразной на $\Delta_x$, следовательно, $F(x)\in{C}(\Delta_x)$. Функция $\varphi(t)$
дифференцируема на $\Delta_t$, следовательно, $\varphi(t)\in{C}(\Delta_t)$, следовательно,
функция $F(\varphi(t))$ непрерывна на $\Delta_t$.
И так как
$$(\varphi((\alpha,\beta))\subset(a,b)\wedge\forall{x}\in(a,b)\exists{F}'(x)\wedge\forall{t}\in(\alpha,\beta)\exists\varphi'(t))\Rightarrow
\forall{t}\in(\alpha,\beta)(\exists{x}\in(a,b):x=\varphi(t)\wedge\exists{F}'(\varphi(t))=F'(x)\varphi'(t)=f(x)\varphi'(t))$$
то $F(\varphi(t))\in{C}(\Delta_t)$ и для любого $t\in(\alpha,\beta)$ существует производная $F'(\varphi(t))=f(\varphi(t))\varphi'(t)$,
следовательно, функция $F(\varphi(t))$ первообразная функции $f(\varphi(t))\varphi'(t)$.
В символике неопределенного интеграла утверждение можно переписать так.
$$\int{f}(x(t))x'(t)dt=\int{f}(x(t))d(x(t))=\int{f}(x)dx$$
Утверждение 8.1.4: Интегрирование по частям.
Пусть числовой промежуток $\Delta:=\Delta(a,b)$ и функции $u(x):\Delta\to\mathbb{R}$, $v(x):\Delta\to\mathbb{R}$ такие, что
Доказательство:
$$\forall{x}\in\Delta(\exists{u}'(x)\wedge\exists{v}'(x))\Rightarrow\forall{x}\in\Delta(\exists(uv)'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x))\Rightarrow$$
$$\Rightarrow{u}(x)v(x)=\int(u'(x)v(x)+u(x)v'(x))dx=\int{u}'(x)v(x)dx+\int{u}(x)v'(x)dx\Rightarrow\int{u}'(x)v(x)dx=u(x)v(x)-\int{u}(x)v'(x)dx$$
Это утверждение позволяет в некоторых случаях упростить вычисление неопределенного интеграла произведения функций. Данное утверждение
сводит вычисление одного интеграла от $u'(x)v(x)$ к вычислению двух других: интеграла от $u'(x)$ и интеграла от $u(x)v'(x)$.
previous contents next