Замечание 13.1:
Пусть $P$ - поле, $\tau:P[x]_{n,n}\to{P}_{n,n}[y]$ - изоморфизм колец определенный при доказательстве
леммы 12.2,
$C(x),D(x)\in{P}[x]_{n,n}$, $C(y):=\tau(C(x))\in{P}_{n,n}[y]$ и многочлен $D(y):=\tau(D(x))\in{P}_{n,n}[y]$ такой, что его старший коэффициент обратим.
По теореме 7.2 можем разделить с остатктом многочлен $C(y)$ на многочлен $D(y)$,
тогда, так как отображение $\tau^{-1}$ является изоморфизмом, то
$$
\exists{Q}(y),R(y)\in{P}_{n,n}[y]:(C(y)=Q(y)D(y)+R(y)\,\wedge\,\deg{R(y)}<\deg{D(y)})\Rightarrow
{C}(x)=\tau^{-1}(C(y))=\tau^{-1}(Q(y)D(y)+R(y))=\tau^{-1}(Q(y))D(x)+\tau^{-1}(R(y)))
$$
Таким обрзом, можно ввести операцию "деления с остатком" полиномиальной матрицы $C(x)$ на полиномиальную матрицу $D(x)$, где "неполным частным"
считается матрица $\tau^{-1}(Q(y))$, а "остатком" матрица $\tau^{-1}(R(y))$.
Под "степенью" полиномиальной матрицы $C(x)$ будем понимать степень многочлена $C(y):=\tau(C(x))$ и будем обозначать $\deg{C(x)}:=\deg{C(y)}$.
Фактически значение $\deg{C(x)}$ равно максимальной степени многочленов являющихся элементами матрицы $C(x)$.
Данное замечание позволяет говорить, что отображение $\tau$ согласовано не только с операциями $+$ и $\cdot$, но и соперацией деления с остатком
(когда она возможна в обоих кольцах). Это позвояет при доказательстве следующий теоремы избежать многочисленных преобразований матриц в многочлены и
обратно и производить все операции нал кольцом матриц $P[x]_{n,n}$.
Теорема 13.1:
$$\forall{A},B\in{P}_{n,n}(A\approx{B}\Leftrightarrow(Ex-A)\sim(Ex-B)).$$
Доказательство:
$\Rightarrow)$ Так как $A\approx{B}$, то существует матрица $T\in{P}_{n,n}^*$ такая, что $B=T^{-1}AT$, тогда $T^{-1}(Ex-A)T=Ex-B$.
Так как $T,T^{-1}\in{P}_{n,n}^*$, то по следствию 4.3 $T\sim{E}$, $T^{-1}\sim{E}$, следовательно,
матрицы $T,T^{-1}$ представимы в виде произведения элементарных матриц, то есть $Ex-A\sim{E}x-B$.
$\Leftarrow)$ Если $Ex-A\sim{E}x-B$, то по п. 3 утверждения 3.10
сущетсвуют $L(x),R(x)\in{P}[x]_{n,n}$ такие, что
$$
L(x)(Ex-A)R(x)=Ex-B\Rightarrow{L}(x)(Ex-A)=(Ex-B)R(x)^{-1}.\quad{(1)}
$$
Разделим слева с остатком $L(x)$ на $Ex-B$, тогда
$$\exists{U}(x),\overline{L(x)}\in{P}[x]_{n,n}:(L(x)=(Ex-B)U(x)+\overline{L(x)}\,\wedge\,\deg{\overline{L(x)}}<1),\quad{(2)}$$
обозначим $\overline{L}:=\overline{L(x)}\in{P}_{n,n}$.
Разделим слева с остатком $R^{-1}(x)$ на $Ex-B$, тогда
$$\exists{V}(x),\overline{R(x)}\in{P}[x]_{n,n}:(R(x)^{-1}=(Ex-A)V(x)+\overline{R(x)}\,\wedge\,\deg{\overline{R(x)}}<1),\quad{(3)}$$
обозначим $\overline{R}:=\overline{R(x)}\in{P}_{n,n}$.
Подставив равенства $(2),(3)$ в равенство $(1)$ получим
$$
(Ex-B)U(x)(Ex-A)+\overline{L}(Ex-A)=(Ex-B)U(x)(Ex-A)+(Ex-B)\overline{R}\Rightarrow(Ex-B)(U(x)-V(x))(Ex-A)=(Ex-B)\overline{R}-\overline{L}(Ex-A)
$$
Обозначим
$$M(x):=(Ex-B)(U(x)-V(x))(Ex-A),N(x):=(Ex-B)\overline{R}-\overline{L}(Ex-A),$$
тогда $\deg{M(x)}=\deg{N(x)}\leq1$. Предположим, $(U(x)-V(x))\neq0$, тогда по п. 4 утверждения 7.1,
так как $E\in{P}_{n,n}^*$, то
$$\deg{M(x)}=\deg(U(x)-V(x))+2\geq2.$$
Получено противоречие, следовательно, $U(x)-V(x)=0$, тогда $N(x)=0$ и
$$\overline{L}(Ex-A)=(Ex-B)\overline{R}\Rightarrow\overline{L}x-\overline{L}A=\overline{R}x-B\overline{R}\Rightarrow
(\overline{L}=\overline{R}\,\wedge\,\overline{L}A=B\overline{R}).$$
Осталось доказать, что матрица $\overline{R}$ обратима.
Разделим слева с остатком $R(x)$ на $Ex-B$, тогда применив равенство $(2)$ и равенство $\overline{L}(Ex-A)=(Ex-B)\overline{R}$ получим
$$
\exists{Q}(x)\in{P}[x]_{n,n},S\in{P}_{n,n}:R(x)=Q(x)(Ex-B)+S\Rightarrow{E}=R(x)R(x)^{-1}=R(x)(V(x)(Ex-A)+\overline{R})=\\=
R(x)V(x)(Ex-A)+Q(x)(Ex-B)\overline{R}+S\overline{R}=(R(x)V(x)+Q(x)\overline{L})(Ex-A)+S\overline{R}.
$$
Обозначим $F(x):=R(x)V(x)+Q(x)\overline{L}$, тогда
$$F(x)x-F(x)A+S\overline{R}=E\Rightarrow{F}(x)=\Theta\Rightarrow{F}(x)A=\Theta\Rightarrow{S}\overline{R}=E.$$
Равенство $\overline{R}S=E$ аналогичным образом следует из равенства $E=R(x)^{-1}R(x)$, то есть $\overline{R}\in{P}_{n,n}^*$ и $B=S^{-1}AS$.
Замечание 13.2:
Из доказательства теоремы 13.1 следует, что матрица $S$, остаток от деления многочлена $R(x)$ на многочлен $Ex-B$ справа,
является решением уравнения $B=X^{-1}AX$. Для отыскания этого решения достаточно найти матрицу $R(x)$,
тогда по теореме 7.3 (теорема Безу) $S=R(B)$.
Определение 13.1:
Матрица $K(x)\in{P}[x]_{m,n}$ называется канонической, если
Лемма 13.1:
Пусть матрица $A=(a_{i,j}(x))\in{P}_{m,n}$ такая, что ${a_{1,1}\neq0}$ и существуют $k\in\overline{1,m}$, $s\in\overline{1,n}$ такие,
что $a_{1,1}(x)\nmid{a}_{k,s}(x)$, тогда существует матрица $B(x)=(b_{i,j}(x))\in{P}_{n,m}$ такая, что
$A(x)\sim{B}(x)$, $b_{1,1}\neq0$ и $\deg{b_{1,1}(x)}<\deg{a_{1,1}(x)}$.
Доказательство:
Теорема 13.2:
Для любой матрицы $A\in{P}[x]_{n,n}$ существует эквивалентная ей каноническая.
Доказательство:
Так как нулевая матрица является канонической, то при $A(x)=\Theta$ утверждение не требует доказательства. Пусть $A(x)\neq\Theta$,
докажем утверждение индукцией по $m+n$.
Определение 13.2:
Пусть $A(x)\in{P}[x]_{m,n}$, $k\in\overline{1,\min{\{m,n\}}}$, тогда инвариантным делителем $k$-того порядка матрицы $A(x)$ называется унитарный или
нулевой НОД всех ее миноров $k$-того порядка.
Инвариантный делитель $k$-того порядка матрицы $A(x)$ обозначают $d_{A(x)}^{(k)}(x)$.
Замечание 3.3:
Пусть $0<k<\min{\{m,n\}}$. НОД миноров $k$-того порядака матрицы $A(x)\in{P}[x]_{m,n}$ делит каждый из них.
Так как по теореме 3.7 (теорема Лапласа) минор $(k+1)$-го порядка представим в виде
линейной комбинации миноров $k$-того порядка, то $k$-тый инвариантный делитель делит каждый минор $(k+1)$-го порядка, тогда он делит и их НОД,
то есть $d_{A(x)}^{(k)}(x)|d_{A(x)}^{(k+1)}(x)$.
Утверждение 13.1:
Пусть матрицы $A(x),B(x)\in{P}[x]_{m,n}$ такие, что $A\sim{B}$, $t:=\min{\{m,n\}}$,
тогда для любого $k\in\overline{1,t}$ $d_{A(x)}^{(k)}(x)=d_{B(x)}^{(k)}(x)$.
Доказательство:
Фиксируем $k\in\overline{1,t}$.
Так как $d_{A(x)}^{(k)}(x)$ делит все миноры $k$-того порядка матрицы $A(x)$, то по теореме 3.10
$d_{A(x)}^{(k)}(x)$ делит все миноры $k$-того порядка матрицы $B(x)$, тогда он делит и их НОД, то есть
$d_{A(x)}^{(k)}(x)|d_{B(x)}^{(k)}(x)$. Аналогично $d_{B(x)}^{(k)}(x)|d_{A(x)}^{(k)}(x)$, тогда $d_{A(x)}^{(k)}(x)=d_{B(x)}^{(k)}$.
Теорема 3.3:
Для любой матрицы $A(x)\in{P}[x]_{m,n}$ существует единственная эквивалентная ей каноническая.
Доказательство:
Существование канонической матрицы эквивалентной матрице $A(x)$ доказано в теореме 13.2.
Пусть $t:=\min{\{m,n\}}$ и каноническая матрица $K(x):=(\delta_1(x),\ldots,\delta_t(x))$ такая, что $A(x)\sim{K}(x)$.
Любой ненулевой минор $k$-того порядка матрицы $K(x)$ имеет вид $\delta_{i_1}\cdots\delta_{i_k}$ где для любого $j\in{1,k}$ $i_j\in\overline{1,t}$ и
для любых различных $r,s\in\overline{1,k}$ $i_r\neq{i}_s$.
Так как для любого $k\in\overline{1,t}$ $\delta_1(x)|\delta_k(x)$, то по утверждению 13.1
$$d_{A(x)}^{(1)}(x)=d_{K(x)}^{(1)}(x)=\delta_1(x).$$
То есть многочлен $\delta_1(x)$ определен однозначно.
Так как по замечанию 13.3 $d_{K(x)}^{(1)}(x)|d_{K(x)}^{(2)}(x)$, то существует $s\in\overline{2,t}$ такое,
что $d_{K(x)}^{(2)}(x)=d_{K(x)}^{(1)}(x)\delta_s(x)$. Так как для любого $k\in\overline{3,t}$
$\delta_2(x)|\delta_k(x)$, то $s=2$, то есть
$$d_{A(x)}^{(2)}(x)=d_{K(x)}^{(2)}(x)=d_{K(x)}^{(1)}\delta_2(x)=\delta_1(x)\delta_2(x).$$
Аналогично показывается, что для любого $k\in\overline{2,t}$
$$d_{A(x)}^{(k)}(x)=d_{K(x)}^{(k)}(x)=d_{K(x)}^{(k-1)}(x)\delta_k(x)=\delta_1(x)\cdots\delta_k(x).$$
Таким образом, $\delta_1(x)=d_{A(x)}^{(1)}(x)$ и для любого $k\in\overline{2,t}$ $d_{A(x)}^{(k-1)}\delta_k(x)=d_{A(x)}^{(k)}(x)$.
То есть для любого $k\in\overline{2,t}$ многочлен $\delta_k(x)$ определен однозначно если $d_{A(x)}^{(k-1)}\neq0$, то
$$\delta_k(x)=\frac{d_{A(x)}^{(k)}(x)}{d_{A(x)}^{(k-1)}(x)},$$
если $d_{A(x)}^{(k-1)}=\delta_1\ldots\delta_{k-1}=0$, то существует $s\in\overline{1,k-1}$ такой, что $\delta_s=0$ и,
так как $\delta_s(x)|\delta_k(x)$, то $\delta_k(x)=0$.
Определение 13.3:
Каноническая матрица эквивалентная матрице $A(x)$ назыавается канонической формой матрицы $A(x)$ и обозначается $K(A(x))$.
Если $K(A(x))=(\delta_1(x),\ldots,\delta_t(x))$, то для любого $k\in\overline{1,t}$
многочлен $\delta_k(x)$ называется $k$-тым инвариантным множителем матрицы $A(x)$ и обозначается $\delta_{A(x)}^{(k)}(x)$.
Замечание 13.4:
Пусть $A\in{P}_{n,n}$ и $K(Ex-A):=\diag(\delta_1(x),\ldots,\delta_n(x))$, тогда по п. 4 утверждения 3.10
$$
Ex-A\sim{K}(Ex-A)\Rightarrow\exists{u}\in{P}[x]^*=P^*:|Ex-A|=u|K(Ex-A)|\Rightarrow\chi_A(x)=|K(Ex-A)|=\delta_1(x)\cdots\delta_n(x),
$$
где последняя импликация верна в силу того, что многочлены $|Ex-A|$ и $|K(Ex-A)|$ унитарны.
Из доказательства теоремы 13.3 так же следует, что для любого ${k\in\overline{1,n}}$ $d_{Ex-A}^{(k)}(x)=\delta_1(x)\cdots\delta_k(x)$.
13.4 Критерий эквивалентности полиномиальных матриц.
Пусть $A(x),B(x)\in{P}[x]_{m,n}$, $t:=\min{\{m,n\}}$, тогда следующие утверждения эквивалентны
Доказательство:
$1)\Leftrightarrow2)$ В силу того, что $A(x)\sim{K}(A(x))$, $B(x)\sim{K}(B(x))$ и отношение эквивалентности матриц есть отношение эквивалентности
(п. 1 утверждения 3.10).
$2)\Leftrightarrow3)$ Следует из равенств
$$
K(A(x))=\diag{\left(\delta_{A(x)}^{(1)}(x),\ldots,\delta_{A(x)}^{(t)}(x)\right)},K(B(x))=
\diag{\left(\delta_{B(x)}^{(1)}(x),\ldots,\delta_{B(x)}^{(t)}(x)\right)}.
$$
$3)\Leftrightarrow4)$ Следует из равенств
$$d_{A(x)}^{(k)}(x)=\delta_{A(x)}^{(1)}(x)\cdots\delta_{A(x)}^{(k)}(x),d_{B(x)}^{(k)}(x)=\delta_{B(x)}^{(1)}(x)\cdots\delta_{B(x)}^{(k)}(x)$$
верных для любого $k\in\overline{1,t}$ и леммы 7.6.
Алгоритм решения уравнений подобия.
Пусть $A,B\in{P}_{n,n}$, найдем решение уравнения $X^{-1}AX=B$.
Задача 13.1:
Утверждение 13.2:
Пусть $f(x)\in{P}[x]$ унитарный многочлен степени $n$, тогда $K(Ex-S(f))=\diag(e,\ldots,e,f(x))$.
Доказательство:
Пусть $f(x):=x^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0$, тогда
$$
S(f)=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & -c_0 \\
e & 0 & \cdots & 0 & -c_1 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & \cdots & e & 0 & -c_{n-2} \\
0 & \cdots & \cdots & e & -c_{n-1} \\
\end{pmatrix}\Rightarrow{E}x-S(f)=
\begin{pmatrix}
x & 0 & \cdots & 0 & c_0 \\
-e & x & \cdots & 0 & c_1 \\
\vdots & \ddots & \ddots &\vdots & \vdots \\
0 & \cdots & -e & x & c_{n-2} \\
0 & \cdots & \cdots & -e & c_{n-1}
\end{pmatrix}.
$$
Обозначим $K(Ex-S(f)):=\diag(\delta_1(x),\ldots,\delta_{n-1}(x))$, тогда
$$
M_{Ex-S(f)}\begin{pmatrix}2, & \ldots, & n \\ 1, & \ldots, & n-1\end{pmatrix}=(-e)^{n-1}\Rightarrow
{d}_{Ex-S(f)}^{(n-1)}(x)=\delta_1(x)\cdots\delta_{n-1}(x)=e\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,n-1}(\delta_i(x)=e)
$$
С другой стороны, из задачи 12.4 и замечания 13.4 следует,
что
$$
f(x)=\chi_{S(f)}(x)=\delta_1(x)\cdots\delta_{n-1}(x)\delta_n(x)\Rightarrow\delta_n(x)=f(x)\Rightarrow{K}(Ex-S(f))=\diag(e,\ldots,e,f(x)).
$$
Теорема 13.5: Теорема Фробениуса.
Для любой матрицы $A\in{P}_{n,n}$ $m_A(x)=\delta_{Ex-A}^{(n)}(x)$
Доказательство:
Обозначим $K(Ex-A):=(e,\ldots,e,f_1(x),\ldots,f_s(x))$ и для любого $i\in\overline{1,s}$ $n_i:=\deg{f_i(x)}$. Так как $Ex-A\sim{K}(Ex-A)$,
то по п. 1 замечания 12.3 и замечанию 13.4
$$
\deg{\chi_A(x)}=n\Rightarrow\chi_{A}(x)=|Ex-A|\neq0\Rightarrow|K(Ex-A)|=f_1(x)\cdots{f}_s(x)\neq0\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,s}(n_i>0).
$$
$$\chi_A(x)=f_1(x)\cdots{f}_s(x)\Rightarrow{n}_1+\cdots+n_s=n\Rightarrow{B}:=(S(f_1),\ldots,S(f_s))\in{P}_{n,n}.$$
По утверждению 13.2
$$
Ex-B=\diag(Ex-S(f_1),\ldots,Ex-S(f_s))\sim\diag(K(Ex-S(f_1)),\ldots,K(Ex-S(f_s)))=\\=
\diag(e,\ldots,e,f_1(x),e,\ldots,e,f_2(x),e,\ldots,e,f_s(x))\sim(e,\ldots,f_1(x),\cdots,f_s(x))=K(Ex-A)\sim{E}x-A.
$$
Таким образом, $Ex-B\sim{E}x-A$, тогда по теореме 13.1 $A\approx{B}$,
тогда по п. 3 следствия 12.3, утверждению 12.12 и
примеру 12.2
$$
m_A(x)=m_B(x)=[m_{S(f_1)}(x),\ldots,m_{S(f_s)}(x)]=[f_1(x),\ldots,f_s(x)]=f_s(x)=\delta_{Ex-A}^{(n)}(x).
$$
Следствие 13.1:
Для любой матрицы $A\in{P}_{n,n}$
Доказательство:
Задача 13.2:
Пусть $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, многочлены $f_1(x),\ldots,f_t(x)\in{P}[x]$ такие, что $\chi_{\varphi}(x)=f_1(x)\cdots{f}_t(x)$ и
для любых различных $i,j\in\overline{1,t}$ $(f_i(x),f_j(x))=e$, тогда
$L_P=\ker{f_1(\varphi)}\dotplus\cdots\dotplus\ker{f_t(\varphi)}$ и для любого $i\in\overline{1,t}$ верно равенство
$\dim{\ker{f_i(\varphi)}}=\deg{f_i(x)}$.
Решение:
Равенство $L_P=\ker{f_1(\varphi)}\dotplus\cdots\dotplus\ker{f_t(\varphi)}$ было доказано в теореме 12.10.
Докажем, что для любого $i\in\overline{1,t}$ $\dim{\ker{f_i(\varphi)}}=\deg{f_i(x)}$.
Обозначим $\varphi_i:=\varphi|_{\ker{f_i(\varphi)}}$. Пусть $t_i(x)$ неприводимый многочлен такой, что $t_i(x)|\chi_{\varphi_i}(x)$,
тогда по п. 2 следствия 13.1 $t_i(x)|m_{\varphi_i}(x)$, тогда по утверждению 12.10 существует вектор
$\beta_i\in\ker{f_i(\varphi)}\backslash\{\theta\}$ такой, что $m_{\beta_i,\varphi_i}(x)=t_i(x)$. Тогда,
$$
t_i(\varphi)(\beta)=f_i(\varphi)(\beta)=\theta\Rightarrow(m_{\beta,\varphi}(x)|t_i(x)\,\wedge{m}_{\beta,\varphi}(x)|f_i(x))\Rightarrow
(t_i(x),f_i(x))\neq{e}\Rightarrow{t}_i(x)|f_i(x)
$$
Таким образом, для любых неравных $i,j\in\overline{1,t}$ $(\chi_{\varphi_i}(x),\chi_{\varphi_j}(x))=e$. Действительно, предположим,
что существуют различные $i,j\in\overline{1,t}$ такие, что $(\chi_{\varphi_i}(x),\chi_{\varphi_j}(x))\neq{e}$,
но тогда существует неприводимый многочлен, который делит и $\chi_{\varphi_i}(x)$ и $\chi_{\varphi_j}(x)$,
тогда по доказанному он делит и $f_i(x)$, $f_j(x)$, то есть $(f_i(x),f_j(x))\neq{e}$.
По теореме 12.9
$$\chi_{\varphi}(x)=\chi_{\varphi_1}(x)\cdots\chi_{\varphi_t}(x)=f_1(x)\cdots{f}_t(x),$$
тогда в силу однозначности канонического разложения многочлена $\chi_{\varphi}(x)$ для любого $i\in\overline{1,t}$ $f_i(x)=\chi_{\varphi_i}(x)$ и
$\dim{\ker{f_i(\varphi)}}=\deg{\chi_{\varphi_i}(x)}=\deg{f_i(x)}$.
previous contents next