14 Евклидовы пространства.

14.1 Введение.

Определение 14.1:
Скалярным произведением на векторном пространстве $L$ называется отображение $S:L\times{L}\to\mathbb{P}$ такое, что для любых $\alpha,\beta,\gamma\in{L}$, $a\in\mathbb{P}$

1. $S(\alpha{a},\beta)=aS(\alpha,\beta)$,
2. $S(\alpha+\beta,\gamma)=S(\alpha,\gamma)+S(\beta,\gamma)$,
3. $S(\alpha,\beta)=\overline{S(\beta,\alpha)}$,
4. $\alpha\neq\theta\Rightarrow{S}(\alpha,\alpha)>0$.

Пример 14.1:

1. Пространство векторов в дву- и трех- мерном пространстве $(\mathcal{D}_2)_{\mathbb{R}}$, $(D_3)_{\mathbb{R}}$ является евклидовым пространством. Скалярным произведением является скалярное произведение (произведение длинн векторов на синус угла между ними).
2. Пространство функций непрерывных на отрезке $(C[a,b])_{\mathbb{R}}$ является евклидовым пространством. В качестве скалярного произведения можно взять отображение $S(f(x),g(x))=\int_a^b{f}(x)g(x)dx$.
3. Пусть $L_{\mathbb{P}}$ - произвольное векторное пространство $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ - базис $L_{\mathbb{P}}$, тогда пространство $L_{\mathbb{P}}$ является евклидовым со скалярным произведением $S(\beta,\gamma)=\sum_{i=1}^nb_i\overline{c}_i$, где $\beta=\sum_{i=1}^n\alpha_ib_i$, $\gamma=\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i$

Определение 14.2:
Векторное пространство $L_{\mathbb{P}}$ с определенным на нем скалярным произведением $S$ называется евклидовым пространством $(L_{\mathbb{P}},S)$.

Утверждение 14.1:
Для любых $\alpha,\beta,\gamma\in{L}$ $a\in\mathbb{P}$

1. $S(\alpha,\beta{a})=\overline{a}S(\alpha,\beta)$,
2. $S(\alpha,\beta+\gamma)=S(\alpha,\beta)+S(\alpha,\gamma)$,
3. $S(\alpha,\theta)=S(\theta,\alpha)=0$.

Доказательство:

По задаче 6.1

1. $S(\alpha,\beta{a})=\overline{S(\beta{a},\alpha)}=\overline{aS(\beta,\alpha)}=\overline{a}\overline{S(\beta,\alpha)}= \overline{a}\overline{\overline{S(\alpha,\beta)}}=\overline{a}S(\alpha,\beta)$.
2. $$ S(\alpha,\beta+\gamma)=\overline{S(\beta+\gamma,\alpha)}=\overline{S(\beta,\alpha)+S(\gamma,\alpha)}= \overline{S(\beta,\alpha)}+\overline{S(\gamma,\alpha)}=\overline{\overline{S(\alpha,\beta)}}+\overline{\overline{S(\alpha,\gamma)}} $$
3. $S(\theta,\alpha)=S(0\cdot\theta,\alpha)=0\cdot{S}(\theta,\alpha)=0$,
   $S(\alpha,\theta)=\overline{S(\theta,\alpha)}=\overline{0}=0$.

Замечание 14.1:
По определению 14.1 $$ \forall\alpha,\beta\in(L_{\mathbb{P}},S)(S(\alpha,\beta)=\overline{S(\beta,\alpha)})\Rightarrow \forall\alpha\in(L_{\mathbb{P}},S)(S(\alpha,\alpha)=\overline{S(\alpha,\alpha)})\Rightarrow \forall\alpha\in(L_{\mathbb{P}},S)(S(\alpha,\alpha)\in\mathbb{R}). $$ То есть, п. 4 определения 14.1 вообще говоря корректен, из него и п. 3 утверждения 14.1 следует, что $$S(\delta,\delta)=0\Leftrightarrow\delta=\theta.$$

Определение 14.3:
Нормой вектора $\alpha\in(L_{\mathbb{P}},S)$ называестя действительное число $\|\alpha\|:=\sqrt{S(\alpha,\alpha)}$.

Утверждение 14.2:
Для любого $\alpha\in(L_{\mathbb{P}},S)$

1. $\forall{a}\in\mathbb{P}(\|\alpha\|=0\Leftrightarrow\alpha=\theta)$,
2. $\forall{c}\in\mathbb{R}(\|\alpha{c}\|=\|\alpha\||c|)$.

Доказательство:

1. По замечанию 14.1 $$\|\alpha\|\Leftrightarrow{S}(\alpha,\alpha)=0\Leftrightarrow\alpha=\theta.$$
2. По п. 1 утверждения 14.1 $$\|\alpha{c}\|=\sqrt{S(\alpha{c},\alpha{c})}=\sqrt{cS(\alpha,\alpha{c})}=\sqrt{c^2S(\alpha,\alpha)}=\|\alpha\||c|.$$

14.2 Ортогональные системы векторов.

Определение 14.4:
Вектора $\alpha,\beta\in{L}$ называются ортогональными если $S(\alpha,\beta)=0$.
Система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in{L}$ ортогональна, если для любых различных $i,j\in\overline{1,n}$ $S(\alpha_i,\alpha_j)=0$.

Утверждение 14.3:
Пусть $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ - ортогональная система ненулевых векторов, тогда

1. $$ \exists{c}_1,\ldots,c_n\in\mathbb{P}:\beta=\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,n}\left (c_i=\frac{S(\beta_i,\alpha_i)}{S(\alpha_i,\alpha_i)}\right), $$
2. система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ линейно независима.

Доказательство:

1. Фиксируем $j\in\overline{1,n}$, тогда $$ S(\beta,\alpha_j)=S\biggl(\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i,\alpha_j\biggr)=\sum_{i=1}^nS(\alpha_ic_i,\alpha_j)= \sum_{i=1}^nc_iS(\alpha_i,\alpha_j)=c_jS(\alpha_j,\alpha_j)\Rightarrow{c}_j=\frac{S(\beta,\alpha_j)}{S(\alpha_j,\alpha_j)} $$
2. Пусть $c_1,\ldots,c_n\in\mathbb{P}$ такие, что $\alpha_1c_2+\cdots+\alpha_nc_n=\theta$, тогда по пункту 1 для любого $i\in\overline{1,n}$ $$c_i=\frac{S(\theta,\alpha_i)}{S(\alpha_i,\alpha_i)}=0.$$

Определение 14.5:
Системы векторов называются эквивалентными, если любой вектор одной из систем линейно выражается через другую систему.

Теорема 14.1:
Для любой линейно независимой конечной системы векторов евклидова пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$ существует равномощная эквивалентная ей ортогональная линейно независимая система векторов.

Доказательство:

Докажем индукцией по мощности системы векторов $k$.

1. При $k=1$ искомая система равна исходной.
2. Для любого $t\geq1$ докажем, что из справедливости утверждения при $k\in\overline{1,t}$ следует его справедливость при $k=t+1$.
   Пусть система $\vec{\alpha}:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_t,\alpha_{t+1})$ ЛНЗ, тогда система $\alpha_1,\ldots,\alpha_t$ ЛНЗ. Тогда по предположению индукции существует система векторов $\beta_1,\ldots,\beta_t$ ортогональная, ЛНЗ и эквивалентная системе $\alpha_1,\ldots,\alpha_t$. Найдем вектор $\beta_{t+1}\in{L}$ такой, чтобы система $\vec{\beta}:=(\beta_1,\ldots,\beta_t,\beta_{t+1})$ была ортогональна, ЛНЗ и эквивалентна системе $\vec{\alpha}$. Вектор $\beta_{t+1}$ будем искать в виде $\beta_{t+1}=\alpha_{t+1}+\beta_1c_1+\cdots+\beta_tc_t$, где для любого $i\in\overline{1,t}$ $c_i\in\mathbb{P}$. Так как система векторов $\beta_1,\ldots,\beta_t$ ортогональна, то система векторов $\vec{\beta}$ ортогональна тогда и только тогда, когда для любого $i\in\overline{1,t}$ $S(\beta_{t+1},\beta_i)=0$. Так как $$ S(\beta_{t+1},\beta_i)=S\biggl(\alpha_{t+1}+\sum_{j=1}^t\beta_jc_j,\beta_i\biggr)=S(\alpha_{t+1},\beta_i)+\sum_{j=1}^tS(\beta_jc_i,\beta_i)= S(\alpha_{t+1},\beta_i)+\sum_{j=1}^tc_jS(\beta_j,\beta_i)=S(\alpha_{t+1},\beta_i)+c_jS(\beta_i,\beta_i) $$ то если для любого $i\in\overline{1,t}$ положить $$c_i:=-\frac{S(\alpha_{t+1},\beta_i)}{S(\beta_i,\beta_i)},\beta_{t+1}:=\alpha_{t+1}+\beta_1c_1+\cdots+\beta_tc_t,$$ то для любого $i\in\overline{1,t}$ $$ S(\beta_{t+1},\beta_i)=S(\alpha_{t+1},\beta_i)-c_iS(\beta_i,\beta_i)= S(\alpha_{t+1},\beta_i)-\frac{S(\alpha_{t+1},\beta_i)}{S(\beta_i,\beta_i)}S(\beta_i,\beta_i)=S(\alpha_{t+1},\beta_i)-S(\alpha_{t+1},\beta_i)=0 $$

Следствие 14.1:
В любом конечномерном евклидовом пространстве $(L_{\mathbb{P}}, S)$ существует ортогональный базис.

Доказательство:

По теореме 11.4 любое векторное пространство имеет базис $\vec{\alpha}$. Так как пространство $(L_{\mathbb{P}},S)$ конечномерно, то система $\vec{\alpha}$ конечна и ЛНЗ, тогда по теореме 14.1 существует ортогональная ЛНЗ система такой же мощности, которая по п. 4 теоремы 11.9 является базисом пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$.

Следствие 14.2:
В любом конечномерном евклидовом пространстве $(L_{\mathbb{P}},S)$ любая ортогональная ЛНЗ система векторов может быть дополнена до ортогонального базиса.

Доказательство:

Пусть $\dim{L}_{\mathbb{P}}=n$, $\vec{\beta}:=(\beta_1,\ldots,\beta_k)\in(L_{\mathbb{P}},S)$ - ортогональная ЛНЗ система по п. 3 теоремы 11.9 она может быть дополнена до базиса $\beta_1,\ldots,\beta_k,\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_{n-k}$. Положим $$ \forall{i}\in\overline{1,k}\left(c_i:=-\frac{S(\alpha_{k+1},\beta_i)}{S(\beta_i,\beta_i)}\right), \beta_{k+1}:=\alpha_{k+1}+\beta_1c_1+\cdots+\beta_kc_k, $$ тогда аналогично доказательству теоремы 14.1 можно показать, что система $\beta_1,\ldots,\beta_k,\beta_{k+1}$ - ортогональна и ЛНЗ.
Так как система $\beta_1,\ldots,\beta_k,\beta_{k+1},\alpha_{k+2},\ldots,\alpha_{n-k}$ ЛНЗ, то, применив к ней описаную выше процедуру, получим ортогональную ЛНЗ систему из $k+2$ векторов, и так далее. Через $n-k$ шагов получим ортогональную ЛНЗ систему векторов $ \beta_1,\ldots,\beta_k,\beta_{k+1},\ldots,\beta_n$, которая по п. 4 теоремы 11.9 является базисом пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$.

Замечание 14.2:
Процесс описанный при доказательтсве следствия 14.3 называется процессом ортоганализации.
Пусть дана ЛНЗ система векторов $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$, тогда система $\beta_1,\ldots,\beta_k$ такая, что $$\forall{i}\in\overline{1,k}\left(\beta_i:=\alpha_i-\sum_{j=1}^{i-1}\beta_i\frac{S(\alpha_i,\beta_j)}{S(\beta_j,\beta_j)}\right)$$ является ЛНЗ, ортогональной и эквивалентной системе $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$.

Определение 14.6:
Вектор $\alpha\in(L_{\mathbb{P}},S)$ называется нормированным, если $\|\alpha\|=1$.
Ортогональная система нормированных векторов называется ортонормированной.

Замечание 14.3:
Так как $\|\theta\|=0\neq1$, то ортонормированная система не содержит нулевых векторов, следовательно, по п. 2 утверждения 14.3 любая ортонормированная система ЛНЗ.

Теорема 14.2:
Для любой линейно независимой конечной системы векторов евклидова пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$ существует эквивалентная ей равномощная ортонормированная система векторов.

Доказательство:

Пусть $\vec{\alpha}:=(\alpha_i,\ldots,\alpha_k)$ - ЛНЗ система векторов, тогда по теореме 14.1 существует эквиваленная ей ортогональная ЛНЗ система векторов $\vec{\beta}:=(\beta_1,\ldots,\beta_k)$. Тогда $$ \exists\gamma_1,\ldots,\gamma_k\in(L_{\mathbb{P}},S):\forall{i}\in\overline{1,k}\left(\gamma_i:=\frac{\beta_i}{\|\beta_i\|}\right)\Rightarrow \forall{i}\in\overline{1,k}\left(\|\gamma_i\|=\sqrt{S(\gamma_i,\gamma_i)}= \sqrt{S\biggl(\frac1{\|\beta_i\|}\beta_i,\frac1{\|\beta_i\|}\beta_i}\biggr)=\frac1{\|\beta_i\|}\sqrt{S(\beta_i,\beta_i)}=1\right). $$ Таким образом, ортонормированая система $\gamma_1,\ldots,\gamma_k$ эквивалентна $\vec{\beta}$, а, следовательно, эквивалентна и системе $\vec{\alpha}$.

Следствие 14.3:
В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Доказательство:

Следует из следствия 14.1 и теоремы 14.2.

Следствие 14.4:
В любом конечномерном евклидовом пространстве любая ортонормированная система векторов может быть дополнена до ортонормированного базиса.

Доказательство:

Следует из следствия 14.2 и теоремы 14.2.

previous contents next