10.3 Строение конечной абелевой группы.

Теорема 10.6:
Пусть $G$ - конечная абелева группа, $g\in{G}$, $p$ - простое число, $\exp{G}=\ord{g}=p^m$, тогда следующие утверждения эквивалентны

1. $G=\langle{g}\rangle$,
2. $G(1)\subset\langle{g}\rangle$,
3. $|G(1)|=p$.

Доказательство:

$1)\Rightarrow2)$ По определению множетсва $G(1)$ $G(1)\subset{G}=\langle{g}\rangle$.
$2)\Rightarrow3)$ Обозначим $F:=\langle{g}\rangle$. Так как $F<G$, то $F(1)\subset{G}(1)$. Так как $G(1)\subset{F}$ по условию, то $G(1)\subset{F}(1)$ и $G(1)=F(1)$, следовательно, $$ |G(1)|=|F(1)|=\left|\left\{kg\left|{k}\in\overline{1,p^m}:\ord{kg}=\frac{\ord{g}}{(k,\ord{g})}=\frac{p^m}{(k,p^m)}=p\right.\right\}\cup\{0\}\right|= |\{k\in\overline{1,p^m}\mid{p}^{m-1}=(k,p^m)\}|+1=|\{k\in\overline{1,p}\mid(k,p)=1\}|+1=\varphi(p)+1=p. $$ $3)\Rightarrow1)$ Докажем индукцией по $m$.

1. При $m=1$ $$\exp{G}=p\Rightarrow\forall{h}\in{G}:ph=0\Rightarrow{G}=G(1)\Rightarrow|G|=|G(1)|=p.$$ С другой стороны, по условию $$\ord{g}=\exp{G}=p\Rightarrow(|\langle{g}\rangle|=p\,\wedge\,\langle{g}\rangle<G)\Rightarrow\langle{g}\rangle=G.$$
2. Для любого $t\geq1$ докажем, что если утверждение верно при $1\leq{m}\leq{t}$, то оно верно при $m=t+1$.
   Обозначим $H:=G(m-1)$ и фиксируем $h_1,h_2\in{H}$, тогда $$ (\ord{h}_1|p^{m-1}\,\wedge\,\ord{h}_2|p^{m-1})\Rightarrow\ord{(h_1+h_2)}=[h_1,h_2]\bigl|{p}^{m-1}\Rightarrow{h}_1+h_2\in{H}. $$ Следовательно, в силу произвола выбора $h_1h_2\in{H}$ по следствию 9.7 $H<G$. Так как для любого $h\in{H}$ $\ord{h}|p^{m-1}$, то $\exp{H}\leq{p}^{m-1}$. С другой стороны, обозначим $h:=pg$, тогда по п. 3 теоремы 9.16 $$ \ord{h}=\frac{\ord{g}}{(p,\ord{g})}=\frac{p^m}{(p,p^m)}=\frac{p^m}{p}=p^{m-1}\Rightarrow\ord{h}|p^{m-1}\Rightarrow{h}\in{H}, $$ следовательно, $\exp{H}=p^{m-1}$.
   Пусть $f\in{G}(1)$, тогда $$pf=0\Rightarrow\exists{k}\in\overline{1,p}:f=kp^{m-1}g\Rightarrow{f}\in{H},$$ следовательно, $H(1)=G(1)$.
   Таким образом, группа $H$ и элемент $h$ удовлетворяют условиям теоремы при показателе степени $m-1\leq{m}$, следовательно, по предположению индукции $H=\langle{h}\rangle$. Тогда для любого $f\in{G}$ $$ pf\in{H}\Rightarrow\exists{r}\in\mathbb{Z}:pf=rh=rpg\Rightarrow{p}(f-rg)=0\Rightarrow\\ \Rightarrow{f}-rg\in{G}(1)=H(1)\subset{H}=\langle{h}\rangle\Rightarrow\exists{s}\in\mathbb{Z}:f-rg=spg\Rightarrow{f}=(r+sp)g\in\langle{g}\rangle. $$ Таким образом, в силу произвола выбора $f\in{G}$ $G\subset\langle{g}\rangle$ и $G=\langle{g}\rangle$.

Теорема 10.7:
Пусть $G$ - конечная абелева группа, $p$ - простое число, $g\in{G}$ $\exp{G}=\ord{g}=p^m$, тогда существует подгруппа $H<G$ такая, что $G=\langle{g}\rangle\dotplus{H}$.

Доказательство:

Докажем от противного, что существует $n\in\mathbb{N}$ такое, что $|G|=p^n$. Без ограничения общности будем считать, что в каноническое разложение числа $|G|$ входит два простых числа. Пусть существуют простое число $q\neq{p}$ и $k\in\mathbb{N}$ такое, что $|G|=p^nq^k$, тогда по теореме 9.31 существует подгруппа $H<G$ такая, что $|H_1|=q^k$. И так как $\exp{G}\bigl||H|$, то $n\geq{m}$ и существует подгруппа $H_2<G$ такая, что $|H_2|=p^n$. По теореме 10.4 $G=H_1\dotplus{H}_2$. Cуществуют $h_2\in{H}_2$, $s\in\overline{1,k-1}$ такие, что $\ord{h}_2=q^s$ и по п. 2 теоремы 9.17 существует $h_1\in{H}_1$ такой, что $\ord{h}_1=\exp{G}=p^m$, тогда $$\ord{(h_1+h_2)}=[\ord{h}_1,\ord{h}_2]=q^mp^s>q^m\Rightarrow\exp{G}=exp{(H_1\dotplus{H}_2)}>p^m.$$ Получено противоречие. Таким образом, существует $n\in\mathbb{N}$ такое, что ${n\geq{m}}$ и $|G|=p^n$. Докажем утверждение индукцией по $n$.

1. При $n=1$ $m=1$, $|G|=\ord{g}=p$ $G=\langle{g}\rangle\dotplus\{0\}$.
2. Для любого $j\geq1$ докажем, что из справедливости утверждения при $n\in\overline{1,j}$, следует справедливость утверждения при $n=j+1$.
   Если $G=\langle{g}\rangle$, то доказано, пусть $G\neq\langle{g}\rangle$. Тогда по теореме 10.6 существует $\xi\in{G}(1)\backslash\langle{g}\rangle$, тогда $\ord{\xi}=p$. Обозначим $\overline{G}:=G/\langle{g}\rangle$, тогда $$ |\overline{G}|=\frac{|G|}{|\langle\xi\rangle|}=\frac{p^n}{p}=p^{n-1} $$ Пусть $\varphi:{G}\to\overline{G}$ - естественных эпиморфизм, тогда $$\forall{x}\in{G}(\overline{x}:=\varphi(x)=x+\langle\xi\rangle),$$ и $$\forall{x}\in{G}(p^m\overline{x}=p^m\varphi(x)=\varphi(p^mx)=\varphi(0)=\overline{0})\Rightarrow\exp{\overline{G}}\leq{p}^m.$$ Так как $\ord{\overline{g}}\bigl||\overline{G}|=p^{n-1}$ и $\ord{\overline{g}}|\exp{\overline{G}}\leq{p}^m$, то $\ord{\overline{g}}|p^m$. Предположим, что $\ord{\overline{g}}<p^m$, тогда $$ \ord{\overline{g}}|p^{m-1}\Rightarrow\varphi(p^{m-1}g)={p}^{m-1}\overline{g}=\overline{0}\Rightarrow {p}^{m-1}g\in\ker{\varphi}=\langle{\xi}\rangle\Rightarrow\langle{p}^{m-1}g\rangle<\langle\xi\rangle, $$ при этом $$ |\langle{p}^{m-1}g\rangle|=\ord{(p^{m-1}g)}=\frac{\ord{g}}{(p^{m-1},\ord{g})}=\frac{p^m}{(p^{m-1},p^m)}=\frac{p^m}{p^{m-1}}= p=\ord{\xi}=|\langle\xi\rangle|, $$ таким образом, $\langle{p}^{m-1}g\rangle=\langle\xi\rangle$. Следовательно, $\xi\in\langle{p}^{m-1}g\rangle<\langle{g}\rangle$, то есть $\xi\in\langle{g}\rangle$, что противоричит выбору $\xi\in{G}(1)\backslash\langle{g}\rangle$.
   Таким образом, доказано, что $\ord{\overline{g}}=p^m=\exp{\overline{G}}$. Так как $|\overline{G}|=p^{n-1}$, то по предположению индукции существует подгруппа $\overline{H}<\overline{G}$ такая, что $\overline{G}=\langle\overline{g}\rangle\dotplus\overline{H}$. Обозначим $H:=\varphi^{-1}(\overline{H})$, тогда по п. 2 теоремы 9.25 $H<G$. Докажем, что $G\subset\langle{g}\rangle+H$, действительно по п. 3 теоремы 9.18 и утверждению 9.8 $$ f\in{G}\Rightarrow\overline{f}\in\overline{G}=\langle\overline{g}\rangle+\overline{H}\Rightarrow \exists{s}\in\mathbb{Z}\,h\in{H}:\overline{f}=s\overline{g}+\overline{h}=\overline{sg+h}\Rightarrow {f}+\langle\xi\rangle=(sg+h)+\langle\xi\rangle\Rightarrow{f}-(sg+h)\in\langle\xi\rangle=\ker{\varphi}<H\Rightarrow {h}_1:=f-(sg+h)\in{H}\Rightarrow{f}=sg+(h_1+h)\in\langle{g}\rangle+H. $$ Таким образом, $G\subset\langle{g}\rangle+H$ и так как обратное включение очевидно, то $G=\langle{g}\rangle+H$. С помощью п. 3 теоремы 9.12 докажем, что сумма прямая. Действительно $$ t\in\langle{g}\rangle\cap{H}\Rightarrow\overline{t}\in\langle\overline{g}\rangle\cap\overline{H}=\{\overline{0}\}\Rightarrow\overline{t}= \overline{0}\Rightarrow{t}\in\langle\xi\rangle\Rightarrow\langle{t}\rangle<\langle\xi\rangle $$ Так как $|\langle\xi\rangle|=\ord{\xi}=p$ - простое число и $|\langle{t}\rangle|\bigl||\langle\xi\rangle|$, то либо $t=0$, либо $|\langle{t}\rangle|=p$ и $\langle{t}\rangle=\langle\xi\rangle$, но последнее не возможно так как $$(t\in\langle{g}\rangle\,\wedge\,\langle\xi\rangle=\langle{t}\rangle)\Rightarrow\xi\in\langle{t}\rangle<\langle{g}\rangle$$ где последнее противоречит выбору $\xi\in{G}(1)\backslash\langle{g}\rangle$. Следовательно, $t=0$ и $\langle{g}\rangle\cap{H}=\{0\}$, тогда по п. 3 теоремы 9.12 $G=\langle{g}\rangle\dotplus{H}$.

Теорема 10.8:
Любая неединичная конечная абелева группа либо примарная циклическая, либо раскладывается в прямую сумму примарных циклических подгрупп.

Доказательство:

1. Пусть группа $G$ примарная, то есть $|G|=p^n$. Докажем индукцией по $n$, что она либо циклическая, либо раскладывается в прямую сумму циклических подгрупп.
   1. При $n=1$ для любого $g\in{G}\backslash\{0\}$ $\ord{g}=p$, то есть $G=\langle{g}\rangle$.
   2. Для любого $t\geq1$ докажем, что если утверждение верно при $n\in\overline{1,t}$, то оно верно при $n=t+1$.
      Так как $\exp{G}\bigl||G|$, то существует $m\in\overline{1,n}$ такое, что $\exp{G}=p^m$. Так как группа $G$ абелева, то по п. 2 теоремы 9.17 существует ${g\in{G}}$ такой, что $\ord{g}=\exp{G}=p^m$, тогда по теореме 10.7 сущетсвует подгруппа $H<G$ такая, что $G=\langle{g}\rangle\dotplus{H}$. Так как сумма прямая, то $$|G|=|\langle{g}\rangle||H|\Rightarrow|H|=\frac{|G|}{\ord{g}}=\frac{p^n}{p^m}=p^{n-m}<p^n.$$ Тогда если $H=\{0\}$, то доказано, если $H\neq\{0\}$, то по предположению индукции $$ \exists{g}_1,\ldots,g_s\in{H}:(H=\langle{g}_1\rangle\dotplus\cdots\dotplus\langle{g}_s\rangle)\Rightarrow {G}=\langle{g}\rangle\dotplus\langle{g}_1\rangle\dotplus\cdots\dotplus\langle{g}_s\rangle. $$ Так как для любого $i\in\overline{1,s}$ $\langle{g}_i\rangle<H<G$, то $|\langle{g}_i\rangle|\bigl|p^n$, то есть группа $\langle{g}_i\rangle$ примарная.
2. Пусть порядок группы $G$ натуральное число $n>1$ с каноническим разложением $n=p_1^{k_1}\cdots{p}_s^{k_s}$, тогда по теореме 10.4 $G=G_{p_1}\dotplus\cdots\dotplus{G}_{p_s}$. Так как для любого $i\in\overline{1,s}$ группа $G_{p_i}$ примарная и абелева, то по пункту 1 $$ \exists{g}_{i,1},\ldots,g_{i,l_i}\in{G}\,\alpha_{i,1},\ldots,\alpha_{i,l_i}\in\mathbb{N}: (G_{p_i}=\langle{g}\rangle\dotplus\cdots\dotplus\langle{g}\rangle\,\wedge\,\forall{j}\in\overline{1,l_i}(|\langle{g}_{i,j}\rangle|=p_i^{\alpha_{i,j}})), $$ следовательно, $$G=\langle{g}_{1,1}\rangle\dotplus\langle{g}_{1,2}\rangle\dotplus\cdots\dotplus\langle{g}_{1,l_1}\rangle\dotplus \langle{g}_{2,1}\rangle\dotplus\cdots\dotplus\langle{g}_{s,l_s}\rangle,$$ где все подгруппы входящие в сумму примарные.

Пример 10.3:
По теореме 10.8 существует разложение абелевой группы в прямую сумму её примарных циклических подгрупп, но такое разложение не обязательно единственно. Например, рассмотрим группу $G:=\mathbb{Z}/2\oplus\mathbb{Z}/2$. Подгруппы
$G_1:=\{(0,0),(1,0)\}=\langle(1,0)\rangle$,
$G_2:=\{(0,0),(0,1)\}=\langle(0,1)\rangle$,
$G_3=\{(0,0),(1,1)\}=\langle(1,1)\rangle$
приманые циклические и при этом $$G=G_1\dotplus{G}_2=G_1\dotplus{G}_3=G_2\dotplus{G}_3.$$

Замечание 10.2:
Пусть $G$ абелева группа $|G|=n$ и $n=p_1^{k_1}\cdots{p}_s^{k_s}$ - каноническое разложение, тогда $G=G_{p_1}\dotplus\cdots\dotplus{G}_{p_s}$ и $$ \forall{i}\in\overline{1,s}(\exists{g}_{i,1},\ldots{g}_{i,l_i}\in{G}_{p_i}\,\alpha_{i,1}\ldots\alpha_{i,l_i}\in\mathbb{N}: G_{p_i}=\langle{g}_{i,1}\rangle\dotplus\cdots\dotplus\langle{g}_{i,l_i}\rangle\,\wedge\,\forall{j}\in\overline{1,l_i}(|\langle{g}_{i,j}\rangle|= p_i^{\alpha_{i,j}})). $$ По п. 1 теоремы 10.1 $$\forall{i}\in\overline{1,s}\,j\in\overline{1,l_i}(\langle{g}_{i,j}\rangle\cong\mathbb{Z}/{p}_i^{\alpha_{i,j}}),$$ тогда по утверждению 9.9 $$ G\cong\bigoplus_{i=1}^s\bigoplus_{j=1}^{l_i}\langle{g}_{i,j}\rangle\cong\bigoplus_{i=1}^s\bigoplus_{j=1}^{l_i}\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_{i,j}}. $$

Определение 10.1:
Пусть $G$ - абелева группа, $p_1,\ldots,p_s$ - простые числа такие, что $p_1>p_2>\cdots>{p}_s$, для любого $i\in\overline{1,s}$ $\alpha_{i,1},\alpha_{i,2},\ldots,\alpha_{i,l_i}\in\mathbb{N}$ такие, что $\alpha_{i,1}\geq\alpha_{i,2}\geq\cdots\geq\alpha_{i,l_i}$ и $$G\cong\bigoplus_{i=1}^s\bigoplus_{j=1}^{l_i}\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_{i,j}},$$ тогда упорядоченный набор $$\typ{G}:=(p_1^{\alpha_{1,1}},p_1^{\alpha_{1,2}},\ldots,p_1^{\alpha_{1,l_1}},p_2^{\alpha_{2,1}},\ldots,p_s^{\alpha_{s,l_s}})$$ назовем типом абелевой группы $G$.

Теорема 10.9:
Тип абелевой группы определен однозначно.

Доказательство:

Предположим, что у абелевой группы $G$ существует два типа $$\typ{G}=(p_1^{\alpha_{1,1}}\cdots{p}_1^{\alpha{1,l_1}}p_2^{\alpha_{2,1}}\cdots{p}_s^{\alpha_{s,l_s}})= (q_1^{\beta_{1,1}}\cdots{q}_1^{\beta_{1,t_1}}q_2^{\beta_{2,1}}\cdots{q}_r^{\beta_{r,t_r}}).$$ Обозначим, $$G_1:=\bigoplus_{i=1}^s\bigoplus_{j=1}^{l_i}\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_{i,j}},G_2:=\bigoplus_{i=1}^r\bigoplus_{j=1}^{t_i}\mathbb{Z}/p_i^{\beta_{i,j}},$$ тогда $G\cong{G}_1\cong{G}_2$. Для всех допустимых $i,j$ обозначим $T_{i,j}:=\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_{i,j}}$, $K_{i,j}:=\mathbb{Z}/q_i^{\beta_{i,j}}$.

1. По п. 4 теоремы 9.32 $$ \exp{G}=\exp{G}_1=[\exp{T_{1,1}},\ldots,\exp{T_{1,l_1}},\exp{T_{2,1}},\ldots,\exp{T_{s,l_s}}]= [p_1^{\alpha_{1,1}},\ldots,p_1^{\alpha_{1,l_1}},p_2^{\alpha_{2,1}},\ldots,p_s^{\alpha_{s,l_s}}]= p_1^{\alpha_{1,1}}p_2^{\alpha_{2,1}}\cdots{p}_s^{\alpha_{s,1}} $$ $$ \exp{G}=\exp{G}_2=[\exp{K_{1,1}},\ldots,\exp{K_{1,t_1}},\exp{K_{2,1}},\ldots,\exp{K_{r,t_r}}]= [q_1^{\beta_{1,1}},\ldots,q_1^{\beta_{1,t_1}},q_2^{\beta_{2,1}},\ldots,q_r^{\beta_{r,t_r}}]= q_1^{\beta_{1,1}}q_2^{\beta_{2,1}}\cdots{q}_r^{\beta_{r,1}}, $$ следовательно, по единственности канонического разложения числа $\exp{G}$, $r=s$ и для любого $i\in\overline{1,s}$ $p_i=q_i$, $\alpha_{i,1}=\beta_{i,1}$.
2. Так как $G_1\cong{G}_2$, то для любого $i\in\overline{1,s}$ число элементов $G_1$, порядок которых делит $p_i$, равно числу элементов $G_2$, порядок которых делит $p_i$. Число таких элементов равно произведению чисел таких элементов в каждом из слагаемых. Для любого $i\in\overline{1,s}$ в группе $T_{u,v}<G_1$ число элементов, порядок которых равен $1$ или $p_i$, равно $p_i$, если $u=i$ и $1$ если $u\neq{i}$. Таким образом, для любого $i\in\overline{1,s}$ число элементов $G_1$, порядок которых делит $p_i$ равно $p_i^{l_i}$. Аналогично, для любого $i\in\overline{1,s}$ число элементов $G_2$, порядок которых делит $p_i$, равно $p_i^{t_i}$. Следовательно, для любого $i\in\overline{1,s}$ $l_i=t_i$.
3. Докажем от противного, что для любых допустимых $i,j$ $\alpha_{i,j}=\beta_{i,j}$. Предположим, что существуют $i\in\overline{1,s}$ $j\in\overline{1,l_i}$ такие, что для любых $u\in\overline{1,j-1}$ $\alpha_{i,u}=\beta_{i,u}$ и $\alpha_{i,j}\neq\beta_{i,j}$. Обозначим $\beta:=\beta_{i,j}$ и без ограничения общности будем считать, что $\alpha_{i,j}>\beta$. Тогда для любого $u\in\overline{1,j}$ $p_i^{\beta}T_{i,u}\neq0$, следовательно, число элементов группы $p_i^{\beta}G_1$, порядок которых делит $p_i$ не менее $p_i^j$. С другой стороны, для любого $u\in\overline{j,l_i}$ $p_i^{\beta}K_{i,u}=0$, следовательно, число элементов группы $p_i^{\beta}G_2$, порядок которых делит $p_i$ не превосходит $p_i^{j-1}$. Так как $p_i^{\beta}G_1\cong{p}_i^{\beta}G_2$, то получено противоречие.

Следствие 10.5:
Две конечные абелевы группы изоморфны тогда и только тогда, тогда их типы равны.

Доказательство:

Пусть $G$, $H$ - конечные абелевы группы и $$\typ{G}=(p_1^{\alpha_{1,1}},\ldots,p_1^{\alpha_{1,l_1}},p_2^{\alpha_{2,1}},\ldots,p_s^{\alpha_{s,l_s}}),$$ тогда так как тип определен однозначно, то $$ G\cong{H}\Leftrightarrow{H}\cong{G}\cong\bigoplus_{i=1}^s\bigoplus_{j=1}^{l_i}\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_{i,j}}\Leftrightarrow \typ{H}=(p_1^{\alpha_{1,1}},\ldots,p_1^{\alpha_{1,l_1}},p_2^{\alpha_{2,1}},\ldots,p_s^{\alpha_{s,l_s}}) $$

previous contents next