14.4 Изометричность евклидовых пространств.

Определение 14.10:
Изометрией евклидовых пространств $(L_{\mathbb{P}},S)$ и $(K_{\mathbb{P}},F)$ называется изоморфизм векторных пространств $\sigma:L_{\mathbb{P}}\to{K}_{\mathbb{P}}$ такой, что для любых $\alpha,\beta\in{L}_{\mathbb{P}}$ $S(\alpha,\beta)=S(\sigma(\alpha),\sigma(\beta))$.

Замечание 14.6:
Из определения следует, что для любого $\alpha\in{L}_{\mathbb{P}}$ $$\|\sigma(\alpha)\|=\sqrt{S(\sigma(\alpha),\sigma(\alpha))}=\sqrt{S(\alpha,\alpha)}=\|\alpha\|.$$ То есть изометрия евклидова пространства сохраняет норму векторов.

Теорема 14.4:
Конечномерные евклидовы пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$ и $(K_{\mathbb{P}},F)$ изометричны тогда и только тогда, когда $\dim{L}_{\mathbb{P}}=\dim{K}_{\mathbb{P}}$.

Доказательство:

$\Rightarrow)$ По утверждению 11.6 $$ (L_{\mathbb{P}},S)\cong(K_{\mathbb{P}},F)\Rightarrow{L}_{\mathbb{P}}\cong{K}_{\mathbb{P}}\Rightarrow\dim{L}_{\mathbb{P}}=\dim{K}_{\mathbb{P}}. $$ $\Leftarrow)$ Пусть $\dim{L}_{\mathbb{P}}=\dim{K}_{\mathbb{P}}=n$, тогда существует $\vec{\alpha}:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ - ортонормированный базис пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$ и $\vec{\delta}:=(\delta_1,\ldots,\delta_n)$ - ортонормированный базис пространства $(K_{\mathbb{P}},F)$. Докажем, что отображение $\sigma:L_{\mathbb{P}}\to{K}_{\mathbb{P}}$ такое, что для любого $\beta\in{L}_{\mathbb{P}}$ $\sigma(\beta)=\vec{\delta}\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}$ является изометрией евклидовых пространств $(L_{\mathbb{P}},S)$ и $(K_{\mathbb{P}},F)$.

1. По п. 1 утверждения 11.4 для любых $\beta,\gamma\in{L}_{\mathbb{P}}$ $$ \sigma(\beta+\gamma)=\vec{\delta}(\gamma+\beta)_{\vec{\delta}}^{\downarrow}= \vec{\delta}\left(\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}+\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)= \vec{\delta}\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}+\vec{\delta}\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=\sigma(\beta)+\sigma(\gamma). $$
2. По п. 2 утверждения 11.4 для любых $\beta\in{L}_{\mathbb{P}}$, $a\in\mathbb{P}$ $$\sigma(\beta{a})=\vec{\delta}(\beta{a})_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}=\left(\vec{\delta}\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)a=\sigma(\beta)a.$$
3. Так как при любых различных $i,j\in\overline{1,n}$ $F(\delta_i,\delta_j)=S(\alpha_i,\alpha_j)=0$ и $F(\delta_i,\delta_i)=S(\alpha_i,\alpha_i)=1$, то для любых $i,j\in\overline{1,n}$ $F(\delta_i,\delta_j)=S(\alpha_i,\alpha_j)$. Следовательно, по пп. 1, 2 утверждения 14.1 для любых $\beta=\sum_{i=1}^n\alpha_ib_i$ и $\gamma=\sum_{i=1}^n\alpha_ic_i$ из ${L}_{\mathbb{P}}$. $$ F(\sigma(\beta),\sigma(\gamma))=F\left(\vec{\delta}\beta_{\vec{\alpha}}^{\downarrow},\vec{\delta}\gamma_{\vec{\alpha}}^{\downarrow}\right)= F\biggl(\sum_{i=1}^n\delta_ib_i,\sum_{j=1}^n\delta_jc_j\biggr)= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_i\overline{c}_jF(\delta_i,\delta_j)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_i\overline{c}_jS(\alpha_i,\alpha_j)= S\biggl(\sum_{i=1}^n\alpha_ib_i,\sum_{j=1}^n\alpha_jc_j\biggr)=S(\beta,\gamma). $$

14.5 Ортогональные дополнения.

Определение 14.11:
Пусть $K_{\mathbb{P}}$ подпространство евклидова пространства $(L_{\mathbb{P}},S)$, тогда множество $$ K^{\perp}:=\{\alpha\in{L}_{\mathbb{P}}\mid\forall\beta\in{K}_{\mathbb{P}}(S(\alpha,\beta)=0)\} $$ называется ортогональным дополнением подпространства $K_{\mathbb{P}}$.

Утверждение 14.6:
$$K_{\mathbb{P}}<L_{\mathbb{P}}\Rightarrow{K}^{\perp}<L_{\mathbb{P}}.$$

Доказательство:

Фиксируем $\gamma\in{L}_{\mathbb{P}}$, тогда для любых $\alpha,\beta\in{K}^{\perp}$, $a\in\mathbb{P}$ $$ (S(\alpha,\gamma)=0\,\wedge\,S(\beta,\gamma)=0)\Rightarrow{S}(\alpha+\beta,\gamma)=S(\alpha,\gamma)+S(\beta,\gamma)=0\Rightarrow \alpha+\beta\in{K}^{\perp}, $$ $$S(\alpha,\gamma)=0\Rightarrow{S}(\alpha{a},\gamma)=aS(\alpha,\gamma)=0\Rightarrow\alpha{a}\in{K}^{\perp}.$$ Таким образом, по теореме 11.5 $K^{\perp}<L_{\mathbb{P}}$.

Теорема 14.5:
Если евклидово пространство $(L_{\mathbb{P}},S)$ конечномерно, ${K<L_{\mathbb{P}}}$, то $L_{\mathbb{P}}=K\dotplus{K}^{\perp}$.

Доказательство:

1. Если $K=\{\theta\}$, то по п. 3 утверждения 14.1 $K^{\perp}=L_{\mathbb{P}}$ и, очевидно, $L_{\mathbb{P}}=K\dotplus{K}^{\perp}$.
   
2. Если $K=L_{\mathbb{P}}$, то для любого $\beta\in{K}^{\perp}$ $\beta\in{K}$ и $S(\beta,\beta)=0$, так что в силу п. 4 определения 14.1 $K^{\perp}=\{\theta\}$ и, очевидно, $L_{\mathbb{P}}=K\dotplus{K}^{\perp}$.
   
3. Пусть $m:=\dim{K}_{\mathbb{P}}$ и $0<m<n:=\dim{L}_{\mathbb{P}}$, $\vec{\alpha}:=(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)$ - ортогональный базис $K_{\mathbb{P}}$, $(\alpha_1,\ldots,\alpha_m,\alpha_{m+1},\ldots,\alpha_n)$ - ортогональный базис $L_{\mathbb{P}}$, $M_{\mathbb{P}}:=(\alpha_{m+1},\ldots,\alpha_n)_{\mathbb{P}}$. Тогда из доказательства теоремы 11.10 следует, что $L_{\mathbb{P}}=K_{\mathbb{P}}\dotplus{M}_{\mathbb{P}}$. Докажем, что $M_{\mathbb{P}}=K^{\perp}$. Так как $$ (\beta\in{K}_{\mathbb{P}}\,\wedge\,\gamma\in{M}_{\mathbb{P}})\Rightarrow \exists{b}_1,\ldots,b_m,c_{m+1},\ldots,c_n\in\mathbb{P}:\biggl(\beta=\sum_{i=1}^m\alpha_ib_i\,\wedge\,\gamma=\sum_{j=m+1}^n\alpha_jc_j\biggr)\Rightarrow {S}(\beta,\gamma)=S\biggl(\sum_{i=1}^m\alpha_ib_i,\sum_{j=m+1}^n\alpha_jc_j\biggr)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=m+1}^nb_i\overline{c}_jS(\alpha_i,\alpha_j)=0, $$ то $M_{\mathbb{P}}\subset{K}^{\perp}$. С другой стороны, $$ \delta\in{K}^{\perp}\Rightarrow\exists{d}_1,\ldots,d_n\in\mathbb{P}:\delta=\sum_{i=1}^n\alpha_i{d}_i\Rightarrow \forall{j}\in\overline{1,m}\biggl(S(\delta,\alpha_j)=0=S\biggl(\sum_{i=1}^m\alpha_id_i,\alpha_j\biggr)=\sum_{i=1}^md_iS(\alpha_i,\alpha_j)= d_jS(\alpha_j,\alpha_j)\biggr)\Rightarrow\\ \Rightarrow\forall{j}\in\overline{1,m}(d_j=0)\Rightarrow\delta=\sum_{i=m+1}^n\alpha_id_i\Rightarrow\delta\in{M}_{\mathbb{P}}, $$ следовательно, $K^{\perp}\subset{M}_{\mathbb{P}}$ и тогда, $M_{\mathbb{P}}=K^{\perp}$.

Определение 14.12:
Пусть $(L_{\mathbb{P}},S)$ - евклидово пространство, $K<L_{\mathbb{P}}$, вектора $\alpha\in{L}_{\mathbb{P}}$, $\beta\in{K}$, $\gamma\in{K}^{\perp}$ такие, что $\alpha=\beta+\gamma$, тогда

1. вектор $\beta$ называется ортогональной проекцией вектора $\alpha$ на подпространство $K_{\mathbb{P}}$,
2. вектор $\gamma$ называется ортогональной составляющей вектора $\alpha$ относительно подпространства $K_{\mathbb{P}}$.

14.6 Геометрия евклидовых пространств.

Теорема 14.6: Неравенство Коши - Шварца.
$$\forall\alpha,\beta\in(L_{\mathbb{P}},S)(\|\alpha\|\|\beta\|\geq|S(\alpha,\beta)|).$$

Доказательство:

Если $\alpha=\theta$ или $\beta=\theta$, то $\|\alpha\|\|\beta\|=S(\alpha,\beta)=0$.
Пусть $\alpha\neq\theta$ и $\beta\neq\theta$, тогда для любого $c\in\mathbb{P}$ $$ \alpha{c}+\beta\neq\theta\Rightarrow0\leq{S}(\alpha{c}+\beta,\alpha{c}+\beta)=S(\alpha{c},\alpha{c}+\beta)+S(\beta,\alpha{c}+\beta)= c\overline{c}S(\alpha,\alpha)+cS(\alpha,\beta)+\overline{c}S(\beta,\alpha)+S(\beta,\beta)= |c|^2S(\alpha,\alpha)+cS(\alpha,\beta)+\overline{c}\overline{S(\alpha,\beta)}+S(\beta,\beta) $$ Положим $c:=-\frac{\overline{S(\alpha,\beta)}}{S(\alpha,\alpha)}$ и подставим в полученное неравенство $$ \frac{|S(\alpha,\beta)|^2}{S(\alpha)}-\frac{|S(\alpha,\beta)|^2}{S(\alpha,\alpha)}-\frac{|S(\alpha,\beta)|^2}{S(\alpha,\alpha)}+S(\beta,\beta)= -\frac{|S(\alpha,\beta)|^2}{S(\alpha,\alpha)}+S(\beta,\beta)\geq0\Rightarrow -|S(\alpha,\beta)|^2+S(\alpha,\alpha)S(\beta,\beta)\geq0\Rightarrow\|\alpha\|^2\|\beta\|^2\geq|S(\alpha,\beta)|^2. $$

Следствие 14.5:
$$\forall\alpha,\beta\in(L_{\mathbb{P}},S)(\|\alpha+\beta\|\leq\|\alpha\|+\|\beta\|).$$

Доказательство:

Так как для любого $z\in\mathbb{C}$ $z+\overline{z}\leq2|z|$, то по теореме 14.6 $$ \|\alpha+\beta\|^2=S(\alpha+\beta,\alpha+\beta)=S(\alpha,\alpha+\beta)+S(\beta,\alpha+\beta)= S(\alpha,\alpha)+S(\alpha,\beta)+\overline{S(\alpha,\beta)}+S(\beta,\beta)=\\=\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2+S(\alpha,\beta)+\overline{S(\alpha,\beta)}\leq \|\alpha\|^2+\|\beta\|^2+2|S(\alpha,\beta)|\leq\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2+2\|\alpha\|\|\beta\|=(\|\alpha\|+\|\beta\|)^2 $$

Теорема 14.7: Теорема Пифагора.
$$\forall\alpha,\beta\in(L_{\mathbb{P}},S)(\alpha\perp\beta\Rightarrow\|\alpha+\beta\|^2=\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2).$$

Доказательство:

Так как при $\alpha\perp\beta$ $S(\alpha,\beta)=\overline{S(\alpha,\beta)}=0$, то утверждение следует из равенства полученого при доказательстве следствия 14.5 $$\|\alpha+\beta\|^2=\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2+S(\alpha,\beta)+\overline{S(\alpha,\beta)}.$$

Определение 14.13:
Пусть $\alpha,\beta\in{L}_{\mathbb{R}}\backslash\{\theta\}$, тогда углом между векторами $\alpha$ и $\beta$ называется число $\varphi\in[0,\pi)$ такое, что $$\cos{\varphi}=\frac{S(\alpha,\beta)}{\|\alpha\|\|\beta\|}.$$ Угол между векторами $\alpha$ и $\beta$ обозначают $\widehat{\alpha,\beta}$

Теорема 14.8: Теорема косинусов.
$$\forall\alpha,\beta\in(L_{\mathbb{R}},S)(\|\alpha-\beta\|^2=\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2-2\|\alpha\|\|\beta\|\cos{\widehat{\alpha,\beta}}).$$

Доказательство:

Так как для любого $x\in\mathbb{R}$ $x=\overline{x}$ и по определению угла между $\alpha$ и $\beta$ $S(\alpha,\beta)=\|\alpha\|\|\beta\|\cos{\widehat{\alpha,\beta}}$, то $$ \|\alpha-\beta\|^2=S(\alpha-\beta,\alpha-\beta)=S(\alpha,\alpha-\beta)-S(\beta,\alpha-\beta)= S(\alpha,\alpha)-S(\alpha,\beta)-\overline{S(\alpha,\beta)}+S(\beta,\beta)=\|\alpha\|^2+\|\beta\|^2-2\|\alpha\|\|\beta\|\cos{\widehat{\alpha,\beta}}. $$

previous contents next