Определение 13.4:
Пусть $P$ - поле, $r\in{P}$, $k\in\mathbb{N}$, тогда матрица
$$J_k(r):=
\begin{pmatrix}
r & e & 0 & \cdots & 0 \\
0 & r & e & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & r & e \\
0 & \cdots & 0 & 0 & r \\
\end{pmatrix}\in{P}_{k,k}$$
называется жордановой клеткой с корнем $r$ порядка $k$.
Утверждение 13.3
$$K(Ex-J_k(t))=\diag(e,\ldots,e,(x-r)^k).$$
Докзательство:
Обозначим $K(Ex-J_k(r)):=(\delta_1(x),\ldots,\delta_k(x))$.
Так как
$$Ex-J_k(r)=
\begin{pmatrix}
x-r & -e & 0 & \cdots & 0 \\
0 & x-r & -e & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots &\vdots \\
0 & \cdots & 0 & x-r & -e \\
0 & \cdots & 0 & 0 & x-r \\
\end{pmatrix}\in{P}[x]_{k,k},
$$
то по замечанию 13.4 и в силу того что определитель верхне-(нижне-)треугольной матрицы равен
произведению элементов главной диагонали
$$
M_{Ex-J_k(r)}\begin{pmatrix}1, & \ldots, & k-1 \\ 2, & \ldots, & k\end{pmatrix}=(-e)^{k-1}\Rightarrow
{d}_{Ex-J_k(r)}^{(k-1)}(x)=\delta_1(x)\cdots\delta_{k-1}(x)=e\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,k-1}(\delta_i=e)\Rightarrow\\
\Rightarrow\chi_{J_k(r)}(x)=|Ex-J_k(r)|=(x-r)^k=\delta_1(x)\cdots\delta_{k-1}(x)\delta_k(x)=\delta_k(x)\Rightarrow{K}(Ex-J_k(r))=\diag(e,\ldots,e,(x-r)^k).
$$
Определение 13.5:
Пусть $r_1,\ldots,r_s$ - не обязательно различные элементы поля $P$, тогда матрицу вида $\diag(J_{k_1}(r_1),\ldots,J_{k_s}(r_s))\in{P}_{n,n}$
называют жордановой матрицей или матрицей в жордановой форме.
Лемма 13.2:
Пусть матрица $A(x):=\diag{(g_1(x),\ldots,g_u(x))}\in{P}[x]_{m,n}$ такая, что $u\in\min{\{m,n\}}$, для любого $i\in\overline{1,u}$ $g_i(x)$ -
унитарный многочлен, для любый различных $i,j\in\overline{1,u}$ $(g_i(x),g_j(x))=e$, тогда
$$K(A(x))=\diag{(e,\ldots,e,g_1(x)\cdots{g}_u(x))}.$$
Доказательство:
Для любого $i\in\overline{1,u}$ обозначим
$$\overline{g_i(x)}:=g_1(x)\cdots{g}_{i-1}(x)g_{i+1}(x)\cdots{g}_u(x),$$
тогда из п. 3 теоремы 7.8 следует,
что $\left[\overline{g_1(x)},\ldots,\overline{g_u(x)}\right]=\overline{g_1(x)}\cdots\overline{g_u(x)}$.
Обозначим $K(A(x))=\diag{(\delta_1(x),\ldots,\delta_u(x))}$, тогда по теореме 7.9,
утверждению 13.1, п. 4 утверждения 3.10
$$
d_{A(x)}^{(u-1)}(x)=(\overline{g_1(x)},\ldots,\overline{g_u(x)})=e\Rightarrow\delta_1(x)\cdots\delta_{u-1}(x)\Rightarrow
\forall{i}\in\overline{1,u-1}(\delta_i(x)=e)\Rightarrow\exists{v}\in{P}^*:\delta_u(x)=|K(A(x))|=v|A(x)|\Rightarrow\delta_u(x)=g_1(x)\cdots{g}_u(x),
$$
где последняя импликация в силу унитарности многочленов $g_1(x),\ldots,g_u(x)$ и $\delta_u(x)$.
Теорема 13.6:
Матрица $A\in{P}_{n,n}$ подобна матрице в жордановой форме тогда и только тогда, когда многочлен $\chi_A(x)$ раскладывается на линейные множители.
Существует не более одной, c точность до перестановки клеток, жордановой матрицы подобной матрице $A\in{P}(x)$.
Доказательство:
$\Rightarrow)$ Пусть $A\approx{J}:=\diag{(J_{k_1}(r_1),\ldots,J_{k_s}(r_s))}$, тогда по теореме 12.9
$$\chi_A(x)=\chi_J(x)=\prod_{i=1}^s\chi_{J_{k_i}(r_i)}(x)=\prod_{i=1}^s(x-r_i)^{k_i}.$$
$\Leftarrow)$ Пусть существуют элементы $a_1\ldots,a_t\in{P}$ и числа $m_1,\ldots,m_t\in\mathbb{N}$ такие,
что $\chi_A(x)=(x-a_1)^{m_1}\cdots(x-a_t)^{m_t}$, $m_1+\cdots+m_t=n$. Обозначим $K(Ex-A):=\diag{(e,\ldots,e,f_1(x),\ldots,f_s(x))}$,
тогда по замечанию 13.4 $\chi_A(x)=f_1(x)\cdots{f}_s(x)$ и для любого $i\in\overline{1,t}$
существуют $m_{i,1},\ldots,m_{i,t}\in\mathbb{N}_0$ такие, что $f_i(x)=(x-a_1)^{m_{i,1}}\cdots(x-a_t)^{m_{i,t}}$. Рассмотрим жорданову матрицу
$J:=\diag{(J_{m_{1,1}}(a_1),\ldots,J_{m_{1,t}}(a_t),J_{m_{2,1}}(a_1),\ldots,J_{m_{s,t}}(a_t))}$.
По утверждению 13.3, лемме 13.2 и теореме 13.1
$$
Ex-J\sim{K}(Ex-J)=\diag(K(Ex-J_{m_{1,1}}(a_1)),\ldots,K(Ex-J_{m_{1,t}}(a_t)),K(Ex-J_{m_{2,1}}(a_1)),\ldots,K(Ex-J_{m_{s,t}}(a_t)))=\\=
\diag(e,\ldots,e,(x-a_1)^{m_{1,1}},e,\ldots,e(x-a_t)^{m_{1,t}},e,\ldots,e,(x-a_1)^{m_{2,1}},e,\ldots,e,(x-a_t)^{m_{s,t}})\sim\\
\sim\diag(e,\ldots,e,f_1(x),e,\ldots,e,f_2(x),e,\ldots,e,f_s(x))\sim\diag{(e,\ldots,e,f_1(x),\ldots,f_s(x))}=K(Ex-A)\Rightarrow{A}\approx{J},
$$
Докажем от противного единственность жордановой матрицы подобной матрице $A\in{P}_{n,n}$. Предположим,
что существуют две жордановые матрицы $J_1:=\diag{(J_{k_1}(a_1),\ldots,J_{k_u}(a_u))}$ и $J_2:=(J_{l_1}(b_1),\ldots,J_{l_v}(b_v))$ подобные матрице $A$,
тогда по теореме 13.1 и утверждению 13.3
$$Ex-A\sim{E}x-J_1\sim{F}(x):=\diag{(e,\ldots,e,(x-a_1)^{k_1},\ldots,(x-a_u)^{k_u})},$$
$$Ex-A\sim{E}x-J_2\sim{H}(x):=\diag{(e,\ldots,e,(e-b_1)^{l_1},\ldots,(x-b_v)^{l_v})}.$$
Тогда
$$
\chi_A(x)=|Ex-A|=|F(x)|=|H(x)|=\prod_{i=1}^u(x-a_i)^{k_i}=\prod_{j=1}^v(x-b_j)^{l_j}\Rightarrow\{a_1,\ldots,a_u\}=\{b_1,\ldots,b_v\}.
$$
Обозначим $X:=\{a_1,\ldots,a_u\}$. Для завершения доказательства осталось показать, что для любого $c\in{X}$ набор степеней,
в которых множитель $(x-c)$ встречается в произведении для $F(x)$ совпадает с соответствующим набором в произведении для $|H(x)|$.
Фиксируем $c\in{X}$. Пусть множитель $(c-x)$ встречается в произведении $|F(x)|$ в степенях $\alpha_1,\ldots,\alpha_{\mu}$,
где $0<\alpha_1\leq\cdots\leq\alpha_{\mu}$, а в произведении $|H(x)|$ множитель $(x-c)$ встречается в степенях $\beta_1,\ldots,\beta_{\nu}$,
где $0<\beta_1\leq\cdots\leq\beta_{\nu}$. Пусть без ограничения общности $\mu\geq\nu$.
По утверждению 13.1 для любого $i\in\overline{1,n}$ $d_{F(x)}^{(i)}(x)=d_{H(x)}^{(i)}(x)$.
Выпишем инвариантные делители $d_{F(x)}^{(i)}(x)$ и $d_{H(x)}^{(i)}(x)$ в виде $(x-c)^kg(x)$, где $g(c)\neq0$
| $i$ | $d_{F(x)}^{(i)}(x)$ | $d_{H(x)}^{(i)}(x)$ |
| $n$ | $(x-c)^{\alpha_1+\cdots+\alpha_{\mu}}\varphi_n(x)$ | $(x-c)^{\beta_1+\cdots+\beta_{\nu}}\psi_n(x)$ |
| $n-1$ | $(x-c)^{\alpha_1+\cdots+\alpha_{\mu-1}}\varphi_{n-1}(x)$ | $(x-c)^{\beta_1+\cdots+\beta_{\nu}}\psi_n(x)$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $n-\nu+1$ | $(x-c)^{\alpha_1+\cdots+\alpha_{\mu-\nu+1}}\varphi_{n-\nu+1}(x)$ | $(x-c)^{\beta_1}\psi_{n-\nu+1}(x)$ |
| $n-\nu$ | $(x-c)^{\alpha_1+\cdots+\alpha_{\mu-\nu}}\varphi_{n-\nu}(x)$ | $(x-c)^{\beta_1}\psi_{n-\nu+1}(x)$ |
Определение 13.6:
Жорданова матрица подобная матрице $A\in{P}_{n,n}$ называется жордановой формой матрицы $A$ и обозначается $J(A)$.
previous contents next