6 Характеристические функции.

6.1 Определение и простейшие свойства характеристической функции.

Определение 6.1: Характеристической функцией случайной величины $\xi$ (или распределения случайной величины) называется комплекснозначная функция вещественного переменного $$\varphi_{\xi}(t):=Ee^{it\xi}:=E\cos(t\xi)+iE\sin(t\xi)$$
Из определения 6.1 следует, что для любого $t\in\mathbb{R}$ $$\varphi_{\xi}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF_{\xi}(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos(tx)dF_{\xi}(x)+i\int\limits_{-\infty}^{\infty}\sin(tx)dF_{\xi}.$$ Если случайная величина $\xi$ абсолютно непрерывна, то $$\varphi_{\xi}(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}p_{\xi}(x)dx.$$ Если случайная величина $\xi$ дискретна, то для любого $t\in\mathbb{R}$ $$\xi\sim\begin{pmatrix}x_1, & \ldots, & x_n \\ p_1, & \ldots, & p_n\end{pmatrix}\Rightarrow\varphi_{\xi}(t)=\sum_{k=1}^ne^{itx_k}p_k.$$

Теорема 6.1: Свойства характеристической функции.
Пусть $\varphi(t)$ характеристическая функция случайной величины $\xi$, а $F(x)$ ее функция распределения, тогда

1. $\forall{t}\in\mathbb{R}(|\varphi(t)|\leq\varphi(0)=1)$;
2. $\forall{t}\in\mathbb{R}(\varphi(-t)=\overline{\varphi(t)})$;
3. функция $\varphi(t)$ равномерно непрерывна на $\mathbb{R}$;
4. если случайные величины $\xi_1$ и $\xi_2$ независимы, то $$\varphi_{\xi_1+\xi_2}(t)=\varphi_{\xi}(t)\varphi_{\xi_2}(t);$$
5. $\forall{a},b\in\mathbb{R}(\eta:=a\xi+b\Rightarrow\varphi_{\eta}(t)=e^{itb}\varphi(at))$;

Доказательство:

1. Для любого $t\in\mathbb{R}$ $$ |\varphi(t)|=\left|\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF(x)\right|\leq\int\limits_{-\infty}^{\infty}|e^{itx}dF(x)|= \int\limits_{-\infty}^{\infty}\cos^2x+\sin^2xdF(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}dF(x)=\varphi(0)=1. $$
2. Так как $\cos{x}$ четная функция, а $\sin{x}$ нечетная, то для любого $t\in\mathbb{R}$ $$ \varphi(-t)=Ee^{-it\xi}=E\cos(-t\xi)+iE\sin(-t\xi)=E\cos(t\xi)-iE\sin(t\xi)=\overline{\varphi(t)}. $$
3. Определение равномерной непрерывности функции $f(x):X\to{Y}$ дано в определении 11.2.4 MA. В условиях данной теоремы $X=\mathbb{R}$, $Y=\mathbb{C}$. То есть необходимо доказать, что $$\forall\varepsilon>0\,\exists\delta=\delta(\varepsilon)>0:\forall{t},s\in\mathbb{R}(|s-t|<\delta\Rightarrow|\varphi(s)-\varphi(t)|<\varepsilon).$$ Фиксируем $\varepsilon>0$, так как интеграл $\int_{-\infty}^{\infty}dF(x)$ сходится, то существует $A>0$ такое, что $\int_{|x|>A}dF(x)<\varepsilon/4$. Б. о. о. будем считать, что $s<t$, тогда $$ \varphi(t)-\varphi(s)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{isx}(e^{i(t-s)x}-1)dF(x)= \int\limits_{|x|\leq{A}}e^{isx}(e^{i(t-s)x}-1)dF(x)+\int\limits_{|x|>{A}}e^{isx}(e^{i(t-s)x}-1)dF(x) $$ Обозначим первое слагаемое $J_1$, а второе $J_2$, тогда, так как $|e^{ix}|=1$ для любого $x\in\mathbb{R}$, то $$|J_2|\leq\int\limits_{|x|>A}|e^{i(t-s)x}-1|dF(x)\leq2\int\limits_{|x|>A}dF(x)<2\frac{\varepsilon}{4}=\frac{\varepsilon}{2},$$ $$ |J_1|\leq\int\limits_{|x|\leq{A}}\sqrt{(\cos((t-s)x)-1)^2+\sin^2((t-s)x)}dF(x). $$ Обозначив $\alpha:=(t-s)x$, преобразуем подкоренное выражение, воспользовашись формулой $1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}$. $$(\cos\alpha-1)^2-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha-2\cos\alpha+1+\sin^2\alpha=2-2\cos\alpha=4\sin^2\frac{\alpha}{2},$$ тогда $$|J_1|\leq2\int\limits_{|x|\leq{A}}\left|\sin\frac{(t-s)x}{2}\right|dF(x)\leq2|t-s|\frac{A}{2}\int\limits_{|x|\leq{A}}dF(s)\leq{A}|t-s|.$$ Положив $\delta:=\frac{\varepsilon}{2A}$, получим $$|t-s|<\delta\Rightarrow|\varphi(t)-\varphi(s)|\leq|J_1|+|J_2|<{A}\frac{\varepsilon}{2A}+\frac{\varepsilon}{2}=\epsilon.$$
4. Так как функция $\exp(itx)$ борелевская (?), то по теореме 3.15 случайные величины $\exp(it\xi_1)$, $\exp(it\xi_2)$ независимы. Тогда по теореме 4.8 $$\varphi_{\xi_1+\xi_2}(t)=Ee^{it(\xi_1+\xi_2)}=E\left(e^{it\xi_1}e^{it\xi_2}\right)=Ee^{it\xi_1}Ee^{it\xi_2}=\varphi_{\xi_1}(t)\varphi_{\xi_2}(t).$$ Индукцией по $n$ можно так же доказать, что для любых независимых в совокупности случайных величин $\xi_1,\ldots,\xi_n$ $$\varphi_{\xi_1+\cdots+\xi_n}(t)=\prod_{k=1}^n\varphi_{\xi_k}(t).$$
5. $$\varphi_{\eta}(t)=Ee^{it(a\xi+b)}=E\left(e^{ita\xi}e^{itb}\right)=e^{itb}Ee^{ita\xi}=e^{itb}\varphi(at).$$

Пример 6.1:

1. Функция $\varphi(t)=t$ не является характерестической, так как $\varphi(0)\neq1$, то есть она не удовлетворяет свойству 1.
2. Функция $\varphi(t)=1/(1+t^2)$ удовлетворяет свойствам 1-3, однако нельзя утверждать, что она характеристическая.
3. Функция $\varphi(t)=\cos{t}=\frac12e^{it}+\frac12e^{-it}$ является характеристической функцией случайной величины $\xi\sim\left(\begin{smallmatrix}1, & -1 \\ 1/2, & 1/2\end{smallmatrix}\right)$ по определению.
4. Аналогично характеристическая функция случайной величины $\left(\begin{smallmatrix}2, & -2 \\ 1/2, & 1/2\end{smallmatrix}\right)$ равна $\varphi(t)=\cos(2t)$.
5. Функция $\varphi(t)=\cos^2t=\cos{t}\cos{t}$, по п. 3 и свойству 4 является характеристической функцией случайной величины $\xi+\eta\sim\left(\begin{smallmatrix}2, & 0, & -2 \\ 1/4, & 1/2 & 1/4\end{smallmatrix}\right)$, где $\xi,\eta\sim\left(\begin{smallmatrix}1, & -1 \\ 1/2, & 1/2\end{smallmatrix}\right)$
6. Функция $\varphi(t)=\cos(t^2)$ не является характеристической, так как она не равномерно непрерывна (п. 1 задачи 5.5.5 MA).

Пример 6.2:

1. Пусть $\xi\sim\left(\begin{smallmatrix}1, & 0 \\ p, & q\end{smallmatrix}\right)$, тогда $$\varphi(t)=e^{it1}p+e^{et0}q=q+pe^{it}=1+p(e^{it}-1).$$
2. Пусть $\xi\sim{B}(n,p)$, тогда как было показано в разделе 5.1 $\xi$ представима в виде суммы $n$ независимых случайных величин $\xi=\xi_1+\cdots+\xi_n$, где для любого $k\in\overline{1,n}$ $\xi_k\sim\left(\begin{smallmatrix}1, & 0 \\ p, & q\end{smallmatrix}\right)$, тогда по п. 4 теоремы 6.1 $$\varphi(t)=\prod_{k=1}^n\varphi_{\xi_k}(t)=(q+pe^{it})^n.$$
3. Пусть $\xi$ дискретна и для любого $k\in\mathbb{N}$ $P(\xi=k)=q^{k-1}p$, где $p,q>0$ и $p+q=1$, что соответствует геометрическому распределению. Тогда $$\varphi(t)=\sum_{k=1}^{\infty}e^{itk}q^{k-1}p=pe^{it}\sum_{k=1}^{\infty}(qe^{it})^{k-1}=\frac{pe^{it}}{1-qe^{it}}.$$ Ряд в предпоследнем выражении сходится по п. 3 теоремы 7.5.3 MA, так как сходится ряд $\sum_{k=1}^{\infty}|qe^{it}|^{k-1}$. Последний в свою очередь сходится в соответствии с примером 7.1.1 MA так как $|qe^{it}|\leq{q}<1$.
4. Пусть $\xi\sim\Pi(\lambda)$, то есть $\xi$ дискретна и для любого $k\in\mathbb{N}_0$ $$P(\xi=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}.$$ Тогда используя разложение функции $\exp$ в ряд Тэйлора получим $$\varphi(t)=\sum_{k=0}^{\infty}e^{itk}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda{e}^{it})^k}{k!}= e^{-\lambda}e^{\lambda{e}^{it}}=e^{\lambda(e^{it}-1)}.$$
5. Пусть $\xi\sim{N}(0,1)$, то есть $\xi$ абсолютно непрерывна и ее плотность распределения равна $$p(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}.$$ Тогда $$ \varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2+itx}dx= \frac1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac12(x^2-2itx+(it)^2)}e^{(it)^2/2}dx= e^{-t^2/2}\frac1{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac12(x-it)^2}dx. $$ Если сделать в интеграле замену $y:=x-it$, то он будет приведен к интегралу Пуассона, который равен $\sqrt{2\pi}$, следовательно, $$\varphi(t)=e^{-t^2/2}.$$
6. Пусть $\xi\sim{R}[-a,a]$ распределена равномерно на отрезке $[-a,a]$, тогда $$\varphi(t)=\int\limits_{-a}^ae^{itx}\frac1{2a}dx=\frac1{2ait}\left.e^{itx}\right|_{-a}^a=\frac{e^{ita}-e^{-ita}}{2iat}=\frac{\sin(at)}{at}.$$
7. Пусть $\xi\sim\Gamma(\alpha,\beta)$, то есть $\xi$ абсолютно непрерывна и ее плотность распределения для любого $x\geq0$ равна $$p(x)=\frac{x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}}{\Gamma(\alpha)\beta^{\alpha}}$$ и равна 0 при $x<0$. Положив $\lambda:=\alpha$, $\alpha:=1/\beta$ выражение для $p(x)$ можно переписать в следующем виде. $$p(x)=\frac{\alpha^{\lambda}x^{\lambda-1}}{\Gamma(\lambda)}e^{-\alpha{x}},$$ тогда $$ \varphi(t)=\frac{\alpha^{\lambda}}{\Gamma(\lambda)}\int\limits_0^{\infty}e^{-\alpha{x}+itx}x^{\lambda-1}dx= \frac{\alpha^{\lambda}}{(\alpha-it)^{\lambda}\Gamma(\lambda)}\int\limits_0^{\infty}e^{-x(\alpha-it)}\left((\alpha-it)x\right)^{\lambda-1}d\left((\alpha-it)x\right). $$ Сделаем замену $y:=(\alpha-it)x$, тогда $$\varphi(t)=\left(\frac{\alpha}{\alpha-it}\right)^{\lambda}\frac1{\Gamma(\lambda)}\int\limits_0^{\infty}y^{\lambda-1}e^{-y}dy= \left(\frac{\alpha}{\alpha-it}\right)^{\lambda}.$$ Если вернуться к первоначальным обозначениям $\beta:=1/\alpha$, $\alpha:=\lambda$, то $$\varphi(t)=(1-it\beta)^{-\alpha}.$$ Так как при $\alpha=1$, $\beta=1/\lambda$, гамма-распределение вырождается в покзательное, то характеристическая функция показательного распределения с параметром $\lambda$ равна $$\varphi(t)=\frac{\lambda}{\lambda-it}.$$ Так как при $\alpha=n/2$, $\beta=2$ гамма-распределение вырождается в хи-квадрат-распределение с $n$ степенями свободы, то его характериситическая функция равна $$\varphi(t)=(1-2it)^{-n/2}.$$
8. Пусть $\xi\sim{N}(\mu,\sigma^2)$, тогда $\eta:=(\xi-\mu)/\sigma\sim{N}(0,1)$. Так как в п. 5 было показано, что характеричитическая функция распределения $N(0,1)$ равна $e^{-t^2/2}$, то по п. 5 теоремы 6.1 $$\varphi_{\xi}(t)=\varphi_{\sigma\eta+\mu}(t)=e^{it\mu}\varphi_{\eta}(\sigma{t})=e^{it\mu}e^{-\sigma^2t^2/2}.$$
9. Пусть $\xi\sim{K}(1,0)$, то есть $\xi$ абсолютно непрерывна и ее плоность распределения равна $$p(x)=\frac1{\pi(1+x^2)}.$$ $$ \varphi(t)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{itx}}{1+x^2}dx= \frac1{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(tx)}{1+x^2}dx+\frac{i}{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(tx)}{1+x^2}dx. $$ Во втором слагаемом подинтегральная функция нечетная, следовательно, слагаемое равно нулю. В первом слагаемом подинтегральная функция по $t$ четная, значит и $\varphi(t)$ четная, поэтому далее будем рассматривать случай $t>0$. Так как интеграл во втором слагаемом удовлетворяет предпосылкам теоремы 13.2.3 MA, то можно продифференцировать второе слагаемое по $t$, получим $$\varphi'(t)=-\frac1{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(tx)}{1+x^2}dx.$$ Так как по примеру 13.2.8 MA $$\frac1{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(tx)}{x}dx=1,$$ то $$\varphi'(t)+1=\frac1{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(tx)}{x}dx-\frac1{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(tx)}{1+x^2}dx=\frac1{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(tx)}{x(1+x^2)}dx.$$ Тогда дифференцируя по $t$ получим $$\varphi''(t)=\frac1{\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(tx)}{1+x^2}dx=\varphi(t).$$ Таким образом, $\varphi''(t)=\varphi(t)$, общее решение этого дифференциального уравнения есть $C_1e^t+C_2e^{-t}$ (?). Так как рассматривается случай $t>0$ и по п. 1 теоремы 6.1 $|\varphi(t)|\leq1$ для любого $t\in\mathbb{R}$, то $C_1=0$. Так как $\varphi(0)=1$, то $C_1=1$, следовательно, для любого $t>0$ $\varphi(t)=e^{-t}$ и в силу четности функции $\varphi(t)$ для любого $t\in\mathbb{R}$ $\varphi(t)=e^{-|t|}$.

6.2 Формула Тэйлора для характеристической функции.

Теорема 6.2: Для любого $n\in\mathbb{N}$, если $E(|\xi|^n)<\infty$, то характериситическая функция $\varphi(t)$ случайной величины $\xi$ по крайней мере $n$ раз дифференцируема и при этом $$\forall{k}\in\overline{0,n}\left(\varphi^{(k)}(0)=i^kE(\xi^k)\right).$$

Доказательство:
При $k=0$ $\varphi^{(0)}(0)=\varphi(0)=1=E1=E\xi^{0}$.
При $k\in\mathbb{N}$ докажем индукцией по $k$.

1. Пусть $k=1$, так как $$|(e^{itx})'_t|=|ixe^{itx}|=|x||e^{itx}|=|x|\Rightarrow\forall{x},t\in\mathbb{R}\left(|(e^{itx})'_t|\leq|x|\right)$$ и интеграл $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}|x|dF(x)=E|\xi|<\infty$$ сходится равномерно по $t$, так как от него не зависит, то по мажорнтному признаку Вейерштрасса (утверждение 13.2.4 MA cформулирвано правда про интеграл Римана от действительнозначной функции) интеграл $$\int\limits_{-\infty}^{\infty}(e^{itx})'_tdF(x)$$ сходится равномерно по $t$ и, следовательно, можно применить теорему 13.2.3 MA (обратно про интеграл Римана), то есть продифференцировать под знаком интеграла, тогда $$\varphi'(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}(e^{itx})'_tdF(x)=i\int\limits_{-\infty}^{\infty}xe^{itx}dF(x)\Rightarrow\varphi'(0)= i\int\limits_{-\infty}^{\infty}xdF(x)=iE\xi.$$ В лекциях по поводу обоснования возможности дифференцирвания под знаком интеграла в $\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF_{\xi}(x)$ приводится следующее $$ \left|\left(\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}dF_{\xi}(x)\right)'\right|= \left|i\int\limits_{-\infty}^{\infty}xe^{itx}dF_{\xi}(x)\right|\leq\int_{-\infty}^{\infty}|x||e^{itx}|dF_{\xi}(x)= \int\limits_{-\infty}^{\infty}|x|dF_{\xi}(x)=E|\xi|<\infty $$ где предпоследнее равенство в силу того, что функция модуля борелевская, и для любой борелевской функции $g(x)$ $$E(g(\xi))=\int\limits_{-\infty}^{\infty}g(x)dF_{\xi}(x).$$ Более точное доказательство приведено, например, в Ширяев А. Н. 2004 г. "Вероятность - 1" стр. 356, п. 5 теоремы 1.
2. Шаг индукции следует из равенства $((ix)^ke^{itx})'_t=(ix)^{k+1}e^{itx}$.

Пример 6.3: Из теоремы 6.2 при $n=2$ следует, что, если $E(|\xi|^2)<\infty$, то $\varphi'_{\xi}(0)=iE\xi$, $\varphi''_{\xi}(0)=-E(\xi^2)$. Тогда $$ D\xi=E(\xi^2)-(E\xi)^2=-\varphi''_{\xi}(0)-\left(\frac{\varphi'_{\xi}(0)}{i}\right)^2=-\varphi''_{\xi}(0)+(\varphi'_{\xi}(0))^2 $$ Пусть $\xi\sim\Pi(\lambda)$, тогда из п. 4 примера 6.2 следует, что $\varphi_{\xi}(t)=\exp{(\lambda(e^{it}}-1))$, тогда $$ \varphi'_{\xi}(0)=\left.e^{\lambda(e^{it}-1)}\lambda{e}^{it}i\right|_{t=0}=i\lambda $$ $$ \varphi''_{\xi}(t)=(\varphi_{\xi}(t)\lambda{e}^{it}i)'=i\lambda(\varphi'_{\xi}(t)e^{it}+\varphi_{\xi}(t)ie^{it})\Rightarrow \varphi''_{\xi}(0)=i\lambda(i\lambda+i)=-\lambda^2-\lambda. $$ Следовательно, $$ E\xi=\frac{\varphi'_{\xi}(0)}{i}=\frac1{i}i\lambda=\lambda. $$ $$ D\xi=-(-\lambda^2-\lambda)+(i\lambda)^2=\lambda. $$

Теорема 6.3: Для любой случайной величины $\xi$ и любого $n\in\mathbb{N}$ $$\left|\varphi^{(2n)}_{\xi}(t)\right|<\infty\Rightarrow\forall{k}\in\overline{1,2n}\left(E(|\xi|^k)<\infty\right).$$

Доказательство:
Доказательство, например, в Ширяев~А.~Н. 2004 г. "Вероятность - 1" стр. 356, п. 6 теоремы 1.

Теорема 6.4: Формула Тэйлора для характеристической функции.
Пусть $n\in\mathbb{N}$ и $E(|\xi|^n)<\infty$, тогда $$\varphi_{\xi}(t)=\sum_{k=0}^n\frac{(it)^k}{k!}E(\xi^k)+\varepsilon_k(t)\frac{(it)^n}{n!},$$ где для любого $t\in\mathbb{R}$ $|\varepsilon_n(t)|\leq{3}E(|\xi|^n)$ и $\varepsilon_n(t)\to0$ при $t\to0$.

Доказательство:
Из теоремы 6.2 следует, что если $E(|\xi|^n)<\infty$, то для любого $k\in\overline{1,n}$ $E(|\xi|^k)<\infty$. Исходя из определения функции $e^{z}$ над $\mathbb{C}$ (определение 7.5.12 MA) и формулы Тэйлора с остаточным членом в форме Маклорена (следствие 6.5.2 MA) для любого $y\in\mathbb{R}$ имеем $$e^{iy}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(iy)^k}{k!}+\frac{(iy)^n}{n!}(\cos{(\theta_1y)}+i\sin{(\theta_2y))},$$ где $\theta_1,\theta_2\in[0,1]$. Подставляя $t\xi$ вместо $y$ имеем \begin{multline*} e^{it\xi}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(it)^k}{k!}\xi^k+\frac{(it)^n}{n!}\bigl(\xi^n[\cos{(\theta_1t\xi)}+i\sin{(\theta_2t\xi})]+\xi^n-\xi^n\bigr)= \sum_{k=0}^n\frac{(it)^k}{k!}\xi^{k}+\frac{(it)^n}{n!}\xi^n(\cos{(\theta_1t\xi)}+i\sin{(\theta_2t\xi)}-1)\Rightarrow\\ \Rightarrow{E}(e^{it\xi})=\varphi_{\xi}(t)=\sum_{k=0}^n\frac{(it)^k}{k!}E(\xi^k)+\frac{(it)^n}{n!}E\bigl(\xi^n[\cos{(\theta_1t\xi)}+i\sin{(\theta_2t\xi)}-1]\bigr). \end{multline*} Обозначим $$\varepsilon_n(t)=E\bigl(\xi^n[\cos{(\theta_1t\xi)}+i\sin{(\theta_2t\xi)}-1]\bigr),$$ тогда, так как для любого $t\in\mathbb{R}$ $|\xi|^n|\cos{(\theta_1t\xi)}|\leq|\xi|^n$ и $|\xi|^n|\sin(\theta_2t\xi)|\leq|\xi|^n$, то по п. п. 4, 5 теоремы 4.4 $$ |\varepsilon_n(t)|\leq|E(\xi^n\cos{(\theta_1t\xi)})|+|E(i\xi^n\sin{(\theta_2t\xi)})|-|E(\xi^n)|\leq {E}\bigl(|\xi|^n|\cos{(\theta_1t\xi)}|\bigr)+E\bigl(|\xi|^n|\sin{(\theta_1t\xi)}|\bigr)-E\bigl(|\xi|^n\bigr)\leq3E\bigl(|\xi|^n\bigr). $$ Так как для любого $t\in\mathbb{R}$ $|\xi^n\cos(\theta_1t\xi)|\leq|\xi|^n$ и $E(|\xi|^n)<\infty$, то по теореме 4.6 существует предел $$\lim_{t\to0}E\bigl(\xi^n\cos{(\theta_1t\xi})\bigr)=E\left(\lim_{t\to0}[\xi^n\cos{(\theta_1t\xi)}]\right)=E(\xi^n).$$ Аналогично $\lim_{t\to0}E(\xi^n\sin{(\theta_2t\xi)})=0$, следовательно, существует предел $\lim_{t\to0}\varepsilon_n(t)=E(\xi^n)+0-E(\xi^n)=0$.

Теорема 6.5: Ряд Тэйлора для характеристической функции.
Пусть случайная величина $\xi$ такая, что

1. $\forall{n}\in\mathbb{N}\bigl(E(|\xi|)^n<\infty\bigr)$,
2. $$\exists{R}\in\mathbb{R}\backslash\{0\}:\varlimsup_{n\to\infty}\frac{\bigl(E(|\xi|^n)\bigr)^{1/n}}{n}=\frac1{R},$$

Доказательство:
Для любого $n\in\mathbb{N}$ обознчим $a_n:=(i)^nE(|\xi|^n)/n!$. Так как по формуле Стирлинга (теорема 7.5.6 MA) $n!\sim{n}^n\sqrt{2\pi{n}}/n^n$, при $n\to\infty$ и по примеру 4.3.4 MA $\sqrt[n]{n}\to$ при $n\to\infty$, то \begin{multline*} \varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\varlimsup_{n\to\infty}\left|\frac{E(|\xi|^n)i^n}{n!}\right|^{1/n}= \varlimsup_{n\to\infty}\left(\frac{E(|\xi|^n)e^n}{\sqrt{2\pi{n}}n^n}\right)^{1/n}=\\= e\varlimsup_{n\to\infty}\frac{(E(|\xi|^n)^{1/n}}{n\sqrt[n]{\sqrt{2\pi{n}}}}={e}\varlimsup_{n\to\infty}\frac{E(|\xi|^n)^{1/n}}{n}=\frac{e}{R}. \end{multline*} Таким образом, $$\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<\infty,$$ следовательно по формуле Коши-Адамара (теорема 7.5.4 MA) ряд $\sum_{k=0}^{\infty}(it)^kE(|\xi|^k)/k!$ сходится в круге радиуса $r$ $$r=1/\varlimsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{R}{e}>\frac{R}{3}.$$ Так как для любого $n\in\mathbb{N}$ $|E(\xi^n)|\leq{E}(|\xi|^n)$, то ряд $\sum_{k=0}^{\infty}(it)^kE(\xi^k)/k!$ так же сходится в круге радиуса $r$. Фиксируем $t\in[-r,r]$, тогда по теореме 6.4 $$\varphi_{\xi}(t)=\sum_{k=0}^n\frac{(it)^k}{k!}E(\xi^k)+R_n(t),$$ где $$|R_n(t)|=\left|\frac{(it)^n}{n!}\varepsilon_n(t)\right|\leq\frac{|t|^n}{n!}3E(|\xi|^n).$$ Последнее выражение стремится к нулю при $n\to\infty$, так как стремится к нулю общий член ряда $\sum_{n=0}^{\infty}(it)^nE(|\xi|^n)/n!$, то есть $\lim_{n\to\infty}R_n(t)=0$ и $\varphi_{\xi}(t)=\sum_{n=0}^{\infty}(it)^nE(\xi^n)/n!$.

previous contents next