11.5 Подпространства конечномерных векторных пространств.

Теорема 11.10:
Пусть $K_P,L_P$ - векторные пространства такие, что $\dim{L}_P=n$, $K_P<L_P$, тогда

1. $\dim{K}_P\leq{n}$,
2. $\exists{M}_P<L_P(L_P=K_P\dotplus{M}_P)$.

Доказательство:

1. Следует из п. 1 теоремы 11.9.
2. Обозначим $k:=\dim{K}_P$.
   Если $k=0$, то $K_P=\{\theta\}$ и $M_P:=L_P$.
   Если $k=n$, то по утверждению 11.6 $K_P=L_P$ и $M_P:=\{\theta\}$.
   Если $0<k<n$, обозначим $\vec{\alpha}:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)$ - базис $K_P$. Дополним $\vec{\alpha}$ до $(\alpha_1,\ldots,\alpha_k,\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n)$ базиса $L_P$. Рассмотрим пространство $M_P:=(\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n)_P$. Пусть $\beta\in{L}_P$, тогда $$ \exists(c_1,\ldots,c_n)\in{P}^n:\beta=(\alpha_1c_1+\cdots+\alpha_kc_k)+(\alpha_{k+1}c_{k+1}+\cdots+\alpha_nc_n)\Rightarrow\beta\in{K}_P+M_P, $$ следовательно, $L_P\subset{K}_P+M_P$. При этом очевидно, что $K_P+M_P\subset{L}_P$, следовательно, $L_P=K_P+M_P$. Докажем, что сумма прямая. Пусть $\gamma\in{K}\cap{M}$, тогда $$ \begin{cases} \exists(b_1,\ldots,b_k)\in{P}^k &:\gamma=\alpha_1b_1+\cdots+\gamma_kb_k \\ \exists(b_{k+1},\ldots,b_n)\in{P}^{n-k}&:\gamma=\alpha_{k+1}b_{k+1}+\cdots+\alpha_nb_n \end{cases}\Rightarrow\alpha_1b_1+\cdots+\alpha_kb_k+\alpha_{k+1}(-b_{k+1})+\cdots+\alpha_n(-b_n)=\gamma-\gamma=\theta\Rightarrow \forall{i}\in\overline{1,n}(b_i=0)\Rightarrow\gamma=\theta, $$ где предпоследняя импликация следует из того, что система $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ ЛНЗ. Таким образом, по п. 3 теоремы 11.7 сумма $K_P+M_P$ прямая.

Пример 11.7:
Пусть $L_{\mathbb{R}}:=(\mathcal{D}_2)_{\mathbb{R}}$, $K_{\mathbb{R}}$ - пространство векторов с началом в точке $(0,0)$ и концами на прямой $K$ проходящей через точку $(0,0)$. Тогда для любой прямой $M\neq{K}$ проходящей через точку $(0,0)$ $L_{\mathbb{R}}=K_{\mathbb{R}}\dotplus{M}_{\mathbb{R}}$.

Теорема 11.11: Теорема Грассмана.
$$ ((K_1)_P<L_P\,\wedge\,(K_2)_P<L_P\,\wedge\,\dim{L}_P<\infty)\Rightarrow\dim(K_1+K_2)=\dim{K}_1+\dim{K}_2-\dim(K_1\cap{K}_2) $$

Доказательство:


Обозначим $m_1:=\dim{K}_1$, $m_2:=\dim{K}_2$, $k:=\dim{(K_1\cap{K}_2)}$. Пусть $(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)$ - базис $K_1\cap{K}_2$, $(\alpha_1,\ldots,\alpha_k,\beta_{k+1},\ldots,\beta_{m_1})$ - базис $K_1$, $(\alpha_1,\ldots,\alpha_k,\gamma_{k+1},\ldots,\gamma_{m_2})$ - базис $K_2$. Обозначим $$\vec{\alpha}:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k,\beta_{k+1},\ldots,\beta_{m_1},\gamma_{k+1},\ldots,\gamma_{m_2})$$ и докажем, что $\vec{\alpha}$ - базис $K_1+K_2$.

1. Пусть $\delta\in{K}_1+K_2$, тогда $$ \exists\delta_1\in{K}_1\,\delta_2\in{K}_2:\delta=\delta_1+\delta_2\Rightarrow\exists{a}_1,\ldots,a_{m_1},b_1,\ldots,b_{m_2}\in{P}:\\ \delta=(\alpha_1a_1+\cdots+\alpha_ka_k+\beta_{k+1}a_{k+1}+\cdots+\beta_{m_1}a_{m_1})+ (\alpha_1b_1+\cdots+\alpha_kb_k+\gamma_{k+1}b_{k+1}+\cdots+\gamma_{m_2}b_{m_2})=\\= \alpha(a_1+b_1)+\cdots+\alpha_k(a_k+b_k)+\beta_{k+1}a_{k+1}+\cdots+\beta_{m_1}a_{m_1}+\gamma_{k+1}b_{k+1}+\cdots+\gamma_{m_2}b_{m_2}, $$ следовательно, $\delta$ ЛВЧ $\vec{\alpha}$ и $\{\vec{\alpha},\delta\}$ ЛЗ.
2. Пусть $c_1,\ldots,c_{m_1},d_{k+1},\ldots,d_{m_2}\in{P}$ такие, что $$ \alpha_1c_1+\cdots+\alpha_kc_k+\beta_{k+1}c_{k+1}+\cdots+\beta_{m_1}c_{m_1}+\gamma_{k+1}d_{k+1}+\cdots+\gamma_{m_2}d_{m_2}=\theta\Rightarrow\\ \Rightarrow\alpha_1c_1+\cdots+\alpha_kc_k+\beta_{k+1}c_{k+1}+\cdots+\beta_{m_1}c_{m_1}=\gamma_{k+1}(-d_{k+1})+\cdots+\gamma_{m_2}(-d_{m_2}). $$ В последнем равенстве выражение в левой части принадлежит $K_1$, а в правой $K_2$, так как они равны то они принадлежат $K_1\cap{K}_2$, тогда $$ \exists{u}_1,\ldots,u_k\in{P}:\gamma_{k+1}(-d_{k+1})+\cdots+\gamma_{m_2}(-d_{m_2})=\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_{m_2}u_{m_2}\Rightarrow \alpha_1(c_1-u_1)+\cdots+\alpha_k(c_k-u_k)+\beta_{k+1}c_{k+1}+\cdots+\beta_{m_1}c_{m_1}=\theta\Rightarrow\\ \Rightarrow\forall{i}\in\overline{k+1,m_1}(c_i=0)\Rightarrow\alpha_1c_1+\cdots+\alpha_kc_k+\gamma_{k+1}d_{k+1}+\cdots+\gamma_{m_2}d_{m_2}=\theta\Rightarrow (\forall{i}\in\overline{1,k}(c_i=0)\,\wedge\,\forall{j}\in\overline{k+1,m_2}(d_j=0)), $$ где последняя импликация в силу того, что система $\alpha_1,\ldots,\alpha_k,\gamma_{k+1},\ldots,\gamma_{m_2}$ ЛНЗ. Таким образом, система $\vec{\alpha}$ ЛНЗ.

Следствие 11.3:
$$\dim{(K_1+K_2)}=\dim{K}_1+\dim{K}_2\Leftrightarrow{K}_1+K_2=K_1\dotplus{K}_2.$$

Доказательство:
Так как $\theta\in{K}_1\cap{K}_2$ то по теореме 11.11 и п.3 теоремы 11.7 $$ \dim{(K_1+K_2)}=\dim{K_1}+\dim{K_2}\Leftrightarrow\dim{(K_1\cap{K}_2)}=0\Leftrightarrow{K}_1\cap{K}_2=\{\theta\}\Leftrightarrow{K}_1+K_2=K_1\dotplus{K}_2 $$
Практический способ нахождения базиса суммы и пересечения.

Пусть $(K_1)_P<L_P$, $(K_2)_P<L_P$,
$\dim{L}_P=n$, $\vec{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ - базис $L_P$,
$\dim{(K_1)_P}=m_1$, $\vec{\beta}=(\beta_1,\ldots,\beta_{m_1})$ - базис $(K_1)_P$,
$\dim{(K_2)_P}=m_2$, $\vec{\gamma}=(\gamma_1,\ldots,\gamma_{m_2})$ - базис $(K_2)_P$, $$U:=\left((\beta_1)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow},\ldots,(\beta_{m_1})_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right),$$ $$V:=\left((\gamma_1)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow},\ldots,(\gamma_{m_2})_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right).$$

1. Найдем базис суммы $K_1+K_2$. Так как $$K_1+K_2=({\vec{\beta}})_P+(\vec{\gamma})_P=(\vec{\beta}\cup\vec{\gamma})_P,$$ то по следствию 11.1 базис системы векторов $\vec{\beta}\cup\vec{\gamma}$ равен базису пространства $K_1+K_2$. Для нахождения базиса системы векторов по п. 3 теоремы 11.8 можно найти базис системы столбцов из $P^{(n)}$ $$ (\beta_1)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow},\ldots (\beta_{m_1})_{\vec{\alpha}}^{\downarrow},(\gamma_1)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow},\ldots,(\gamma_{m_2})_{\vec{\alpha}}^{\downarrow} $$ приведя соответствующую матрицу к специальноступенчатой матрице $S$. Тогда по следствию 4.7 индексы вектров из системы $\vec{\beta}\cup\vec{\gamma}$ входящих в базис определяются типом матрицы $S$.
2. Найдем базис пересечения $K_1\cap{K}_2$.
   По лемме 11.1 и утверждению 11.5 $$ \delta\in{K}_1\Leftrightarrow\exists{b}^{\downarrow}\in{P}^{(m_1)}:\delta=\vec{\beta}b^{\downarrow}=\vec{\alpha}(Ub^{\downarrow})\Leftrightarrow \exists{b}^{\downarrow}\in{P}^{(m_1)}:\delta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=Ub^{\downarrow} $$ $$ \delta\in{K}_2\Leftrightarrow\exists{c}^{\downarrow}\in{P}^{(m_2)}:\delta=\vec{\gamma}c^{\downarrow}=\vec{\alpha}(Vc^{\downarrow})\Leftrightarrow \exists{c}^{\downarrow}\in{P}^{(m_2)}:\delta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=Vc^{\downarrow}. $$ Таким образом, $$K_1\cap{K}_2=\{\vec{\alpha}Ub^{\downarrow}\mid{b}\in{P}^{(m_1)}:\exists{c}\in{P}^{(m_2)}:Ub^{\downarrow}=Vc^{\downarrow}\}.$$ Так как $$ Ub^{\downarrow}=Vc^{\downarrow}\Leftrightarrow{U}b^{\downarrow}-Vc^{\downarrow}=(U,-V)\begin{pmatrix}b^{\downarrow} \\ c^{\downarrow}\end{pmatrix}=0^{\downarrow}, $$ то $K_1\cap{K}_2$ есть множество векторов вида $\vec{\alpha}(Ub^{\downarrow})$, где $b\in{P}^{(m_1)}$ такие для которых существует $c\in{P}^{(m_2)}$ такое, что $\begin{pmatrix}b^{\downarrow} \\ c^{\downarrow}\end{pmatrix}$ являтеся решением СОЛУ $$(U,-V)x^{\downarrow}=0^{\downarrow}\quad(*).$$ Пусть $\begin{pmatrix}b_1^{\downarrow} \\ c_1^{\downarrow}\end{pmatrix},\ldots,\begin{pmatrix}b_t^{\downarrow} \\ c_t^{\downarrow}\end{pmatrix}$ - ФСР СОЛУ $(*)$. Для любого $i\in\overline{1,t}$ обозначим $\delta_i:=\vec{\alpha}(Ub_i^{\downarrow})$. Докажем, что $\vec{\delta}:=(\delta_1,\ldots,\delta_t)$ - базис $K_1\cap{K}_2$.
   Так как $\vec{\alpha}U=\vec{\beta}$, то для любого $b^{\downarrow}\in{P}^{(m_1)}$ $\vec{\alpha}(Ub^{\downarrow})\in{K}_1$, следовательно, для любого $i\in\overline{1,t}$ $\delta_i\in{K}_1$.
   Покажем, что $\vec{\delta}$ ЛНЗ. Пусть $d_1,\ldots,d_t\in{P}$ такие, что ${\delta_1d_1+\cdots+\delta_td_t=\theta}$, тогда $$ \left((\delta_1)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}d_1+\cdots+(\delta_t)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}d_t=0^{\downarrow}\,\wedge\, \forall{i}\in\overline{1,t}\left((U,-V)\begin{pmatrix}b_i^{\downarrow} \\ c_i^{\downarrow}\end{pmatrix}=0^{\downarrow}\right)\right)\Rightarrow \begin{cases} (Ub_1^{\downarrow})d_1+\cdots+(Ub_t^{\downarrow})d_t=0^{\downarrow} \\ (Vc_1^{\downarrow})d_1+\cdots+(Vc_t^{\downarrow})d_t=0^{\downarrow} \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} U(b_1^{\downarrow}d_1+\cdots+b_t^{\downarrow}d_t)=0^{\downarrow} \\ V(c_1^{\downarrow}d_1+\cdots+c_t^{\downarrow}d_t)=0^{\downarrow} \end{cases} $$ Так как системы столбцов матриц $U$ и $V$ ЛНЗ, то СОЛУ $Ux^{\downarrow}=0^{\downarrow}$, $Vy^{\downarrow}=0^{\downarrow}$ имееют единственное решение равное $0$. То есть $$ \begin{cases} b_1^{\downarrow}d_1+\cdots+b_td_t^{\downarrow}=0^{\downarrow} \\ c_1^{\downarrow}d_1+\cdots+c_td_t^{\downarrow}=0^{\downarrow} \end{cases}\Rightarrow \begin{pmatrix}b_1^{\downarrow} \\ c_1^{\downarrow}\end{pmatrix}d_1+\cdots+\begin{pmatrix}b_t^{\downarrow} \\ c_t^{\downarrow}\end{pmatrix}d_t=0^{\downarrow}\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}(d_i=0), $$ где последняя импликация в силу того что система столбцов в последнем уравнении является ФСР СОЛУ $(*)$ и, следовательно, они ЛНЗ. Таким обрзаом, система $\vec{\delta}$ ЛНЗ. При этом по теореме 5.6, пункту 1 и теореме 11.11 $$ t=m_1+m_2-\rang{(U,-V)}=m_1+m_2-\rang{(U,V)}=\dim{K_1}+\dim{K_2}-\dim{(K_1+K_2)}=\dim{(K_1\cap{K}_2)}. $$ Таким образом, система векторов $\vec{\delta}\subset(K_1\cap{K}_2)$ ЛНЗ и $|\vec{\delta}|=\dim{(K_1\cap{K}_2)}$, следовательно, $\vec{\delta}$ - базис $K_1\cap{K}_2$.

Теорема 11.12:
Пусть $L_P$ - векторное пространство такое, что $|P|=q$, $\dim{L_P}=n<\infty$, тогда

1. $|L_P|=q^n$,
2. число упорядоченных линейно не зависимых подсистем из $s$ векторов пространства $L_P$ равно $\prod_{i=0}^{s-1}(q^n-q^i)$,
3. число подпространств размерности $s$ пространства $L_P$ равно $$\frac{\prod_{i=0}^{s-1}(q^n-q^i)}{\prod_{j=0}^{s-1}(q^s-q_j)}.$$

Доказательство:

1. Так как по утверждению 11.5 $L_P\cong(P^{(n)})_P$, то утверждение следует из п.1 теоремы 4.11.
2. Так как по утверждению 11.5 $L_P\cong(P^{(n)})_P$, то утверждение следует из п.1 теоремы 11.8 и п.2 теоремы 4.11.
3. По пункту 2 число упорядоченных ЛНЗ подсистем мощности $s$ любого векторного пространства мощности $n$ равно $N:=\prod_{i=0}^{s-1}(q^n-q^i)$. Следовательно, любое подпространство размерности $s$ пространства $L_P$ содержит $D:=\prod_{j=0}^{s-1}(q^s-q^j)$ упорядоченных ЛНЗ подсистем мощности $s$. При этом никакая ЛНЗ система порядка $s$ не может содержаться одновременно в двух подпространствах размерности $s$, следовательно, $N=DX$, где $X$ - искомое число подпространств размерности $s$.

11.6 Фактор пространства.

Задача 11.2:
Доказать, что если $L_P$ - векторное пространство и $M<L$, то группа $L/M$ образует с введенной выше операцией внешнего умножения векторное пространство $(L/M)_P$.
Решение:
При решении опускается как знак внешней операции так и знак умножения в поле $P$, применяемая операция определяется по операндам.
Так как группа $L$ абелева, то группа $L/M$ абелва. При этом для любых $a,b\in{P}$, $\alpha,\beta\in{L}/M$

1. $([\alpha]a)b=[(\alpha{a})b]=[\alpha(ab)]=[\alpha](ab)$,
2. $[\alpha](a+b)=[\alpha(a+b)]=[\alpha{a}+\alpha{b}]=[\alpha{a}]+[\alpha{b}]=[\alpha]a+[\alpha]b$,
3. $([\alpha]+[\beta])a=[\alpha+\beta]a=[(\alpha+\beta)a]=[\alpha{a}+\beta{a}]=[\alpha{a}]+[\beta{a}]=[\alpha]a+[\beta]a$,
4. $[\alpha]e=[\alpha{e}]=[\alpha]$.

Теорема 11.13:
Пусть $M_P<L_P$, система $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ - базис $M_P$, тогда система $\alpha_1,\ldots,\alpha_k,\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n$ - базис $L_P$ тогда и только тогда, когда система $[\alpha_{k+1}],\ldots,[\alpha_n]$ - базис $(L/M)_P$.

Доказательство:

$\Rightarrow)$

1. Пусть $c_{k+1},\ldots,c_n\in{P}$ такие, что $\sum_{i=k+1}^n[\alpha_i]c_i=[\theta]$, тогда $$ \left[\sum_{i=k+1}^n\alpha_ic_i\right]=[\theta]\Rightarrow\sum_{k+1}^n\alpha_ic_i\in{M}_P+\theta=M_P\Rightarrow \exists{c}_1,\ldots,c_k\in{P}:\sum_{i=k+1}^n\alpha_ic_i=\sum_{j=1}^k\alpha_jc_j\Rightarrow\\ \sum_{i=k+1}^n\alpha_ic_i+\sum_{j=1}^k\alpha_j(-c_j)=\theta\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,n}(c_i=0), $$ где последняя импликация в силу того, что система $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ ЛНЗ. Тогда для любого $i\in\overline{k+1,n}$ $c_i=0$, то есть система $[\alpha_{k+1}],\ldots,[\alpha_n]$ ЛНЗ.
Пусть $[\beta]\in{L}/M$, тогда существуют элементы $b_1,\ldots,b_n\in{P}$ такие, что $\beta=\sum_{i=1}^n\alpha_ib_i$, следовательно, $$ \alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{M}=M+\theta\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,k}([\alpha_i]=[\theta])\Rightarrow [\beta]=\left[\sum_{i=1}^n\alpha_ib_i\right]=\sum_{i=1}^n[\alpha_i]b_i=\sum_{i=k+1}^n[\alpha_i]b_i. $$ Таким образом, $[\beta]$ ЛВЧ $[\alpha_{k+1}],\ldots,[\alpha_n]$, то есть для любого $[\beta]\in{L}/M$ система $[\alpha_{k+1}],\ldots,[\alpha_n],[\beta]$ ЛЗ.

1. Пусть $c_1,\ldots,c_n\in{P}$ такие, что $\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i=\theta$, тогда $$ \alpha_1,\ldots,\alpha_k\in{M}\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,k}([\alpha_i]=[\theta])\Rightarrow [\theta]=\left[\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i\right]=\sum_{i=1}^n[\alpha_i]c_i=\sum_{i=k+1}^n[\alpha_i]c_i. $$ Тогда, в силу того что системы $([\alpha_{k+1}],\ldots,[\alpha_n])$, $(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)$ ЛНЗ, $$\forall{i}\in\overline{k+1,n}(c_i=0)\Rightarrow\sum_{i=1}^k\alpha_ic_i=\theta\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,k}(c_i=0).$$ Таким образом, для любого $i\in\overline{1,n}$ $c_i=0$, то есть система $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ ЛНЗ.
2. Пусть $\beta\in{L}$, тогда $$ \exists{b}_{k+1},\ldots,b_n\in{P}:[\beta]=\sum_{i=k+1}^n[\alpha_i]c_i=\left[\sum_{i=k+1}^n\alpha_ic_i\right]\Rightarrow \beta-\sum_{i=k+1}^n\alpha_ic_i\in{M}\Rightarrow \exists{b}_1,\ldots,b_k\in{P}:\beta-\sum_{i=k+1}^n\alpha_ic_i=\sum_{j=1}^k\alpha_jc_j\Rightarrow\beta=\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i. $$ Таким образом, $\beta$ ЛВЧ $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$, то есть для любого $\beta\in{L}$ система $\alpha_1,\ldots,\alpha_n,\beta$ ЛЗ.

Следствие 11.4:
$$M_P<L_P\Rightarrow\dim(L/M)_P=\dim{L_P}-\dim{M_P}.$$

Доказательство:

Пусть $\dim{M}_P=k$, $\dim{L}_P=n$, $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ - базис $M_P$. Тогда по п. 3 теоремы 11.9 ЛНЗ система $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ может быть дополнена до базиса $\alpha_1,\ldots,\alpha_k,\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n$ пространства $L_P$. Тогда по теореме 11.13 система $[\alpha_{k+1}],\ldots,[\alpha_n]$ явлетеся базисом пространства $(L/M)_P$, то есть $\dim{(L/M)_P}=n-k$.

Определение 11.17:
Многообразием векторного пространства $L_P$ порожденным вектором $\alpha\in{L}_P$ и подпространством $M_P<L_P$ называется смежный класс $\alpha+M_P$.

Пример 11.8:

1. Пусть $M$ - прямая проходящая через точку $(0,0)$, вектор $\alpha\in(\mathcal{D}_2)_{\mathbb{R}}$ имеет начало в точке $(0,0)$. Прямая $K$ получена из прямой $M$ параллельным переносом на вектор $\alpha$. Тогда многообразием $\alpha+M_{\mathbb{R}}$ пространства $(\mathcal{D}_2)_{\mathbb{R}}$ порожденным вектором $\alpha$ и подпространством $M_{\mathbb{R}}$ будет множество векторов с началом в точке $(0,0)$ и концами лежащими на прямой $K$.
2. Пусть $x_0^{\downarrow}$ - частное решение СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$, $H$ - множество решений СОЛУ $Ax^{\downarrow}=0^{\downarrow}$. Тогда по теореме 5.6 $H<(P^{(n)})_P$ и по теореме 5.7 многообразие $x_0^{\downarrow}+H$ являтется множеством решений СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$.

Теорема 11.14:
Пусть $(M_1)_P<L_P$, $(M_2)_P<L_P$, $\alpha,\beta\in{L}_P$, тогда $$\alpha+M_1=\beta+M_2\Leftrightarrow(M_1=M_2\,\wedge\,\alpha-\beta\in{M}_1).$$

Доказательство:

$\Rightarrow)$ $$ \gamma\in\alpha+M_1\Rightarrow\gamma-\alpha\in{M}_1\Rightarrow(\gamma-\beta)-(\alpha-\beta)\in{M}_1\Rightarrow \gamma-\beta\in{M}_1=M_2\Rightarrow\gamma\in\beta+{M}_2. $$ $\Leftarrow)$ Докажем, что $\alpha-\beta\in{M}_1$: $$ \theta\in{M}_1\cap{M}_2\Rightarrow\exists\lambda_1\in{M}_1\,\lambda_2\in{M}_2:(\alpha=\beta+\lambda_2\,\wedge\,\beta=\alpha+\lambda_1)\Rightarrow \Rightarrow\alpha-\beta=\lambda_2=-\lambda_1\in{M}_1\cap{M}_2. $$ Докажем, что $M_1=M_2$: $$ \lambda_1\in{M}_1\Rightarrow\exists\lambda_2\in{M}_2:\alpha+\lambda_1=\beta+\lambda_2\Rightarrow\lambda_1=\lambda_2-(\alpha-\beta)\in{M}_2, $$ следовательно, $M_1\subset{M}_2$. Аналогично доказывается, что $M_2\subset{M}_1$ и, тогда $M_1=M_2$.

Задача 11.3:
Пусть $a^{\downarrow}\in{P}^{(n)}$, $M_P<(P^{(n)})_P$, $\dim{M}_P=r>0$. Доказать, что существуют матрица $A\in{P}_{n-r,n}$ и вектор $b^{\downarrow}\in{P}^{(n-r)}$ такие, что многообразие $a^{\downarrow}+M_P$ является множеством решений СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$.
Решение:
Пусть $a_1,\ldots,a_r$ - базис $M_P$, $B:=(a_1,\ldots,a_r)$, тогда $\rang{B}^{T}=\rang{B}=r$ и по следствию 5.2 СОЛУ $B^{T}y^{\downarrow}=0^{\downarrow}$ имеет ФСР из $n-r$ векторов обозначим её $y_1^{\downarrow},\ldots,y_{n-r}^{\downarrow}$. Обозначим $D:=(y_1^{\downarrow},\ldots,y_{n-r}^{\downarrow})$, $A:=D^{T}$, $b^{\downarrow}:=Aa^{\downarrow}$, тогда вектор $a^{\downarrow}$ являтеся решением системы уравнений $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$. При этом по п. 3 теоремы 3.4 $$B^{T}D=B^{T}(d_1^{\downarrow},\ldots,d_{n-r}^{\downarrow})=0\Rightarrow{A}(a_1^{\downarrow},\ldots,a_r^{\downarrow})=AB=D^TB=0.$$ Так как $n-\rang{A}=n-\rang{D}^{T}=n-(n-r)=r$, то по теореме 5.2 ЛНЗ система $a_1,\ldots,a_r$ - ФСР СОЛУ $Ax^{\downarrow}=0^{\downarrow}$. Тогда по следствию 5.3 множество решений СОЛУ $Ax^{\downarrow}=0^{\downarrow}$ равно $M$ и по теореме 5.7 множество решений СЛУ $Ax^{\downarrow}=b^{\downarrow}$ равно $a^{\downarrow}+M$.

previous contents next