previous contents next
12.4 Инвариантные подпространства.
Определение 12.11:
Матрица $A\in{P}_{n,n}$ называется полураспавшейся, если существует $k\in\overline{1,n-1}$ и существуют матрицы
$B\in{P}_{k,k}$, $C\in{P}_{k,n-k}$, $D\in{P}_{n-k,n-k}$ такие, что
$$A=\begin{pmatrix}B & C \\ \Theta & D\end{pmatrix}.$$
Утверждение 12.11:
Пусть $A\in{P}_{n,n}$ полураспавшаяся матрица вида $\left(\begin{smallmatrix}B & C \\ \Theta & D\end{smallmatrix}\right)$ , тогда
- $\chi_{A}(x)=\chi_B(x)\chi_{D}(x)$,
- $[m_B(x),m_{D}(x)]|m_A(x)$.
Доказательство:
- Пусть $B\in{P}_{k,k}$, тогда по теореме 3.7 (теорема Лапласа)
$$
\chi_A(x)=|Ex-A|=\begin{vmatrix}Ex-B & -C \\ \Theta & Ex-D\end{vmatrix}=|Ex-B|(-1)^{2(1+\cdots+k)}|Ex-D|=|Ex-B||Ex-D|=\chi_{B}(x)\chi_D(x)
$$
- Пусть $m_{A}(x)=\sum_{i=0}^nc_ix^i$, тогда
$$
\Theta=m_A(A)=\sum_{i=0}^kc_iA^i=\sum_{i=0}^kc_i\begin{pmatrix}B^i & U_i \\ \Theta & D^i\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}\sum_{i=0}^kc_iB^i & V \\ \Theta & \sum_{i=0}^kc_iD^i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f(B) & V \\ \Theta & f(D)\end{pmatrix}\Rightarrow\\
\Rightarrow{m}_A(B)=m_A(D)=\Theta\Rightarrow(m_{B}(x)|m_{A}(x)\,\wedge\,m_A(x)|m_D(x))\Rightarrow[m_B(x),m_{D}(x)]|m_A(x).
$$
Матрица $A\in{P}_{n,n}$ называется распавшейся, если существует $k\in\overline{1,n-1}$ и матрицы $B\in{P}_{k,k}$, $D\in{P}_{n-k,n-k}$ такие, что
$$A=\begin{pmatrix}B & \Theta \\ \Theta & D \end{pmatrix}.$$
Распавшуюся матрицу такого вида будем обозначать $A:=\diag(B,D)$.
Утверждение 12.12:
$$A=\begin{pmatrix}B & \Theta \\ \Theta & D\end{pmatrix}\Rightarrow{m}_A(x)=[m_B(x),m_D(x)].$$
Доказательство:
Обозначим $g(x)=\sum_{i=0}^mg_ix^i=[m_B(x),m_D(x)]$, тогда по следствию 12.2
$$
(m_B(x)|g(x)\,\wedge\,m_D(x)|g(x))\Rightarrow(g(B)=\Theta\,\wedge\,g(D)=\Theta)\Rightarrow
{g}(A)=\sum_{i=0}^mg_iA^i=\sum_{i=0}^mg_i\begin{pmatrix}B^i & \Theta \\ \Theta & D^i\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}g(B) & \Theta \\ \Theta & g(D)\end{pmatrix}=\Theta\Rightarrow{m}_A(x)|g(x).
$$
Таким образом, $m_A(x)|[m_B(x),m_D(x)]$ и, так как по утверждению 12.11
$[m_B(x),m_D(x)]|m_A(x)$, то $[m_B(x),m_D(x)]=m_A(x)$.
Определение 12.13:
Подпространство $K_P<L_P$ называется инвариантным относительно преобразования $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, если $\varphi(K_P)\subset{K}_P$.
Пример 12.3:
- Пусть $K_P=(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)_P$, где для любого $i\in\overline{1,n}$ $\alpha_i$ - собственный вектор преобрзования
$\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$ принадлежащий собственному значению $r_i$. То есть для любого $i\in\overline{1,n}$ $\varphi(\alpha_i)=\alpha_ir_i$,
тогда по теореме 11.6
$$
\forall\gamma\in{K}_P\exists{c}_1,\ldots,c_m\in{P}:\gamma=\sum_{i=1}^m\alpha_ic_i\Rightarrow
\varphi(\gamma)=\sum_{i=1}^m\varphi(\alpha_i)c_i=\sum_{i=1}^m\alpha_i(r_ic_i)\in{K}_P
$$
Таким образом, подпространство $K_P$ инвариантно относительно любого преобразования $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$.
- Пусть $f(x)\in{P}[x]$, $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, $K=f(\varphi)(L)$. Так как $f(\varphi)\in\mathcal{L}(L_P)$, то $K_P<L_P$. При этом
$$
\varphi(f(\varphi)(\gamma))=f(\varphi)(\varphi(\gamma))\in{f}(\varphi)(L_P)\Rightarrow
\forall\gamma\in{K}_P(\varphi(\gamma)\in{K}_P)\Rightarrow\varphi(K_P)\subset{K}_P.
$$
Таким образом, для любых $f(x)\in{P}[x]$, $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$ подпространство $K_P=f(\varphi)(L_P)$ инавариантно относительно преобразования
$\varphi$.
- Пусть $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, $K=\ker{f(\varphi)}$. Так как $f(\varphi)\in\mathcal{L}(L_P)$, то для любых $\alpha,\beta\in\ker{f(\varphi)}$,
$a\in{P}$
$$f(\varphi)(\alpha+\beta)=f(\varphi)(\alpha)+f(\varphi)(\beta)=\theta\Rightarrow\alpha+\beta\in\ker{f(\varphi)}$$
$$f(\varphi)(\alpha{a})=f(\varphi)(\alpha)a=\theta\Rightarrow\alpha{a}\in\ker{f(\varphi)}.$$
Таким образом, по теореме 11.5 $K_P<L_P$. При этом
$$
\forall\gamma\in{K}_P(f(\alpha)(\varphi(\gamma))=\varphi(f(\varphi)(\gamma))=\varphi(\theta)=\theta)\Rightarrow
\forall\gamma\in{K}_P(\varphi(\gamma)\in{K}_P)\Rightarrow\varphi(K_P)\subset{K}_P
$$
Таким образом, для любых $f(x)\in{P}[x]$, $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$ подпространство $K_P=\ker{f(\varphi)}$ инвариантно относительно преобрзования
$\varphi$
Замечание 12.6:
- Если $K_P=(\alpha_1,\ldots,\alpha_t)_P<L_P$, $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, то
$$\varphi(K_P)\subset{K}_P\Leftrightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}(\varphi(\alpha_i)\in{K_P}).$$
Действительно, в прямую сторону очевидно, докажем в обратную. Пусть $\gamma\in{K}_P$, тогда теореме 11.6
$$
\exists{c}_1,\ldots,c_t\in{P}:\gamma=\alpha_1c_1+\cdots+\alpha_tc_t\Rightarrow\varphi(\gamma)=
\sum_{i=1}^t\varphi(\alpha_i)c_i\Rightarrow\varphi(\gamma)\in{K}_P,
$$
где последняя импликация в силу теоремы 11.6 и того,
то для любого $i\in\overline{1,t}$ $\varphi(\alpha_i)\in{K}_P$.
- Пусть $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, $K_P<L_P$, $\varphi(K_P)\subset{K}_P$. Обозначим $\varphi|_{K_P}$ отображение $\psi:K_P\to{K}_P$ такое, что
$$\forall\delta\in{K}_P(\psi(\delta)=\varphi(\delta)),$$
тогда $\psi:=\varphi|_{K_P}\in\mathcal{L}(K_P)$.
Теорема 12.8:
Пусть $\vec{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ базис $L_P$, $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, тогда
- матрица $A_{\vec{\alpha}}(\varphi)$ - полураспавшаяся тогда и только тогда, когда существует $k\in\overline{1,n-1}$ такое,
что подпространство $K_P:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)_P$ инвариантно относительно преобразования $\varphi$;
- если $B\in{P}_{k,k}$, $C\in{P}_{k,n-k}$, $D\in{P}_{n-k,n-k}$ такие, что
$$A_{\vec{\alpha}}(\varphi)=\begin{pmatrix}B & C \\ \Theta & D\end{pmatrix},$$
$K_P:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)_P$, $\psi:=\varphi|_{K_P}\in\mathcal{L}(L_P)$, то $\chi_{\psi}(x)|\chi_{\varphi}(x)$.
Доказательство:
Обозначим $\vec{\alpha}':=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)$.
-
$\Rightarrow)$ Пусть существуют матрицы $B\in{P}_{k,k}$, $C\in{P}_{k,n-k}$, $D\in{P}_{n-k,n-k}$, такие,
что $A_{\vec{\alpha}}(\varphi)=\left(\begin{smallmatrix}B & C \\ \Theta & D\end{smallmatrix}\right)$, тогда
$$
\forall{i}\in\overline{1,k}(\varphi(\alpha_i)=\vec{\alpha}\varphi(\alpha_i)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=
\vec{\alpha}\begin{pmatrix}B_i \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix}=\vec{\alpha}'B_i^{\downarrow}\in(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)=K_P),
$$
следовательно, по п. 1 замечания 12.6 $\varphi(K_P)\subset{K}_P$.
$\Leftarrow)$ Так как подпространтсво $K_P=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)_P$ инвариантно относительно преобразования $\varphi$, то
$$
\forall{i}\in\overline{1,k}(\varphi(\alpha_i)\in{K}_P)\Rightarrow
\forall{i}\in\overline{1,t}(\exists{c}_{i,1},c_{i,2},\ldots,c_{i,k}\in{P}:\varphi(\alpha_i)=\alpha_1c_{i,1}+\cdots+\alpha_kc_{i,k})\Rightarrow
\forall{i}\in\overline{1,t}\left(\varphi(\alpha_i)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=(c_{i,1},\ldots,c_{i,k},0,\ldots,0)^T\right)\Rightarrow\\
\Rightarrow{A}_{\vec{\alpha}}(\varphi)=\left(\varphi(\alpha_1)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow},\ldots,\varphi(\alpha_n)_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)=
\begin{pmatrix}B & U \\ \Theta & V\end{pmatrix},
$$
где $B=(b_{i,j})\in{P}_{k,k}$ такая, что для любых $i,j\in\overline{1,k}$ $b_{i,j}=c_{j,i}$, a $U$ и $V$ некоторые матрицы подходящих размеров.
- Пусть $B\in{P}_{k,k}$, $C\in{P}_{k,n-k}$, $D\in{P}_{n-k,n-k}$,
$A_{\vec{\alpha}}(\varphi)=\left(\begin{smallmatrix}B & C \\ \Theta & D\end{smallmatrix}\right)$.
Так как система $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ ЛНЗ и $K_P=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)_P$, то $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ - базис $K_P$, тогда
$$
\forall{i}\in\overline{1,k}(\psi(\alpha_i)=\varphi(\alpha_i)=\vec{\alpha}'B_i^{\downarrow})\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,k}(B_i^{\downarrow}=
\psi(\alpha_i)_{\vec{\alpha}'}^{\downarrow})\Rightarrow{B}=A_{\vec{\alpha}'}(\psi)\Rightarrow\chi_B(x)=\chi_{\psi}(x).
$$
Тогда по п. 1 утверждения 12.11
$$\chi_{\varphi}(x)=\chi_{A_{\vec{\alpha}}}(x)=\chi_B(x)\chi_D(x)=\chi_{\psi}(x)\chi_D(x)\Rightarrow\chi_{\psi}(x)|\chi_{\varphi}(x).$$
Теорема 12.9:
Пусть $\vec{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ базис векторного пространства $L_P$, $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, тогда
- матрица $A_{\vec{\alpha}}(\varphi)$ распавшаяся тогда и только тогда, когда существует $k\in\overline{1,n-1}$ такое,
что подпространства $K_P:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)_P$, $M_P=(\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n)_P$ инвариантны относительно преобразования $\varphi$.
- если $A_{\vec{\alpha}}(\varphi)=\diag(B_{k,k},D_{n-k,n-k})$, $\vec{\alpha}':=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)$, $\vec{\alpha}'':=
(\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n)$, $\psi,\xi\in\mathcal{L}(L_P)$ такие, что $A_{\vec{\alpha}'}(\psi)=B$,
$A_{\vec{\alpha}''}(\xi)=D$, то $\psi=\varphi|_{K_P}$, $\xi=\varphi|_{M_P}$ и $\chi_{\varphi}(x)=\chi_{\psi}(x)\chi_{\xi}(x)$.
Доказательство:
Следует из теоремы 12.8.
Замечание 12.7:
- Из теоремы 12.8 и следствия 11.3 следует,
что если $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, матрица $A_{\vec{\alpha}}(\varphi)$ распавшаяся, то существуют инвариантные относительно $\varphi$
собственные подпространства $K_P<L_P$, $M_P<L_P$ такие, что $L_P=K_P\dotplus{M}_P$.
- С другой стороны, если $K_P,M_P$ - собственные инвариантные относительно преобразования $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$ подпространсва $L_P$,
$\vec{\alpha}'=(\alpha_1,\ldots,\alpha_k)$, $\vec{\alpha}''=(\alpha_{k+1},\ldots,\alpha_n)$ - базисы $K_P$ и $M_P$, $L_P=K_P\dotplus{M}_P$,
следовательно, $\vec{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ - базис $L_P$ и матрица $A_{\vec{\alpha}}(\varphi)$ распавшаяся.
Теорема 12.10:
Пусть $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, многочлен $f(x)\in{P}[x]$ такой, что $f(\varphi)=\hat{0}$, многочлены $f_1(x),\ldots,f_t(x)\in{P}[x]$ такие,
что для любых неравных $i,j\in\overline{1,t}$ $(f_i(x),f_j(x))=e$ и $f(x)=f_1(x)\cdots{f}_t(x)$, тогда
$$L_P=\ker{f_1(\varphi)}\dotplus\cdots\dotplus\ker{f_t(\varphi)}.$$
Доказательство:
Докажем индукцией по $t$ числу множителей в разложении многочлена $f(x)$
- При $t=1$
$$f(\varphi)=\hat{0}\Rightarrow\forall\alpha\in{L}_P(f(\varphi)(\alpha)=\theta)\Rightarrow{L}_P=\ker{f(\varphi)}.$$
При $t=2$ $f(x)=f_1(x)f_2(x)$ и $(f_1(x),f_2(x))=e$, тогда
$$
\exists{u}(x),v(x)\in{P}[x]:(f_1(x)u(x)+f_2(x)v(x)=e)\Rightarrow\hat{e}=f_1(\varphi)\circ{u}(\varphi)+f_2(\varphi)\circ{v}(\varphi)\Rightarrow
\Rightarrow\forall\gamma\in{L}_P(\gamma=\hat{e}(\gamma)=(f_1(\varphi)\circ{u}(\varphi))(\gamma)+(f_2(\varphi)\circ{v}(\varphi))(\gamma)).
$$
Обозначим $\gamma_1:=(f_1(\varphi)\circ{u}(\varphi))(\gamma)\in{L}_P$, $\gamma_2:=(f_2(\varphi)\circ{v}(\varphi))(\gamma)\in{L}_P$, тогда
$$
f_2(\varphi)(\gamma_1)=(f_2(\varphi)\circ{f}_1(\varphi)\circ{u}(\varphi))(\gamma)=u(\varphi)((f_1(\varphi)\circ{f}_2(\varphi))(\gamma))=
u(\varphi)(f(\varphi)(\gamma))=u(\varphi)(\theta)=\theta\Rightarrow\gamma_1\in\ker{f_2(\varphi)}.
$$
Аналогично $\gamma_2\in\ker{f_1(\varphi)}$, следовательно,
$$
\forall\gamma\in{L}_P\,\exists\gamma_1\in\ker{f_1(\varphi)},\gamma_2\in\ker{f_2(\varphi)}:\gamma=\gamma_1+\gamma_2\Rightarrow
{L}_P=\ker{f_1(\varphi)}+\ker{f_2(\varphi)}.
$$
Докажем, что сумма $L_P=\ker{f_1(\varphi)}+\ker{f_2(\varphi)}$ прямая.
Пусть $\beta\in\ker{f_1(\varphi)}\cap\ker{f_2(\varphi)}$, тогда
$$
f_1(\varphi)(\beta)=f_2(\varphi)(\beta)=\theta\Rightarrow(m_{\beta,\varphi}(x)|f_1(x)\,\wedge\,m_{\beta,\varphi}(x)|f_2(x))\Rightarrow
{m}_{\beta,\varphi}(x)|(f_1(x),f_2(x))=e\Rightarrow{m}_{\beta,\varphi}=e\Rightarrow\hat{e}(\beta)=\theta\Rightarrow\beta=\theta,
$$
Следовательно, по п. 3 теоремы 11.7 $L_P=\ker{f_1(\varphi)}\dotplus\ker{f_2(\varphi)}$.
- Для любого $s\geq{2}$ докажем, что если утверждение верно при $t\in\overline{1,s}$, то оно верно при $t=s+1$.
Пусть $f(x)=f_1(x)\cdots{f}_s(x)f_{s+1}(x)$, где $(f_i(x),f_j(x))=e$ для любых неравных $i,j\in\overline{1,s+1}$.
Обозначим $g(x):=f_1(x)\cdots{f}_s(x)$, тогда по п. 1 теоремы 7.8 $(g(x),f_{s+1}(x))=e$, следовательно,
по доказанному в пункте I $L_P=\ker{g(\varphi)}\dotplus\ker{f_{s+1}}(\varphi)$. Обозначим $K_P:=\ker{g(\varphi)}<L_P$, $\psi:=\varphi|_{K_P}$, тогда
$$\forall\alpha\in{K}_P(g(\psi)(\alpha)=g(\varphi)(\alpha)=\theta)\Rightarrow{g}(\psi)=\hat{0}.$$
Тогда по предположению индукции $K_P=\ker{f_1(\psi)}\dotplus\cdots\dotplus\ker{f_s(\psi)}$. Зафиксируем $i\in\overline{1,s}$, тогда
$$
\beta\in\ker{f_i(\psi)}\Leftrightarrow(\beta\in{K}_P\,\wedge\,f_i(\psi)(\beta)=\theta)\Leftrightarrow
(f_i(\varphi)(\beta)=\theta\,\wedge\,g(\varphi)(\beta)=\theta)\Leftrightarrow{f}_i(\varphi)(\beta)=\theta\Leftrightarrow\beta\in\ker{f_i(\varphi)}.
$$
Таким образом, для любого $i\in\overline{1,s}$ $\ker{f_i(\psi)}=\ker{f_i(\varphi)}$, тогда
$$L_P=K_P\dotplus\ker{f_{s+1}(\varphi)}=\ker{f_1(\varphi)}\dotplus\cdots\dotplus\ker{f_s(\varphi)}\dotplus\ker{f_{s+1}}(\varphi).$$
Следствие 12.5:
Пусть $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, $\chi_{\varphi}(x)=(x-r_1)^{k_1}\cdots(x-r_t)^{k_t}$, где для любых неравных $i,j\in\overline{1,t}$ $r_i\neq{r}_j$,
для любого $i\in\overline{1,t}$ $k_i\in\mathbb{N}$, тогда
- $L_P=\ker{(\varphi-\hat{r}_1)^{k_1}}\dotplus\cdots\dotplus\ker{(\varphi-\hat{r}_t)^{k_t}}$;
- для любого $i\in\overline{1,t}$ обозначим $\psi_i:=\varphi|_{\ker{(\varphi-r_i)^{k_i}}}$,
тогда для любого $i\in\overline{1,t}$ $\chi_{\psi_i}(x)=(x-r_i)^{k_i}$
- $\forall{i}\in\overline{i,t}(\dim{\ker{(\varphi-r_i)^{k_i}}}=k_i)$;
Доказательство:
- Так как $\chi_{\varphi}(\varphi)=\hat{0}$, то утверждение следует из теоремы 12.10.
- Фиксируем $i\in\overline{1,t}$, по теореме 12.9 и
замечанию 12.7
$$
\chi_{\varphi}(x)=\prod_{i=1}^t\chi_{\psi_i}(x)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}(\chi_{\psi_i}(x)|\chi_{\varphi}(x))\Rightarrow
\exists{l}_1,\ldots,l_t\in\mathbb{N}_0:\chi_{\psi_i}(x)=(x-r_1)^{l_1}\cdots(x-r_t)^{l_t}.
$$
Покажем от противного, что для любого $j\neq{i}$ $l_j=0$. Предположим, что существует $j\in\overline{1,t}$ такое,
что $j\neq{i}$ и $(x-r_j)|\chi_{\psi_i}(x)$, тогда по теореме 12.3
$$
\chi_{\psi_i}(r_j)=0\Rightarrow\exists\alpha\in\ker{(\varphi-\hat{r_i})^{k_i}}\backslash\{\theta\}:\varphi(\alpha)=\psi_i(\alpha)=
\hat{r}_j(\alpha)\Rightarrow(\varphi-\hat{r}_i)^{k_i}(\alpha)=(\varphi-\hat{r}_j)(\alpha)=\theta\Rightarrow\\
\Rightarrow(m_{\alpha,\varphi}(x)|(x-r_i)^{k_i}\,\wedge\,m_{\alpha,\varphi}(x)|(x-r_j))\Rightarrow
{m}_{\alpha,\varphi}(x)|((x-r_i)^{k_i},x-r_j)=e\Rightarrow{m}_{\alpha,\varphi}(x)=e\Rightarrow\hat{e}(\alpha)=\theta\Rightarrow\alpha=\theta
$$
Получено противоречие так как $\alpha\in\ker{(\varphi-\hat{r}_i)^{k_i}}\backslash\{0\}$.
Таким образом, для любого $i\in\overline{1,t}$ существует $l_i\in\overline{1,k_i}$ такое, что $\chi_{\psi_i}(x)=(x-r_i)^{l_i}$. Тогда
$$
\chi_{\varphi}(x)=\prod_{i=1}^t(x-r_i)^{k_i}=\prod_{i=1}^t\chi_{\psi_i}(x)\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,t}(\chi_{\psi_i}(x)=(x-r_i)^{k_i}).
$$
- Так как $L_P=\ker{(\varphi-\hat{r}_1)^{k_1}}\dotplus\cdots\dotplus\ker{(\varphi-r_t)^{k_t}}$,
то по теореме 12.9 для любого $i\in\overline{1,t}$ размерность подпространства
$\ker{(\varphi-r_i)^{k_i}}$ равна размеру матрицы преобразования $\psi_i$, который по п. 1 замечания 12.3
равен $\deg\chi_{\psi_i}(x)=\deg(x-r_i)^{k_i}=k_i$.
Пространство развалилось на прямую сумму подпространств.
Определение 12.14:
Если $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$, $r_1,\ldots,r_t\in{P},k_1,\ldots,k_t\in\mathbb{N}$ такие, что $\chi_{\varphi}(x)=(x-r_1)^{k_1}\cdots(x-r_t)^{k_t}$,
то для любого $i\in\overline{1,t}$ подпространство $\ker{(\varphi-\hat{r}_i)^{k_i}}$ называется корневым подпространством пространства $L_P$.
Замечание 12.8:
Опишем структуру корневого подпространства. Для любого многочлена $f(x)\in{P}[x]$
$$
\beta\in\ker{f(\varphi)}\Leftrightarrow{f}(\varphi)(\beta)=\theta\Leftrightarrow
{f}(A_{\vec{\alpha}}(\varphi))\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=0^{\downarrow}.
$$
Тогда при $f(x)=(x-r)^k$
$$
\beta\in\ker{(\varphi-\hat{r})^k}\Leftrightarrow\left(A_{\vec{\alpha}}(\varphi)-Er\right)^k\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=0^{\downarrow}.
$$
То есть корневое подпространство $\ker{(\varphi-\hat{r})^k}$ совпадает с множеством решений СОЛУ
$(A_{\vec{\alpha}}(\varphi)-Er)^kx^{\downarrow}=0^{\downarrow}$
Теорема 12.11:
Матрица $A\in{P}_{n,n}$ подобна диагональной тогда и только тогда, когда $m_A(x)$ разложим в произведение линейных множителей и не имеет кратных корней.
Доказательство:
$\Rightarrow)$ Пусть $A\approx{D}:=\diag(a_1,\ldots,a_n)$, тогда по теореме 12.7
$$
\forall{i}\in\overline{1,n}(A-Ea_i)A_i^{\downarrow}=0^{\downarrow}\Rightarrow\forall{i}\in\overline{1,n}(m_{A_i^{\downarrow},A}(x)=x-a_i)\Rightarrow
\Rightarrow{m}_A(x)=[x-a_1,\ldots,x-a_n]=(x-a_1)\cdots(x-a_n)
$$
$\Leftarrow)$ Пусть $L_P$ векторное пространство размерности $n$, $\vec{\alpha}$ - базис пространства $L_P$,
преобразование $\varphi\in\mathcal{L}(L_P)$ такое, что $A_{\vec{\alpha}}(\varphi)=A$, тогда по условию существуют попарно различные элементы
$r_1,\ldots,r_t\in{P}$ такие, что $m_{\varphi}(x)=m_A(x)=(x-r_1)\cdots(x-r_t)$. Тогда из теоремы 11.10
следует, что $t=n$, $L_P=\ker{(\varphi-\hat{r}_1)}\dotplus\cdots\dotplus\ker{(\varphi-\hat{r}_t)}$ и
из теоремы 11.9 следует, что $A=\diag(r_1,\ldots,r_n)$.
previous contents next