11 Векторные пространства.

11.1 Введение.

Определение 11.1:
Пусть $L,K$ - произвольные множества, тогда функция $\circ:L\times{K}\to{L}$ назввается внешенй операцией умножения справа (внешним умножением) элементов множества $L$ на элементы множества $K$.

Пример 11.1:
Например, операция умножения матриц из $R_{m,n}$ на элементы кольца $R$ является внешним умножением.

Определение 11.2:
Пусть $P$ - поле, $(L;+)$ - абелева группа, $\circ$ - внешнее умножение элементов группы $L$ на элементы поля $P$. Тогда говорят, что группа $(L;+)$ является правым векторным пространством над полем $P$, если для любых $\alpha,\beta\in{L}$, $a,b\in{P}$

1. $(\alpha\circ{a})\circ{b}=\alpha\circ(ab)$,
2. $\alpha\circ(a+b)=\alpha\circ{a}+\alpha\circ{b}$,
3. $(\alpha+\beta)\circ{a}=(\alpha\circ{a})+(\beta\circ{a})$,
4. $\alpha\circ{e}=\alpha$, где $e$ - единица поля $P$.

Задача 11.1:
Доказать, что аксиомы определения 11.2 независимы, то есть привести примеры, когда три из них выполняются, а четвертая нет.
Решение.

1. При $P:=GF(2)$, $L:=(P;+)$, для любых $\alpha\in{L}$, $k\in{P}$ $\alpha\circ{k}=0$ первые три аксиомы выполняются так как во всех равенствах в правой и левой частях будет стоять 0, однако аксиома 4 не выполняется так как $1\circ1=0\neq{1}$.
2. При $P:=GF(2)$, $L:=(P;+)$ и $0\circ0=0\circ1=0$, $1\circ0=1\circ1=1$ выполняются все аксиомы кроме аксиомы 2.

Пример 11.2:

1. $P_P^n$, $P_P^{(n)}$ - $n$-мерные арифметические пространства (определение 4.8),
2. $(P_{m,n})_P$,
3. Пространство непрерывных функций заданных на отрезке над $\mathbb{R}$ $(C_{[a,b]})_{\mathbb{R}}$,
4. $P[x]_P$,
5. $\mathbb{C}_{\mathbb{R}}$, $\mathbb{C}_{\mathbb{Q}}$, $\mathbb{R}_{\mathbb{Q}}$,
6. если $\mathcal{D}_2$ множество векторов плоскости с началом в точке $(0,0)$, то $(\mathcal{D}_2)_{\mathbb{R}}$ - вектороное пространство, аналогично $(\mathcal{D}_3)_{\mathbb{R}}$.

Теорема 11.1:
$\forall\alpha\in{L}_P$, $a\in{P}$

1. $\alpha\circ{a}\Leftrightarrow(\alpha=\theta\,\vee\,a=0)$,
2. $\alpha\circ(-a)=-(\alpha\circ{a})=(-\alpha)\circ{a}$,
3. $(-\alpha)\circ(-a)=\alpha\circ{a}$.

Доказательство:

1. $\Leftarrow)$ Для любого $a\in{P}$ по аксиоме 3 $$\theta\circ{a}=(\theta+\theta)\circ{a}=\theta\circ{a}+\theta\circ{a}\Rightarrow\theta\circ{a}=\theta.$$ Для любого $\alpha\in{L}_P$ по аксиоме 2 $$\alpha\circ0=\alpha\circ(0+0)=\alpha\circ0+\alpha\circ0\Rightarrow\alpha\circ0=\theta.$$ $\Rightarrow)$ Пусть $\theta\circ{a}=\theta$ и $a\neq0$, тогда по аксиомам 1, 4 и доказанному выше $$\alpha\circ{e}=\alpha\circ(aa^{-1})=(\alpha\circ{a})\circ{a}^{-1}=\theta\circ{a}^{-1}=\theta\Rightarrow\alpha=\theta.$$ Пусть $\alpha\circ{a}=\theta$ и $\alpha\neq\theta$, тогда если предположить, что $a\neq0$, то по доказанному выше $\alpha=\theta$, что противоречит условию.
2. По аксоме 2 и пункту 1 $$\alpha\circ{a}+\alpha\circ(-a)=\alpha\circ(a+(-a))=\alpha\circ0=\theta.$$ Аналогично $\alpha\circ(-a)+\alpha\circ{a}=\theta$, следовательно, $\alpha\circ(-a)=-(\alpha\circ{a})$. По аксиоме 3 и пункту 1 $$\alpha\circ{a}+(-\alpha)\circ{a}=(\alpha+(-\alpha))\circ{a}=\theta\circ{a}=\theta.$$ Аналогично $(-\alpha)\circ{a}+\alpha\circ{a}=\theta$, следовательно, $(-\alpha)\circ{a}=-(\alpha\circ{a})$.
3. По пункту 2 $$(-\alpha)\circ(-a)=-((-\alpha)\circ{a})=(-(-\alpha))\circ{a}=\alpha\circ{a}.$$

Определение 11.3:
Пусть $L_P$ - векторное пространство. Конечная не пустая система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{L}_P$ называется линейно зависимой (ЛЗ), если существуют $c_1,\ldots,c_k\in{P}$ не все равные нулю такие, что $$\alpha_1\circ{c}_1+\cdots+\alpha_k\circ{c}_k=\theta.$$ В противном случае система векторов называется линейно независимой (ЛНЗ).
Пустая система векторов считается линейно независимой.

Определение 11.4:
Пусть $L_P$ - векторное пространство. Будем говорить, что вектор $\beta\in{L}_P$ линейно выражается через (ЛВЧ) систему векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{L}_P$, если $$\exists{b}_1,\ldots,b_k\in{P}:\alpha_1\circ{b}_1+\cdots+\alpha_k\circ{b}_k=\beta.$$

Определение 11.5:
Пусть $L_P$ - векторное пространство. Подсистема $T$ конечной системы векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{L}_P$ называется её максимальной линейно независимой подсистемой (МЛНП), если

1. подсистема $T$ линейно независима,
2. для любого $i\in\overline{1,k}$ система $\{T,\alpha_i\}$ линейно зависима.

Определение 11.6:
Пусть $L_P$ - вектрное пространство.
Вектор $\alpha\in{L}_P$ линейно выражается через бесконечную систему векторов $S\subset{L}_P$, если он линейно выражается через какую-либо конечную подсистему системы $S$.
Система векторов $S\subset{L}_P$ линейно выражается через систему векторов $T\subset{L}_P$, если каждый вектор системы $S$ линейно выражается через систему $T$.

Определение 11.7:
Пусть $L_P$ - векторное пространство. Бесконечную систему векторов $S\subset{L}_P$ называют линейно зависимой, если в ней существует хотя бы одна линейно зависимая конечная подсистема. В противном случае систему $S$ называют линейно независимой.

Теорема 11.2:
Пусть $L_P$ - векторное пространство, $S\subset{L}_P$ $|S|>1$, тогда система векторов $S$ линейно зависима тогда и только тогда, когда сущестсвует вектор $\alpha\in{S}$ такой, что $\alpha$ линейно выражается через $S\backslash\{\alpha\}$.

Доказательство:
$\Rightarrow)$ Так как система $S$ ЛЗ, то существует система $S'\subset{S}$ такая, что $|S'|<\infty$ и $S'$ ЛЗ.
Если $S'=\{\theta\}$, то $$|S|>1\Rightarrow\exists\beta\in{S}\backslash{S}'\Rightarrow\exists\alpha:=\theta:\alpha=\beta\circ0.$$ Если $|S'|>1$, то, так как $S'$ ЛЗ, аналогично п. 1 теоремы 4.6 существует $\alpha$ ЛВЧ $S'\backslash\{\alpha\}$, следовательно, $\alpha$ ЛВЧ $S\backslash\{\alpha\}$.
$\Leftarrow)$ Если $\alpha$ ЛВЧ $S\backslash\{\alpha\}$, то существует система $S'\subset{S}\backslash\{\alpha\}$ $|S'|<\infty$ и $\alpha$ ЛВЧ $S'$. Тогда аналогично п. 1 теоремы 4.6 $S'\cup\{\alpha\}$ - конечная ЛЗ подсистема системы $S$, то есть система $S$ ЛЗ.

Теорема 11.3:
Пусть $L_P$ - векторное пространство, $S\subset{L}_P$, $|S|>0$, $S$ - линейно независима. Тогда для любого $\alpha\in{L}_P$, если $S\cup\{\alpha\}$ - линейно зависима, то $\alpha$ линейно выражается через $S$ однозначно.

Доказательство:

Так как система $S\cup\{\alpha\}$ ЛЗ, то существует $S'\subset{S}\cup\{\alpha\}$ такая, что $|S'|<\infty$ и $S'$ - ЛЗ. Так как $S$ ЛНЗ, то $S'\backslash\{\alpha\}\subset{S}$ ЛНЗ, тогда аналогично утверждению 4.3 $\alpha$ ЛВЧ $S'\backslash\{\alpha\}$, следовательно, $\alpha$ ЛВЧ $S$.
Если существует единственная подсистема $S'\subset{S}\cup\{\alpha\}$ такая, что $|S'|<\infty$ и $S'$ - ЛЗ, аналогично утверждению 4.4 можно показать, что $\alpha$ ЛВЧ $S'\backslash\{\alpha\}$ однозначно. Если существуют две такие системы $S'$ и $S''$, то $|S'\cup{S}''|<\infty$ и $\alpha$ ЛВЧ $S'\cup{S}''$ однозначно, следовательно, $\alpha$ ЛВЧ $S$ однозначно.

Определение 11.8:
Пусть $L_P$ - векторное пространство. Подсистему $T$ системы $S\subset{L}_P$ называют максимальной линейно независимой подсистемой системы $S$, если

1. система $T$ линейно независима
2. для любого $\alpha\in{S}$ система $T\cup\{\alpha\}$ линейно зависима.

Определение 11.9:
Пусть $L_P$ - векторное пространство, $S\subset{L}_P$. Базисом системы векторов $S$ называется её конечная упорядоченная или бесконечная максимальная линейно независимая подсистема.

Пример 11.3:
Для бесконечной МЛНП упорядоченность не требуется так как она может быть несчетна, тогда упорядочить её будет невозможно.

1. Базисом векторного пространства $P[x]_P$ многочленов над полем $P$ являтеся счетная система многочленов $\{1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots\}$.
   Действительно, пусть $$\{\alpha_i\mid{i}\in\mathbb{N}_0\}:=\{x^i\mid{i}\in\mathbb{N}_0\}=\{1,x,x^2,\ldots,x^n,\ldots\}\subset{P}[x],$$ тогда для любого конечного не нулевого набора $a_1,\ldots,a_n\in{P}$ и для любого набора различных индексов $i_1,\ldots,i_n\in\mathbb{N}_0$ многчлен $\sum_{j=1}^na_j\alpha_{i_j}$ не нулевой, то есть система $\{\alpha_i\mid{i}\in\mathbb{N}_0\}$ ЛНЗ.
   С другой стороны, для любого многочлена $f(x)=\sum_{i\geq0}a_ix^i\in{P}[x]$ $f(x)=\sum_{i=0}^{\deg{f(x)}}a_i\alpha_i$. Таким образом, $\{\alpha_i\}\cup{f}(x)$ ЛЗ, то есть система $\{\alpha_i\mid{i}\in\mathbb{N}_0\}$ МЛНП.
2. Базис векторного пространства $\mathbb{R}_{\mathbb{Q}}$ не является счетным. Действительно, если предположить, что существует счетное $B\subset\mathbb{R}$ такое, что для любого $r\in\mathbb{R}$ $r$ ЛВЧ $B$ над $\mathbb{Q}$, то мощность множества $\mathbb{R}$ не превосходит мощность множесва $B\times\mathbb{Q}$, которое счетно. Получено противоречие с несчетностью множества $\mathbb{R}$.

Теорема 11.4:
Любая система векторов любого векторного пространства имеет базис.

Доказательство:
Без доказательства.

11.2 Подпространства векторых пространств.

Определение 11.10:
Пусть $L_P$ - векторное пространство. Будем говорить что множество $K\subset{L}$ замкнуто относительно внешнего умножения если для любого $\alpha\in{K}$ и для любого $a\in{P}$ $\alpha\circ{a}\in{K}$.

Определение 11.11:
Пусть $L_P$ - векторное пространство, не пустое множество $K\subset{L}_P$ такое, что

1. $K$ замкнуто замкнуто относительно операций $+$, $\circ$,
2. $K_P$ - векторное пространство.

Пример 11.4:
Очевидно, что если $K_P<L_P$, то $K<L$, однако, обратное не верно, например, $(\mathbb{C}_{p^k};\cdot)<(\mathbb{C};\cdot)$, но $\mathbb{C}_{p^k}$ не замкнуто относительно умножения на действительное число. Так что $\mathbb{C}_{p^k}$ не являтеся подпространством векторного пространства $(\mathbb{C};\cdot)_{\mathbb{R}}$.

Теорема 11.5: Критерий быть подпространством.
Пусть $L_P$ - векторное пространство, $K\subset{L}$, $K\neq\varnothing$, тогда $K_P<L_P$ тогда и только тогда, когда $K$ замкнуто относительно операций $+$, $\circ$.

Доказательство:
$\Rightarrow)$ По определению 11.11.
$\Leftarrow)$ Так как п. 1 определения 11.11 выполняется по условию, то достаточно доказать, что $K_P$ - векторное пространство. Так как $K\subset{L}_P$, то достаточно доказать, что $K$ - группа, действительно по п. 2 теоремы 11.1 и в силу замкнутости $K$ относительно $+$, $\circ$ $$\forall\alpha,\beta\in{K}(\alpha+(-\beta)=\alpha+\beta\circ(-e)\in{K}).$$ Таким образом, по утверждению 9.3 $K<L$.

Пример 11.5:

1. Подпространства $\{\theta\}<L_P$, $L_P<L_P$ называются несобственными.
2. Пусть $K$ - множество векторов плоскости с началом в точке $(0,0)$ и концами лежащими на одной прямой, тогда $K_{\mathbb{R}}<(\mathcal{D}_2)_{\mathbb{R}}$.
3. Пусть $P_{\leq{n}}[x]$ - множество многочленов над полем $P$, степень которых не превосходит $n$, тогда $(P_{\leq{n}}[x])_P<P[x]_P$.
4. $\mathbb{Q}_\mathbb{Q}<\mathbb{R}_\mathbb{Q}<\mathbb{C}_\mathbb{Q}$.

Утверждение 11.1:
$$\forall\alpha\in{A}(K_{\alpha}<L_{P})\Rightarrow\bigcap_{\alpha\in{A}}K_{\alpha}<L_P.$$

Доказательство:

Так как $$\beta,\gamma\in\bigcap_{\alpha\in{A}}K_{\alpha}\Rightarrow\forall\alpha\in{A}(\beta,\gamma\in{K}_{\alpha})\Rightarrow \forall\alpha\in{A}(\beta+\gamma\in{K}_{\alpha})\Rightarrow\beta+\gamma\in\bigcap_{\alpha\in{A}}K_{\alpha},$$ $$\beta\in\bigcap_{\alpha\in{A}}K_{\alpha}\,\wedge\,a\in{P}\Rightarrow\forall\alpha\in{A}(\beta\circ{a}\in{K}_{\alpha})\Rightarrow \beta\circ{a}\in\bigcap_{\alpha\in{A}}K_{\alpha},$$ то $\bigcap_{\alpha\in{A}}K_{\alpha}$ замкнуто относительно операций $+$ и $\circ$, следовательно, по теореме 11.5 $\bigcap_{\alpha\in{A}}K_{\alpha}<L_P$.

Определение 11.12:
Пусть $L_P$ - векторное пространство, $S\subset{L}$. Подпространством пространства $L_P$ порожденным множеством $S$ называется множество $(S)_P:=\bigcap_{S\subset{K}_P<L_P}K_P$.

Теорема 11.6:
Пусть $L_P$ - векторное пространство, $S\subset{L}$, $S\neq\varnothing$, тогда $$(S)_P=\{\alpha_1\circ{c}_1+\cdots+\alpha_n\circ{c}_n\mid{n}\in\mathbb{N},\alpha_i\in{S},c_i\in{P}\}.$$

Доказательство:

Обозначим $$M:=\{\alpha_1\circ{c}_1+\cdots+\alpha_n\circ{c}_n\mid{n}\in\mathbb{N},\alpha_i\in{S},c_i\in{P}\}.$$ Пусть $\alpha,\beta\in{M}$, тогда $$ \begin{cases} \exists{m}\in\mathbb{N}\,c_1,\ldots,c_m\in{P},\alpha_1,\ldots,\alpha_m\in{S}:\alpha=\alpha_1\circ{c}_1+\cdots+\alpha_m\circ{c}_m\\ \exists{n}\in\mathbb{N}\,d_1,\ldots,d_n\in{P},\beta_1,\ldots,\beta_n\in{S}:\beta=\beta_1\circ{d}_1+\cdots+\beta_n\circ{d}_n \end{cases} $$ тогда $$\alpha+\beta=\alpha_1\circ{c}_1+\cdots+\alpha_m\circ{c}_m+\beta_1\circ{d}_1+\cdots+\beta_n\circ{d}_n\in{M}.$$ и $$ a\in{P}\Rightarrow\alpha\circ{a}=(\alpha_1\circ{c}_1+\cdots+\alpha_m\circ{c}_m)\circ{a}= (\alpha_1\circ{c}_1)\circ{a}+\cdots+(\alpha_m\circ{c}_m)\circ{a}=\alpha_1\circ(c_1a)+\cdots+\alpha_m\circ(c_ma)\in{M}, $$ таким образом, по теореме 11.5 $M_P<L_P$. Так как для любого $\alpha\in{S}$ $\alpha=\alpha\circ{e}\in{M}$, то $S\subset{M}$ и тогда $(S)_P\subset{M}_P$.
С другой стороны, $$ S\subset(S)_P\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,m}(\alpha_i\in(S)_P)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,m}(\alpha_i\circ{c}_i\in(S)_P)\Rightarrow \alpha\in(S)_P\Rightarrow{M}_P\subset(S)_P, $$ таким образом, $M_P=(S)_P$.

Из теоремы в частности следует, что если $T$ базис $L_P$, то $(T)_P=L_P$.

Следствие 11.1:
Пусть $L_P$ - векторное пространство, $S\subset{L}$, тогда базис системы векторов $S$ является базисом системы векторов $(S)_P$.

Доказательство:

1. Если $S=\varnothing$, то $(S)_P=\{\theta\}$. Так как $\theta\circ{e}=\theta$, то $\{\theta\}$ - ЛЗ, то есть базис $\{\theta\}$ равен базису $\varnothing$ и равен $\varnothing$.
2. Если $S=\{\theta\}$, то аналогично пункту 1 базис $S$ равен базису $(S)_P$ и равен $\varnothing$.
3. Пусть $S\notin\{\varnothing,\{\theta\}\}$. Обозначим $T$ базис $S$. Для любого $\beta\in(S)_P$ по теореме 11.6 $\beta$ ЛВЧ $S$, тогда $\beta$ ЛВЧ $T$, следовательно, по теореме 11.2 система $\{T,\beta\}$ ЛЗ, то есть $T$ базис $(S)_P$.

Утверждение 11.2:
$$\forall{i}\in\overline{1,s}(K_i<L_P)\Rightarrow{K}_1+\cdots+K_s<L_P.$$

Доказательство:

По следствию 9.8 $(K_1;+)+\cdots+(K_s;+)<(L;+)$, следовательно, множество $K_1+\cdots+K_s$ замкнуто относительно операции $+$. Пусть $\alpha=\alpha_1+\cdots+\alpha_s\in{K}_1+\cdots+K_s$, где для любого $i\in\overline{1.s}$ $\alpha_i\in{K}_i$, тогда $$ \forall{a}\in{P}(\alpha\circ{a}=(\alpha_1+\cdots+\alpha_s)\circ{a}=\alpha_1\circ{a}+\cdots+\alpha_s\circ{a}\in{K}_1+\cdots+K_s), $$ следовательно, $K_1+\cdots+K_s$ замкнуто относительно операции $\circ$. Таким образом, по теореме 11.5 $K_1+\cdots+K_s<L_P$.

Определение 11.13:
Сумма подпространств векторного пространства $L_P$ называется прямой, если она является прямой суммой подгрупп группы $(L;+)$.

Теорема 11.7:
Пусть для любого $i\in\overline{1,s}$ $K_i<L_P$, $M_P=K_1+\cdots+K_s$, тогда следующие утверждения эквивалентны

1. $M_P=K_1\dotplus\cdots\dotplus{K}_s$,
2. $\forall(\alpha_1,\ldots,\alpha_s)\in{K}_1\times\cdots\times{K}_s(\alpha_1+\cdots+\alpha_s=\theta\Leftrightarrow \forall{i}\in\overline{1,s}(\alpha_i=\theta))$,
3. $\forall{i}\in\overline{1,s}\left(K_i\cap\sum_{j=1,j\neq{i}}^sK_j=\{\theta\}\right)$.

Доказательство:
Следует из теоремы 9.12.

previous contents next